ÓPTICA. PROPAGACIÓN DE LA LUZ La luz es una onda electromagnética (OEM), Luis de Broglie puso fin a la controversia de la naturaleza de la Luz, todas las partículas en movimiento tienen asociada una onda, y toda onda tiene asociada una partícula ( h / mv ), por tanto, la luz tiene doble naturaleza: onda y corpúsculo.

λ=

La luz se propaga según líneas recta denominadas rayos. Un rayo es una línea imaginaria dibujada en la dirección en la cual se propagan las ondas. La luz viaja en línea recta con velocidad constante en un medio homogéneo e isótropo

La velocidad de la luz es tan grande, que esta finales del siglo XVII se aceptaba que su propagación era instantánea, es decir, que su velocidad era infinita. En la actualidad, el valor aceptado para la velocidad de la luz en el vacío es: c = 2,99792458 m/s Se puede emplear el valor 3×108 m/s sin que se cometa un error significativo. La velocidad de la luz en el aire es prácticamente igual que en el vacío. Índice de refracción absoluto de un medio material es la relación entre la velocidad de la luz en el vacío c y la velocidad en dicho medio. c n= v A mayor índice de refracción del medio, más refringente será el medio, y menor será la velocidad de la luz en él. El índice de refracción de un medio depende de la longitud de onda de la luz utilizada, en el vacío, la velocidad de la luz es la misma para todas las longitudes de onda, pero en un medio material no, la velocidad de la luz depende del medio material por el que se propague. La frecuencia de la luz cuando se propaga por un medio material no varia c f v En cualquier otro medio: λ = f

En el vacío se cumple: λ o =

λ=

λ v  c c c λ  = v =  = = λ o =  = o ⇒ n = o f  n f ⋅n  f n λ

La velocidad y la longitud de onda de la luz es inversamente proporcional al índice de refracción del medio por el que se propaga.

Ejemplo 1: El índice de refracción absoluto del diamante es 2,38. Para una luz cuya longitud de onda en el aire es de 630 nm calcula: a) La velocidad de esa luz en el diamante b) La longitud de onda y la frecuencia de la luz en el interior del diamante. Dato: velocidad de la luz en el vacío: c = 3 × 10 8 m s Solución. a. Teniendo en cuenta la definición de índice de refracción: c c 3 × 10 8 n= v= = = 1,26 × 10 8 m s v n 2,38

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b. Por definición, v = λ ⋅ f aplicando al vacío, c = λ o ⋅ f , ecuación que permite despejar la frecuencia conocida la longitud de onda en el vacío. 3 × 10 8 m s c f= = = 4,76 × 1014 s −1 −9 λ o 630 × 10 m La frecuencia no varia al cambiar de medio, por lo que aplicando la definición de índice de refracción se puede relacionar los longitudes de onda. λ 630 × 10 −9 c λ ⋅ f λo = λ= o = = 265 × 10 −9 m = 265 nm n= = o n 2,38 v λ⋅f λ

Reflexión y refracción de la luz. Cuando un haz de luz llega a la superficie de separación de dos medios transparentes, una parte se refleja, cambiando de dirección pero manteniendo la velocidad (reflexión), y la otra parte se propaga al segundo medio cambiando de dirección y de velocidad (refracción). Reflexión de la luz. Cuando un rayo emitido por un foco incide sobre una )

superficie metálica pulida (espejo), el ángulo i , que forma el rayo incidente con la ) Normal se denomina ángulo de incidencia, y al ángulo r , que forma el rayo reflejado con la Normal, ángulo de reflexión. Las leyes de Snell para la reflexión son: • El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado se encuentran en el mismo plano • El ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión.

Refracción de la luz. Al cambio de dirección de propagación de la luz, cuando pasa oblicuamente de un medio homogéneo e isótropo a otro, se denomina refracción. • •

Las leyes de Snell para la refracción son: El rayo incidente, la normal y el rayo reflejado se encuentran en el mismo plano La relación entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción es una constate característica de los dos medios. ) sen i n 2 v1 = )= sen r n 1 v 2

) ) Que también puede escribirse: n 1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen r Si la luz pasa de un medio a otro de mayor índice de refracción absoluto (más refringente), el rayo refractado se acerca a la normal, disminuyendo la velocidad de la luz. Al producto del índice de refracción por el seno del ángulo que forma en ese medio el rayo con la normal se le denomina invariante de refracción y es una constante, de tal forma que si aumenta el índice de refracción, disminuirá el ángulo y viceversa

Ángulo límite. Si un rayo pasa de un medio a otro menos refringente (menor índice), el rayo refractado se aleja de la normal, en estas condiciones, si el ángulo de incidencia es los suficientemente grande, el rayo puede no refractarse, reflejándose totalmente en la superficie de separación de los dos medios.

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Aplicando la ley de Snell al ángulo límite:

) ) ) ) ) )  i ≡ l  n 1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen r : )  : n 1 ⋅ sen l = n 2 ⋅ sen 90º ; n 1 ⋅ sen l = n 2  r = 90º  ) n l = arcosen 2 n1

Para que se produzca reflexión total, debe cumplirse que n2 < n1.

