UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A LAS ENSEÑANZAS UNIVERSITARIAS OFICIALES DE GRADO CURSO 2010-2011 MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II EXAMEN MODELO 2011 INSTRUCCIONES: El alumno deberá elegir una de las dos opciones A o B que figuran en el presente examen y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad de representación gráfica o de cálculo simbólico. TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Un estudiante ha gastado un total de 48 euros en la compra de una mochila, un bolígrafo y un libro. Si el precio de la mochila se redujera a la sexta parte, el del bolígrafo a la tercera parte y el del libro a la séptima parte de sus respectivos precios iniciales, el estudiante pagaría un total de 8 euros por ellos. Calcular el precio de la mochila, del bolígrafo y del libro, sabiendo que la mochila cuesta lo mismo que el total del bolígrafo y el libro. Solución. Sea x el precio de la mochila, y el precio del bolígrafo y z el precio del libro. Se sabe que la suma de ambos ha de ser 48, lo que nos lleva a la primera ecuación del problema:

x + y + z = 48

Por otra parte se sabe que el precio de la mochila reducido a la sexta parte, más el del bolígrafo reducido a la tercera y el del libro a la séptima suman un total de 8 euros:

x y z + + =8 6 3 7 Finalmente, el precio de la mochila (x) es igual a la suma del precio del bolígrafo (y) y del libro (z).

x= y+z Juntando las 3 ecuaciones se tiene el sistema que es necesario resolver para obtener los precios de los 3 productos:  x+y+z =8  x+y+z =8 x y z F2 = 42F2  + + =      → 8  7 x + 14 + 6z = 336 6 3 7  x = y+z   x = y+z El sistema se resuelve por cualquier método, obteniendo de solución: x = 24 €; y = 3 €; z = 21 €

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera la función real de variable real definida por:

f (x ) = 2x 3 + ax 2 + bx − 6 a) Calcúlese a y b para que la función f tenga un máximo relativo en x = 1 y un mínimo relativo en x = 2. b) Para a = 0 y b = 0, calcular el área del recinto plano acotado por la gráfica de f y la recta de ecuación y = 8x ‒ 6 Solución. En primer lugar, forzaremos que la derivada de la función en los puntos x = 1 y x = 2 sea igual a 0, condición a. necesaria (pero no suficiente) para que un punto pueda ser vértice (máximo / mínimo).  f ′(1) = 6 ⋅ 12 + 2a ⋅ 1 + b = 0  2a + b = −6 f ′(x ) = 6x 2 + 2ax + b ;  ;  f ′(2) = 6 ⋅ 2 2 + 2a ⋅ 2 + b = 0 4a + b = −24 Resolviendo el sistema formado por las dos ecuaciones se calculan los valores de los parámetros a y b. a = ‒9; b = 12 Para estos valores de a y b calculados, se comprueba la condición de máximo y mínimo con la segunda derivada sabiendo que: • Un punto con derivada primera igual a 0 es máximo si la segunda derivada en ese punto es negativa. • Un punto con derivada primera igual a 0 es mínimo si la segunda derivada en ese punto es positiva.

1

 f ′′(1) = 12 ⋅ 1 − 18 = −6 < 0 ⇒ Máximo f ′′(x ) = 12x − 18 :  f ′′(2) = 12 ⋅ 2 − 18 = +6 < 0 ⇒ Mínimo b. Se pide calcular el área comprendida entre la gráfica de la función f (x ) = 2x 3 − 6 y la recta de ecuación y = 8x ‒ 6 Se calculan los puntos de corte de las gráficas de ambas funciones que delimitarán los límites de integración: x=0  y = 2x 3 − 6 Igualación   → 2x 3 − 6 = 8x − 6 2 x 3 − 8x = 0 2x x 2 − 4 = 0 :    y = 8x − 6 x = ±2

(

)

Para poder resolver el área delimitada por las dos funciones debemos conocer la posición relativa de ambas funciones en los intervalos (‒2, 0) y (0, 2), o restarlas en cualquier orden y tomar las integrales en valor absoluto.

