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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

SERIE DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS Universidad de Antioquia Facultad de Educación Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia

Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia

Módulo 1

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos Aníbal Gaviria Correa Gobernador de Antioquia Claudia Patricia Restrepo Montoya Secretaria de Educación para la Cultura de Antioquia Libardo Enrique Álvarez Castrillón Director de Fomento a la Educación con Calidad Autores Gilberto Obando Zapata María Denis Vanegas Vasco Norma Lorena Vásquez Lasprilla Comité Académico Oscar Gallo Jesús María Gutiérrez Mesa Carlos Mario Jaramillo Orlando Monsalve John Jairo Múnera Gilberto Obando Zapata Fabián Posada Balvin María Denis Vanegas Vasco

UNIVERSIDAD DE ANTIOQUIA

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

PENDIENTE ISBN

Módulo 1 Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos © Gilberto Obando Zapata y otros autores. © De esta edición: Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia ISBN: XXX-XX-XXXX-X Tiraje: 3.500 ejemplares Primera edición, 2006. Gobernación de Antioquia. Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia Dirección de Fomento a la Educación con Calidad. www.seduca.gov.co Email: [email protected]. c o Diseño, diagramación e impresión: Editorial Artes y Letras Ltda. Medellín, Colombia 2006

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Contenido INTRODUCCIÓN ........................................................................................................................... 9

Unidad No.1 NÚMEROS NATURALES ................................................................................ 17 EL CONTEO Y EL APRENDIZAJE DEL NÚMERO NATURAL .................................................................. 17 LA INTERACCIÓN SOCIAL Y LOS PRIMEROS APRENDIZAJES NUMÉRICOS ...................................... 18 EL CONTEO Y LAS ESTRATEGIAS PARA OPERAR A TRAVÉS DE EL CONTEO ................................... 20 ESTÁNDARES RELACIONADOS CON LA UNIDAD N°1 .......................................................................... 22 SITUACIÓN N° 1: JUGANDO Y CONTANDO ............................................................................................ 23 Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... 23 Gestión de las actividades ................................................................................................................... 25

Unidad No.2 NÚMEROS ENTEROS .................................................................................... 31 REFERENTES CONCEPTUALES ................................................................................................................ ALGUNAS DIFICULTADES EN EL APRENDIZAJE DE LOS NÚMEROS ENTEROS ................................. ALGUNOS APUNTES DESDE LA HISTORIA ............................................................................................. ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................... SITUACIÓN Nº1 PREPARANDO EL CAMINO .......................................................................................... Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Gestión de las actividades ................................................................................................................... SITUACIÓN Nº2 MEDIDAS Y VARIACIONES ............................................................................................ Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Gestión de la situación ......................................................................................................................... SITUACIÓN 3: EN EL CAMINO DE LAS OPERACIONES. ........................................................................ Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Gestión de la situación ......................................................................................................................... SITUACIÓN 4: SUMANDO POSITIVOS Y NEGATIVOS ............................................................................. Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Gestión de la situación .........................................................................................................................

31 31 32 36 36 36 37 41 41 42 44 44 45 48 48 49

Unidad No.3 NÚMEROS RACIONALES ............................................................................. 55 INTRODUCCIÓN ......................................................................................................................................... LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO RACIONAL: ALGUNOS PROBLEMAS EN LA ENSEÑANZA ACTUAL ........................................................................................................................ TRABAJO CENTRADO EN LA PARTICIÓN Y EL CONTEO ..................................................................... EL TRATAMIENTO DEL TIPO DE MAGNITUD Y DE UNIDAD ................................................................. ÉNFASIS EN LA MECANIZACIÓN DE REGLAS Y ALGORITMOS .......................................................... LA ENSEÑANZA DEL NÚMERO RACIONAL: NUEVOS ÉNFASIS .......................................................... LOS NÚMEROS RACIONALES COMO MEDIDA ...................................................................................... LOS NÚMEROS RACIONALES COMO FRACCIÓN DECIMAL ................................................................

55 56 56 58 59 60 63 65

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LOS NÚMEROS RACIONALES COMO COCIENTES INDICADOS ........................................................... LOS NÚMEROS RACIONALES COMO PUNTOS EN LA RECTA NUMÉRICA ......................................... ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................... SITUACIÓN 1 .............................................................................................................................................. Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Procedimientos esperados e indicadores de valoración .................................................................... Gestión de la situación ......................................................................................................................... SITUACIÓN 2: ESTABLECIENDO RELACIONES PARTE - TODO ............................................................. Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Procedimientos esperados e indicadores de valoración .................................................................... Gestión de la situación ......................................................................................................................... SITUACIÓN 3: SOBRE EL CAMINO DE OTRAS INTERPRETACIONES DE LOS RACIONALES ............. Conceptos y procedimientos ............................................................................................................... Procedimientos esperados e indicadores de valoración .................................................................... Gestión de la situación .........................................................................................................................

69 70 72 74 74 75 77 82 82 84 85 93 93 93 94

Unidad No.4 SITUACIONES ADITIVAS ............................................................................. 97 REFERENTES CONCEPTUALES ................................................................................................................ 97 LAS ESTRUCTURAS ADITIVAS ................................................................................................................ 102 ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................. 109 SITUACIÓN 1: SOBRE LOS PROBLEMAS DE ADICIÓN ......................................................................... 109 Conceptos y procedimientos ............................................................................................................. 109 SITUACIÓN 2: JUGANDO ....................................................................................................................... 117 Conceptos y procedimientos ............................................................................................................. 117

Unidad No.5 DE LA MULTIPLICACIÓN A LA PROPORCIONALIDAD ........................ 121 MULTIPLICACIÓN Y PROPORCIONALIDAD EN LA EDUCACIÓN BÁSICA ........................................ SOBRE LA MULTIPLICACIÓN ................................................................................................................. SOBRE LA PROPORCIONALIDAD ........................................................................................................... LA MULTIPLICACIÓN Y LA PROPORCIONALIDAD SIMPLE DIRECTA ............................................... ESTÁNDARES RELACIONADOS ............................................................................................................. SITUACIÓN 1: SITUACIONES PARTICULARES ......................................................................................

121 121 122 122 128 128

BIBLIOGRAFÍA ......................................................................................................................... 135

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Agradecimientos La Secretaría de Educación para la Cultura de Antioquia y la Facultad de Educación de la Universidad de Antioquia, agradecen la labor de coordinación del Diploma: Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia a su equipo técnico, a todos los docentes que participaron de él, y en particular, a las siguientes personas e instituciones educativas que hicieron posible llevarlo a feliz término: • Integrantes de la Mesa Departamental de Matemáticas. • Rectores de las Instituciones Educativas donde laboran los docentes integrantes de la Mesa Departamental de Matemáticas. • A los docentes del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia por la lectura y sugerencias. • Al comité académico del Diploma en Desarrollo de Competencias Básicas en Matemáticas en la Educación Básica y Media del Departamento de Antioquia por el trabajo realizado en pro de esta obra.

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Introducción

Los números en la vida cotidiana pueden ser usados de muchas maneras: como secuencia verbal, para cuantificar, para medir, para expresar un orden, para etiquetar, para marcar una locación, o simplemente como una tecla para pulsar (en el caso de las calculadoras), (MEN, 1998; Decorte, Verschafel, 1996).

Los números como secuencia verbal Esta es quizás una de las primeras identificaciones que el niño hace con respecto al número. Desde una edad muy temprana, cuando se inicia el desarrollo del lenguaje, los niños comprenden que existen palabras para referirse a las cosas o las acciones, y otras palabras especiales con las cuales referirse a la acción de contar1. No quiere decir esto que los niños en esos momentos iniciales sepan contar, sino que identifican la existencia de palabras para referirse a dicha acción en especial. Esta iniciación al uso de las palabras números cumple una funcionalidad muy importante en el aprendizaje del conteo: de un lado, permite que los niños aprendan las palabras número, y de otro, con la orientación del adulto, interiorizan el orden en que ellas deben ser aprendidas. Si bien pronunciar las palabras número no es contar en el sentido estricto de la palabra, conocer las palabras y su orden convencional es uno de los aspectos claves en su aprendizaje. Además, cuando este aprendizaje se hace unido a las acciones mismas de contar, y no solo a partir de acción de repetir las palabras número como si se tratara de una canción o un retahíla de palabras, éstas palabras número se aprenden en contexto y con significado, lo que hace más fácil los aprendizajes posteriores con respecto a la cardinalidad, la ordinalidad y demás aspectos estructuran el concepto de número.

Los números para etiquetar Los números como etiquetas tienen varios sentidos: de un lado puede identificar cierto uso que da el niño a las palabras número cuando está en proceso de apren_____________________________________________________ 1

Así, hacia los dos años, los niños usan algunas palabras, como por ejemplo: uno tres cinco, etc., para referirse a acciones que indiquen contar, y cuando se les pide contar, no usan otras palabras como, gato, perro, etc., que son comunes en su vocabulario.

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der a contar, pero de otro, puede referirse al uso del número como código de identificación de personas, objetos, funciones etc. Cuando el niño inicia el aprendizaje del conteo, una etapa inicial del proceso está referida al uso de las palabras número como etiquetas. Esto es, para el niño, cada palabra número enunciada, no representa la cantidad de objetos contados hasta el momento, sino el último objeto señalado2. Es decir, la palabra número no expresa cantidad sino formas de nombrar los objetos. Esto se va superando en la medida que los niños interiorizan la noción de cantidad, y sobre todo, en la medida que reconocen y memorizan de manera perceptual las cantidades o colecciones de muestra. Por ejemplo, reconocen donde hay dos o tres objetos sin necesidad de contar3. El otro sentido, ya no depende de la comprensión del niño, sino de los usos culturales del número. Los números de las cédulas, de los teléfonos, de las camisetas de los jugadores de fútbol, etc., no comportan el significado de número en el sentido estricto de la palabra. Son tan solo etiquetas para identificar algo: una persona (la cédula), una cuenta (el teléfono) y una función (el juego del fútbol). Como puede verse en los ejemplos señalados, con dichos números no tiene sentido las operaciones clásicas de sumar o restar, aunque si indican una clasificación. Esto es, los números como etiquetas cumplen la función de clasificar objetos, y dependiendo del contexto en que sean usados, esta clasificación es más detallada o no. Por ejemplo, en el caso de los códigos de barra que identifican los productos que se venden en una tienda, almacén o supermercado, las barras representan una secuencia de números4 los cuales se utilizan para representar características del producto: fabricante, tipo de producto, nacionalidad, etc.

