Planos Inclinados Ejemplo 1: Una caja de masa m se coloca sobre un plano inclinado que forma un ángulo θ con la horizontal. a) Determine la fuerza normal sobre la caja, b) determine la aceleración sobre la caja, c) evalúe lo anterior cuando m = 10 kg y θ = 30º.

APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON LA FUERZA DE FRICCIÓN Fuerza de Fricción Cinética

Fuerza de Fricción Estática

APLICACIONES DE LAS LEYES DE NEWTON LA FUERZA DE FRICCIÓN Fuerza de Fricción Cinética

r r F fr = µk FN

Fuerza de Fricción Estática

r r F fr ≤ µ s FN

Ejemplo 2: ¿Se puede sostener una caja contra una pared e impedir que resbale hacia abajo presionándola fuerte de manera horizontal?

Ejemplo 3: Un esquiador desciende a velocidad constante por una ladera inclinada 30º. ¿Qué puede decir acerca del coeficiente de fricción cinético?

Ejemplo 4: Una caja de masa m1 (10 kg) descansa sobre una superficie inclinada a 37° con respecto a la horizontal. La caja está conectada por una cuerda ligera, que pasa alrededor de una polea ideal, a una segunda caja de masa m2, que cuelga libremente. a) Si el coeficiente de fricción estática es µs 0.40, determine qué rango de valores para la masa m2 mantendrá al sistema en reposo. b) Si el coeficiente de fricción cinética es µk 0.30 y m2 10 kg, determine la aceleración del sistema.

Solución Ejemplo 1: a) Como la fuerza normal es perpendicular a las superficies en contacto, la misma solo tendrá componente en la dirección y. Además como la caja solo se mueve en la dirección x, la componente y de la fuerza neta debe ser nula r r r r

Fneta,y = Py + FN , y = 0 Las magnitudes deben cumplir:

0 = − mg cos (θ ) + FN

FN = mg cos (θ ) + Es decir, que la fuerza normal tiene la misma magnitud que la componente y de la fuerza peso, pero sentido opuesto. La normal no es la reacción de la componente y del peso, ya que ambas actúan sobre el mismo cuerpo. b) La fuerza neta solo tiene componente no nula en la dirección x

r r Fneta,x = Px Cuya magnitud es:

Fneta = mg sen (θ )

Por lo tanto la aceleración solo tendrá componente en la dirección x, que según la 2º Ley de Newton tiene magnitud:

a=

Fneta = g sen (θ ) m

c) Considerando m = 10 kg y θ = 30º.

m FN = mg cos (θ ) = 10 kg 9.8 2 cos ( 30º ) = 84.87 Nt s m m a = g sen (θ ) = 9.8 2 sen ( 30º ) = 4.9 2 s s Recuerde que la fuerza normal apunta en la dirección positiva de las y, mientras que la aceleración apunta en la dirección positiva de las x.

Solución Ejemplo 2: Sostener la caja significa que ésta se mantenga quieta y para cumplir esta condición la fuerza neta debe ser nula. En la dirección x (horizontal) la caja encuentra limitado su movimiento por la pared y por la mano. En la dirección y (vertical) el peso de la misma debe contrarrestarse para que la misma no caiga, debido a que la mano solo empuja en la dirección x, la única fuerza capaz de contrarrestar el peso es la fuerza de rozamiento. Esta fuerza es proporcional a la normal, es decir que mientras mayor sea la fuerza normal mayor será la fuerza de rozamiento y mayor será el peso que pueda soportar. Como la magnitud de la fuerza normal es igual a la fuerza conque se empuja hacia la pared la caja, entonces por eso debemos “apretar fuerte” contra la pared para que la fuerza de fricción no permita que se caiga la caja.

Solución Ejemplo 3: Para que un objeto se mueva a velocidad constante, la fuerza neta aplicada sobre el mismo debe ser nula (1º Ley de Newton). Sobre el esquiador actúan tres fuerzas: el peso, la normal y la fuerza de rozamiento. Entonces debe cumplirse:

r r r r FG + FN + F fr = 0

Si a esta suma vectorial la descomponemos en las direcciones x e y: mg sen ( 30º ) − Ffr = 0 en x: en y:

−mg cos ( 30º ) + FN = 0

Considerando que la magnitud de la fuerza de rozamiento es proporcional a la magnitud de la fuerza normal F = µ F fr

Las ecuaciones anteriores quedan

N

mg sen ( 30º ) − µ FN = 0 −mg cos ( 30º ) + FN = 0

Son dos ecuaciones con dos incógnitas, de donde puede obtenerse que

µ = tan ( 30º ) = 0.58

Este debería ser el coeficiente de fricción para que el esquiador descienda a velocidad constante.

