Polinomios
POLINOMIOS Alguna vez en la escuela media, en clases de Física, hemos visto expresiones tales como st = v t + s0 que representa la relación posición (s) de un móvil, que se desplaza en movimiento rectilíneo uniforme, en función del tiempo (t). O del movimiento uniformemente variado, donde la expresión utilizada es st = s0 + v0 t + 1/2 a t2. En Economía, suele utilizarse expresiones como C = 600x2 + 320x +150 que representa, por ejemplo, el costo total de construir un depósito de materiales. Es necesario, entonces estudiar las expresiones de la forma: P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn ← que llamaremos polinomios, donde los a0, a1, a2, ..., an se llaman coeficientes y son números reales o complejos (nosotros sólo trabajaremos con reales); x es la variable o indeterminada y los exponentes de la variable x son todos enteros no negativos. Actividad nº1 Indique cuáles de estas expresiones son polinomios reales (con coeficientes reales)
1 5
a) x 2
b) 3x 2 − 5x 3 + 4
c) 5x −1 + x4
d) 3 sen (2x)
e) 4πx 4 + 2πx 2 + π
f) 7‐
g) −10
h) 2 x − 3 x + 4 x
i) 3 x − 4 x + x 4
1 x
Al conjunto de todos los polinomios en la variable x con coeficientes reales lo simbolizaremos ℜ[x]. Ya dijimos que en ← , los a0, a1, a2, ..., an son los coeficientes. El coeficiente a0 es el término independiente. El coeficiente an es el coeficiente principal, si an ≠ 0. Si si an ≠ 0, diremos que n es el grado de P(x). Por ejemplo, en P( x ) = 5x 3 − 2 x + 4 el grado es 3; Q( x ) = 4 − x es de grado 1;
V ( x ) = 3x 2 − 6 x 7 + 4 x es de grado 7 y S(x) = 23 es de grado 0. El polinomio nulo es aquél donde todos los coeficientes son 0. El polinomio nulo no tiene grado. Según el número de términos con coeficientes no nulos, el polinomio se llama monomio, binomio, trinomio, ... En el ejemplo precedente, S(x) es un monomio, Q(x) es binomio, P(x) y V(x) son trinomios. Actividad nº2 Ejemplifique: a) binomio de tercer grado b) monomio de quinto grado c) trinomio de cuarto grado d) monomio de grado cero
Polinomios
Definición: Dados dos polinomios P y Q decimos que son iguales si y sólo si los coeficientes de los términos de igual grado son iguales. Por ejemplo 3 − x 3 + 7x 4 – 4x 5 = 3 + 0x + 0x 2 − x 3 + 7x 4 – 4x 5 . Al polinomio del segundo miembro se lo llama completo, porque siendo de grado 5, se escriben todos los términos de grado igual o menor que 5 colocando coeficiente 0 en los términos que faltan. Actividad Nº3 Determinar los valores de m, n, r y s para que T(x) = G(x)
1 5 x 2
4 (s + r ) x 2 + r x 3 + (n − s) x 5 3
a) T(x) = 3 − 5x + 2 x 2 −
b) T(x) = − 3 2 x + 7 2 x 2 − 4 2 x 3 + 8x 4 G(x) = − 3mx + (n + r ) x 2 + ( m − r + s) x 3 + n 2 x 4
G(x) = m + (−2n − m) x +
Operaciones con Polinomios Veremos las operaciones con polinomios y las propiedades que éstas verifican. Adición La suma del polinomio M(x) = m0 + m1 x + m2 x2 + ... + mn‐1 x n‐1 + mn x n y el polinomio B(x) = b0 + b1 x + b2 x2 + ... + bn‐1 x n‐1 + bn x n + ... + bm x m donde n ≤ m, es el polinomio: M(x) + B(x) = (m0 + b0) + (m1 + b1) x + (m2 +b2) x2 + ... + (mn‐1 + bn‐1) x n‐1 + (mn +bn) x n + ... ... + bm xm Ejemplo:
1 5 x 2
M(x) = 3 − 5x + 2 x 2 −
M(x) + B(x) = (3 + 3) + (−5 −1)x + (2 + 0) x2 + (0 + 7)x4 + (−1/2 − 4)x5
B(x) = 3 − x + 7x 4 – 4x 5
M(x) + B(x) = 6 −6x + 2x2 + 7x4 −9/2 x5 En la práctica puede adoptarse esta disposición en la que se encolumnan los términos de igual grado (llamados términos semejantes)
3 − 5x
+ 2x 2
−
1 5 x 2
+
6 − 6x
+ 7 x 4 − 4x 5
3 − x + 2x 2
+ 7x 4 −
9 5 x 2
Polinomios
Para poder enunciar alguna conclusión sobre el grado del polinomio suma sugerimos que, siendo A(x) = 1 − 2 x + x 3 − 2 x 4
B(x) = 2 x 2 − x + 2
C(x) = 2 x 4 + 3 x 3 + x 2
