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Guía Matemática ´ PER´IMETRO Y AREA tutora: Jacky Moreno
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1.
Per´ımetro y ´ area de figuras planas
Los registros m´ as antiguos que se tienen del campo de la geometr´ıa corresponden a la cultura mesopot´ amica, quienes entre los a˜ nos 1600 y 1800 a.C ya manejaban una noci´ on de lo que es el per´ımetro y el ´area de figuras planas como los rect´ angulos y tri´ angulos. El desarrollo de su geometr´ıa iba ligado directamente a la necesidad pr´ actica de medir, principalmente sus terrenos. Actualmente, el per´ımetro hace referencia al contorno que tienen las figuras y el ´area a la medida de la superficie que encierra cada figura plana. A continuaci´ on estudiaremos como calcular el per´ımetro y el ´area de distintas figuras geom´etricas planas vistas anteriormente:
1.1.
Paralelogramos
De acuerdo a lo ya estudiado, los paralelogramos son cuadril´ateros que se pueden clasificar en cuadrados, rect´angulos, rombos y romboides. A partir de las caracter´ısticas particulares que tiene cada una de ´estas figuras estudiaremos como calcular su per´ımetro y su ´area respectivamente. 1.1.1.
Cuadrado
Como sabemos, el cuadrado posee sus cuatros lados de igual medida, por lo tanto para calcular su per´ımetro basta con multiplicar por 4 la medida de cualquiera de sus lados. Pcuadrado = a + a + a + a = 4a
En el caso que deseemos determinar alguna expresi´on para calcular el ´area de un cuadrado debemos considerar que el ´ area de cualquier figura plana se mide en unidades como cm2 o m2 , lo que se puede representar mediante un cuadrado cuyo lado mide 1 unidad de longitud. Es por esto, que para determinar el ´area de un cuadrado, en este caso, debemos averiguar cuantas veces la superficie de este contiene un cuadrado unitario en la medida correspondiente. De esta forma para calcular el ´ area de un cuadrado de lado 5, debemos dividiri interiormente la figura en cuadrados unitarios tal como se muestra a continuaci´on:
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Por lo tanto, como el cuadrado fue dividido en 25 cuadrados unitarios, significa que el ´area es de 25, valor que corresponde a la multiplicaci´ on de dos de sus lados. En general, para determinar el ´ area de cualquier cuadrado de lado a debemos acudir a la expresi´on: ´ cuadrado = a · a = a2 A
Desaf´ıo 1 ¿C´ omo var´ıa el ´ area de un cuadrado si su diagonal aumenta a la mitad? Respuesta
- Ejercicios
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1. ¿Cu´al es la raz´ on entre el per´ımetro final e inicial de un cuadrado si se disminuye a la cuarta parte la medida de sus lados? 2. ¿Cu´al es la raz´ on entre el ´ area final e inicial de un cuadrado si se triplico la medida de sus lados?
1.1.2.
Rect´ angulo
Como sabemos, el rect´ angulo posee 2 pares de lados con igual medida, por lo tanto para determinar su per´ımetro basta con sumar las medidas de sus dos lados diferentes y multiplicarla por dos. Prect´angulo = a + a + b + b Prect´angulo = 2a + 2b Prect´angulo = 2(a + b)
Para determinar el ´ area de un rect´ angulo, debemos proceder de la misma manera que en el cuadrado, es decir, dividimos el rect´ angulo en cuadrados unitarios tal como se muestra en la figura:
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De esta manera, al tener un rect´ angulo de lados 5 y 10, tenemos que se formaron 50 cuadrados unitarios, por lo que se ´ area es igual a 50. Este n´ umero es equivalente a multiplicar la medida de los dos lados distintos que tiene el rect´ angulo. Por lo tanto, para calcular el ´area A de un rect´angulo de lados a y b debemos acudir a la siguiente expresi´ on: Arect´angulo = a · b
Desaf´ıo 2 ¿Cu´ al de todos los rect´ angulos de 72 [m2 ] que se pueden formar tiene el menor per´ımetro? Respuesta
- Ejercicios
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1. ¿C´omo var´ıa el ´ area de un rect´ angulo si la medida del lado menor se duplica y la medida del lado mayor se disminuye a la mitad? 2. ¿C´omo var´ıa el per´ımetro de un rect´angulo si la medida del lado mayor se triplica y la medida del lado menor se mantiene constante?