Solución Ejemplo 4: a) Debido a que la fuerza de fricción sobre la masa 1 puede actuar en dos direcciones diferentes hay que plantear dos situaciones diferentes para esta masa. En un caso la fuerza de fricción es hacia abajo en la dirección del plano inclinado (x positivas) y el otro es para arriba (x negativas). Caso 1: Los diagramas de cuerpo libre para cada masa son los siguientes

‫ݕ‬

‫ݕ‬ ܶଶ ‫ݔ‬

݉ଶ

ܰ

ܶଵ

ܲଶ

݉ଵ

‫ܨ‬Ԧ௙௥ ‫ݔ‬ ܲଵ

Ahora, aplicamos la segunda ley de Newton a casa masa

ܲଶ + ܶଶ = ݉ଶ ܽԦଶ Donde

ܲଶ = 0; −݉ଶ ݃ ܶଶ = 0; ܶଶ

ܲଵ + ܶଵ + ‫ܨ‬Ԧ௙௥ + ܰ = ݉ଵ ܽԦଵ ܲଵ = ݉ଵ ݃ sen 37° ; −݉ଵ ݃ cos 37° ‫ܨ‬Ԧ௙௥ = ‫ܨ‬௙௥ ; 0 ܶଵ = −ܶଵ ; 0 ܰ = 0; ܰ

Debido a que ambos objetos deben permanecer quietos, las dos aceleraciones son nulas y separando en coordenadas las ecuaciones, −݉ଶ ݃ + ܶଶ = 0

݉ଵ ݃ sen 37° − ܶଵ + ‫ܨ‬௙௥ = 0 −݉ଵ ݃ cos 37° + ܰ = 0

Todas las cantidades en estas ecuaciones son positivas. Hay 3 ecuaciones con 5 incógnitas. Debido a que la cuerda no se estira y las suponemos de masa despreciable (nula, matemáticamente hablando), las magnitudes de las tensiones sobre la misma cuerda deben ser iguales ܶ = ܶଵ = ܶଶ . −݉ଶ ݃ + ܶ = 0

݉ଵ ݃ sen 37° − ܶ + ‫ܨ‬௙௥ = 0

−݉ଵ ݃ cos 37° + ܰ = 0

Ahora son 3 ecuaciones con 4 incógnitas. Necesitamos una suposición más, y será sobre la fuerza de fricción. Pero antes despejemos ݉ଶ en función de la fuerza de fricción usando las primeras dos ecuaciones ݉ଵ ݃ sen 37° + ‫ܨ‬௙௥ ܶ ݉ଶ = = ݃ ݃

Note que a mayor fuerza de fricción mayor puede ser la magnitud de ݉ଶ para que ݉ଵ no suba por el plano inclinado. La magnitud de la fuerza de fricción estática puede variar entre 0 y ߤ௦ ܰ.

Si fuese 0:

݉ଶ =

Si fuese ߤ௦ ܰ:

݉ଵ ݃ sen 37° ݃

= 6.02 ݇݃

݉ଵ ݃ sen 37° + ߤ௦ ܰ ݉ଵ ݃ sen 37° + ߤ௦ ݉ଵ ݃ cos 37° ݉ଶ = = ݃ ݃ ݉ଶ = ݉ଵ sen 37° + ߤ௦ cos 37°

= 9.21 ݇݃

Es decir, para que ݉ଵ no ascienda por el plano inclinado el valor de ݉ଶ debe estar entre 6.02 kg y 9.21 kg. Es obvio que por debajo de 6.02 kg no subirá, pero que tan poco puede valer ݉ଶ para que ݉ଵ n o caiga por el plano inclinado hay que plantear la situación en donde la fuerza de fricción apunta hacia arriba del plano inclinado. Caso 2: Los diagramas de cuerpo libre para cada masa son los siguientes

‫ݕ‬

‫ݕ‬ ܶଶ

ܶଵ ‫ݔ‬

݉ଶ ܲଶ

‫ܨ‬Ԧ௙௥

ܰ

݉ଵ ‫ݔ‬ ܲଵ

Siguiendo el mismo razonamiento que el caso anterior, a única fuerza que cambió es la fuerza de rozamiento, ahora es: ‫ܨ‬Ԧ = −‫ ; ܨ‬0 ௙௥