Los números para contar Como se verá más adelante, contar es una acción fundamental en el desarrollo del pensamiento numérico, sobre todo, al inicio de las conceptualizaciones más elementales con respecto al número. Pero no siempre que se repite una secuencia de palabras número se está usando el número en su sentido de contar. Los números se usan para contar, cuando el resultado final de la acción expresa la cantidad (cardinalidad) de una colección de objetos. _____________________________________________________ 2

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Esto se evidencia en acciones como las siguientes: después de contar cuatro objetos se le pregunta al niño que muestre donde hay tres, y generalmente señala el tercer objeto contado. Esto demuestra que la palabra tres aun no significa cantidad, sino una forma de uno de los objetos contados. Este reconocimiento de las cantidades iniciales pues dos objetos siempre están en línea, mientras que tres siempre están en triángulo. De ahí que la visualización juega un papel importante. Además, culturalmente, se induce al niño en la representación de estas cantidades en sus dedos, sobre todo a partir de solicitarle que represente su edad en los dedos de las manos, en los juegos, al contar uno, dos, tres,… (y salte), etc. Representar los números por barras es un asunto de tecnología, pues de es forma se facilita su lectura electrónica.

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Introducción

En tal sentido, establecer correctamente la correspondencia uno a uno de las palabras número con los objetos de la colección que se quiere contar no es suficiente para que el número exprese cantidad, aunque si es condición necesaria. Esta significación se logra, cuando en la acción de establecer la correspondencia biunívoca, cada nueva palabra número usada expresa la totalidad de objetos contados hasta el momento, y no tan solo como una etiqueta que representa el último objeto contado.

Los números para medir En el mismo sentido del ítem anterior, no siempre se tiene la necesidad de cuantificar cantidades discretas. Muy a menudo, se debe cuantificar magnitudes continuas. En tales casos, el número expresa una cantidad, pero ahora como resultado de una medición. En estos casos, por lo general ya no se trata de número enteros, sino de números racionales, o incluso de números irracionales. Los números como resultado de una medida constituyen una de las fuentes de sentido y significado más importantes para el desarrollo del pensamiento numérico. Es precisamente la necesidad de expresar la medida de magnitudes de diferente naturaleza la que se constituye como fuente fenomenológica para la construcción conceptual de los diferentes sistemas numéricos.

Los números para ordenar Unido a lo anterior está el sentido de los números como criterio organizador de una secuencia. Se trata un sentido del número en que no es solo cantidad, sino que a través de la noción de cantidad se establece la organización de una secuencia de eventos, acciones, etc. En este sentido el significado del número en juego no es el de cantidad, sino el de orden. En este caso, la noción de cantidad es el referente básico para definir el orden de aquello que se quiere organizar. Así pues, y atendiendo a la complejidad subyacente al aprendizaje de los sistemas numéricos, el Ministerio de Educación Nacional en su documento sobre los Lineamientos Curriculares en el área de Matemáticas5, propone desarrollar el pensamiento matemático a través de cinco pensamientos específicos, entre ellos se encuentra el Pensamiento Numérico. Dicho pensamiento integra el estudio de los Sistemas Numéricos para desarrollar habilidades referidas a la comprensión del número en sus diversos significados, al uso de los mismos en métodos cualitativos o cuantitativos, a la realización de estimaciones y aproximaciones, y en general, en la _____________________________________________________ 5

Ministerio de Educación Nacional. Lineamientos Curriculares para el área de matemáticas. 1998. Bogotá. P 131.

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utilización los números como herramientas de comunicación, procesamiento e interpretación de la información en contexto. De esta manera, una persona estaría en capacidad de asumir posturas críticas frente a la información que circula en su entorno, y así participar activamente en la toma de decisiones relevantes para su vida personal o en comunidad. …el pensamiento numérico se refiere a la comprensión en general que tiene una persona sobre los números y las operaciones junto con la habilidad y la inclinación a usar esta comprensión en formas flexibles para hacer juicios matemáticos y para desarrollar estrategias útiles al manejar números y operaciones. (Mcintosh, 1992) (Citado por MEN, 1998, p 43)

Desde una perspectiva más amplia, Resnick, 1989 (citada por Judith Sowder, 1992), propone que el pensamiento numérico debe ser considerado como una forma de pensamiento superior y que por tanto debe presentar características como: • No algorítmico, esto es, el camino de la acción no está totalmente especificado de antemano. • Tiende a ser complejo: el camino total no es visible (mentalmente hablando) desde ningún lugar en particular. • Abre un campo de soluciones múltiples, cada una con costos y beneficios, antes que una única solución. • Involucra juzgar e interpretar. • Involucra la aplicación de múltiples criterios, los cuales algunas veces entran en conflicto con otros. • Involucra la incertidumbre: no siempre que iniciamos una tarea, conocemos el camino para su solución. • Involucra autorregulación de los procesos de pensamiento. • Involucra imposición del significado, encontrando estructura en el aparente desorden. • El pensamiento es esfuerzo total. Existe un considerable trabajo mental en el tipo de elaboraciones y juicios que se requieren. La cita anterior muestra como el desarrollo del pensamiento numérico implica la inversión de largos periodos de tiempo ya que involucra no solo aspectos conceptuales de las matemáticas, sino también el desarrollo mismo de la cognición humana. En los Lineamientos Curriculares se plantean ideas similares a propósito de los énfasis sobre los cuales se debe estructurar el currículo de matemáticas en el sistema educativo colombiano: El pensamiento numérico se adquiere gradualmente y va evolucionando en la medida en que los alumnos tienen la oportunidad de pensar en los números y de usarlos en contextos significativos, y se manifiesta de diversas maneras de

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Introducción

acuerdo con el desarrollo del pensamiento matemático. En particular, es fundamental la manera como los estudiantes escogen, desarrollan y usan métodos de cálculo, incluyendo cálculo escrito, cálculo mental, calculadoras y estimación, pues el pensamiento numérico juega un papel muy importante en el uso de cada uno de estos métodos. La invención de un algoritmo y su aplicación hace énfasis en aspectos del pensamiento numérico tales como la descomposición y la recomposición, y la comprensión de las propiedades numéricas. Cuando se usa un algoritmo ya sea utilizando papel y lápiz o calculadora, el pensamiento numérico es importante cuando se reflexiona sobre las respuestas. Otras situaciones que involucran el desarrollo del pensamiento numérico hacen referencia a la comprensión del significado de los números, a sus diferentes interpretaciones y representaciones, a la utilización de su poder descriptivo, al reconocimiento del valor (tamaño) absoluto y relativo de los números, a la apreciación del efecto de las distintas operaciones, al desarrollo de puntos de referencia para considerar números. En general, estos puntos de referencia son valores que se derivan del contexto y evolucionan a través de la experiencia escolar y extraescolar de los estudiantes. Otro indicador valioso del pensamiento numérico es la utilización de las operaciones y de los números en la formulación y resolución de problemas y la comprensión de la relación entre el contexto del problema y el cálculo necesario, lo que da pistas para determinar si la solución debe ser exacta o aproximada y también si los resultados a la luz de los datos del problema son o no razonables. El contexto mediante el cual se acercan los estudiantes a las matemáticas es un aspecto determinante para el desarrollo del pensamiento. Por tanto, para la adquisición del sentido numérico es necesario proporcionar situaciones ricas y significativas para los alumnos. Claramente, el pensamiento numérico es a veces determinado por el contexto en el cual las matemáticas evolucionan. Por ejemplo, mientras un estudiante en la escuela no se incomoda porque 514 sea la suma de 28 + 36, el mismo estudiante en una tienda puede exigir que se le revise la cuenta si tiene que pagar $ 5140 por dos artículos cuyos precios son $ 260 y $ 380. Para otro estudiante resulta más fácil decir que en ½ libra de queso hay más queso que en ¼ de libra, que determinar cuál es mayor entre ¼ y ½. La manera como se trabajen los números en la escuela contribuye o no a la adquisición del pensamiento numérico. Los estudiantes que son muy hábiles para efectuar cálculos con algoritmos de lápiz y papel (este es el indicador mediante el cual se mide con frecuencia el éxito en matemáticas) pueden o no estar desarrollando este pensamiento.

+ = o un estudiante de Cuando un estudiante de sexto grado dice que segundo grado afirma que 40 - 36 = 16, están intentando aplicar un algoritmo que han aprendido pero no están manifestando pensamiento numérico. MEN, 1998, p 43 y 44

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Surge entonces una gran pregunta para la escuela: ¿Cómo organizar la estructura curricular del área de matemáticas con el fin de lograr el desarrollo de un pensamiento matemático en los estudiantes, coherente con los planteamientos de los Lineamientos Curriculares, Estándares Básicos de Matemáticas, y en general, con las propuestas actuales de la didáctica de las matemáticas en el ámbito nacional e internacional? Por supuesto, un intento de respuesta no es simple ni inmediato. El desarrollo del pensamiento numérico de los niños empieza antes de su ingreso a la escuela, cuando hacia los dos o tres años, a través de la interacción con otros adultos (fundamentalmente sus padres) desarrollan no solo las habilidades y competencias relativas al lenguaje materno, sino que, gracias a esas interacciones, también desarrollan una serie de intuiciones sobre lo numérico. Dichas intuiciones se manifiestan en competencias relativas al conteo6, a la percepción global del cardinal de pequeñas colecciones7, e incluso, la posibilidad de composiciones y descomposiciones de las mismas. Si bien no puede decirse que estas actuaciones constituyan un conocimiento amplio del número, ni en el sentido matemático pues aun no pueden reconocerse las propiedades matemáticas básicas del sistema de los números naturales, ni en el psicológico puesto que la complejidad lógica de estos conocimientos es aun incipiente, si puede afirmarse que estas primeras intuiciones numéricas son la base para el posterior desarrollo de los aspectos psicológicos y matemáticos del mismo. Desde el punto de vista psicológico y teniendo como referente a Piaget, la construcción del número como una clase lógica, involucra en principio, la estructuración las operaciones lógicas de clases, de seriación y de inclusión. Luego, se construye la noción de cardinalidad, y orden estable y su correspondiente síntesis permite evidenciar la conservación, principio que sirve de indicador de la comprensión de tal concepto. Esta construcción de los aspectos cognitivos del número es un elemento inherente al desarrollo de la persona, y aquí la escuela juega un papel importante, no desde el énfasis en la réplica de las actividades piagetianas de seriación, clasificación, ordenación, conservación, etc., sino desde la perspectiva de promover situaciones en las cuales el papel de la interacción social del niño sea un factor fundamental que potencie la construcción de dicho concepto, pues por medio de esta interacción se posibilita el proceso de adquisición de las competencias lingüísticas, pragmáticas, _____________________________________________________ 6

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Por contar se entiende no el recitar la secuencia de palabras número, sino al establecimiento de la correspondencia entre éstas y los objetos de la colección que se desea contar. Aunque es de anotar que en esas edades se cometen muchos errores al establecer esta correspondencia, y que el conteo, más que dar cuenta de la cantidad de objetos de una colección (cardinal), lo que hace es asignar etiquetas a los objetos contados (el tres no significa tres objetos, sino más bien el tercer objeto contado). Desde edades muy tempranas los niños reconocen perceptualmente colecciones de hasta tres objetos sin necesidad de recurrir a su conteo; este proceso se conoce como (subitising).

