INSTITUTO TRÁNSITO DE MARÍA. MATEMÁTICA – 6 AÑO “A” Y “B” - 2015 GUÍA Nº 2:    

Polinomios. Operaciones con polinomios. Regla de Ruffini y teorema del resto. Factorización de polinomios

1) Indicar cuáles de las siguientes expresiones algebraicas no son polinomios. Justifica tu respuesta. 2 2 a) 16𝑥 + 𝑥 −1 c) √3𝑥 2 − 5 d) 𝑥 2 + 5𝑥 − 2 b) 𝑥 5 − 9 3

f)

2𝑥+1 3

e) √

𝑥

𝑥 10 − 5

7

3

h) √𝑥 + 4𝑥 2

g) 5𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥

2) Indicar el grado y coeficiente principal de los siguientes polinomios: 3 a) 𝑃(𝑥) = 𝑥 3 − 1 b) 𝑄(𝑥) = 3𝑥 2 − 2𝑥 − 𝑥 4 c) 𝑅(𝑥) = 𝑥 3 + 5𝑥 − 𝑥 5 2

d) 𝑀(𝑥) = 7

3) Pensar y escribir dos polinomios de grado 1. 4) Indicar si los números “2”, “-1” y “1” son raíces de los siguientes polinomios. a) 𝑃(𝑥) = −𝑥 5 + 3𝑥 2 − 4 b) 𝑄(𝑥) = 𝑥 3 − 3𝑥 2 + 4 c) 𝑅(𝑥) = 2𝑥 4 − 3𝑥 3 + 7𝑥 − 6 5) Encontrar las raíces de los siguientes polinomios. a) 𝑃(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 − 4 b) 𝐽(𝑥) = 3𝑥 + 5 c) 𝐿(7) = −6 6) Realiza las siguientes sumas algebraicas. a) 5𝑥 2 + 3𝑥 2 = b) −2𝑥 + 7𝑥 − 4 = c) 9𝑥 2 + 4𝑥 − 3𝑥 2 + 3𝑥 = d) 𝑥 + 7 + 𝑥 − 10 − 1 = e) 𝑥 3 − 𝑥 2 + 7𝑥 2 + 10𝑥 3 + 4 = 7) Considera los polinomios: 𝑄(𝑥) = −2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 6𝑥 − 5 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 𝑥 + 7 2 3 𝑅(𝑥) = 𝑥 4 + 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 𝑥 3 4 a) Realiza 𝑃(𝑥) + 𝑄(𝑥) b) Realiza 𝑃(𝑥) − 𝑄(𝑥) c) Realiza 2. 𝑃(𝑥) + 3. 𝑅(𝑥) 1

1

d) Realiza 2 𝑅(𝑥) − 3 𝑃(𝑥) e) Calcula 𝑃(−2) + 3. 𝑄(1) 1

8) Resolver las siguientes operaciones algebraicas. a) 2. (𝑥 2 − 1) − 3. (𝑥 2 + 2𝑥 + 1) − 2. (𝑥 2 + 1) = b)

1 . (𝑥 2 2

+ 2𝑥 + 1) + 5. (𝑥 2 + 1) − 3. (𝑥 2 − 1) =

9) Resuelve los siguientes productos algebraicos. a) (3𝑥). (2𝑥) = b) 10𝑥 4 . (−5𝑥 3 ) = c) −4𝑥. 𝑥 3 = d) −6𝑥 5 . (−3𝑥 2 ) = 10) Resolver: 1

a) −2𝑥 . (− 3 𝑥 3 + 5𝑥 2 ) =

b) (6𝑥 3 − 3𝑥 2 + 12𝑥) . (−𝑥 2 ) = 4

c) (− 3 𝑥 2 + d) (3𝑥

12 𝑥 5

1 + ) (2𝑥 2

− 6) .

3 4 𝑥 4

=

− 3𝑥 2 ) =

e) (𝑥 3 − 𝑥 + 1)(𝑥 2 − 𝑥) = f)

2

(− 3 𝑥 + 𝑥 3 ) (2𝑥 − 3𝑥 2 + 1) =

11) Dados los siguientes polinomios: 𝑃(𝑥) = 2𝑥 2 − 3 𝑄(𝑥) = 5𝑥 + 1 𝑅(𝑥) = −6𝑥 3 + 2𝑥 2 + 7 Realiza: a) 𝑃(𝑥). 𝑄(𝑥) − 𝑅(𝑥) = b) 𝑅(𝑥) . [𝑄(𝑥) + 𝑃(𝑥)] = 12) Resuelve los siguientes cocientes algebraicos. a) 4𝑥 3 : 2𝑥 = b) 𝑥 4 : (−8𝑥 3 ) = c) −6𝑥 5 : (−3𝑥 2 ) = d) 7𝑥 8 : 4𝑥 3 = 13) Hallar el cociente y el resto de las siguientes divisiones. a) (2𝑥 − 3 + 2𝑥 4 ): (−2𝑥 + 𝑥 2 ) b) (5𝑥 3 − 4𝑥 − 3): (𝑥 2 − 𝑥) c) (2𝑥 5 + 𝑥 2 + 𝑥 4 − 3𝑥 3 ): (−𝑥 + 𝑥 3 + 1) d) (2𝑥 3 + 4𝑥 5 + 6 − 𝑥): (1 + 𝑥 2 ) e) (−2𝑥 6 − 6𝑥 + 𝑥 7 + 1): (𝑥 3 + 2𝑥) f)