D(x) = 2 x 4 − x 3 + 2 x + 3 , resuelvan: A(x) + B(x) = ..................................................................................gr (A+B) = ..................... A(x) + C(x) = ..................................................................................gr (A+C) = ..................... A(x) + D(x) = .................................................................................gr (A+D) = ..................... En estos ejemplos podemos observar que: El grado del polinomio suma A + B es menor o igual que el grado del polinomio de mayor grado que estamos sumando. La suma de polinomios goza de las mismas propiedades que la suma de números. Actividad Nº4 Dados los polinomios A(x) = 1 − 2 x + x 3 − 2 x 4
B(x) = 2 x 2 − x + 2
F(x) = 1 / 2 x + x 2 − 3
I) Verificar que a) la suma de polinomios es conmutativa; b) la suma de polinomios es asociativa. II) ¿Existe elemento neutro para la suma de polinomios? ¿Cuál es? III) ¿Tiene todo polinomio un opuesto, o inverso aditivo? Recuerde que para todo polinomio A(x) existe otro K(x) tal que A(x) + K(x) da por resultado el polinomio nulo. Se dice que K(x) es el opuesto de A(x) y se lo representa como −A(x). Halle, entonces, los opuestos de A(x), B(x) y F(x). Sustracción Dados los polinomios P(x) y S(x), efectuar la sustracción (resta o diferencia) entre P y S equivale a sumar a P el opuesto de S. Por
ejemplo:
Si
P ( x ) = x 5 + 2 x 4 − 3x 3 − 2
y
S( x ) = 3x 4 − 5x 2 − 3
,
entonces
− S( x ) = −3x 4 + 5x 2 + 3 por lo tanto: P(x) − S(x) = P( x ) + (−S( x )) = ( x 5 + 2 x 4 − 3x 3 − 2) + ( −3x 4 + 5x 2 + 3)
P(x) − S(x) = x 5 − x 4 − 3x 3 + 5x 2 + 1
Actividad Nº5 1) Dados F(x) = 2 x 4 − 8x + x 3 , G(x) = 2 x 3 − x 4 , H(x) = − 2x + x 3 − 2 x 4 + 1 , se pide hallar:
a) F(x) + G(x) − H(x)
b) F(x) − G(x) − H(x)
c) F(x) − (G(x) − H(x))
2) Siendo T(x) = − 3 2 x + 7 2 x 2 − 4 2 x 3 + 8x 4 y J(x) = 2 x − 4 + 4 2 x 3 − 2 x 2 resuelva:
a) T(x) + J(x)
Polinomios
b) T(x) − J(x)
c) J(x) − T(x)
3) Halle V(x) tal que W(x) − V(x) = Y(x) , si W(x) =
1 2 − 2 x + 4 x 3 y Y(x) = − x 3 + 4x − x 2 − 1 . 3 3
Producto Al multiplicar dos monomios, el resultado es otro monomio. Por ejemplo: si A(x) = 6x 3 y B(x) = 4x 5, entonces A(x) . B(x) = 6x 3 . 4x 5 = 6 . 4 . x3.x5 = 24 x 8 Si A(x) = 6x 3 y L(x) = −3x 4 , entonces A(x) . L(x) = 6 . (−3) . x3 . x4 = −18 x7 El coeficiente del producto es el producto de los coeficientes de los factores. El grado del monomio producto es la suma de los grados de los factores, si estos no son nulos. Si alguno de los factores es el polinomio nulo, el producto es el polinomio nulo. Para calcular el producto de dos polinomios, multiplicamos cada término (monomio)de uno de ellos por cada uno de los términos (monomio) del otro. Por ejemplo, si A(x) = 2 x 3 − x + 1 y B(x) = 3x 2 − x + 4 , entonces resulta A(x) . B(x) = ( 2 x 3 − x + 1 ) . ( 3x 2 − x + 4 ) =
= 2x 3( 3x 2 − x + 4 ) − x ( 3x 2 − x + 4 ) + 1( 3x 2 − x + 4 ) =
= 6 x 5 − 2 x 4 + 8 x 3 − 3 x 3 + x 2 − 4 x + 3 x 2 − x + 4 =
= 6 x 5 − 2 x 4 + 5 x 3 + 4 x 2 − 5 x + 4
Si queremos utilizar la disposición práctica:
2x 3 − x + 1 3x 2 − x + 4 6 x 5 − 2 x 4 + 8x 3
2 x 3 . B( x )
+
− 3x
3
+x
2
− 4x
+ 3x 2 − x + 4
− x . B( x ) 1 . B( x )
6 x 5 − 2 x 4 + 5x 3 + 4 x 2 − 5x + 4 Para deducir el grado del polinomio producto resolvemos los siguientes ejemplos. Consideramos: M(x) = x + 3, G(x) = x 2 + 2x − 1, B(x) = 2x 3 − x + 2 y calculamos: M(x) . G(x) = ........................................................................................gr M(x) . G(x) :................... M(x) . B(x) = .........................................................................................gr M(x) . B(x) :.................. G(x) . B(x) =...........................................................................................gr G(x) . B(x) :..................