1.1.3.
Rombo
En el caso del rombo, al igual que con el cuadrado, todos sus lados tienen la misma medida por lo que el per´ımetro se determina de la misma manera. Prombo = a + a + a + a = 4a
Ahora bien, si deseamos calcular el ´ area de un rombo, lo que haremos es transformarlo a una figura que ya sepamos como determinar su ´ area, en este caso transformaremos el rombo a un rect´angulo moviendo dos de los 4 tri´angulos congruentes que se forman a partir del trazo de sus dos diagonales d1 y d2 :
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A partir del dibujo, podemos ver que el ´area de un rombo corresponde al ´area de un rect´angulo que tiene como lados una de las diagonales completas y la mitad de la otra diagonal. En base a esto, el ´ area de un rombo cuyas diagonales son d1 y d2 , queda determinada por la expresi´on: Arombo = 1.1.4.
d1 · d2 2
Romboide
En el caso del romboide, al igual que con el rect´angulo, tiene dos pares de lados con la misma medida, por lo que el per´ımetro se determina de la misma manera. Promboide = 2(a + b)
Si deseamos determinar el ´ area de un romboide lo que haremos es transformarlo en una figura cuya ´area ya sabemos calcular, en este caso a un rect´angulo, tal como se muestra a continuaci´on:
A partir de la transformaci´ on realizada, el ´area de un romboide equivale al ´area de un rect´ angulo cuyos lados corresponden a la altura y a la base del romboide. De acuerdo a lo anterior, el ´area de un romboide de altura h y lados a y b queda determinado por la siguiente expresi´on: A romboide = base · altura A romboide = b · h
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open green road 1.2.
Trapecios
Para cacular el per´ımetro de cualquier trapecio basta con sumar la medida de sus cuatro lados. Ptrapecio = a + b + c + d
Como lo hemos estado haciendo, para calcular el ´area de un trapecio debemos transformarlo en otra figura tal que conozcamos su ´ area, en este caso lo transformaremos a un romboide como se muestra a continuaci´on:
A partir de la transformaci´ on realizada, el ´area de un trapecio equivale a la mitad del ´area de un romboide, en donde la altura equivale a la altura del trapecio original y la base corresponde a la suma de las bases del trapecio original. De esta forma, el ´area de un trapecio de altura h y lados basales a y c queda determinada por la expresi´ on: Atrapecio =
base · altura 2
Atrapecio =
(a + c) · h 2
- Ejercicios
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1. ¿Cu´al es la raz´ on entre el ´ area inicial y final de un trapecio si uno de sus lados basales disminuye a la mitad? 2. ¿Cu´al es la raz´ on entre el ´ area inicial y final de un trapecio si la altura se triplica? 3. ¿C´omo var´ıa el per´ımetro de un trapecio si sus lados laterales disminuyen a su quinta parte?
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open green road 1.3.
Deltoide
Un deltoide, como ya vimos, es un tipo de trapezoide que tiene dos pares de lados con la misma medida, por lo tanto para determinar su per´ımetro debemos procedes de la misma manera que en el caso de un rect´angulo: Pdeltoide = a + a + b + b Pdeltoide = 2a + 2b Pdeltoide = 2(a + b)
Si deseamos determinar el ´ area de un deltoide transformaremos esta figura a un rect´angulo, ya que sabemos que su ´ area corresponde a la multiplicaci´on de los distintos lados. Para realizar la transformaci´ on del deltoide procedemos como se muestra a continuaci´on:
A partir del dibujo, podemos ver que el ´area de un deltoide corresponde al ´area de un rect´angulo que tiene como lados una de las diagonales completas y la mitad de la otra diagonal. En base a esto, el ´ area de un deltoide con diagonales d1 y d2 queda determinada por la expresi´on: Adeltoide =
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d1 · d2 2
open green road 1.4.
Tri´ angulos
Para determinar el per´ımetro de cualquier tri´angulo debemos sumar la medida de sus tres lados. P tri´angulo = a + b + c
Al trazar alguna de las diagonales en un paralelogramo se puede formar cualquier tipo de tri´ angulo independiente de la medida de sus ´ angulos.
