DERIVABILIDAD CONCEPTO DE DERIVADA. Una función y = f (x) es derivable en el punto x0 si existe el límite f (x) − f (x 0 ) Lím x − x0 x→x 0 valor que se suele representar por f ' ( x 0 ) , derivada de la función en x0. El punto x pertenece a un entorno de x0 por lo que se suele hacer x = x0 + h y entonces la definición anterior toma otro aspecto: f (x 0 + h) − f (x 0 ) = f ' (x 0 ) Lím h h →0 Si en la primera expresión hacemos que x → x 0+ tenemos la derivada en x0 por la derecha y si hacemos x → x 0− , la derivada de x0 por la izquierda: f (x ) − f (x 0 ) Lím = f ' ( x 0+ ) + x − x0 x→x o

Lím

x → x o−

f (x) − f (x 0 ) = f ' ( x 0− ) x − x0

Análogamente, si en la segunda expresión hacemos h→0+ y h→0− tenemos la derivada por la derecha y por la izquierda: f (x 0 + h ) − f (x 0 ) f (x 0 + h) − f (x 0 ) = f ' ( x 0+ ) = f ' ( x 0− ) Lím Lím + − h h h →0 h →0 Luego para que una función sea derivable en un punto, debe tener derivada por la derecha y por la izquierda y además que estas sean iguales. f ' x 0+ = f ' x 0−

( ) ( )

Se llama función derivada a una aplicación dentro del conjunto de los nº Reales tal que a cada valor de x le hace corresponder un valor f '(x), siendo este: f (x + h ) − f (x) f ' ( x ) = lím h →0 h