(2𝑥 3 + 3𝑥 − 1): (𝑥 − 2)

g) (3𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2): (𝑥 + 1) h) (−24𝑥 − 𝑥 4 + 5): (𝑥 + 3) i)

(−𝑥 5 − 15𝑥 2 + 12𝑥 3 − 16): (𝑥 + 4)

j)

(−𝑥 + 𝑥 3 + 2): (𝑥 − 2) 2

14) Resolver los últimos cinco ítem´s del ejercicio anterior aplicando la regla de Ruffini y corroborando con el teorema del resto. 15) Calcular directamente el resto de las siguientes divisiones. a) (5𝑥 2 − 2𝑥 + 4): (𝑥 + 3) b) (−5 + 12𝑥 4 + 2𝑥 − 5𝑥 2 ): (−2 + 𝑥) c) (2𝑥 3 − 4𝑥 2 + 3): (𝑥 − 1) 3

d) (2 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 3) : (𝑥 + 2) 16) Encontrar aquel polinomio que al dividirlo por (𝑥 − 2), el cociente resulta (𝑥 2 + 2𝑥 + 3) y resto “8”. 17) Desarrollar la potencia de los siguientes polinomios. Recordar:  (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2  (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3. 𝑎2 . 𝑏 + 3. 𝑎. 𝑏 2 + 𝑏 3 a) (𝑥 + 5)2 = 1 2 2

b) (2𝑥 + ) = c) (𝑥 5 − 1)2 = 1

2

d) (𝑥 4 − 2 𝑥 3 ) = e) (4 + 𝑥)3 = f)

(5𝑥 − 2)3 =

g) (𝑥 5 − 1)3 = h) (−𝑥 − 2)3 = 18) Resolver las siguientes operaciones combinadas. a) (𝑥 + 1)2 + 2𝑥. (𝑥 − 3) + 3 = 1

b) (2𝑥 + 3). (−𝑥 2 ) + (𝑥 + 2)3 − 2 𝑥 = 19) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas aplicando la técnica “factor común” a) 4𝑥 2 − 8 = b) 5𝑥 4 − 20𝑥 3 = c) 𝑦 2 + 6𝑦 = d) 6𝑥 2 − 4𝑎 = e) 5𝑎 + 20𝑥 + 10 = f)

7𝑎𝑚 − 7𝑎𝑥 − 7𝑎𝑝 =

g)

1 2 𝑥 4

1 4

1 8

+ 𝑥3 + 𝑥4 =

3

20) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas aplicando la técnica “factor común por grupos” a) 𝑎𝑥 2 − 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 2 − 𝑏𝑦= b) 𝑥 5 − 2𝑥 4 − 3𝑥 + 6 c) 3𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 + 2 = d) 6𝑥 + 6𝑦 + 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = e) 𝑚2 + 𝑚𝑥 + 𝑚𝑏 + 𝑏𝑥 = f)

3𝑎2 + 3 + 𝑏𝑎2 + 𝑏 =

g) 𝑥 3 + 3𝑥 2 + 2𝑥 + 6 = h) 𝑥 3 + 𝑥 2 − 𝑥 − 1 = 21) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas aplicando la técnica “factor común” o “factor común por grupo” a) 24𝑥 5 + 18𝑥 4 − 30𝑥 2 = b) 4𝑥 3 + 2𝑥 2 + 6𝑥 + 3 = c) 𝑥 6 + 2𝑥 5 + 𝑥 4 + 2𝑥 3 + 2𝑥 + 4 = d)

15 4 𝑥 16

21

9

− 40 𝑥 3 − 28 𝑥 =

e) 𝑥 4 − 𝑥 3 + 𝑥 − 1 = f)

2𝑥 5 − 𝑥 4 + 6𝑥 3 − 3𝑥 2 + 8𝑥 − 4 =

22) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas aplicando la técnica “trinomio cuadrado perfecto” a) 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = b) 𝑎2 − 6𝑎 + 9 = c) 1 − 6𝑎 + 9𝑎2 = d) 𝑥 2 + 20𝑥 + 100 = e) 64𝑎2 − 80𝑎 + 25 = f)

𝑥 6 − 2𝑥 3 + 1 =

g) 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1 = h) 𝑥 6 + 4𝑥 3 + 4 = 9

i)

𝑥 2 + 3𝑥 + 4 =

j)

4 9

4

− 3 𝑥 + 𝑥2 =

23) Factorizar las siguientes expresiones algebraicas aplicando la técnica “diferencia de cuadrados” a) 𝑥 2 − 36 = b) 𝑎2 − 4 = c) 1 − 𝑦 2 = d) 4𝑥 2 − 25 = e) 1 − 49𝑎2 = f)

25𝑥 4 − 𝑦 6 =

g) 𝑥 4 − 81 = h) 𝑥 2 −

49 121

= 4