Como vemos, al dibujar la diagonal, se forman dos tri´angulos que son congruentes, es decir, dividimos la superficie del paralelogramo en dos ´ areas con igual medida. Bas´andonos en esto, podemos decir que el ´area de un tri´angulo corresponder´ a a la mitad del ´area que tiene el paralelogramo.
De acuerdo a lo anterior, el ´ area de un tri´angulo queda definida por la expresi´on: A tri´angulo =
base · altura 2
A tri´angulo =
b·h 2
Desaf´ıo 3 ¿Es cierto que si un tri´ angulo tiene su per´ımetro mayor que otro tri´angulo, entonces su ´ area tambi´en es mayor? Respuesta
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open green road 1.4.1.
Tri´ angulo Equil´ atero
Como sabemos, los tri´ angulos equil´ ateros tienen sus tres lados de igual medida, por lo tanto para determinar su per´ımetro basta con multiplicar por 3 cualquiera de los lados. P4equil´atero = a + a + a = 3a
La expresi´on antes vista para determinar el ´area de un tri´angulo se puede modificar de manera tal que dependa u ´nicamente de la medida del lado de un tri´angulo equil´atero. Sea 4ABC un tri´ angulo equil´ atero de lado a. Apliquemos el teorema de Pit´agoras en el tri´ angulo rect´angulo 4BDC para obtener la medida del cateto CD que corresponde a la altura del tri´ angulo inicial: (Hipotenusa)2 = (Cateto)2 + (Cateto)2 (CB)2 = (CD)2 + (DB)2 a 2 a2 = h2 + 2 2 a h2 = a2 − 4 2 3a h2 = 4 √ a 3 h= 2 Si sustituimos el valor de la altura en la expresi´on general para calcular el ´area de un tri´ angulo, obtendremos la expresi´ on que determina expl´ıcitamente el ´area de un tri´angulo equil´atero: base · altura √2 a 3 a· 2 = 2 √ a2 3 = 2·2
A4equil´atero =
A4equil´atero A4equil´atero
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A4equil´atero
√ a2 3 = 4
- Ejercicios
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1. ¿C´omo var´ıa el ´ area de un tri´ angulo equil´atero si su lado disminuye a la mitad? ¿Y si el lado se triplica? 2. ¿Cu´al es la raz´ on entre el ´ area inicial y final de un tri´angulo rect´angulo si uno de sus catetos disminuye a la sexta parte? 3. ¿Qu´e sucede con el ´ area de un tri´ angulo is´osceles si su base se duplica?
1.5.
Pol´ıgono Regular
Como bien sabemos, los pol´ıgonos regulares son aquellos que tienen todos sus lados de la misma medida, por lo tanto para determinar el per´ımetro de un pol´ıgono regular debemos multiplicar la medida de uno de sus lados por la cantidad de lados que tienen el pol´ıgono, de esta forma si n representa la cantidad de lados del pol´ıgono y a la medida de uno de ellos entonces: Ppol´ıgono regular = n · a
En el caso que queramos calcular el ´ area de un pol´ıgono regular de n lados, debemos darnos cuenta de que cualquiera de estas figuras se pueden dividir interiormente en n tri´angulos is´osceles congruentes. En base a esto, para determinar el ´ area del pol´ıgono, basta con calcular el ´area de uno de esos tri´ angulos y multiplicarlo por la cantidad de lados. Para determinar el ´ area de uno de esos tri´angulos debemos multiplicar la base por su altura y dividirla en dos. En el caso de un pol´ıgono regular, la altura del tri´angulo corresponde a la distancia perpendicular desde el centro del pol´ıgono a uno de sus lados, esta distancia es denominada apotema y se simboliza con la letra ρ.
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De acuerdo a lo anterior, si tenemos un pol´ıgono regular de n lados que miden a cada uno, el ´ area queda determinada por la siguiente expresi´on: Apol´ıgono regular =
a·ρ ·n 2
- Ejercicios
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1. ¿C´omo var´ıa el ´ area de un pol´ıgono regular si su apotema se disminuye a la mitad? 2. ¿Que sucede con el ´ area de un pol´ıgono regular si el n´ umero de lados se duplica? ¿Y si se cuadruplica?
1.6.