Ejemplo 2. Un haz de luz monocromática incide desde el aire sobre la superficie de un vidrio de índice de refracción 1,54, con un ángulo de 45º. Calcular los ángulos de reflexión y de refracción. Solución. El ángulo de reflexión es el mismo al de incidencia 45º. El ángulo de refracción se calcula mediante la ley de Snell: ) ) ) n ) ) ) n n 1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen r r = arcsen  1 ⋅ sen i  sen r = 1 ⋅ sen i n2  n2 

 1  ) r = arcsen  ⋅ sen 45º  = 27,3º  1,54 

Ejemplo 3. Calcular el ángulo límite entre las superficies de separación entre el benceno (n=1,50) y el agua (n=1,33), líquidos inmiscibles. Solución. Solo se produce ángulo límite cuando la luz pase del benceno al agua n benceno > n agua

(

) n benceno ⋅ sen l = n agua ⋅ sen 90º

)

n agua ) 1,33 l = arcosen = arcosen = 62,46º n benceno 1,50

Ejemplo 4. Un rayo de luz blanca incide desde el aire sobre una lámina de vidrio con un ángulo de incidencia de 28º. Calcula los ángulos de refracción de los rayos rojo y azul, componentes de la luz blanca, así como el ángulo que formarán entre si. n r = 1,612 ; n a = 1,671 Solución. Aplicando la ley de Snell a cada uno de los rayos: ) ) n 1 ⋅ sen i = n R ⋅ sen rR

) n ) sen rR = 1 ⋅ sen i nR

) n ) rR = arcsen  1 ⋅ sen i   nR 

 1  ) rR = arcsen  ⋅ sen 28º  = 16,93º  1,612  ) ) ) n n ) ) ) n 1 ⋅ sen i = n A ⋅ sen rA sen rA = 1 ⋅ sen i rA = arcsen  1 ⋅ sen i  nA  nA   1  ) rA = arcsen  ⋅ sen 28º  = 16,32º  1,671  ) ) ) ∆ r = rR − rA = 16,93º −16,32º = 0,61º

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Lámina de caras planas y paralelas. Cuando un haz de luz monocromática incide sobre una lámina transparente inmersa en un medio como el de la figura, el rayo se refracta en ambas caras. Si la lámina de índice de refracción n2 esta inmersa en un medio de índice n1 se cumple la ley de Snell sobre las dos superficies.

) n 1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen ) n 2 ⋅ sen r = n 1 ⋅ sen

) r ) e

) ) Y se puede concluir i = e .

El recorrido que hace el rayo luminoso dentro de la lámina se obtiene aplicando la definición de coseno al ángulo de refracción. h h ) cos r = AB = ) AB cos r El rayo luminoso que atraviesa la lámina experimenta una un desplazamiento (d) que representa la distancia entre las direcciones de los rayos incidente y emergente. ) d  sen θ =  ) ) ) ) AB ) sen i − r )  d=h⋅ θ = i − r  : d = AB ⋅ sen θ ) cos r h  AB = ) cos r 

(

)

Prisma óptico. Medio transparente limitado por dos caras no paralelas, se denomina ángulo del prisma (ϕ) al ángulo determinado por las dos caras. La marcha de un rayo a través del prisma se indica en la figura, como pede observarse, el rayo se refracta tanto rn la primera cara como en la segunda saliendo del prisma con un ángulo denominado de ) emergencia (e ) . Se puede aplicar la ley de Snell en llas dos caras.

) ) n 1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen r ) ) n 2 ⋅ sen r ′ = n 1 ⋅ sen e Si nos fijamos en el cuadrilátero formado por el vértice del prisma, y los puntos A B y C, y teniendo en cuenta que los ángulos en los vértices A y B son de 90º, el ángulo del prisma y el ángulo del vértice C deberán sumar 180º, por tanto en el triángulo ABC, el ángulo suplementario al vértice C es igual al ángulo del prima, y permite obtener una relación entre el ángulo de refracción sobre la cara 1 ()r ) , y el ángulo de incidencia sobre la cara 2 ()r ′) ) ) r + r′ = φ ) El ángulo δ , formado por las prolongaciones de los rayos incidente y emergente, se denomina ángulo de desviación del prisma, y por ser suplementario al ángulo del vértice D en el triángulo ABD, se tiene que ) ) ) δ=α+β

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) ) ) ) ) ) En la figura, se puede observar que i = α + r y que e = β + r ′ teniendo en cuenta estas relaciones, el ángulo de desviación del prisma queda. ) ) ) δ = α + β ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) α = i − r  : δ = i − r + e − r ′ = i + e − (r + r ′) ) ) ) β = e − r ′ ) ) ) ) ) δ = i + e − ( r + r ′) ) ) ) :δ = i + e − φ ) ) r + r′ = φ 

Es fácil comprobar que el ángulo de desviación del prisma se hace mínimo cuando los ángulos de incidencia y emergencia son iguales, lo cual ocurre cuando dentro del prisma la trayectoria del rayo luminoso es paralela a la base del prisma. ) ) δ mín = 2 i − φ

Ejemplo. Sobre un prisma de vidrio de ángulo 60º e índice de refracción de 1,45, inmerso en el aire, incide un rayo de luz monocromática con un ángulo de 35º. Calcula: a) El ángulo de emergencia del rayo de luz. b) El ángulo de desviación sufrido por el rayo Solución. a. Aplicando la ley de Snell sobre la primera cara se calcula el ángulo de refracción. ) ) ) ) 1 ⋅ sen 35º = 1,45 ⋅ sen r sen r = 0,396 n1 ⋅ sen i = n 2 ⋅ sen r ) r = arcsen 0,396 = 23,3º )

)

Teniendo en cuenta r + r ′ = φ , se calcula el ángulo de incidencia sobre la segunda cara. ) ) ) r ′ = φ − r = 60º −23,3º = 36,7 º

Conocido el ángulo de incidencia sobre la segunda cara aplicando de nuevo la ley de Snell se calcula el ángulo de emergencia. ) ) ) ) n 2 ⋅ sen r ′ = n1 ⋅ sen e 1,45 ⋅ sen 36,7 = 1 ⋅ sen e sen e = 0,867 ) e = 60,1º

b.

) ) ) δ = i + e − φ = 35º +60,1º −60º = 35,1º

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