Parcialito de los prácticos 5 y 6 ESCUELA DE ECONOMIA, ADMINISTRACION Y TURISMO - U.N.R.N. Comisiones 6 y 7, Junio 2012

Enunciado Encuentre los valores de x que cumplen las siguientes condiciones: 1. x3 + 3x = 4x2 2.

2 x+2

−

x 3

−

x x2 +2x

=0

3. (x − 2)(x + 4) < 0 4. 3x2 + 5(x + 1) > 2x(x − 1) − 5 Exprese las soluciones como valores discretos o como intervalos según corresponda.

Resolución A continuación se presenta una de las tantas manera de las que se pueden pensar y resolver los incisos (1.) y (2.). Se intenta ser ordenado en el planteo de manera de tener presente cada operación y poder en un futuro resolver casos más complicados. 1.

x3 + 3x = 4x2

1.1. Como pensar el problema Una primera observación es que a esta ecuación se la puede pensar como la igualación de dos polinomios: Pa (x) = x3 + 3x y Pb (x) = 4x2 . Para encontrar los valores de x donde Pa (x) y Pb (x) son iguales, suele ser conveniente juntar los dos polinomios de un lado de la ecuación, por ejemplo se puede pasar restando Pb (x) de manera de obtener Pa (x) − Pb (x)=0. De esta manera denimos un nuevo polinomio P (x) = Pa (x) − Pb (x) al cual debemos encontrarle sus raices; es decir, hallar los valores de x tales que P (x) = 0.

1.2. Buscando raices Ahora debemos encotrar las raices de P (x) = x3 −4x2 +3x. Como P (x) es un polinomio de grado mayor que 2 no podemos usar la formula de bascara para hallar sus raices. Entonces, debemos buscar las posibles raices enteras que son los divisores del término independiente y aplicar Runi. Observamos que P (x) no posee un término independiente, por lo que es razonable sacar factor común x. Resulta entonces P (x) = x(x2 − 4x + 3). Es decir, escribimos a P (x) como el producto de dos polinomios: Pc (x) = x y Pd (x) = x2 − 4x + 3. Si cualquiera de los dos es cero, P (x) también lo será, por lo que las raices de Pc (x) y Pd (x) serán raices de P (x). Por un lado, vemos que x1 = 0 es raiz de Pc (x). Por otro lado, podemos usar la formula de bascara para hallar las raices de Pd (x) ya que es un polinomio de segundo grado. De esta manera se obtiene que las otras dos raices de P (x) son x2 = 1 y x3 = 3. 1

1.3. Respuesta Los valores de x que cumplen la condición x3 + 3x = 4x2 son: x1 = 0, x2 = 1 y x3 = 3. 2.

2 x+2

x − x3 − x2+2x =0

2.1. Como pensar el problema Una primera observación es que esta ecuación presenta en el término izquierdo la suma de tres 2 x fracciones: fa (x) = x+2 , fb (x) = − x3 y fc (x) = − x2 +2x . Debemos entonces proceder a operar fracciones; es decir, encontraremos una función f (x) = fa (x)+fb (x)+fc (x). Una vez encontrada f (x) buscaremos que valores de x anulan a f (x); es decir, cuales x hacen que f (x) = 0.

2.2. Simplicando Para realizar cuentas mas sencillas es conveniente simplicar donde sea posible. Al mirar jo a cada una de las fracciones uno se puede dar cuenta de sacar factor común x en el denominador de x a x = − x(x+2) . De la misma manera que 33 = 11 = 1 o a.b = 1b , se pueden simplicar fc (x) = − x2 +2x 1 1 x = − (x+2) . Ahora fc (x) = − x+2 presenta las x del numerador y denominador: fc (x) = − x(x+2) 2 una forma similar a fa (x) = x+2 , más precisamente, ambas fracciones presentan un común denominador que es (x + 2). Es por esto que resulta conveniente sumar estas dos fracciones primero; es decir: f (x) = fa (x) + fb (x) + fc (x) = [fa (x) + fc (x)] + fb (x).

2.3. Operando fracciones 1 1 2 − x+2 = x+2 . Considerando f (x) = [fa (x) + fc (x)] + Resolvemos primero fa (x) + fc (x) = x+2 1 x fb (x) resulta entonces que f (x) = x+2 − 3 . Recordemos como obtener denominador común: ab ± dc = a.d±c.b , donde a, b, c y d pueden b.d ser cualquier función, eso incluye tanto a números como a polinomios. En este caso a = 1, 2 −2x+3 = −x3(x+2) . De aquí conlcuimos b = (x+2), c = x y d = 3, por lo que se obtiene f (x) = 3−x(x+2) 3(x+2) P (x) que f (x) es el cociente entre dos polinomios, es decir f (x) = Q(x) con P (x) = −x2 − 2x + 3 y Q(x) = 3(x + 2). Para que dicho cociente se anule (f (x) = 0) es necesario que P (x) se anule, es decir, debemos buscar las raices de P (x). Esto resulta sencillo ya que P (x) es un polinomio de grado 2 y podemos aplicar la fórmula de bascara. De esta manera se obtiene que las raices de P (x) son x1 = −1 y x2 = 3.

2.4. Respuesta Los valores de x que cumplen la condición f (x) =

2

2 x+2

−

x 3

−

x x2 +2x

= 0 son: x1 = −1 y x2 = 3.