C´ırculo
Para determinar el per´ımetro de un c´ırculo o bien, la longitud de una circunferencia de igual radio, debemos multiplicar la medida de su di´ ametro por una magnitud irracional constante llamada π, cuyo valor aproximado es de 3, 141592 . . . y que corresponde a la raz´on entre el per´ımetro de un c´ırculo y su di´ ametro. De acuerdo a lo anterior, el per´ımetro de un c´ırculo de radio r queda determinado por la expresi´ on: Pc´ırculo = 2 · π · r
Ahora bien, si deseamos calcular el ´ area de un c´ırculo, una buena aproximaci´on ser´ıa pensar que corresponde a la superficie de un pol´ıgono regular cuyo n´ umero de lados en tan grande que podr´ıa tender al infinito (ver figura).
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Si nos apoyamos en la idea anterior, el ´area de un pol´ıgono regular es a·ρ 2 · n , lo cual se puede inpor la apotema (ρ). En el caso de un terpretar como la mitad del per´ımetro del pol´ıgono regular a·n 2 c´ırculo de radio r, la mitad de su per´ımetro ser´ıa π · r y la apotema corresponder´ıa al radio r. A partir de lo esto, podemos decir que el ´area de un c´ırculo de radio r est´a determinada por la siguiente expresi´on: Apol´ıgono regular = mitad del per´ımetro · apotema A c´ırculo = mitad del per´ımetro · radio 2·π·r A c´ırculo = ·r 2 A c´ırculo = (π · r) · r A c´ırculo = π · r2
- Ejercicios
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1. ¿Cu´al es la raz´ on entre el per´ımetro inicial y final de un c´ırculo si su di´ametro se triplica? 2. ¿Cu´al es la raz´ on entre el ´ area inicial y final de un c´ırculo si su di´ametro disminuye a su cuarta parte?
. Ejemplo Calcule el ´area de la regi´ on sin achurar si el lado del cuadrado mide 40 [cm].
Soluci´ on: Si dividimos la figura por la mitad se forman dos rect´angulos congruentes con las siguientes medidas:
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Para determinar el ´ area sin achurar de la mitad de la figura, debemos calcular el ´area del rect´ angulo y restarle el ´area del sector circular y del tri´angulo rect´angulo que hay dibujado en su interior. En base a esto tenemos lo siguiente: A rect´angulo = 20[ cm] · 40[ cm] A rect´angulo = 800[ cm2 ] π · (20[ cm])2 4 = 100 π[ cm2 ]
A sector circular = A sector circular
20[ cm] · 20[ cm] 2 = 200[ cm2 ]
A tri´angulo = A tri´angulo En base a lo anterior:
A sin achurar = 2 (A rect´angulo − A sector circular − A tri´angulo ) A sin achurar = 2 (800[ cm2 ] − 100 π[ cm2 ] − 200[ cm2 ]) A sin achurar = 100 (12 − π)[ cm2 ]
- Ejercicios
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Resolver los siguientes ejercicios. 1. Calcule el ´ area de la regi´ on sombreada si el lado del cuadrado mide 8 [cm].
2. En la figura, E y F son puntos medios de dos lados del cuadrado ABCD. ¿Cu´anto mide el ´ area y el per´ımetro de la figura achurada?
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3. ¿Cu´al es la raz´ on entre la ´ area sombreada y el ´area sin achurar si el lado del cuadrado mide 6 [cm]?
4. En el rect´ angulo de la figura, E y F son puntos medios de los lados AD = 40 [cm] y BC = 20 [cm] respectivamente. Si con centro en E se traza un sector circular de radio BE y con centro en F se traza otro sector circular con radio F D, ¿cu´anto mide el per´ımetro y ´area achurada?
5. ¿Cu´al es el per´ımetro y el ´ area de la figura sombreada si el lado del tri´angulo equil´atero es de 20 [cm]?
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open green road 6. En la figura el 4ABC es is´ osceles rect´angulo de lado 4 [cm]. A partir del v´ertice A se construye un sector circular de radio AB y sobre la hipotenusa se construye un semic´ırculo con radio OB tal que CB = 2OB. Calcule: a) El per´ımetro de la figura sombreada. b) La raz´ on entre el ´ area de la figura sombreada y la superficie no sombreada.
7. ¿Cu´al es el per´ımetro y ´ area de la superficie sombreada si en un c´ırculo de radio 5 [cm] est´a inscrito un pent´agono de lado 3 [cm]?