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Introducción

y conceptuales necesarias para su desarrollo. En otras palabras, el aprendizaje del número no es solo un problema de desarrollo cognitivo, sino que el contexto sociocultural en el que el niño despliega su actividad es determinante en los logros que puede alcanzar. Así pues, aceptando que la escuela juega un papel fundamental en el desarrollo del pensamiento numérico, y que éste es un proceso de larga duración, se proponen los siguientes aspectos para el trabajo en el contexto escolar: • • • • • •

El conocimiento de los múltiples usos de los números. El conteo y las estrategias para operar a través del conteo. La comprensión de las relaciones y las operaciones. La comprensión del sistema de numeración decimal. El sentido de número y la estimación. Trascender los números naturales.

El siguiente diagrama muestra una alternativa organizacional de los aspectos antes señalados:

Cardinal

Ordinal

Código

Dominio y uso de su campo semántico

Representaciones Simbólicas

Medida

Concepto de Número

Verbal

Escrita

No Posicional Tratamiento de Magnitudes

Simples

Algoritmos

Contar

Medir

Discretas

Continuas

Orientadas/ No Orientadas

Base 10

Operaciones Básicas

Múltiples Combinatorios

Posicional

Estructuras Aditivas Estructuras Multiplicativas

Vectoriales

Escalares

Proporcionalidad Positivo/Negativo Conmensurable Enteros

Naturales

No Densos

Positivo/Negativo Inconmensurable Racionales

Irracionales Densos Incompletos

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Números Reales _____________________________________________________ 8

GOBERNACIÓN DE ANTIOQUIA. SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA. Interpretación e Implementación de los estándares básicos de matemáticas. Medellín, 2005. P 135

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

Todo lo anterior muestra la necesidad del desarrollo de una propuesta curricular rica en situaciones a través de las cuales los alumnos puedan tomar conciencia de esta multiplicidad de sentidos y significados de los números. En este sentido este documento es el resultado de un proceso de reflexión, de discusión y construcción sobre el desarrollo del pensamiento numérico, que se ha venido adelantando con docentes del área y a través de la experiencia con estudiantes de la educación básica. El propósito fundamental, es presentar elementos de análisis para los conceptos que posibilitan el desarrollo del pensamiento numérico y el diseño de situaciones problema pertinentes con estos. El módulo se compone de cuatro unidades, así: Unidad No 1: Números naturales. Unidad No 2: Números Enteros. Unidad No 3: Números Racionales. Unidad No 4: Estructuras aditivas. Cada unidad contiene una situación problema, con un marco teórico que la sustenta desde la educación matemática, un conjunto de actividades para los estudiantes, un análisis conceptual que guíe al profesor frente a los conceptos desarrollados en cada. Se espera que este material sea un aporte a la labor que desempeñan los docentes del área y por lo tanto a la educación matemática en el departamento de Antioquia. Igualmente se trata de un documento en permanente construcción, por lo cual se espera siga creciendo con los aportes de todos los docentes que lo estudien y utilicen como base para su trabajo de aula.

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Números Naturales

Unidad No.1

Conteo y el Aprendizaje del Número Natural Generalmente, cuando se habla del aprendizaje del número natural, se piensa básicamente en los primeros aprendizajes que el niño realiza en el Preescolar y/o primero de primaria. Nada más lejos de la realidad que tal planteamiento. Dicho aprendizaje está presente, por lo menos, a lo largo de toda la educación básica. Durante mucho tiempo las actividades de enseñanza del número centraron la atención en las tareas piagetianas sobre conservación, seriación y clasificación. Hoy en día se ha demostrado que estas actividades no mejoran la comprensión numérica de los niños (Decorte y Verschafel, 1996), y que por el contrario, centrar el trabajo sobre el conteo y las estrategias del conteo a través de la solución de problemas sencillos, trae grandes desarrollos en los procesos de conceptualización de los alumnos. En nuestro sistema educativo es muy común la estrategia de enseñar el concepto de número natural a partir de la noción de cardinal, el cual se supone es el resultado de la abstracción del trabajo con colecciones9 . Una vez “aprendidos los números”, se pasa al estudio de las operaciones, el cual se restringe básicamente al aprendizaje de los algoritmos para calcular los resultados, y no en la comprensión del sentido de las operaciones mismas. Finalmente, se trabaja la solución de problemas, donde se aplican los conceptos estudiados anteriormente. Esta perspectiva de trabajo desarticulado, dificulta el desarrollo del pensamiento numérico tal como se propone en los lineamientos curriculares. Por el contrario, una orientación pedagógica que involucre como punto fundamental las situaciones problema en las que intervienen los números naturales, y a través de estas, conceptualizar las relaciones, las operaciones y las propiedades que los caracterizan como sistema numérico, se hace bastante promisoria. Nótese que se está planteando un aprendizaje del número a través de su uso, y no aprender el número para luego utilizarlo. Para lograr tal meta, la acción de contar es un factor determinante. _____________________________________________________ 9

Así, son comunes las actividades en las que se muestran las colecciones de uno, dos, tres, cuatro,…, elementos, generalmente en forma gráfica y sin contexto alguno que les den sentido y significado, separadas en el tiempo (cada una de ellas en una clase diferente), seguidas posteriormente de actividades centradas en el reconocimiento de la representación simbólica de cada uno de los números representados en dichas colecciones.

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Así, por ejemplo, saber que el número “cinco” es mucho más que reconocer una colección de cinco unidades, o reconocer el numeral “5”. Es reconocer que 5 es 3+2, 4+1, 10÷2, etc., es reconocer que …3 b si y solo si $ c > 0 tal que a = b + c . Nótese como esta manera de aproximarse a la relación de orden mayor que es similar al tipo de situaciones propuesta en esta categoría de situaciones aditivas, y como se anotó antes, puede ser una manera de dotar de sentido a esta definición matemática, tomando como base los procesos conceptuales propios de las matemáticas, y no en estrategias nemotécnicas que eluden el problema de la comprensión.

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En la comparación para establecer diferencia se pueden presentar 3 tipos de problemas de suma (cuantos más tiene la mayor) o tres tipos de problemas de resta (cuántos menos tiene la menor). De igual forma en los problemas de igualar se pueden presentar 6 casos. Así en esta categoría se pueden identificar 12 tipos posibles de problemas, como se muestra en la siguiente tabla:

4º Dos transformaciones se componen para dar lugar a una transformación. En este tipo de problemas, el enunciado se refiere a operadores y no medidas. Se trata de la aplicación de dos operadores (composición aditiva), de manera sucesiva, a una determinada cantidad. Por ejemplo, es el caso de un estudiante que juega dos partidas de bolas, y en la primera pierde 5, mientras que en la segunda gana 3. En total es como si hubiera perdido 2.

T1

T2

T3

En este tipo de problemas, las tres cantidades involucradas pueden ser positivas o negativas, lo cual genera un rango más amplio de posibilidades, 18 en total, dependiendo tanto de los signos de cada una de las transformaciones, y del lugar de la incógnita (es decir, de la transformación por la cual se pregunte). En la siguiente tabla se muestran las seis combinaciones posibles según las combinatorias de los signos de los operadores:

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Situaciones Aditivas

Y por cada uno de estos casos, se tienen tres posibilidades, según el lugar de la pregunta. Así se logran los 18 casos posibles. Dado que la situación se refiere a los operadores entonces se pueden obtener valores negativos en las respuestas. Por lo tanto, se trata de situaciones en las cuales se trabaja con números enteros en toda su extensión. T2

5º Una transformación opera sobre un estado relativo (una relación) para dar lugar a un estado relativo. T1

.% .*

T3

Al igual que el caso anterior, el enunciado se refiere a operadores, pero ahora se trata de un operador que se aplica sobre otro operador. Por ejemplo, Juan juega una partida de bolas y gana 5 canicas. Luego juega una segun+% +* da partida, y gana tres más que las que ganó en la primera partida. ¿Cuántas ganó % , -%$ % esta segunda partida?. Nótese como el operador +3 es un operador que actúa en * , -*$ no sobre la cantidad de bolas que posee Juan, sino sobre el operador +5.

% , -*$* , -%$-

*

Este tipo de problemas es equivalente a los de la segunda categoría, pero a diferencia de esta, las tres cantidades pueden ser positivas o negativas, lo cual genera un rango más amplio de posibilidades, 18 en total, dependiendo tanto de los signos de cada una de las cantidades (seis como en la tabla anterior), y del lugar de la incógnita (tres posibilidades por cada uno de los casos anteriores). 6º Dos estados relativos se combinan para dar lugar a un estado relativo

Este caso es similar al anterior, solo que ahora, uno de los operadores no actúa sobre el otro para transformarlo, sino que ellos se combinan T2 para producir un nuevo operador. Por ejemplo, Juan le debe $500 a Pedro, pero Pedro el debe $300 a Juan, entonces Juan solo le queda T3 debiendo $200 a Juan. Se trata de una situación equivalente a la categoría uno, pero con cantidades que pueden ser positivas o negativas. T1 Aquí el número total de posibilidades es 12, ya que las situaciones son conmutativas, y por tanto, el lugar de la incógnita solo produce 2 casos posibles, por cada uno de los seis casos obtenidos de combinar los posibles signos de cada una de las transformaciones. 107

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

Otros estados de complejidad de las situaciones En un marco como el que se acaba de describir, queda claro que el dominio de las estructuras aditivas, implica, entre otros elementos, ser capaz de reconocer cualquier situación que implique sumas o restas a través de los esquemas generales que permiten su tratamiento (ver en lo particular la expresión de lo general); reconocer en las diferentes situaciones que impliquen sumas o restas los invariantes conceptuales que hacen que estas se organicen en grupos o categorías perfectamente diferenciados (ver lo general a partir de lo particular); dominar diversas formas de representación de las situaciones problema; y por supuesto, dominar una gran variedad de procedimientos para encontrar las soluciones a las situaciones que se presenten. No sobra recalcar que estos elementos no se presentan aislados unos de otros, sino que, según el tipo de situaciones, se pueden tener diferentes formas de representación, y por ende de solución de la misma. Pero además de estos esquemas básicos desde los cuales se puede analizar cualquier situación aditiva se deben considerar los contextos dentro de los cuales están inmersos los problemas, pues estos afectan la representación que uno pueda darse de ellos. Así son determinantes en el tipo de representación que un alumno construya de una situación, entre otros, los siguientes elementos: el tipo de magnitud (continua o discreta), el conjunto numérico (naturales, racionales, irracionales, etc.), el tamaño de los números (grandes o pequeños, cercanos o distantes), los referentes materiales de la situación (un juego, una actividad comunitaria, etc.), la formulación del enunciado (una sola proposición, una secuencia de proposiciones, etc.), los medios y mediadores de la situación (se utiliza material concreto, gráfico, etc.), por quien se pregunta (por alguno de los sumandos, o por el resultado). Por ejemplo, en los siguientes tres problemas se puede evidenciar como al hacer variar algunos de los elementos antes mencionado, se afecta radicalmente el tipo de representación del problema: En una caja hay 12 bolas, de las cuales 9 son rojas y el resto azules. ¿Cuántas bolas azules hay? ¿Si de una varilla de hierro que mide 14.795 cm se pinta 9.327 cm de roja, qué longitud queda por pintar de azul? De una varilla de hierro 19/37 están pintados de rojo y el resto está pintado de azul. ¿Cuánto está pintado de azul? Nótese como en cada uno de ellos la imagen mental que uno se puede formar es distinta, a pesar que los tres problemas tienen la misma estructura. Mientras que en el primero al ver las nueve rojas ya se ven las tres azules, en los otros dos esta 108

Situaciones Aditivas

imagen cambia: ya no se sabe, de inmediato cuanto mide la parte azul. Es más en el segundo se ve de inmediato que más de la mitad de la varilla está pintada de rojo, mientras que en el último no es tan obvio. • ESTÁNDARES RELACIONADOS Numérico Primero a Tercero

Resolver y formular problemas en situaciones aditivas de composición y de transformación. Usar estrategias de cálculo (especialmente cálculo mental) y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas. Identificar regularidades y propiedades de los números utilizando diferentes instrumentos de cálculo (calculadoras, ábacos, bloques multibase, etc)

Cuarto a quinto

Resolver y formular problemas en situaciones aditivas de composición, transformación, comparación e igualación. Usar diferentes estrategias de cálculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas

Sexto a séptimo

Justificar procedimientos aritméticos utilizando las relaciones y propiedades de las operaciones. Resolver y formular problemas en situaciones aditivas y multiplicativas en diferentes contextos con dominios numéricos.

