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PRÁCTICAS matemática

MATEMÁTICA 3 – Prácticas Santillana es una obra colectiva creada y diseñada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana, bajo la dirección de Alejandra Campos, por el siguiente equipo: Sergio Da Costa Verónica Scorza Edición: Verónica Scorza

La realización ar tística y gráfica de este libro ha sido efectuada por el equipo de EDICIONES SANTILLANA S.A., integrado por: Coordinadora de arte: Andrea Natero. Diagramación: Forma. Tapa: Andrea Natero. Fotografía e ilustración: Archivo Santillana. Corrección: María Lila Ltaif.

Matemática 3 Prácticas Santillana se basa en los siguientes proyectos: Matemática III – Santillana Prácticas es una obra colectiva creada y diseñada en el Departamento Editorial de Ediciones Santillana S.A. a partir de Matemáticas 3 ESO – Proyecto La Casa del Saber por el siguiente equipo: Andrea Berman · Alicia E. López · Patricia V. Parodi · Ana Verónica Veltri María Dolores Álvarez · Joaquín Hernández · Ana Yolanda Miranda · María Rosario Moreno Susana Parra · Manuela Redondo · Raquel Redondo · María Teresa Sánchez Teresa Santos · Esteban Serrano. Edición: Ana Verónica Veltri Jefa de edición: María Laura Latorre Gerente de gestión editorial: Mónica Pavicich Dirección editorial: Herminia Mérega y Graciela Pérez de Lois

© 2012, Ediciones Santillana S.A. Juan Manuel Blanes 1132. Montevideo, Uruguay. Correo electrónico: [email protected] www.santillana.com.uy

ISBN: 978-9974-95-563-9 Queda hecho el depósito que dispone la ley.

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente en ninguna forma, ni por ningún medio o procedimiento, sea reprográfico, fotocopia, microfilmación, mimeógrafo, o cualquier otro sistema mecánico, fotoquímico, electrónico, informático, magnético, electroóptico, etcétera. Cualquier reproducción sin el permiso de la editorial viola derechos reser vados, es ilegal y constituye un delito.

Índice 1 Números, operaciones y ecuaciones Operaciones y sus propiedades Ecuaciones Para recordar Más actividades Autoevaluación

4 Ecuación de la recta. Sistemas de ecuaciones 6 10 14 15 15

2 Funciones cuadráticas I La función cuadrática y la parábola Eje de simetría y vértice de una parábola Raíz y ordenada en el origen de la función cuadrática Aplicaciones de la función cuadrática Para recordar Más actividades Autoevaluación

16 20 22 25 26 28 29

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3 Funciones cuadráticas II La función cuadrática y la parábola Ecuaciones cuadráticas y raíces Distintas expresiones para la función cuadrática Estudio de una función cuadrática Más de ecuaciones cuadráticas Funciones cuadráticas y física Para recordar Más actividades Autoevaluación

30 31 33 34 35 37 38 40 41

Ecuación de la recta Posiciones relativas de dos rectas Sistemas de ecuaciones Ecuaciones equivalentes. Método de reducción Método de escalerización Para recordar Más actividades Autoevaluación

42 45 46 50 51 54 56 59

5 Sistemas de inecuaciones En la recta y en el plano Inecuaciones lineales Programación lineal Para recordar Más actividades Autoevaluación

60 61 64 66 68 69

6 Geometría en el plano Problemas con triángulos Problemas con cuadriláteros Cálculo de ángulos Ángulos entre paralelas Congruencia de triángulos Para recordar Más actividades Autoevaluación

70 75 77 79 81 82 84 85

Teorema de Thales Teorema de Pitágoras Recíproco del teorema de pitágoras Cálculos usando pitágoras Para recordar Más actividades Autoevaluación

10 Estadística 86 90 93 94 96 98 99

8 Semejanza y trigonometría Figuras semejantes Semejanzas en la realidad Razones trigonométricas Trigonometría en todos lados Razones trigonométricas y ángulos complementarios Vectores en componentes ortogonales Para recordar Más actividades Autoevaluación

100 104 106 110 112 113 114 116 117

9 Geometría en el espacio Poliedros y cuerpos redondos Poliedros Secciones planas Cuerpos redondos Para recordar Más actividades Autoevaluación

118 119 122 125 126 127 127

Población y muestra Frecuencia absoluta y relativa Gráficos estadísticos Media, moda y mediana Medidas de dispersión El desvío estándar: una medida de dispersión Para recordar Más actividades Autoevaluación

128 129 131 135

139 140 142 143

11 Probabilidad ¿Más o menos probable? Cálculo de probabilidades Frecuencia y probabilidad Estadística y probabilidad Para recordar Más actividades Autoevaluación

144 146 150 152 154 156 157

Fórmulas de perímetros y áreas de figuras planas

159

Fórmulas de áreas y volúmenes de cuerpos

160

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7 Thales y Pitágoras

Cómo se usa este libro

En las páginas Para recordar hay una síntesis de los conceptos que necesitas para resolver las actividades y se muestran ejemplos.

