ÓPTICA GEOMÉTRICA • • •

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Conceptos generales: Imágenes reales. No se ven a simple vista, pero pueden recogerse sobre una pantalla. Se forman por la intersección de rayos convergentes. Imágenes virtuales. No existen realmente, se ven y no pueden recogerse sobre una pantalla. Se forman por la intersección de la prolongación de rayos divergentes. Si los rayos emitidos por un objeto se cortan en un mismo punto imagen, el sistema óptico es estigmático, en caso contrario es astigmático

Convenio de signos: La luz incide siempre de izquierda a derecha Los puntos se representan por mayúsculas y las distancias por minúsculas, excepto el radio que se representa por R. Las distancias medidas sobre el eje x son positivas a la derecha del vértice o polo y negativas a la izquierda. Las distancias verticales son positivas por encima del eje y negativas por debajo. Las letras referentes a la imagen llevan la misma letra que el objeto pero con el sobre signo prima.

Dioptrio. Conjunto formado por dos medios transparentes, isótropos (las propiedades no cambian con la dirección) y homogéneos, separados por una superficie y cuyos índices de refracción son distintos. Dependiendo de como sea la superficie de separación pueden ser esféricos o planos Dioptrio ESFÉRICO.

Se consideran rayos PARAXIALES (α < 10º = 0,175 rad ) , para los cuales se puede sustituir los senos y las tangentes de los ángulos por propios ángulos en radianes. α ≈ sen α ≈ tg α Si al punto P del Dioptrio de la figura se le aplica la ley de Snell: n ⋅ sen i = n ' sen i' Teniendo en cuenta que se trata de ángulos paraxiales, la expresión se puede simplificar a: n ⋅ i = n '⋅ i'

• En el triángulo APC: i = α + φ → i = −α + φ = φ − α •

Sustituyendo en la ecuación de Snell:

En el triángulo A’PC: φ = i' + α ' → i' = φ − α '

n ⋅ (φ − α ) = n '⋅(φ − α ') h h h φ ≈ tg φ = ; α ≈ tg α = ; α' ≈ tg α' = R s s'  h h  h h n ⋅  −  = n '⋅ −  R s  R s'  Simplificando h y ordenando se llega a la ecuación fundamental del dioptrio esférico.

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n ' n n '−n − = s' s R

Distancias focales. Si el objeto se encuentra a una distancia infinita (s = ‒∞), el haz de rayos que se aproxima al dioptrio es paralelo al eje óptico y al atravesarlo, la imagen se forma en el punto F’, denominado foco imagen que se encuentra del vértice a una distancia denominada distancia focal imagen representada por f’. Aplicando la ecuación fundamental y teniendo en cuenta que s = ‒∞ y que s’ = f: n' n n '− n n' − = → f'= R ⋅ f' − ∞ R n '−n De forma análoga los rayos que parten del foco objeto F, una vez que atraviesan el dioptrio salen paralelos al eje óptico, por lo que la imagen se forma en infinito (s’ = ∞). A La distancia del foco objeto al vértice dioptrio se la denomina distancia focal objeto y se representa por f.

el del

Aplicando la ecuación fundamental y teniendo en cuenta que s’ = ∞ y que s = f n ' n n '−n n − = → f = −R ⋅ R n '−n ∞ f Si se dividen las distanciad focales, se observa que estan en la misma relación que los índices de refracción. f n =− f' n' Por otra lado, la suma de las distancias focales es el radio de dioptrio. f + f '= R Otra relación muy importante se obtiene si a la ecuación fundamental se la divide todos los términos por n’‒n: n' n R −R n ' n n '−n n '−n + n '−n = 1 − = s' s R s' s f' f + =1 s' s Ecuación de Gauss, que relaciona las distancias focales con las distancias objeto e imagen. El aumento lateral (ML) del dioptrio es la relación entre el tamaño de la imagen y el objeto. y' ML = y Aplicando la ley de Snell de la refracción, el aumento lateral se puede relacionar con los índices de refracción y las distancias objeto e imagen.

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y' n ⋅ s' = y n '⋅ s Si el aumento lateral es positivo, la imagen será derecha, si es negativo será invertida. ML =

Construcción de imágenes en dioptrios esféricos. Para construir gráficamente la imagen de un objeto se pueden trazar tres rayos luminosos del que se conocen su comportamiento. • El rayo que parte del objeto y es paralelo al eje óptico se refracta pasando por el foco imagen F’ (ROJO). • El rayo que partiendo del objeto pasa por el foco objeto F se refracta paralelo al eje óptico (AZUL). • El rayo que partiendo del objeto pasa por el centro de curvatura C no se desvia porque es perpendicular a la superficie del dioptrio, siendo cero el ángulo de incidencia (VERDE). Para obtener gráficamente la imagen de un objeto bastará con trazar dos de los rayos indicado y encontrar el punto de corte. DIOPTRIO CONVEXO. R > 0

Se obtiene una imagen REAL, INVERTIDA y MENOR. DIOPTRIO CONCAVO. R < 0

Se obtiene una imagen VIRTUAL DERECHA y MENOR.