Variacional Primero a Tercero

Describir cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y gráfica. Reconocer y generar equivalencias entre expresiones numéricas

Métrico Primero a Tercero

Reconocer el sentido y el significado de las magnitudes en situaciones aditivas y multiplicativas.

SITUACIÓN 1: SOBRE LOS PROBLEMAS DE ADICIÓN • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS El trabajo que se pretende abordar se enfoca hacia la reflexión conceptual de las estructuras aditivas. Esto es, identificar las características generales de los problemas que pertenecen a esta categoría, sus dificultades y propiedades matemáticas que se involucran. Para desarrollar este trabajo, se harán análisis de problemas cotidianos que se proponen en los libros de texto.

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Módulo

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•ACTIVIDAD 1:

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

Analizando problemas

Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador

Qué hacer?

w w w w w

w

Para cada uno de los problemas dados: Resuelva los problemas propuestos. Indique los conceptos y procedimientos matemáticos que se ponen en juego en la solución. Identifique diferencias y semejanzas entre los distintos problemas. Para cada problema, enuncie otros dos del mismo tipo, cambiando las variables de la tarea, de manera que uno le parezca más fácil de resolver y otro más difícil. ¿Los enunciados son suficientemente precisos y comprensibles para los alumnos de primaria? Proponga un enunciado alternativo para aquellos ejercicios que no le parezcan suficientemente claros para los estudiantes. A los problemas enunciados, escríbale la ecuación que soluciona el problema y la que propone el enunciado del mismo. ¿Son iguales estas expresiones?

Problemas 1. Juan tiene 11 caramelos. Cinco de ellos son de limón, los otros de fresa. ¿Cuántos tiene de fresa? 2. Juan tenía algunos caramelos y le regaló tres a su hermana. Si le quedan diez, cuántos caramelos tenía al principio? 3. En una carrera, Laura llegó de octava, 3 puestos antes que Beatriz. ¿En qué puesto llegó Beatriz?. 4. Pedro gana 5 canicas por la mañana. Pierde 9 por la tarde. ¿cuántas ha ganado o perdido en total?. 5. Pedro tiene 6 caramelos más que Juan. A Juan le dan algunos más y ahora tiene un caramelo más que Pedro. ¿Cuántos caramelos le han dado a Juan? 6. Patricia mide 15 cm más que su hermano Pedro y 5 cm. menos que su hermano Juan. ¿qué diferencia entre la altura de Pedro y Juan? 7. Para hacer un collar Miriam emplea 25 perlas rojas, 30 perlas azules y 45 perlas verdes. Calcula el número de perlas que tiene el collar. 8. Escribe con números y símbolo matemáticos: tres mil doscientos más cuatro mil ochocientos es igual a cuatro mil ochocientos más tres mil doscientos. 9. Un tren sale de Acevedo con 480 pasajeros. En Alpujarra bajan 35 y suben 46. ¿Cuántos viajeros quedan ahora en el tren?

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Situaciones Aditivas

•ACTIVIDAD 2: Desplazamientos en una tabla de sumas

45

Número de participantes: 2 Materiales: Tabla numérica, lápiz y borrador.

Qué hacer w Elabore una tabla o cuadrícula (base 10) como la siguiente

w El docente indica las características de la tabla a los estudiantes para que ellos elijan la forma de llenarla: por filas, por columnas, sumando una por una, etc. w Luego se determinan los desplazamientos en la tabla, así: La operación +1 corresponde a un desplazamiento de una casilla hacia la derecha, cuando ese desplazamiento es posible sin salirse de la casilla, y la operación -1 a un desplazamiento de una casilla hacia la izquierda. Cuando tales desplazamientos no son posibles, hay que recurrir a un cambio de línea. Las operaciones +10 y -10 corresponden a desplazamientos de una casilla hacia abajo y de una casilla hacia arriba respectivamente. Los anteriores desplazamientos se simbolizan mediante flechas, así: +1;

-1; +10,

-10

Observa el ejemplo: Indica un desplazamiento de +11 Organizar con los estudiantes juegos con desplazamientos sobre la cuadrícula: _____________________________________________________ 45

Tomado y adaptado de Vergnaud, El niño, las Matemáticas y la Realidad

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Módulo

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

w Dada la casilla de salida, así como una serie de desplazamientos, encontrar el casillero de llegada. w Dadas las casillas de salida y de llegada encontrar la serie de desplazamientos e interpretarlos en términos numéricos. w Dados el casillero de llegada y la serie de desplazamientos, encontrar el casillero de salida. w Dada una serie de desplazamientos, encontrar una serie equivalente. Encontrar la más corta. w Mostrar que la composición de los desplazamientos es conmutativa, asociativa, que hay un elemento neutro (quedarse en su lugar), y que todo desplazamiento tiene una inversa, si hace una interpretación adecuada.

•ACTIVIDAD 3: Sobre el significado de las operaciones Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador.

Qué hacer PARA LA ADICIÓN w Escriba un problema que se resuelva mediante la adición: 23 + 15. w Compare su problema con los enunciados a continuación: a. Camilo tiene 23 estampillas nacionales y 15 extranjeras. ¿Cuántas estampillas tiene en total? b. Camilo tiene 23 estampillas en su colección, compra 15 más, ¿cuántas estampillas tiene ahora? c. Camilo tiene 23 estampillas, su hermano tiene 15 estampillas más. ¿Cuántas estampillas tiene el hermano de Camilo? d. Camilo le regala 15 estampillas a su hermano y aún le quedan 23. ¿cuántas estampillas tenía Camilo? e. Camilo regaló 15 estampillas que tenía. Compró un paquete y ahora tiene 23 estampillas más que antes de regalar las 15.¿Cuántas estampillas tiene el paquete que compró? w El problema que plantearon, ¿a cuál de estos se parece?. Discuta las diferencias que presentan los enunciados de los cinco problemas anteriores y acuerden respuestas para las siguientes preguntas: w ¿Encuentra diferentes significados para la adición en cada uno de los problemas planteados? w ¿Cómo explicaría cada uno de esos significados?

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Situaciones Aditivas

w Las acciones de: Reunir, Agregar, Comparar y Completar (sustracción complementaria) ¿podrían calificar los diferentes significados de la adición en los problemas expuestos? w ¿Cuáles son los significados más usuales en el abordaje de la adición con los alumnos? w ¿Considera que algunos de los significados de la adición en estos problemas presentan mayor dificultad al ser abordados por los niños? w ¿Encuentra situaciones de la cotidianidad de donde surja este tipo de problemas? w ¿Es posible clasificarlos en alguna de las relaciones aditivas propuestas por Vergnaud? Cuál?.

•ACTIVIDAD 4: Sobre las estructuras aditivas Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador

Qué hacer w Analice en los siguientes problemas, el esquema aditivo correspondiente, las ecuaciones del problema y las ecuaciones de la solución. w Además resuélvalos, utilizando para ello diversas estrategias de cálculo. 1. Había 5 personas en el salón, luego llegaron 13. Cuántas hay ahora? 2. Un vendedor sale de su casa con $ 4000, al regreso tiene $13500. Cuánto dinero recogió durante el día? 3. Maicol acaba de comprar 17 caramelos, ahora tiene 32 caramelos. Cuántos tenía antes de hacer la compra? 4. Leidy tenía $700 pesos y le regaló $250 a su hermano. Cuánto dinero tiene ahora? 5. Pablo acaba de jugar a las canicas. Tenía 41 canicas antes de jugar. Ahora tiene 29 canicas cuántas perdió? 6. El Martes, Ana tenía $6750 . Durante los dos últimos días se había gastado $2350. Cuánto dinero tenía el domingo 7. Juan es tres años mayor que Pedro. Si Pedro tiene 17; cuántos tiene Juan? 8. En la escuela se hizo una competencia por grupos, para recolectar dinero, así 3ºA recolectó $34000 y 3ºB recolectó $41250. Cuánto de más recolectó 3ºB. 9. Juan mide 1,55m y María mide 5cm menos que éste. Cuánto mide María. 10. Alicia tiene 15 caramelos y su hermano tiene 13. Cuántos le faltan al hermano para tener los que tiene Alicia. 11. Carlos tiene 29 fichas para un juego y su amigo Marco tiene 14. Cuántas debe perder Carlos para tener las mismas que su amigo?

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Módulo

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

12. Teresa es menor 8 años que su novio, quien tiene 28 años, cuántos tiene tiene Teresa? 13. En el empaque A hay 18 colombinas, y en el B hay 12. Cuántas se le deben sacar al empaque A para que haya las mismas que en el empaque B? 14. En mi mano derecha tengo 8 caramelos y en la izquierda tengo 12. Cuántos caramelos menos tengo en la derecha? 15. Ana tiene $17000 y para tener los mismos que su hermana le faltan $3500. Cuánto dinero tiene su hermana? 16. Elena mide 1,64m y esto es 0,4m menos de lo que mide Lida. Cuánto mide Lida? 17. Del grupo 11ºB 14 estudiantes se retiraron, quedando los mismos que en 11ºC que son 28. Cuántos eran en 11ºB? 18. Del grupo 11ºB que tiene 28 estudiantes, los que ven el canal caracol son 6 más que los que ven RCN. Cuántos ven RCN?

•ACTIVIDAD 5:

Solucionando problemas

1. El parque recreativo: En el parque recreativo había un puesto de venta de mango. Complete la red para encontrar cuántos mangos en total compró el dueño. (Nota: La caja contiene 10 bolsas de mangos y cada bolsa contiene 10 mangos)

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Situaciones Aditivas

Diseñe una red de números y dibújela en su cuaderno. Intercámbiela con su compañero y resuelva la que él te entrega. Devuelve el cuaderno al compañero y revisa si la llenó bien. 2. La alcancía de Nana C Nana C acaba de destapar su alcancía y descubre que entre monedas de $50, $100, $200 y $500 tiene $5800. Nana C, quiere organizar sus monedas para hacer algunas inversiones. w Ayúdele a Nana C a organizar sus monedas. w Escriba posibles combinaciones en que Nana tiene los $5800. w Elabora una tabla como la siguiente para hacer las cuentas

"#$ !