Polinomios
En estos ejemplos observamos que: El grado del polinomio producto es igual a la suma de los grados de los polinomios factores. También podemos sacar conclusiones sobre el coeficiente principal del polinomio producto, que es el producto de los coeficientes principales de los polinomios factores. ¿Y el término independiente del polinomio producto? Es igual al producto de los términos independientes de los polinomios factores. La multiplicación de polinomios verifica la ley de cierre (el producto de dos polinomios es otro polinomio). Actividad Nº6 1) Dados los polinomios T(x) = 2 − x + 1/2x 2 , V(x) = x − 2, W(x) = x + 1 + x2, a) verifica que: i) la multiplicación de polinomios es asociativa ii) la multiplicación de polinomios es conmutativa iii) el elemento neutro de la multiplicación es E(x) = 1
b) comprueba que T(x) . (V(x) + W(x)) = T(x) V(x) + T(x) W(x)
c) calcula V 2, W 2, V 3.
2) Con los polinomios A(x) = − 2 x 4 − 5 + 7 x 2 + 3x 3 , B(x) = 3x + 1 , C(x) = 2 x 5 − 3x 3 hallen los resultados de: a) C(x) − A(x) . B(x); b) 3A(x) + 2x3 B(x) ; c) [B(x)]2 − 2A(x) División Si deseamos determinar los números enteros c y r que satisfacen la ecuación 9 = 4 c + r , podemos efectuar la división entera mediante el correspondiente algoritmo: 9 4 1 2 donde 9 es el dividendo, 4 el divisor, 2 es el cociente y 1 es el resto. Entonces, c = 2 y r = 1 son los únicos números enteros que verifican la igualdad 9 = 4 . 2 + 1. Además recordamos que el divisor nunca es cero y que el resto siempre es menor que el divisor. Esto que sucede en el conjunto de los números enteros es muy similar a loa que ocurre con los polinomios. Para hallar los polinomios C(x) y R(x) que satisfacen la ecuación
(3x 4 + 2x3 − 4x − 4) = (x3 − 2x 2 ).C(x) + R (x) podemos realizar la división entera de polinomios. El
polinomio C(x) se llama polinomio cociente y el R(x) se llama polinomio resto. El divisor no puede ser el polinomio nulo y el grado del resto debe ser menor que el grado del divisor.
Polinomios
En el algoritmo de la división, para determinar los polinomios C y R: 1º: Se ordenan según las potencias decrecientes de la indeterminada (x), el dividendo y el divisor; completando además e dividendo. 2º: Dividimos el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose así el primer término del cociente. 3º: Multiplicamos el primer término del cociente por todo el divisor. 4º: Se resta este producto del dividendo, obteniéndose un nuevo dividendo. 5º: Reiteramos el procedimiento 2º, 3º y 4º hasta obtener el polinomio resto, de grado menor que el divisor.
(
)
Ejemplificamos con los polinomios 3x 4 + 2 x 3 − 4 x − 4 : ( x 3 − 2 x 2 ) 1º: Ambos polinomios están ordenados pero hay que completar el dividendo: 3 x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4
2º :
3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4
x 3 − 2x 2 3x
3º :
4º :
3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4
x 3 − 2x 2
3x 4 − 6 x 3
3x
3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4
x 3 − 2x 2
3x 4 − 6 x 3
3x
8x 3 + 0 x 2 5º :
3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4
x 3 − 2x 2
3x 4 − 6 x 3
3x + 8
8x 3 + 0 x 2 6º :
3x 4 + 2 x 3 + 0 x 2 − 4 x − 4
x 3 − 2x 2
3x 4 − 6 x 3
3x + 8
3
8x + 0 x
2
8x 3 − 16 x 2 16 x 2 − 4 x − 4 Y como el grado de (16x 2 − 4x − 4) es 2 y el grado del divisor es 3, entonces quedan determinados el polinomio cociente C(x) = 3x + 8 y el polinomio resto R(x) = 16x 2 − 4x − 4 que verifican:
3 x 4 + 2 x 3 − 4 x − 4 = (x 3 − 2x 2) (3x + 8) + (16x 2 − 4x − 4) Planteamos otro ejemplo. Queremos efectuar A : B siendo A(x) = 2 x 3 − x + 1 y B(x) = x 2 − x + 1 .
Polinomios
2x 3 + 0x 2 − x + 1 2x 3 − 2x 2 + 2x 2 x 2 − 3x + 1 2x 2 − 2x + 2 − x −1
x 2 − x +1 2x + 2
2 x 3 − x + 1 = ( x 2 − x + 1 ) (2x + 2 ) + (− x− 1)
Actividad Nº7 1) Dados A y B determinar C y R tal que A = B . C + R, donde R(x) = 0(x) o gr (R)