8. Si ABCD es un cuadrado y 4ABE es equil´atero. ¿Cu´al es la raz´on entre el ´area achurada y el ´ area sin achurar?
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open green road 9. En la figura, O es centro de la circunferencia de radio 10 [cm] y BC es tangente a la circunferencia en el punto A. ¿Cu´ anto mide el ´ area sombreada si AC = AB = OA?
10. En la figura se tienen 9 circunferencias tangentes de radio 5. a) ¿Cu´al es el per´ımetro y el ´ area de la figura formada al unir los centros de las 8 circunferencias exteriores? b) ¿Cu´al es el per´ımetro y el ´ area del tri´angulo que se forma al unir los centros de las 3 circunferencias que est´ an en el centro de la figura?
11. Si OABC es un cuadrado y O es el centro del c´ırculo de radio 14 [cm], ¿cu´al es la raz´on entre el ´ area del cuadrado y el ´ area del c´ırculo?
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open green road 12. En la figura, los puntos O, O1 y O2 corresponden a los centros de las circunferencias tangentes. Si sus radios est´ an en la raz´ on 5 : 3 : 1. ¿Cu´al es el per´ımetro de la figura formada al unir los puntos O, O1 y O2 ?
13. Determinar el ´ area de la figura sombreada si el lado del cuadrado mide 7 [cm].
14. ¿Cu´al es el per´ımetro y el ´ area de la figura sombreada si el radio del c´ırculo mayor mide 16 [cm]?
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Desaf´ıos resueltos 3 Desaf´ıo I: Primero debemos hallar alguna expresi´on que me relacione el ´area del cuadrado con su diagonal. Sea a el lado del cuadrado y d su diagonal, aplicando el teorema de pitag´oras a uno de los tri´angulos formados al traza la diagonal tenemos lo siguiente: a2 + a2 = d2 2a2 = d2 √ a 2=d d a= √ 2 √ d 2 a= 2 Como el ´area del cuadrado es a2 tenemos que: A cuadrado = a2 √ !2 d 2 2
A cuadrado = A cuadrado =
2d2 4
A cuadrado =
d2 2
Por lo tanto si aumentamos la diagonal al doble el ´area del cuadrado se cuatriplica ya que: A inicial =
d2 2
(2d)2 2 4d2 = 2 = 4 · A inicial
A final = A final A final Volver
3 Desaf´ıo II: Primero debemos hallar que n´ umeros multiplicados me dan 72 para poder obtener todas las combinaciones de lados posibles. 72 = 1 · 72 72 = 2 · 36 72 = 3 · 24 72 = 4 · 18 72 = 6 · 12 72 = 8 · 9
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open green road Luego vemos que suma de factores es la menor para as´ı decir que esos lados corresponden al rect´ angulo con menor per´ımetro. En este caso 8 + 9 = 17 es la menor suma, por lo tanto el rect´angulo con menor per´ımetro es el que tiene sus lados iguales a 8[m] y 9[m]. Volver 3 Desaf´ıo III: Es falso ya que no siempre se cumple. Por ejemplo, basemos en los dos tri´angulos de acontinuaci´ on:
Para el tri´ angulo 1 tenemos las siguientes medidas:
5 · 12 = 5 · 6 = 30 2
A1 =
P1 = 5 + 12 + 13 = 30 Para el tri´ angulo 2 tenemos las siguientes medidas:
A2 =
5·8 = 5 · 4 = 20 2
P2 = 17 + 20 + 5 = 42 Por lo tanto tenemos que P1 < P2 pero A1 > A2 . Volver
Bibliograf´ıa ´ n PSU Matema ´ tica, Quinta Edici´ [1 ] Manual de preparacio on, Oscar Tap´ıa Rojas, Miguel Ormaz´ abal D´ıaz-Mu˜ noz, David L´ opez, Jorge Olivares Sep´ ulveda. ´ tico, La circunferencia y el c´ırculo, No 15, [2 ] Desarrollo del pensamiento matema Marzo 2007, Mart´ın Andonegui Zabala. ´ tico, Cuadrila ´ teros y otros pol´ıgonos, No 14, [3 ] Desarrollo del pensamiento matema Abril 2006, Mart´ın Andonegui Zabala. ´ tico, Pol´ıgonos. Tria ´ ngulos, No 13, Noviembre [4 ] Desarrollo del pensamiento matema 2006, Mart´ın Andonegui Zabala.
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