CAPITULO V VECTORES CONTRAVARIANTES y VECTORES COVARIANTES

En el capítulo anterior vimos como se transforman los diferencia les d 'j i en los diferenciales d U al cambiar de las coordenadas ( /j, J ~l.J :! ~ al siste.n:a ( :::L, Xt X, ); esta transformación es : 4-4): Jx,. =-: iJ1L J "t' I I J d rL' ct

)

,,

aquí cone ya sabemos se suma, para cada j sobre i desde uno hasta tres; lo que tenemos en 4-4 son tres ecuaciones; podemos ver los d~f como las componentes del vector J:Y-;' =d ~I L? + cLjz + d.j, L3 y los d'XJ f

it

las componentes de ese mismo vector referido al nuevo sistema curvilíneo I -v \ d. ----. \ --:-'" ,-;"," \ --;? .l"""'X"X,) osea "( == d.:l-, LI 4-~:(Zl2 + q.:i.) [3 aSl pues 4-4 nos dice e omo se transforman la s componentes del vector cl.. Y al cambiar del sistema al -:::4'. Por deÍinición vamos a decir que las componentes de d7 se transforman contravariantemente porque se -transforman según 4-4; podemos generalizar y decir que si las componentes A~ de un cierto vector expresadas en co~denadas ( 'J, :11- J"3 ) se transforman en

tt'

Al

A

componentes del mismo vect0.r de modo que 5-1): 1. a -:::f-J ~ A.!;:: -G) jL'

A

Al

pero referidas a un nuevo sistema ( :L1.xl.~) entonces el vector

,A'"

es un vec-

tor contravariante; , , notemos en primer lugar que el vector como tal no ha cambiado, las A t Y Al se refieren al mismo vector, lo que ha cambiado es el valor de sus componentes porque cambiamos de sistema de coordenadas de (

'11 '1z

~3)

a (Xl I -.L 1., :x. 3 ) ; notemos también la similitud de 5-1) con 4-4); ambas ecuaciones nos dicen que un vector es contravariante si las nuevas componentes ( ó sea componentes en ::te:) se obtienen a partir de las viejas componentes (ó sea componentes en ~l') multiplicando estas por la derivada, par?ial de las nuevas coordenadas con respecto a las viejas coordenadas y tomando en

(s;?,..:t.J_) 2)jL'

este producto sumatoria con respecto al índice i (índice mudo). De ahora en adelante identificaremos con superíndices las componentes de un vector contravariante ; por lo tanto como el vector d. "("es contravariante la ecuación 4-4) se debe escribir con superíndices así:

Estos superíndices no significan elevación a potencia sino que se usan para identificar los vectores contravariantes. Ahora, vimos anteriormente que las componentes del vector gradiente de una función escalar (~, ':17... 'f"3' se transforman al pasar al sistema ( :tI :X2..A3)

cb

•

21

según la fórmula:

a(j;

-

5-2)

-

-

-7

Decimos entonces, por definición, que las componentes del vector \l éP se transforman covariantemente porque se transforman según 5-2; nuevamente hay que cecir que el vector como tal permanece inalterado, cambian solo sus componen~es; podemos generalizar y decir que si las componentes· AL' de un -:>

A

vector

t

se transforman en

según la ley:

'-< L'

I

Al = .~~. A ¿

5-3)

Al

entonces

el vector

es un vector cova-

riante. ~~

Notemos que 5-2) es un caso particular de 5-3) el caso en el cual el vector A es ~ ; para los vectores covariantes utilizaremos. subíndices; la ecuación

5-3) que define un vector covariante nos dice qu~ las nuevas componentes se obtienen a partir de las viejas multiplicando estas últimas por la derivada parcial de las viejas coordenadas con respecto a las nuevas y tomando en este producto sumatoria con respecto al índice { (índice vacío).

Podemos apreciar que 5-1) y 5-3) forman, cada una, un sistema de tres ecuaciones ; para captar mas intuitivamente lo que expresan esas ecuaciones vamos a • expandirlas, es decir dar a l) los valores que pueden adoptar ( t~J :'/J

Ahora:

Q{ ;::.

-:> Y.