"%$$

"&$$

"#$$

!

w Si Nana quiere cambiar sus monedas por billetes, y en la tienda le dicen que tienen de $1000, de $2000, de $5000, de $10000 y de $20000, cómo crees que se las cambiaron?. w Cuál es el máximo de billetes de $20.000, y el de $5000, y el mínimo de billetes de $10.000. w Nana decide comprar un libro de cuentos y un bolso para sus lápices, que le cuestan juntos $15.500. Cuánto dinero le sobró a Nana?. w Si el hermano de Nana también destapa su alcancía y obtiene $!7000 más que ella, cuánto dinero tenía en la alcancía. Cuánto dinero se debe gastar para tener el mismo que tiene ahora Nana? w Si después de unos gastos, Nana y su hermano, tienen entre los dos $26.000. Cuánto se gastó cada uno? Si Nana gastó $8000 más de lo que gastó su hermano?. ¿Cuánto tiene cada uno? 3. La tienda de dulces En una tienda de dulces, empacan chocolates así: 5 chocolates en una bolsa; 5 bolsas en un estuche; y 5 estuches en una caja. Realiza los siguientes cálculos:

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Módulo

w w w w w w

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

¿Cuántos chocolates hay en 3 bolsas? ¿Cuántos chocolates hay en un estuche? ¿Para llenar 4 estuches cuántas bolsas se necesitan? ¿Cuántas bolsas hay en una caja? ¿Cuántos chocolates se requieren para llenar una caja?. Colabora en el despacho de pedidos: Los pedidos diarios se anotan en una planilla. Debido al intenso trabajo, la planilla del día está incompleta. Ayuda a completarla:

Al envío del grupo de artistas se requiere agregar un chocolate de oferta. ¿Cuál será el número total de chocolates a empacar?. ¿Cuál será el empaque más cómodo para mandar este pedido? 4. Excursión al acueducto46 Un día de paseo para explorar y conocer de dónde viene el agua que usamos en la casa y en la escuela. Para surtir a las ciudades, el agua de algunos ríos y quebradas es almacenada en represas cercanas. De allí va por tubos tan grandes que uno podría caminar en su interior sin agacharse. Por esos tubos el agua es conducida al acueducto y allí, en grandes piscinas, se hace un tratamiento para que se pueda beber sin producir enfermedades. Por ejemplo se le echa cloro, que es una sustancia para matar las bacterias. En el campo, los acueductos son más sencillos, o muchas veces no hay. Se trae el agua hasta las casas sin ningún tratamiento. A veces no se utiliza la tubería sino canales de guadua en donde el agua, al correr al aire libre, puede recibir basuras que la contaminan. Qué interesante que los niños y los profesores hagan una excursión y conozcan el acueducto de su pueblo o de su ciudad. ¡Éxitos en la excursión! _____________________________________________________ 46

SABER, Octubre de 2005

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) & 1 )

5

Situaciones Aditivas

Observando el siguiente gráfico puedes saber la cantidad de habitantes de tres diferentes ciudades

Cada representa 500.000 habitantes El consumo mensual de agua por habitante es de 4 metros cúbicos.

67.7 .

67.7 +

67.7

1. ¿Cuántos metros cúbicos de agua se requieren mensualmente en la ciudad B? 2. Si en la ciudad C se mueren 250.000 habitantes y nacen 128.0000 habitantes, ¿cuál será la cantidad de agua que se requiere ahora, para el consumo de un mes? 3. ¿Cuántos habitantes más hay en la ciudad A con relación a la ciudad C?. ¿Cuántos menos hay en la ciudad A con relación a la ciudad B?. 4. Organiza en una tabla el número de habitantes y el consumo de agua según las instrucciones dadas. 5. ¿Cuántos habitantes hay entre las 3 ciudades? SITUACIÓN 2: JUGANDO • CONCEPTOS Y PROCEDIMIENTOS Los juegos son una parte esencial en la enseñanza de las operaciones, desde un punto de vista del desarrollo de la autonomía del niño, desde la posibilidad de practicar las operaciones en contextos de competencias con una motivación natural. Desde el punto de vista de la comprensión de significados de las operaciones y de la interpretación y valoración de los resultados. En los juegos, los niños se supervisan unos a otros y crean estrategias de cálculo muy diversas y válidas. Un ejercicio interesante para los docentes es identifica los elementos conceptuales que están puestos en cada uno de los juegos planteados y analízalos según los referentes teóricos propuestos anteriormente. 117

Módulo

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•ACTIVIDAD 1: El Juego del 101

Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

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Número de participantes: 3 o 4. Materiales: 12 o más fichas (de parqués o botones); una baraja con 62cartas, con las siguientes Instrucciones 27 cartas con números de 1 a 9 (3 de cada una); 6 cartas con el número10; 5 cartas con el número 101; 12 cartas con el número -10; 2 cartas con el número 50; 4 cartas con la palabra INVERTIR; 4 cartas con la palabra PASAR y 2 cartas con la frase JUGAR DOS VECES.

Qué hacer w El objetivo del juego es evitar totalizar 101 puntos o más, el jugador que obtiene este número o lo supera pierde el turno. w A cada jugador se le entregan 3 o 4 fichas. w Se reparten tres cartas a cada jugador. El resto de las cartas forma el montón para arrastrar, que permanece en medio de la mesa. w El primer jugador echa una carta anunciando su valor ( 9 por ejemplo). Luego toma una carta del montón para reemplazar la que ha tirado. Cada uno de los siguientes jugadores echa una carta (por ejemplo un 5) anunciando el valor acumulado (14 en este caso) y reemplaza su carta con otra que arrastra del montón. De esta manera cada jugador siempre tiene 3 cartas. w La partida continúa y la persona que llega a 101 o más pierde el turno. Por cada turno que pierda una persona entrega una ficha de las tres que se le entregaron al principio del juego. Al jugador que primero se le acabe las fichas pierde el juego. w Una vez se haya alcanzado el total de 101 o más se inicia nuevamente el juego y por ende el conteo. w Las cartas con fines específicos: INVERTIR: Invierte la dirección de la partida, es decir debe jugar nuevamente el jugador anterior. PASAR: cuando un jugador la tira, el siguiente pasa, por lo tanto pierde un turno. No invierte la dirección de la partida. JUGAR DOS VECES: Las cartas con esta instrucción hacen que el siguiente jugador juegue dos veces. Al jugador que le toca jugar dos veces no puede empezar con una carta que tenga esta misma instrucción (jugar dos veces) o con una carta que tenga la instrucción (invertir). La carta con 101 sólo puede jugarse cuando el acumulado es negativo. _____________________________________________________ 47

Tomado de Constante Kamii. Reinventando la aritmética III. P128

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Situaciones Aditivas

•ACTIVIDAD 2: Juego Adelante y atrás

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Número de participantes: 3 o 4. Materiales: Tablero con una pista y una meta dibujadas libremente por los estudiantes. Tres dados, dos de un mismo color y otro de un color diferente. Tres o cuatro fichas del mismo color para cada jugador.

Qué hacer w Por turnos, los jugadores tiran los tres dados. Los dos números de los dados del mismo color se suman y el número del tercer dado se resta. Si el número obtenido es mayor que cero, el jugador avanza tantas casillas como indique el número. Si el número es menor que cero, el jugador se mueve hacia atrás tantas casillas como lo indique el número. La primera persona que llegue a la meta es el ganador. w Los jugadores pueden escoger la ficha que quieren mover, pero no pueden mover más de una ficha durante un turno.

•ACTIVIDAD 3: El dominó Número de participantes: 2 Materiales: Fichas de dominó

Qué hacer LAS DIEZ MÁS PEQUEÑAS. Coloca las diez fichas más pequeñas del dominó (3-3, 32, 3-1, 3-0, 2-2, 2-1, 2-0, 1-1, 1-0, 0-0) como en la figura adjunta, de modo que todas las columnas verticales sumen lo mismo. También deben sumar lo mismo las dos filas horizontales.

_____________________________________________________ 48

Tomado de Constante Kamii. Reinventando la aritmética III.

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Módulo

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

•ACTIVIDAD 4: Las pirámides Número de participantes: 2 Materiales: Pirámides dibujadas

Qué hacer En las siguientes pirámides numéricas, los números de cada uno de los nueve niveles de la pirámide se deducen del nivel precedente, mediante la relación de adición que se observa. Halle los números que faltan en cada caso: C=A .

120

+

De la multiplicación a la Proporcionalidad

Unidad No.5

Multiplicación y Proporcionalidad en la Educación Básica

• SOBRE LA MULTIPLICACIÓN La enseñanza de la multiplicación se realiza en los primeros años de la educación básica, bajo un esquema que relaciona la operación multiplicación con la suma: sumas de sumandos iguales se abrevian por medio de la multiplicación. En este sentido, 4x5 es interpretado como 4 veces 5, o lo que es lo mismo, 5 + 5 + 5 + 5. De esta manera la multiplicación es vista como una relación ternaria (4x5=20), resultado de ejecutar una operación binaria. A partir de allí, se estudia el algoritmo clásico de la multiplicación, y la solución de problemas que involucran multiplicaciones. En los grados más avanzados se estudian sus propiedades aritméticas en los diferentes sistemas numéricos. Como se mostrará mas adelante, y contrario a como se presenta en el sistema educativo, la relación multiplicativa fundamental no es una relación ternaria, sino cuaternaria. Esto es, en un problema como el siguiente: ¿Si una libra de sal cuesta $ 250, cuánto cuestan 4 libras de sal?, no se relacionan tres términos, sino cuatro. La 1¾ ¾® 250

relación sería 4 ¾ ¾® x y no como generalmente se hace: 250 × 4 = 1000 o, 4 × 250 = 1000. Esto se presenta en tanto que en el planteamiento clásico escolar no se explicita la relación entre la unidad y el precio de la unidad, la cual es clave para la solución de este tipo de problemas. Es mas, cuando el problema se representa como la suma repetida 250 + 250 + 250 + 250, se esconde la relación de proporcionalidad que éste implica. El modelo de la suma repetida de un sumando es importante para producir un modelo inicial de significación a la multiplicación, pero es insuficiente para dar cuenta de la complejidad subyacente a las estructuras multiplicativas.