Los 11 capítulos de este libro de actividades desarrollan los contenidos principales que vas a estudiar este año.

14

Cada capítulo se inicia con la sección Para empezar, en la que hay que resolver una actividad, que a veces se relaciona con alguna nota histórica.

Para recordar Radicales

Números, operaciones y ecuaciones

1

Para operar con radica

La expresión n a = b se lee “la raíz enésima de a es b”, donde el índice n ∈ ; n > 1 ; a y b son números reales. • Si n es par y a ≥ 0:

n

Reducción a un índice com multiplicación o una división



4

“Un reloj y la manera de interpretar los números” es un ejemplo simpático de cómo la utilización creativa de las operaciones más elementales de la aritmética le permitieron a alguien diseñar un reloj de pared muy atractivo. ¿Quién dijo que la matemática es aburrida?





2 16 2 16 . =  porque   =  3  81 3 81

• Si n es impar,

n

4

=5

57 = 4 54 ⋅ 5 3 = 4 54 ⋅ 4 5 3

Suma y resta de radicales:

n

a =b ⇔b = a.

La sección Más actividades te da una nueva po- idéntico radicando se puede  3 27 27 3 . − = − porque −  = − 3 5 − 5 +2 5 = 3 5 − 5 +2 5 = 4 5 5  125resolución de la Au5 sibilidad de 125 practicar, y con la Si los radicales son distintos,  , el lado 24 En 1980 se introdujeron 120 54 cierPQ 57 El triángulo PQR es rectángulo en Q Calcula la longitud del lado de un triángulo equilátoevaluación vas a comprobar Multiplicación y división de vos en una isla. En el gráfico se mueses decuánto 36 cm y el aprendiste. PR, de 45 cm. Halla la longitud tero de 5 cm de altura. tra la población de ciervos de la isla. del otro lado y la amplitud de sus ángulos.( 2 : 4 ) ⋅ 5 = (2 : 4 ) ⋅ 5 a. ¿Al cabo de cuántos años la poAPLICACIONES DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA

3

3

3

6

3

2

3

3

3

3

3

3

1 2

2

1 3

Potencias racional 55 Halla la longitud faltante de los lados yde la exponente amplim − − blación de ciervos alcanzó su nivel 58 El seno de un ángulo es 0,929. Sin averiguar tud de los ángulos en grados de estos triángulos = 2 ⋅ 5 = 2 ⋅ 5 = 6 2−1 La potencia a n es un radical de índice n y radicando am . máximo? la amplitud del ángulo, halla su coseno y su rectángulos. 5 Foto: Triple Nine Society, Racionalización de denomin http://www.cafepress.com/triplenine#housewares tangente. 4 6 = 6 45 . 1 2

Adrián Paenza, ¿Cómo, esto también es matemática?, Sudamericana, Buenos Aires, 2011.

1+ 1 3

Extracción de factores de u

4

Para empezar

1

1

5 ⋅ 3 5 = 52 ⋅ 5 3 = 52

a = b  ⇔  b n = a .

2 3

2 3

1 6

4 6

Vas a poder resolver la mayoría de las actividades 25 cm del denominador, como en lo reCÍProCo deL TeoremA de PITÁGorAS Más actividades en el libro Si la aguja grande estuviera en y usar los márgenes cuadriculados para Las potencias de exponente racional tienen las mismas propiedades 9 59 Calcula a qué altura caminan los dos viajeros 75º   y la chica en 9 + 9 − 9 , ¿qué hora sería? b. ¿Cuál fue el mayor número de cierque las de exponente entero.  9 tu cuaderno construye con regla y compás un triángulo cuyos lados sean a. En que cruzan un puente colgante como muestra el vos que hubo en la isla? realizar26cálculos o gráficos. de 6 cm, 8 cm y 10 cm. dibujo. la 22 Calcula no puedes sumas ode restas pued Resolución ecuacio ⋅ 3 = 3 propiedades, = 3                       3 : 3usar =3 = 3 26 Indica cuáles de estas cm 3aplicando 9 b. Mide sus ángulos con un semicírculo. ¿Qué tipo de triángulo es? Realiza las otras operaciones que aparecen en el reloj. También vas a encontrar actividades para realizar calculadora: simplificarse y en cuáles la operación queda in c. ¿Qué relación existe entre las medidas de sus lados? la propiedad hankelian 3 ⋅3 = 3 = 3                       3 : 3 = 3 =3 cada. Cuando sea posible, opera. partirdedelas qué año la comenzó a decrecer? con la calculadora y otras quec. ¿A plantean conexio200 m d. Escribe una conclusión con las observaciones partes b. población y c. 9   9 :   +2 81 3x = 2 = 2 = 2 = 2  ( )  OPERACIONES Y SUS PROPIEDADES (3 x − 1)(2 x + 4) = 0 ⇔   4  45º 3 x  a. 24 + 3 25º  = nes con distintas disciplinas. (3 x − 1)(2 x + 4) = 0 ⇔  52º  2 x  3 7 9