:9

y de

S-6 b)

~•

-;r-:¿ -

a.:x( -2 7 ..

se transforman según S-l e s decir, con-

.¿.

d J' a.:x.c.

a:::L l

•

3jJ a:).J a:tL-

aY' - -•

aj"

~•

~.

J

pero

.t-

~?

G>:f

l

"8j3 -o.x i

ay

-dJ'! -•

..:-.'/

b~ ~

~

24

5-6 d)

---"77 J

-7

al' b e

; por lo tan to

se transfor-

man según 5-3 es decir covariantemente.

1

Lo que hic:mos fué coger el vector eL en el punto P y descomponerlo según las dos beses (llamémoslas directas por oposición a sus recíprocas que consideraremos a continuación) ll~ ~ 9~. =- Civ,"'. (i -::. (J ) (re cíproco de los "17) s e tra n sforman c ontravariantemente y los correspondie ntes diferenciale s ( d x. /.' para y el para s e transforman en forma covariante.

aL. ( (::;.),

h?:

a(

)

,

Como el vector 5-7 b) resulta: 5-8 ) •

CL

al

Ji

,

~'7

Y e s e l mismo ye s e a q ue s e expres e por 5-7 a ) o por

el -JJ '-{ .

(ca mbi amo s e l índ ice

25

•

vacío (.. en la ecuación 5-7 b) por el índice vacío

•

J ).

Ahora¡ ya se demostró lo siguiente (5-6 -d ) ;multiplicando escalarrnente a lado y la-

(uno de

~ do por el v ector a.

~ los recIprocas

-;?',: ) resulta: v-

•

Y~ -déJ je.'

sión de la derecha

•

J

j=k

cf sea

es un índice repetido

de suma sobre él

•

L'.

en la I

expre-

pe ro

(por ser bases recíprocas) nos queda entonces:

--

b

notemos que

-7K

O-

a XK a :::é ~~ -- - f J dj( a:s

,

•

~~/=

(ya que -?~

•

1('.0.~

S-lJ)

•

e igual a cero para j:f=. K ) es decir

•

--

1

para

a ..:(( =

a

je

.,.-y

Multiplicando 5-8) escalarrnente por

bk

resulta:

•

f?J .xL' d:í l:=:' ~~ d j j

:::.

d. J t(

dj"

::: ?:t.

5-10 ).

L

•

.dil'

aJI< -

Similarmente: en 5-6-c): 1¡ n

"'"\ 1I J

• --?

o JI.

- - -. DJ 8:11.

-?{

mente por

,

• hemos demostrado pues:

multiplicando ambos lados escalar-

resulta: •

--'?

- ..,

81 ~ oJ • blA. -- (71 e I .

al -

1

•

a:r t

~

~/

-:..

aJI{ ,

.....,.

•

r3.:X- L

•

26 Por lo tanto si multiplicamos -.0:.,

-QI(

5-8) por

resulta: •

--,

a. al( l

,

d x. ~ ~ el::t

'8 'jJ~

l.' :::.

l.'

:;::

-o.x" el. x

pero:

s-u:

-=---'9

K

ax'"

Vemos de 5-10 Y 5-11 que los diferenciales d.Xl.'} d j (' se transforman covariantemente, por lo tanto está justificado que los describamos con subíndices. Hay que anotar que las variables ,::;c) '1) tienen superíndices en todas las derivadas parciales porque se refieren a derivación directa obtenida de ecuaciones ~l' = 'lt' ( X,) x .. , X3 ) y Xt..' = x. L ( 'j,) J2.)~:J ).

-al'

Demostremos finalmente que los vectores recíprocos de los sea los L' y los 1"t..' se transforman contravariantemente.

a

-?

El vector d -r se puede escribir en cualquiera de las 5-7b: es el mismo vector referido en el caso 5-6 a a ,...,. -i> , 5-6 b a la base J:lL', en 5-7a a la base a L (siendo recíproca de y recíproca de

a(

-9

.ht.':;:::'

5-12)

--:-? 'f( XL' ¡--?

d ...,. ::

re

al'

y los

o

formas 5-6 a, 5-6b, S-7a, la base de los -=" Ql' , en 'T"'> ' yen 5-7 b a la base~t. '1~ , siendo =. :O' y

a:·

ax{'

~

),

J Y'"

Igualemos la expresión de -J'

-.

aLclxl.';:: .b

\

ti

'j j

según 5-7a y 5-7b, re sulta:

;hemos cambiado el índice vacío i por j en •

5-7b; de 5-11 tenemos: ( j

d;(L

:::>o

~ d .1J' oX(

índice vacío) entonces en 5-12 •

.C) j~

d 'Jj

:=

é)~1

Ci (

@~': el ~J -

-.b

J

; -> ,

el:t' ::: o

;;-3;:>

d;l.'