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Dioptrio PLANO. Es un caso particular del dioptrio esférico en el que el radio de curvatura es ∞. n ' n n '− n − = s' s ∞

n' n = s' s

Expresión que permite calcular la distancia imagen en función de la distancia objeto y de los índices de refracción. Un caso particular de dioptrio plano es la superficie de de separación aire-agua, la refracción de la luz, origina que la profundidad aparente de un objeto sumergido sea menor que la profundidad real debido a que el índice de refracción del agua es del aire.

mayor al

ESPEJOS ESFÉRICOS. Se denomina espejo a toda superficie lisa y pulimentada capaz de reflejar los rayos luminosos. Pueden ser planos o esféricos, según sea su superficie. • •

Los espejos esféricos se clasifican por el signo de su radio de curvatura: CÓNCAVOS (R < 0), la superficie reflectante es la cara interna CONVEXOS (R > 0), la superficie reflectante es la cara externa.

En los espejos, la luz se refleja, siendo la reflexión un caso particular de la refracción, en el que n’ = ‒n, ya que la luz cambia de sentido al reflejarse pero no de medio, pudiéndose aplicar las ecuaciones del dioptrio esférico. n ' n n '−n − n n − 2n '= − n − = n → − = s' s R s' s R Simplificando se obtiene la ecuación fundamental de los espejos esféricos. 1 1 2 + = s' s R Donde s y s’ son las distancias objeto e imagen y R es el radio de curvatura. La distancia focal es igual a la mitad del radio de curvatura del espejo: R f = f `= 2 La ecuación fundamental de los espejos esféricos, introducción el concepto de distancia focal queda: 1 1 1 + = s' s f El aumento lateral de las imágenes formadas, se obtiene a partir de la ecuación correspondiente al dioptrio esférico teniendo en cuenta que n’ = ‒n. y' s' ML = = − y s

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Formación de imágenes en espejos esféricos. Para determinar gráficamente la imagen obtenida en los espejos esféricos se sigue el mismo procedimiento que en el dioptrio esférico. Se considera en todos los casos un objeto lineal situado verticalmente sobre el eje óptico y la izquierda del vértice, viendo determinada la posición y tamaño de la imagen por el punto de corte de dos de los siguientes rayos. • •

RAYO AZUL. Un rayo paralelo al eje que se refleja pasando por el foco objeto F RAYO VERDE. Un rayo que pasa por el centro de curvatura C y se refleja volviendo sobre su trayectoria sin desviarse. RAYO ROJO. Un rayo que, al pasar por el foco F, se refleja paralelamente al eje.

•

Dependiendo de la posición del objeto y del radio de curvatura se presentan los siguientes casos. Espejos CÓNCAVOS: i.

Si el objeto se encuentra del espejo a una distancia mayor al radio de curvatura. La imagen que se obtiene en REAL, INVERTIDA y de MENOR TAMAÑO que el objeto

ii.

Si se encuentra sobre el centro de curvatura, la imagen se forma en el centro de curvatura. La imagen que se forma es REAL, INVERTIDA y de IGUAL TAMAÑO que el objeto.

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iii.

Si el objeto se encuentra entre el centro de curvatura y el foco, la imagen que se forma es REAL, INVERTIDA y de MAYOR TAMAÑO que el objeto.

iv.

Si el objeto se sitúa en el foco, no se forma imagen ya que los rayos reflejados son paralelos.

v.

Si el objeto esta entre el foco y vértice del espejo, la imagen que se forma es VIRTUAL, DERECHA y de MAYOR TAMAÑO que el objeto.

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Espejo CONVEXO: i.

Independientemente de donde se sitúe el objeto, la imagen formada del objeto es siempre VIRTUAL, DERECHA y de MENOR TAMAÑO.