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Módulo

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

• SOBRE LA PROPORCIONALIDAD La situación con la proporcionalidad es similar. En primera instancia, se toma como punto de partida el concepto de razón, entendida ésta como el cociente entre dos números naturales. Este cociente expresa una comparación entre la medida de dos cantidades o magnitudes, por ejemplo, la razón de hombres a mujeres en un grupo de personas; la razón de goles anotados con respecto a la cantidad de lanzamientos al arco, la razón de respuestas correctas con respecto a las incorrectas en un examen, etc. En segunda instancia, a partir del concepto de razón se define el concepto de proporción, enunciándolo como la igualdad de dos o más razones. Esta igualdad se expresa en términos de una relación de equivalencia: las razones

y

forman una proporción si y solo si axd = bxd, (o en términos un poco menos formales, si el producto de medios es igual al producto de extremos). Finalmente se presenta la proporcionalidad, la cual se orientada como aplicación del concepto de proporción a la solución de problemas. En este caso se estudian básicamente tres tipos de proporcionalidad: la proporcionalidad directa, la proporcionalidad inversa y la proporcionalidad compuesta. Éstos tres casos de proporcionalidad se presentan a través de las reglas de tres simple directa, simple inversa y compuesta, respectivamente, las cuales constituyen una estrategia algorítmica aritmética para la solución de los problemas. De esta manera no se abordan los problemas de proporcionalidad como problemas de variación (es más, podría pensarse que no se tiene conciencia de la importancia que la noción de variación tiene para el proceso de conceptualización de los conceptos relativos a los diferentes tipos de proporcionalidad). En síntesis, la organización escolar de la multiplicación y la proporcionalidad, se caracterizan por: no mostrar de manera explícita la relación entre la multiplicación y la proporcionalidad; presentar la proporcionalidad al margen del estudio de las magnitudes; estudiar multiplicación y proporcionalidad al margen del análisis de los procesos de covariación entre magnitudes; y finalmente, se deslinda una separación entre la proporcionalidad y las funciones. Como se mostrará a continuación estos cuatro hechos son desde el punto de vista matemático y pedagógico cuatro elementos centrales en el proceso de conceptualización de la proporcionalidad en general, y de la multiplicación en particular.

La multiplicación y la proporcionalidad simple directa Desde el punto de vista cognitivo, la multiplicación implica la posibilidad de operar de manera simultánea con dos o más clases. Esto es, en el análisis de un fenómeno o situación, se deben considerar los efectos de la ocurrencia simultánea de dos o

122

De la multiplicación a la Proporcionalidad

más características, a diferencia de los procesos aditivos, en los que se consideran los efectos de una clase a la vez. Las situaciones multiplicativas se presentan, por ejemplo, en la clasificación de individuos de acuerdo a sucesiones de clases diferentes –como en las tablas de doble entrada (en general, el producto cartesiano o las combinatorias), o en la correspondencias de uno a varios –como en la relación entre la cantidad de unidades compradas de un producto y el valor de los mismos (en general, las relaciones y los árboles genealógicos). Las acciones mentales descritas en el párrafo anterior constituyen los fundamentos cognitivos de las operaciones multiplicativas cuando se pasa de las consideraciones cualitativas a las numéricas. Así, por ejemplo, en el caso de la representación más simple de la multiplicación, la suma de sumandos iguales, ésta esconde una correspondencia de uno a varios: 1® x 2 ® x + x = 2x 3 ® x + x + x = 3x L

Igualmente, los párrafos precedentes muestran una línea de continuidad desde la multiplicación hasta la proporcionalidad, la cual pasa por el desarrollo del pensamiento proporcional, que puede caracterizarse como una forma de razonamiento matemático que involucra el sentido de covariación y comparaciones múltiples, y la habilidad para almacenar y procesar mentalmente distintos tipos de información (Lesh y otros 1988). El razonamiento proporcional esta estrictamente relacionado con la inferencia y la predicción e involucra tanto métodos de razonamiento cualitativo como cuantitativo. Este tipo de razonamiento implica el establecer relaciones entre relaciones (relaciones de segundo orden), y al involucrar la covariación49 , está estrechamente relacionado con las nociones de variable y variación. Esto hace que el razonamiento proporcional se constituya en la cúspide del desarrollo del pensamiento aritmético, y en la puerta de entrada al pensamiento algebraico. Esto se pone en evidencia en tanto que a través del razonamiento proporcional se pueden modelar situaciones que involucran distintos niveles de la igualdad50, distintos niveles de las variables51 _____________________________________________________ 49

50

51

En sentido estricto, la covariación implica que dos o más variables están relacionadas de tal forma que el cambio en una o algunas, determina cambio(s) en la(s) restante(s). Ahora bien, en el caso que esta covariación se pueda expresar a través de un modelo funcional, entonces se dice que las variables están correlacionadas. En los análisis estadísticos que parten de tablas de datos que expresan la relación cuantitativa entre dos o más variables, primeramente se determina si existe covariación, generalmente a través de analizar la gráfica cartesiana de la nube de puntos que representan las relaciones entre los datos, y después, se realizan los respectivos análisis de regresión, que no son otra cosa que determinar si existe un modelo funcional que se ajuste a los datos experimentales. El factor de correlación determina el grado de ajuste del modelo funcional a los datos. Esto es, la igualdad como equivalencia entre números o razones entre números, la equivalencia entre expresiones que involucran números y unidades de medida, equivalencia entre expresiones que involucran relaciones y/o operaciones entre números y unidades de medida y equivalencia entre ecuaciones. Las letras que se utilicen al modelar una determinada situación pueden significar incógnita, número generalizado o variable.

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

y transformaciones e invariantes52 (Lesh y otros 1988). Las situaciones que en general implican razonamiento proporcional son aquellas en las que se encuentran productos, razones, y proporciones, tales como: equivalencia entre fracciones, porcentajes, conversión de medidas, velocidades, razones de cambio, funciones, etc. Para ver la relación entre la multiplicación y la proporcionalidad, se debe centrar la mirada en un caso particular de correlación: aquel en que el modelo funcional relaciona las variables linealmente. Si el modelo es de dos variables se trata de una correlación lineal (el modelo funcional es una línea recta Y=mX+b) si es de tres variables entonces se trata de una correlación bilineal53 (función de la forma: Z=XY), si es de cuatro variables entonces puede presentarse una correlación trilineal 54 (función de la forma: W=XYZ), o incluso un modelo más complejo 2-2 lineal (función de la forma WX=YZ)55 , y así sucesivamente. De las correlaciones de lineales, aquella en la que la correlación es positiva y perfecta (es decir, una línea recta Y=mX que pasa por el origen del sistema de coordenadas) es la que determina la proporcionalidad simple directa. Las correlaciones lineales de más de dos variables determinan las proporcionalidades compuestas. El caso más simple de situación multiplicativa, como se indicó antes, se puede representar por una relación cuaternaria como la siguiente:

→

$&

→

$ &

Así, si se pregunta por el valor de f(n), entonces el problema remite a la multiplicación, a lo cual se puede llegar por la vía del análisis de la correlación entre los espacios de medidas: →

$&

→ →

$& $&

Μ →

$&

_____________________________________________________ 52

53

54 55

Al involucrar relaciones de segundo orden, se puede ver como ciertas características permanecen invariantes en una determinada situación, cuando las variables recorren su campo de valores. Relación de una variable a dos variables, como por ejemplo, el caso de la función área, o el movimiento rectilíneo uniforme sin velocidad inicial. Relación de una variable a tres, como por ejemplo, el caso de la función volumen. Relación de dos variables a dos, como por ejemplo en la ley de los gases ideales: PV=rNT, donde P es presión, V es volumen, N es el número de moléculas, T la temperatura, y r la constante universal de los gases.

124

De la multiplicación a la Proporcionalidad

Así, la multiplicación por n es el resultado de analizar como la variación en uno de los espacios, determina los valores posibles en el otro espacio (en cierta forma, las llamadas tablas de multiplicar tienen su origen en una mirada de la multiplicación como un problema de variación conjunta de dos espacios de medida). Este tipo de análisis es el llamado análisis escalar, en tanto que se ponen en relación las variaciones en uno de los espacios de medida con respecto a las variaciones en el otro. O dicho de otra forma, cambios en un espacio de medida, generan cambios simétricos en el otro espacio de medida. La otra posibilidad de solución es a través del planteamiento de una relación entre los dos espacios de medida, es decir, reconocer que la multiplicación de n por f(1), produce el valor de f(n). En este caso, se debe tener cuidado con el análisis dimensional de las cantidades, pues este planteamiento es posible gracias al reconocimiento de igualdad

$&

=

$ &

, lo cual es equivalente a que nf(1)= f(n) (se reconoce

a f(1) como el valor de la constante de proporcionalidad). Regresando al esquema inicial, si la pregunta es por el valor de f(1) o de n, ya no se generan multiplicaciones, sino dos tipos de división. La primera, cuando se pide hallar el valor de f(1), es decir, el valor que corresponde con la unidad. Cuando los números involucrados son números enteros, entonces se genera la división partitiva (o en palabras del Dr. Vasco, «la división entre»), es decir, una división en la cual una cantidad debe ser repartida en una determinada cantidad de partes iguales. En general, la solución de este tipo de situaciones requiere del reconocimiento de la relación escalar, y de la división como una operación inversa, es decir, saber que f(n) es el resultado de tener n veces f(1), y por tanto, la repartición de f(n) en n partes iguales produce el valor de f(1)56 . Esto permite comprender la división que se debe realizar como la inversa de un operador escalar multiplicativo. En efecto, tomando la situación de las libras de sal antes descrita, ahora se trataría de averiguar cuánto cuesta una libra de sal, si se sabe que 4 libras cuestan $ 1000. Para solucionar esta situación primero se debe reconocer que el operador escalar x 4 transforma una libra en cuatro libras, y que por tanto, al dividir $ 1000 entre cuatro se obtiene el valor de una libra.

(× ↓) (÷ ↑)

 →

(÷ ↑)

 →

_____________________________________________________ 56

En estas situaciones es posible encontrar procesos de solución que no requieran explícitamente de realizar la división, como puede ser por ejemplo, una repartición en n grupos, pero colocando una a una las unidades en cada grupo.

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

Obviamente este análisis se complejiza en la medida que se utilicen otros tipos de números, o de magnitudes. El segundo tipo de división se presenta cuando se debe averiguar cuantas unidades se corresponden al valor f(n) (el valor de n unidades, por supuesto n es desconocido). Esto es, conocido el valor de la unidad, cuantas unidades se pueden obtener con una cantidad determinada f(n). Si los números involucrados son enteros, entonces se genera la división quotitiva (o como el Dr. Vasco las llama, «la división diá»), en la cual se trata de saber cuantos grupos se pueden formar con una determinada cantidad una vez conocido el valor de cada grupo. Al igual que el caso anterior, para este tipo de situaciones también es posible encontrar procedimientos que no requieran de la división, como es el caso de una extracción repetida del valor de cada grupo, de la cantidad total57 , donde el resultado es la cantidad de veces que se puede realizar la extracción. En general, sin importar el tipo de números involucrados este tipo de divisiones implica la utilización de la relación funcional, pues la división

$&

relaciona los dos

espacios de medida. Al igual que en el caso anterior, el planteamiento de esta división, implica relacionarla como la inversa de la multiplicación. Como puede verse en los casos anteriores, la multiplicación no es más que un caso particular de proporcionalidad simple directa, solo que en ella se conoce el valor de una unidad. El caso general se da cuando ninguno de los cuatro términos corresponde con la unidad. En este caso, la proporcionalidad simple directa se puede representar o modelar por una función tal que: →  → $ & = ⋅

donde k es la llamada constante de proporcionalidad. Esto es, una función lineal. Esta función cumple con las siguientes propiedades: El estudio de los problemas de proporcionalidad simple directa a partir de la función lineal que la modela, y de sus propiedades, es generalmente pasado por alto en la escuela, y se simplifica su tratamiento a partir del uso de la regla de tres simple directa. En este tipo de problemas se trata de averiguar un valor desconocido _____________________________________________________ 57

Es de anotar que desde este tipo de procedimientos se puede llegar a un antiguo algoritmo para realizar la división que consistía en restar sucesivamente el divisor del dividendo. El resultado era la cantidad de veces que se podía hacer dicha sustracción.