5-13 )

; esta ecuación contiene tres térmi-

nos ( j= 1,2, 3 ) cada uno de ellos con un paréntesis que contiene tres cantida--? , ( i= 1 ,2 I 3 ) I C o m o los d '5 J s o n in de pe n des aL ~, ~,J.

a ;t..t'

27

• dientes entre si ( j :=. ¡, z) 3 ) entonces los términos entre paréntesis se deben anular para que se cumpla 5-12 , por lo tanto:

5-14)

Similarmente: si en 5-12) reemplazamos 5-10 ( es decir 1J ~ q::t~ d. X ('

el.

el lJ'

;;;~J

•

-

8X':-

él'Ji d.1l.' ;::

I

\

d;;!" - ':.

a 'jJ

'a

r -111-0..)

;,J

por su valor que se obtiene de ) tendremos:

d

XI.: ";:

f.::)

-=---'='?

7p

:::: O

:::!:::¡

- ? L' _-

5-14 Y 5-14a.nosdicen que los vectores se transforman contravariantemente. Queda por lo tanto justificado expresar tro :fOrma s: .

eLY' de

cualquiera de las siguientes cua-

• -'7

5-15

j:j - el :t aL' L

d:v -- djL b -->'>. d7 ::: d eL L d:7 ~ dJl b L'

:tL'

L

En esas expresiones se debe sumar sobre i. --;>

En el caso de que en el punto P se tenga un vector ~

J y'

.

A

diferente del vector ~,~

¿como lo podemos expresar en las bases recíprocas Q

lJ

al' del

coordenado (

t" T7, :t.1:t 1. X'3 ) Y en las bases recíprocas () "') .(J L J ,

coordenado (

ji, 1"t. 'i -; I

sistema

del sistema

)?

En primer lugar debemos ver al vector

-"'7

A

como un vector fijo en el punto ' P

por lo tanto lo que vamos a encontrar es la expresión de sus componentes según cuatro bases diferentes; ahora este vector es igual a K cf7 siendo K

-¡;;'

,

28 ~

-4\:I

un escalar y J V un vector infinitesimal en la dirección de A: entonces como -::-7 A es invariante (es fijol su magnitud y orientación en, el espacio no cam, bian) K tampoco cambiará al cambiar de coordenadas ::t.'" a J" o viceversa; por lo tanto si cada una de las ecuaciones 5-15 las multiplicamos por la constante 1 (' !J

-?

Como se ve I dado un vector A sus componentes según los vectores bas9s covariantes ( ya sea a~' ó se transforman contravariante~e.nte y s1!s L ) se componentes según los vectores bases contravariantes ( ya sea aL 6 transforman covariantemente; por lo tanto si en un punto P tenernos un sistema coordenado ~'=- XL' ( ~.) J ,-.1,,) ) L::.. ',"l. ) si los vectores base .,. directos son = a.:i. y los vectores base recíprocos son = 'l:Lt:. entonces

Et )

b

al'

tri

;:)::t. "

cualquier vector guientes: -A=?'

A"

AL =

se puede expresar de cualquiera de las dos maneras si--"7"7 A ~l . ' al::'

L U

--:-"?

A modo de ejemplo: si en un plano tenemos un vector 'A este se puede descomt como se muestra en el dibujo siguiente: poner según las tl~ o según

a

•

29

x' -'1

Aa. a

\

"

"

"",

\

\

, \

\ \ \

, ,

, " --------).,.

-

al

OPERACIONES CON VECTORES EN COORDENADAS CURVILINEAS -:;.

A

Dadas las coordenadas :i.l' = Xl' ( 1, '11. ~3) un vector cualquiera en un punto P del espacio puede ser repres~nt~do ~egún la base de vectores directos (l~ ó según la base recíproca en general 11"7 puede ser escrito así: 5-16)/\

=

Si tomamos resulta:

Al' a~

Al. eL'

=

-;-'?

f -:-'?