4 5

1 2

4+1 5 2

13 10

1 2

1 2

4+1 5 2

13 10

1 2

4−1 5 2

3 10

Resolución de ecuaciones aplicando la propiedad hankeliana de los reales

3 4

54

5 4

1 3

5⋅1 4 3

4 5

5 12

12

1 2

4−1 5 2

3

5

1

c. [−57 + (−4) ⋅3(−2)] : 3 =

1



4

4



10,25

2,5

3

11

2

7

c. 28 - 5 7 d. − 600 + 24

  2 x 1 S = 1, − 2 S = 3, − 2 4 x 22 −38 x = 0 ⇔ 4 x ( x − 2) = 4 x 4−x 8=x 0= 0⇒ ⇔ x4= x ( x0 − 2) = ⇔ 4x = 0 ⇒ x = 0 ⇒ ⇔ x −2 = 0 ⇒ x = 2 ⇒ x −2 = 0 ⇒ x = 2

{{

}}

{{

27 Calcula luego de racionalizar los denominador

Autoevaluación

1 laUna torre de¿Yalta tensión está sostenida porprimo. un cable que a. ¿Qué temperatura había a las 10 de mañana? a las tres de ladetarde? ral y la raíz un número  9 fue la temperatura máxima? 3 b. 9¿Cuál va desde el extremo superior de la torre4 hasta una estaca : −  − = f. c. 32 a. 700  5 c.25 5 que está a 2 m de su pie, y forma un ángulo de 75° con el ¿A qué hora se registró? de la torre? d. 3 54 d. ¿Cuándo la temperatura fue de 0 °C? piso. ¿Cuál es la altura b. 243

2

3

b. 72 - 3

3

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

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3 10

5

− d. ¿Al cabo de cuántos años no quedaban más ciervos? ¿En qué 4 año 8 fue? 5 1 a. −9 ⋅ 3 − (−7) ⋅ 5 = d. −3 −  +  =  , el ángulo en 56 El triángulo ABC es rectángulo en B 2 4 Calcula. A es de 36º 52’ y el23 lado AB, de 156,35 cm. Halla la longitud de los otros lados. a. 2 5 4 ⋅ 3 5 8 c. -4 50 : 8 2 25siguientes Los medidas registros se de puede temperatura entre las 0 horas y las 24 horas en 27 Sin construirlos, decide si con las formartomados o no 7 13 3 3   5 1 49 1 2 un49 triángulo rectángulo. 18 ⋅ donde 12 T es d. 3 80 : 3 10  ⋅ rural = se ajustan a la expresión T ( x ) = − ⋅ − zona b. : (−7) + 108 :9= e. − una ( x −© b. 12)2 +S.A. 10Prohibida Santillana su fotocopia. Ley 15.913 4 8 7  11  2 10 ¿Se puede formar un a b c a2 b2 la temperatura c2 en grados Celsius y x es la hora del día. triángulo rectángulo? 24 Expresa como el producto entre un número natu1 Realiza las siguientes operaciones.

a. b.

5 8- 2 18 1 + 3 3 +2

28 Explica por qué son incorrectas las siguien igualdades.

m p m+n + = a. a2 + b2 = a + b b. usar la calculadora n q n+q Esteban tira uno de sus juguetes hacia arriba. 25 La Sin posición P del jugue- compara los siguientes radicales. te en cada instante se calcula en forma aproximada mediante la expresión Resuelve las ecuaciones. enaltura segundos y rectángulo la yposición se de 27 y 18 cm, respectivamente.29 P(t) = -5 t2 + 8 t, donde t es el tiempo 2 expresado La base y la Otro rectángulo semejante 490 8 10. son a. de un a. 2(x - 2)(1 - x) = 0 mide en metros donde sepega arrojópor elajuguete. este tiene un área de 54 cm2. ¿Cuál es la longitud de sus lados? 28 Matías tiene dos trozos de madera iguales como el de desde la figura. Si los -3 12 y -12 3. b. a. ¿A qué altura máxima llegó el juguete? b. x(x + 3) - x2 + 1 = 0 el lado mayor, ¿se le forma una tabla rectangular? © Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

c. -3 12 y -6 3. 3 Calcula la altura del rascacielos. d. 72 y 5 2.

c. 14x2 - 7 = 0 d. -2x2 + x = 0

b. ¿Cuánto tardó en volver a la mano de Esteban?

74 cm

29 Prueba que es cierto que si (a, b, c) es una terna pitagórica, entonces (na, nb, nc) también lo es (n es un entero positivo).

Autoevaluación

57º 51 m

13º

25

. Ley 15.913

cm

cm

39

© Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 15.913

26

65 da su fotocopia. Ley 15.913

6

4 5

4 5

1 Expresa el perímetro de las figuras en la forma a b. a. b. 20

117 7