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De la multiplicación a la Proporcionalidad

dados tres valores. El siguiente diagrama representa un modelo de una situación típica en las cual está subyacente la proporcionalidad simple directa: $ &+ $ & = $ + & $λ ⋅ & = λ ⋅ $ &

Su solución pasa bien por un análisis escalar (analizando las relaciones entre las cantidades del mismo espacio de medida) o por uno funcional (analizando las relaciones entre las cantidades correspondientes de un espacio de medida al otro) 58 . = λ ⋅ $ & = λ ⋅ $ & . En Un análisis escalar implica reconocer que si este caso λ es un número racional y no tiene unidades59 . Por su parte, un análisis funcional implica el reconocer que si a = d × f ( a ) entonces b = d × f (b) , o lo que es lo mismo, si d × a = f (a ) entonces d × b = f (b)60 . En este caso δ es un número racional con unidades61 , y es el inverso multiplicativo de la constante de proporcionalidad, o la constante misma.

Aunque cada uno exige un tipo de análisis distinto de la situación, pues implican poner en relación magnitudes de dos espacios de medida distintos –en el segundo caso, o del mismo espacio de medida –en el primero, la elección de una relación u otra para la solución de la situación está determinada por factores tales como la naturaleza de las magnitudes implicadas (continuas o discretas), los números implicados (naturales, enteros, decimales, etc.) y por la naturaleza de los operadores (qué tipo de número son tanto el operador funcional como el escalar). Los procedimientos para resolver uno u otro tipo de problemas puede ser muy variado dependiendo del grado de dificultad del problema (una discusión detallada de estos puede leerse en Vergnaud, 1988, 1991, 1993a, 1993b). Uno en particular muy importante se presenta cuando los alumnos emprenden una solución tipo aditiva (utilizando la primera propiedad descrita antes) en problemas en los que están dados a, f(a), b y f(b) y se debe averiguar f(c), donde c= a+b pues en este caso f(c) = f(a) + f(b). Es pertinente anotar que este tipo de problemas puede ser modelado a través de una tabla de correspondencia entre los dos espacios de medida, la cual, además de constituir una buena herramienta para comprender las relaciones de proporcionalidad que están involucradas, en tanto que permite ver la dependencia de las varia_____________________________________________________ 58

59 60 61

Lo cual desde ningún punto de vista implica que primero haya que enseñar la función lineal a los alumnos para que puedan resolver problemas de proporcionalidad directa, sino por el contrario, desde aquí se puede construir una aproximación bastante interesante para su estudio. Se hace uso de la segunda propiedad antes descrita. Se hace uso de la definición de función dada antes. Un caso particular de este tipo de números se da en física o en química al trabajar con factores de conversión para la transformación de unidades.

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ciones de los valores de un espacio de medida con respecto al otro espacio de medida, también permite realizar representaciones gráficas en el plano cartesiano. Esto aspectos permiten varias formas de aproximarse a la correlación entre los dos espacios de medida, y por ende a las propiedades del modelo matemático en juego. • ESTÁNDARES RELACIONADOS

Numérico Primero a Tercero

Reconocer significado del número en diferentes contextos (medición, conteo, comparación, codificación, localización entre otros) Reconocer y describir situaciones de cambio y variación utilizando lenguaje natural, dibujos y gráficas.

Cuarto a quinto

Analizar y explicar relaciones de dependencia en situaciones económicas, sociales y de las ciencias naturales.

Sexto a séptimo

Analizar las propiedades de variación lineal e inversa en contextos aritméticos y geométricos.

Octavo a noveno

Modelar situaciones de variación con funciones polinómicas.

Numérico Primero a Tercero

Describir, comparar y cuantificar situaciones con números, en diferentes contextos y con diversas representaciones Resolver y formular problemas en situaciones de variación propocional.

Cuarto a quinto Sexto a séptimo

Modelar situaciones de dependencia mediante la proporcionalidad directa, inversa. Usar diversas estrategias de calculo y de estimación para resolver problemas en situaciones aditivas y multiplicativas Resolver y formular problemas en contextos relativas y de variaciones de medidas. Justificar el uso de representaciones y procedimientos en situaciones de proporcionalidad directa e inversa

SITUACIÓN 1: SITUACIONES PARTICULARES

•ACTIVIDAD 1: La fábrica de osos

62

Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador. _____________________________________________________ 62

Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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De la multiplicación a la Proporcionalidad

Qué hacer w La mamá de Carlos y Alejandra hace osos de peluche. Los niños ayudan a su mamá cortando las patas de los osos. ¿Cuántas patas necesita cortar Carlos para hacer cinco osos? Alejandra corta 23 patas ¿Para cuántos osos le alcanzan? w Con otro compañero y por turnos, cada quien dice una cantidad de osos que esté entre el 1 y el 20. El otro calcula la cantidad de patas que se necesitan para hacerlos. Registren los resultados en sus cuadernos. w Ahora, por turnos, cada uno dice una cantidad de patas entre 1 y 100. El otro calcula la máxima cantidad de osos que se podrían hacer con dichas patas, y si es del caso, la cantidad de patas sobrantes. Registren los resultados en sus cuadernos.

•ACTIVIDAD 2: Agua con sabor a…

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Número de participantes: 2 Materiales: Papel, lápiz y borrador.

Qué hacer 8

9"! 9

w En la escuela de Juan están preparando agua de distintos sabores para una fies: naranjada, 9 ; 8 de jugo !" de naranjas, 10 vasos ta. 8Para hacer en8la olla se0 puso 20 vasos de agua y 2 vasos de azúcar. Con esta fórmula se obtienen 30 vasos de naranjada. ¿Cuántos vasos de jugo de naranja, y cuántas tazas de agua y azúcar deberán ponerse en otra olla para obtener naranjada con el mismo sabor que en la primera olla, de tal forma que alcance para:

w Paula y sus compañeros preparan jugo de tamarindo para los raspados de la fiesta. En una botella pusieron 3 tazas de agua y 5 cucharadas de pulpa de tamarindo. En otra botella pusieron 8 tazas de agua y 10 cucharadas de la misma pulpa. En otra botella pusieron 6 tazas de agua y 8 cucharadas del concentrado de _____________________________________________________ 63

Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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tamarindo. Lupe dice que el jarabe que tiene más sabor es el de la segunda botella. Pepe dice que el que tiene más sabor es el de la tercera botella. ¿Quién tiene razón? ¿Por qué? w Se tienen 56 limones para hacer dos ollas de agua fresca. A una le caben 4 litros de agua, a la otra le caben 3. ¿Cuántos limones deberán ponerse en cada olla para que toda el agua tenga el mismo sabor?

•ACTIVIDAD 3: Mezclando pinturas

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Número de participantes: 2 Materiales: Vasos y cucharas desechables pequeñas, vinilos de color rojo, amarillo y azul (colores primarios), agua, palitos de paletas, pinceles.

Qué hacer El equipo desea pintar un afiche para desarrollar una campaña ecológica. Para ello, deben mezclar en un vaso, las siguientes cantidades de pintura: dos cucharadas de pintura amarilla, 1cucharada de pintura azul y 1 cucharada de agua. w w w w w

w

w w w

w w

¿De qué color crees que es la mezcla? ¿Cuántas cucharadas de pintura hay en el vaso? ¿Qué fracción de la mezcla es pintura amarilla? ¿Qué fracción de la mezcla es pintura azul? ¿Qué resultado obtienes al sumar la fracción de pintura amarilla con la fracción de pintura azul? ¿Por qué crees que se obtiene ese resultado? Raúl dice que el resultado que se obtiene es 1, René dice que es 3/4 y Cristina dice que es 3/3. ¿Quién tiene razón? Para complementar la campaña, se requiere elaborar mensajes y plegables acordes con el afiche. Para ello, se hará una mezcla del mismo color, pero ahora se utilizarán 8cucharadas de pintura amarilla. ¿Cuántas cucharadas de pintura azul se deben utilizar? ¿Cuántas cucharadas de pintura habrá en el vaso? ¿Qué fracción de la mezcla es pintura azul? ¿Qué fracción de la mezcla es pintura amarilla? Debido a la gran acogida de la campaña, se requiere elaborar más plegables. Para ello, ahora se ponen 5 cucharadas de pintura azul y quieren que la mezcla salga del mismo color con que han venido trabajando. ¿Cuánto deben utilizar de pintura amarilla? Si para hacer una mezcla de igual color, el equipo utilizara 3 cucharadas de pintura amarilla, ¿cuánto tendría que agregar de pintura azul?

_____________________________________________________ 64

Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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De la multiplicación a la Proporcionalidad

•ACTIVIDAD 4: Agua azucarada

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Número de participantes: 2

Qué hacer Se desea preparar agua azucarada utilizando dos botellas diferentes, como se muestra en la siguiente figura: Primer ensayo: En la botella A se echan 4 vasos de agua, y 2 cubos de azúcar. En la botella B se echan 6 vasos de agua, y 3 cubos de azúcar. w ¿En cuál botella queda el agua más dulce? w Para preparar 2 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? w Para preparar 4 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? w Para preparar 10 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? w Escribe una regla general que le permita calcular la cantidad de agua y azúcar que se necesitan, para preparar cualquier cantidad de botellas. Segundo ensayo: En la botella A se echan 4 vasos de agua, y 6 cubos de azúcar. En la botella B se echan 8 vasos de agua, y 10 cubos de azúcar. w w w w w

¿En cuál botella queda el agua más dulce? Para preparar 3 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? Para preparar 6 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? Para preparar 9 botellas de cada una, ¿cuánta agua y azúcar se necesita? Escribe una regla general que le permita calcular la cantidad de agua y azúcar que se necesitan, para preparar cualquier cantidad de botellas.