௙௥

Que luego de igualar las magnitudes de las tensiones hará que las ecuaciones en componentes provenientes de aplicar la 2º ley de Newton con las aceleraciones nulas serán: −݉ଶ ݃ + ܶ = 0

݉ଵ ݃ sen 37° − ܶ − ‫ܨ‬௙௥ = 0

−݉ଵ ݃ cos 37° + ܰ = 0

Despejando ݉ଶ en función de la fuerza de fricción: ݉ଶ =

݉ଵ ݃ sen 37° − ‫ܨ‬௙௥ ݃

Nuevamente, la magnitud de la fuerza de fricción estática puede variar entre 0 y ߤ௦ ܰ. ݉ଵ ݃ sen 37° Si fuese 0: ݉ଶ =

Si fuese ߤ௦ ܰ:

݉ଶ =

݃

= 6.02 ݇݃

݉ଵ ݃ sen 37° − ߤ௦ ܰ = ݉ଵ sen 37° − ߤ௦ cos 37° ݃

= 2.82 ݇݃

Es decir, para que ݉ଵ no descienda por el plano inclinado el valor de ݉ଶ debe estar entre 6.02 kg y 2.82 kg. Entonces, para que el sistema se mantenga quieto 2.82 ݇݃ ≤ ݉ଶ ≤ 9.21 ݇݃

b) En este caso note que el valor de ݉ଶ es mayor que el obtenido en el ítem anterior para que el sistema no se mueva en sentido horario. Por lo tanto ݉ଵ subirá por el plano inclinado ya que la fuerza de rozamiento estática no será suficiente para sostener inmóvil al sistema. Las aceleraciones no son nulas y las ecuaciones de la 2º ley de Newton serán:

ܲଶ + ܶଶ = ݉ଶ ܽԦଶ ܲଶ = 0; −݉ଶ ݃ ܽԦଶ = 0; −ܽଶ ܶଶ = 0; ܶଶ

ܲଵ + ܶଵ + ‫ܨ‬Ԧ௙௥ + ܰ = ݉ଵ ܽԦଵ ܲଵ = ݉ଵ ݃ sen 37° ; −݉ଵ ݃ cos 37° ܶଵ = −ܶଵ ; 0 ܰ = 0; ܰ ܽԦଵ = −ܽଵ ; 0

Como el sistema se moverá en sentido horario valen los diagramas de cuerpo libre del caso 1, pero ahora la fuerza de fricción es cinética e igual a

‫ܨ‬Ԧ௙௥ = ߤ௞ ܰ; 0

Además el sistema se mueve como un todo, es decir, la cuerda no se estira ni se acorta, por lo tanto la magnitud de las tensiones en la cuerda deben ser iguales ܶ = ܶଵ = ܶଶ y también la magnitud de las aceleraciones deben ser iguales ܽ = ܽଵ = ܽଶ , las ecuaciones quedan expresadas −݉ଶ ݃ + ܶ = −݉ଶ ܽ −݉ଵ ݃ cos 37° + ܰ = 0 ݉ଵ ݃ sen 37° − ܶ + ߤ௞ ܰ = −݉ଵ ܽ

Como

݉ଵ ݃ sen 37° − ܶ + ߤ௞ ܰ = −݉ଵ ܽ

ܰ = ݉ଵ ݃ cos 37°

Puede escribirse

ܶ = ݉ଵ ݃ sen 37° + ߤ௞ ܰ + ݉ଵ ܽ ܶ = ݉ଵ ݃ sen 37° + ߤ௞ ݉ଵ ݃ cos 37° + ݉ଵ ܽ ܶ = ݉ଵ ݃ sen 37° + ߤ௞ cos 37°

Con la primera ecuación

+ ݉ଵ ܽ

−݉ଶ ݃ + ܶ = −݉ଶ ܽ

Restando miembro a miembro ݉ଶ ݃ = ݉ଵ ݃ sen 37° + ߤ௞ cos 37° ݉ଶ ݃ − ݉ଵ ݃ sen 37° + ߤ௞ cos 37°

+ ݉ଵ ܽ + ݉ଶ ܽ

= ݉ଵ + ݉ଶ ܽ

Despejando la aceleración ܽ=

݉ଶ ݃ − ݉ଵ ݃ sen 37° + ߤ௞ cos 37° ݉ଵ + ݉ଶ

= 0.079 ݃ = 0.78

݉ ‫ݏ‬ଶ

Note que la aceleración del sistema está por debajo de la aceleración de la gravedad.