A

A, al

=

aL' ;

-')

ti !J..,. y multiplicamos escalarmente a. ambos lados por (j.'f = At' el(. Zif = AL' ~l = AJ'.::::';)5. J6CL) AJ=A. 211 tenemos así

que las componentes contravariantes de un vector se obtienen multiplicando es calarmente él este vector por los correspo%!ientes vectores bases recíprocos; similarmente se obtiene : 5-16 b) AL' = ó sea: las componentes covariantes de un vector se obtienen multiplicando a este e sCéllarmente por los co·· rrespondientes vectores base directos .

A, lfl

_-JI>

-:-':?

A, --B se 7:' '( j L' eeL', uJ ) =- A' .8J o A 13 el producto escalar

L' : .

obtiene l'

30

-:?

-?

A):B

11. oh + 11 .01

I

es decir: 5-17) A,.a ==- ¡.. ~I +J ; en el caso de que las coordenada3 sean cartesianas entonces las bases 11/ y a1· ( t':. J, '1.)"3 ) l están formadas por vectores unitarios e igualesCa '= á~por lo tanto no hay diferencia entre componentes contravariantes y covariantes de un vector pudiéndose escy:.bir 5-17 así: = A l' lit' = Al 8, + A&.lh + A~ B) que es la expresión para el producto escalar cuando las coordenadas son cartesianas (es decir vectores base unitarios y triplemente ortogonales).

X.E

Otra forma de escribir el producto --? - ?

(

A.S :: '-.A

11

---='7

A. Ir

::=.

•-"')

-";)

(JL'),

(BJ' GJ ) == Al

7f' uj'

aL'.

d lJ'::

l

-¡;:. Bes la •

resulta pues

(Al' al') . (Bi

13j '

(

m . aj')

llamemos

== A ['8/ q

1

-¿.l

u

)

)

pero de 5-2 o: por lo tanto:

\

32

--

suma sobre i, j, k)

I

Corno vimos en el artículo 2)

-

.-...

por lo tanw:

Terminamos este capítulo con un ejemplo sobre componentes covariantes y contravariantes de un vector en coordenadas curvilíneas. Determinemos las componentes covariantes y contravariantes del vector velocidad de una partícula P moviéndose en el espacio en términos de coordenadas cilíndricas

I I --------- -------

,/

/ ./

,/

'
l. + sen ~ h th = -Y5en -e- i... + yt.o5-& ~ il. -='? --> ~ ¿~ 1 Cos?-9 + Ah'r't t; :. I

-

--

a3

_ a.. a, :. . ~ gIl. =- ~ .~~

~

11-

-

91:' = al.

;¡

2. ')

=-

f/u.

=

?

a~'C3; -='"

-?

U3:::'

Q

= ~\ = o Q3' ClJ '" q-~I ;: o

: : Cb, tL;::. g3'l.

~2 • C13

;:::

o

a.l. . Zlz. :::. y:L ~33 = ~.: á

a3' Por lo tanto en 5-24

\y

4 \f OJ • V:t.. -;::. \VlX' _-

Notemos que V~ ..... V.:l y V.t..3 =- V:t) esto e s así ya que como para coordena~ 3 tiedas cilíndricas UI, ~,Cb son7"C>mutuamente ortogonales ,entonces Di aL 6 -..,. ,.....". ..,.-') ~ nen las mismas direcciones de l Á l D.:2. tl..3 y como D., y CL3 son unitarios, entonces también lo son por tanto = y Zi3 -:: y normales a 1 vector 11l y se debe cumplir Vx, -:: VJLI , = no se cumple l

a' ya:J

tI

VX'L

a al

aa.

V;(. ')

a3

y:t.') • J

~

que V Xl. = ya que aunque tenga la misma dirección de a.. no son vectores unitarios sino que 0.;' es yl veces mas grande que ZJ). (compa~ ~ ~ ~ rar Cl:l. y al. al final del cap. In) por lo tanto la componente de V según tl.i e .s mas pequeña que la componente según esto es: ~ == \.

,a.

-';>

O-?,

V::t.l

yt