LENTES DELGADAS Una lente es un sistema óptico formado por dos dioptrios, de los que al menos uno es esférico. Una lente se considera delgada si su grosor es pequeño en comparación con otras magnitudes de la lente (radio de curvatura de sus caras). Según la forma de las superficies que la limitan, se pueden clasificar en convergentes y divergente:

Para deducir las ecuaciones aplicables a las lentes, se supone una lente biconvexa con radios R1 y R2 inmersa en el aire (n = 1) y de índice de refracción n’. Si se le aplica la ecuación del dioptrio  n ' n n '− n  esférico  − =  a cada una de las caras: R   s' s n 1 n −1 Primera cara: − = s'1 s R1 1 n 1− n Segunda cara: − = s' s'1 R2 Sumando ambas expresiones se obtiene la ecuación fundamental de las lentes delgadas.  1 1 1 1   − = (n − 1) − s' s R R 2   1 Teniendo en cuenta las definiciones de distancia focal imagen y distancia focal objeto: • Distancia focal imagen (f ') , es la distancia a la que se forma la imagen de un punto situado en el infinito (s = ∞, s' = f ′) , y en ella se sitúa el foco imagen (F’).

•

 1  1 1 1 1  1 1    − = (n − 1) − = (n − 1) − ′ f′ ∞ R R f R R 1 2 1 2     Distancia focal objeto (f ) , es la distancia a la que hay que colocar un punto para que su imagen se forme en el infinito (s = f , s' = ∞ ) , , y en ella se sitúa el foco objeto (F).  1 1 1 1 − = (n − 1) − ∞ f  R1 R 2

  

−

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 1 1 1 = (n − 1) − f  R1 R 2

  

Teniendo en cuenta lo anterior, la ecuación fundamental de las lentes delgadas se puede simplificar a: 1 1 1 1 1 1 − = ó − =− s' s f ′ s' s f En las lentes delgadas, las dos distancias focales son iguales y de signo contrario si a ambos lados de la lente existe el mismos medio. El aumento lateral de la lente viene expresado por: y′ s′ ML = = y s La potencia de una lente es el inverso de su distancia focal imagen (f ′) y se mude en dioptrias, que equivale a m‒1. 1 P= f′ El signo de la potencia es el mismo que el de la distancia focal imagen, y por tanto será positiva para las lentes convergentes y negativa para las divergentes

Formación de imágenes en lentes delgadas. La determinación gráfica de la imagen de un objeto lineal situado perpendicularmente sobre el eje óptico, formada por una lente delgada, se efectúa representando dos de los siguientes rayos luminosos que parten del objeto. En las lentes delgadas, las imágenes VIRTUALES se forman a la izquierda de la lente y las imágenes REALES a la derecha.

•

RAYO AZUL. Un rayo que incide en la lente paralelamente al eje, la atraviesa y, una vez refractado, el rayo, o su prolongación, pasan por el foco imagen F’.

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RAYO VERDE. Un rayo que pasa por el centro óptico, o centro geométrico de la lente, no experimente ninguna desviación.

•

RAYO ROJO. Un rayo que, pasando por el foco objeto F se refracta y emerge de la lente paralelamente al eje óptico.

Las características, tamaño y naturaleza, de la imagen obtenida en una lente convergente dependen de la posición del objeto sobre el eje óptico.

i.

Si el objeto está situado a una distancia de la lente mayor que el doble de la distancia focal, la imagen es REAL, INVERTIDA y de MENOR TAMAÑO que el objeto.

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ii.

Si el objeto esta situado a una distancia igual al doble de la distancia focal, la imagen es REAL, INVERTIDA y del MISMO TAMAÑO que el objeto.

iii.

Si el objeto esta a una distancia mayor que la distancia focal pero menor que el doble de esta, la imagen es REAL, INVERTIDA y de MAYOR TAMAÑO que el objeto.

iv.

Si el objeto se encuentra sobre el foco de la lente, no se forma imagen o esta se forma en el infinito, ya que los rayos refractados son paralelos y no se cortan

v.

Si el objeto esta situado a una distancia de la lente menor que la distancia focal, la imagen es VIRTUAL, DERECHA y de MAYOR TAMAÑO que el objeto.

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i.

Para lentes divergentes, el tipo de imagen no depende de la posición del objeto La imagen del objeto siempre es VIRTUAL, DERECHA y de MENOR TAMAÑO que el objeto.

Instrumentos ópticos. LUPA: Es simplemente una lente convergente, generalmente biconvexa.

MICROSCOPIO: El microscopio óptico consta de dos lentes convergentes de pequeña distancia focal. La lente más próxima al se denomina objetivo, forma una imagen real, invertida y de mayor tamaño que el objeto. La lente más próxima al ojo se denomina ocular y permite observar la imagen formada por el objetivo. La imagen final es virtual, invertida y de mayor tamaño que el objeto. El objeto que se desea examinar se coloca delante del objetivo, a una distancia ligeramente superior a la distancia focal, y su imagen se forma dentro de la distancia focal del ocular.

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