•ACTIVIDAD 5: En el restaurante

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Materiales: Cuaderno y lápiz Número de participantes: 2

Qué hacer Los estudiantes de tercer grado están organizando una salida a un parque recreativo. La lista de precios ofrecidos en la cafetería se muestra a la derecha. _____________________________________________________ 65 66

Adaptación tomada de: Petit X numéro spécial activités - novembre 92. pp 82. Tomado y adaptado de: http://www.sep.gob.mx/work/appsite/librosprimaria/libros/index.htm

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w “Gerardo y sus amigos comieron en el restaurante. Compraron 3 tacos, 4 pinchos, 2 botellas de agua y 5 gaseosas”. En su cuaderno escriba qué preguntas le puede poner al anterior texto. Haga las cuentas para contestar las preguntas que hizo. w Armando compró 4 arepas y dos gaseosas para compartir con sus amigos. Elija la cuenta que le sirve para saber cuánto pagó. • 500 + 800 y 1300 × 4 • 500 × 4 y 800 × 2 • 500 × 4 ; 800 + 800 y 2000 + 1600 ¿Existen otras formas para saber cuánto pagó Armando?

•ACTIVIDAD 6: Bombones y caramelos

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Materiales: Cuaderno y lápiz Número de participantes: 2

Qué hacer Una compañía empaqueta cajas de bombones intercalando un caramelo, por cada cuatro bombones, según se mues_____________________________________________________ 67

Tomado de: GODINO, Juan. Proporcionalidad y su Didáctica. p 54.

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tra en la figura. Los círculos representan los bombones y los cuadrados los caramelos. Las dimensiones de la caja se indican mediante el número de columnas y de filas de bombones que hay en cada caja. w ¿Cuántos caramelos tiene la caja cuyas dimensiones son 4 x 5 y 5 x 6? w Si una caja contiene 60 bombones ¿De cuántas y cuáles formas se pueden organizar? ¿Cuántos caramelos contienen dichas cajas? w Si una caja contiene 72 bombones y tiene 4 columnas, ¿Cuántas filas tiene? ¿Cuántos caramelos tiene? w Desarrolle un método para encontrar el número de caramelos en cualquier caja si se conocen sus dimensiones. Explique y justifique el método usando palabras, diagramas o expresiones con letras w Si una caja contiene 48 bombones ¿Cuál sería la máxima cantidad de caramelos que se podrían empacar?

•ACTIVIDAD 7: Haciendo presupuesto Materiales: Cuaderno, lápiz y tabla de precios. Número de participantes: 2 Qué hacer Elabore un presupuesto de alimentación mensual para su familia. Para ello, consulte qué cosas y cuánta cantidad se consume a diario en su hogar. Tenga en cuenta la lista de precios dada en el salón de clase. ¿Cuánto dinero se requiere para cumplir con el presupuesto?

•ACTIVIDAD 8: Una receta Materiales: Cuaderno, lápiz. Número de participantes: 2

Qué hacer Receta de sopa de cebolla para 8 personas 8 cebollas 3 tazas de agua 2 cubos de caldo de gallina 2 cucharadas de margarina de mesa ½ taza de crema de leche Sal y pimienta al gusto

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w Si se requiere preparar sopa para 4 personas. ¿Cuántos cubos de caldo de gallina serían necesarios? ¿Alcanza 1 taza de crema de leche? Sobra? Falta? Cuánto? w ¿Cómo sería la receta si se quisiera preparar sopa para 1 persona? w ¿Qué cantidad de ingredientes serían necesarios para preparar sopa para 12 personas?

•ACTIVIDAD 9: Una ciudad congestionada

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Materiales: Cuaderno, lápiz, Internet o propaganda de automóviles. Número de participantes: 2

Qué hacer Por determinadas calles del centro de una ciudad pasa cada día una gran cantidad de vehículos. Por ejemplo, por la avenida Oriental pasan unos 100.000 carros en un día normal (no tienen por qué ser distintos, puesto que un mismo carro puede pasar varias veces por esta avenida en un día, como ocurre con los taxis). Si se colocaran todos estos carros en fila, ¿qué longitud alcanzarían? ¿Qué superficie ocuparían? ¿Cuánto pesaría el conjunto? Para poder hacer los cálculos (que necesariamente serán aproximados, y en los que interesa sobre todo es el orden de magnitud del resultado) a continuación le proporcionamos una tabla con las dimensiones y el peso de algunos modelos. Tabla de dimensiones y pesos Si se utilizan los transportes públicos en vez de carros particulares se ocupa mucho menos espacio, con lo que hay me4 " nos tacos y se tarda menos tiempo en des0 plazarse. Supongamos que 60 personas "! que suelen desplazarse en carros parti8 F G! culares deciden ahora pasarse al bús. 4 " / ¿Qué ganancia de superficie se consigue? Observe que necesitará las dimensiones de un autobús (que puedes obtener de forma aproximada observando alguno por la calle; si lo prefiere, podemos partir de una estimación: 10 metros de largo y 3 de ancho). Los resultados también variarán según el número de carros que utilicen las personas (puedes calcular los valores extremos entre los que se encontrará: una persona como mínimo y cuatro como máximo). + !

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_____________________________________________________ 68

Tomado y adaptado de: CORBALAN, Fernando. La matemática aplicada a la vida cotidiana. pp 132-135

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Bibliografía ALVAREZ G, Jairo; TORRES, Ligia; GUACANEME Edgar. Tercer estudio internacional de matemáticas y ciencias. Análisis y resultados Prueba de matemáticas. Santafé de Bogota. 1997 BROUSSEAU, G. (1986): Theorisation des phénomenes d´enseignement des mathématiques. Thése d´Etat. Bourdeaux. DECORTE, Lieven; VERSCHAFEL, Eric. Number and Arithmetic. International Handbook of Mathematics Education, 1996, p . DICKSON, L.; BROWN, M. y GIBSON, O., El aprendizaje de las matemáticas, Barcelona, Editorial Labor, S.A., 1991. DUVAL, Raimond. semiosis y pensamiento humano: Registros semióticos y Aprendizajes intelectuales Peter Lang S.A. Editions scientifiques européennes, 1995.Traducción al español de Myran Vega Restrepo. 1999. FREUDHENTAL, H (1983) Didactical Phenomenology of mathematical structures. D. Reidel Publishing company. GARCÍA, Gloria, SERRANO, Celly. La comprensión de la proporcionalidad, una perspectiva cultural. Cuadernos de matemática educativa. Asociación Colombiana de Matemática educativa.1999. GOBERNACIÓN DE ANTIOQUIA. SECRETARIA DE EDUCACIÓN PARA LA CULTURA. Interpretación e Implementación de los estándares básicos de matemáticas. Medellín, 2005. P 135 GONZALEZ, José Luís y otros. NÚMEROS ENTEROS. Editorial. SÍNTESIS. Madrid, 1990. 205 p. GREER, Brain. Multiplication and División as Models of Situation. p 276-295. KAMII. Constante. Reinventando la aritmética II. Aprendizaje Visor. 2º ed. Madrid. 1994. P 220 KAMII, Constance. Reinventando la Aritmética III. Implicaciones de la Teoría de Piaget. Traducción de Genís Sánchez Beltrán. Edición Visor. 1994. LEHS, Richard; POST, Thomas; BEHR, Merlyn. Proportional Reasonig. In Number concepts and operations in the middle grades. James Hierbert and Merlyn Behr (eds.). National Council of Teacher of Mathematics. Virginia (USA): Lawrence Erlbaum associates. 1988. Pgs. 93-117.

135

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Pensamiento Numérico y Sistemas Numéricos

MARTÍNEZ, M, Jaime. Una nueva didáctica del cálculo para el siglo XXI. Monografías Escuela Española. CISPRAXIS, S.A. 2000. Barcelona. P 184. MAZA G. Carlos. Enseñanza de la suma y de la resta. Matemáticas Cultura y aprendizaje. Editorial Síntesis. Madrid 1999. 160p PARRA CECILIA E IRMA RUIZ. (comps). Didáctica de las matemáticas. Aportes y reflexiones. Paidós Educador. 1994. Buenos Aires. 299p MCINTOSH, A.; REYS, B. J. y REYS, R. E., A Proposed Framework for Examining Basic Number Sense. For the Learning of Mathematics 12, 3 (November 1992), FLM Publishing Association, White Rock, British Columbia, Canadá, 1992. Citado en: NATIONAL COUNCIL OF TEACHERS OF MATHEMATICS, Estándares curriculares y de evaluación para la educación matemática, Edición en castellano: Sociedad Andaluza de Educación Matemática “THALES”, Sevilla, 1989. MESA B, Y CONSUELO URIBE. Cómo construiir pensamiento matemático en la básica primaria?. Escuela Normal Superior María Auxiladora de Copàcabana MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Lineamientos curriculares para el área de matemáticas. Santafé de Bogotá, 1998, p 131. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL. Nuevas tecnologías y currículuo de matemáticas. Santafé de Bogotá, 1999, p 81. NCTM. Estandares Curriculares y de Evaluación. Traducción al español de José María Álvarez F. y Jesús Casado Rodríguez. Sociedad Andulza de Educación Matemática THALES. 1989. NCTM. Standars 2000. LIZCANO Emanuel. Imaginario Colectivo y Creación Matemática: La construcción social del número, el espacio y lo imposible en China y en Grecia. Editosial. Gedisa. 1993 PIAGET. Jean. Introduccion a la Espistemología Genética. Editorial Paidos, p 313, 1975. OBANDO Z, Gilberto. Pensamiento métrico del preescolar a la educación básica. (Artículo en prensa). SOWDER, Judith. Estimation and Number Sence. En Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. Edited by Douglas A. Grouws. National Council Teacher of Mathematics. 1992. VASCO U, Carlos E. Sobre Pedagogía y Didáctica. En Pedagogía Discurso y Poder. Mario Díaz y José A Muñoz (Editores). CORPRODIC, Santafé de Bogotá.1990. p 105 – 122. VASCO U., Carlos E.. La educación matemática: una disciplina en formación. En Matemática Enseñanza Universitaria. Vol III. Nro 2. 1994. Pgs. 59-76.

136

VERGNAUD, Gerard. El Niño, las Matemáticas y la Realidad. Editorial Trillas. Mexico. P 275, 1991. VERGNAUD, Gerard. La teoría de los campos conceptuales. En Lecturas de didáctica de las matemáticas, escuela francesa. Compilación de Ernesto Sánchez y Gonzalo Zubieta. 1993. Traducido de: La theorie des Champs Conceptuales. Recherches en didactiques des mathematiques. Vol 10. Nros 2 y 3. 1990. Pgs. 133-170. VERGNAUD, Gerard. Le Moniteur de Mathematique: Fichier pedagogique. Editons Nathan.Paris 1993. VERGNAUD, Gerard. Multiplicative Structures. In Number concepts and operations in the middle grades. James Hierbert and Merlyn Behr (eds.). National Council of Teacher of Mathematics. Virginia (USA): Lawrence Erlbaum associates. 1988. Pgs. 127 - 194 WEARNE, Diana; HIERBERT James. Constructing and Using Meaning for Mathematical Symbol: The Case of Decimal Fraction In Number concepts and operations in the middle grades. James Hierbert and Merlyn Behr (eds.). National Council of Teacher of Mathematics. Virginia (USA): Lawrence Erlbaum associates. 1988. Pgs. 220-235.

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