Área =

0

∫−2 (2x

3

) ∫02 (2x3 − 6 − (8x − 6))dx = ∫−02 (2x3 − 8x )dx + ∫02 (2x3 − 8x )dx =

− 6 − (8x − 6) dx +

2

 2 x 4 8x 2   24   04  = 2⋅ 2x − 8x dx = 2 ⋅  − − 4 ⋅ 22  −  − 4 ⋅ 0 2  = 16u 2  = 2⋅   4  2   2  2  0  0     2

∫(

3

)

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos) Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que la probabilidad de que ambos ocurran simultáneamente 1 7 1 es de y la probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos es igual a . Se sabe además que p(A B) = . 6 12 2 a) Calcular la probabilidad de que ocurra A ó B. b) Calcular la probabilidad de que ocurra A. Solución. 1 Por el enunciado se sabe que la probabilidad de que ocurran a la vez es p(A ∩ B) = , además la probabilidad a. 6 7 de que no ocurra ninguno de los dos es p A ∩ B = . 12 Conocida esta última probabilidad y aplicando las leyes de Morgan, se obtiene la probabilidad de la unión. 7 7 5 p A ∩ B = p A ∪ B = 1 − p(A ∪ B) = p(A ∪ B) = 1 − = 12 12 12

(

(

) (

)

)

b. Conocido el valor de la probabilidad condicionada p(A B) se puede calcular el valor de la p(B) por la teorema de Bayes: p(A ∩ B) 1 6 2 1 p(A ∩ B) p(A B) = p(B) = = = = p(A B) 1 2 6 3 p(B) Con el valor de la probabilidad de B se obtiene el valor de la probabilidad de A mediante la probabilidad de la unión.

p(A ∪ B) = p(A ) + p(B) − p(A ∩ B) p(A ) = p(A ∪ B) − p(B) + p(A ∩ B) 5 1 1 3 1 p(A ) = − + = = 12 3 6 12 4

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos). Se supone que el nivel de glucosa en sangre de los individuos de una población (medido en miligramos por decilitro) se puede aproximar por una variable aleatoria con una distribución normal de media µ desconocida y desviación típica igual a 35 mg/dl. ¿Cuál es el tamaño muestral mínimo que permite garantizar que el valor absoluto de la diferencia entre la media muestral y µ es menor que 20 mg/dl con una probabilidad mayor o igual que 98%? Solución. El tamaño muestral se obtiene a partir del error máximo admitido.

ε > Zα 2 ⋅

σ  n >  Zα 2 ⋅  ε 

σ

n

2

2

El valor de Zα 2 se obtiene del valor de probabilidad o nivel de confianza (1 − α = 0,98)

 α  0,02  −1 Zα 2 = φ −11 −  = φ −11 −  = φ (0,9900) = 2,33 2   2  Sustituyendo se obtiene el tamaño de la muestra. 2

2

σ 35    n >  Zα 2 ⋅  =  2,33 ⋅  = 16,6 ε 20   

3

n ≥ 17 Elementos

OPCIÓN B Ejercicio 1. (Puntuación máxima: 3 puntos) Se consideran las matrices:

1 1 a  − 2     A =  −1 a 0 B= 1   0 − 6 − 1  1      a) Calcule los valores de a para los cuales la matriz A no tiene inversa. b) Para a = 2 calcular la inversa de la matriz A c) Para a = 2, calcular la matriz X que satisface AX = B. Solución. a. La condición necesaria y suficiente para que una matriz cuadrada tenga inversa es que su determinante sea distinto de cero. a 1 1 det A = − 1 a 0 = −a 2 + 0 + 6 − (0 + 0 + 1) = −a 2 + 5 = 0 ; a = ± 5 0 − 6 −1 Para a = ± 5 , el determinante de la matriz A es nulo y por tanto la matriz A no tiene inversa.

b.

1 1 2 a =2   1 0  ; det A = −a 2 + 5 = − 2 2 + 5 = 1 adj A t . Para a = 2: A =  − 1 2 A  0 − 6 − 1    2 −6 1 −6 1 2  +  − + 0 − 1 1 − 1 1 0    2 −1 0   − 2 − 5 − 2  −1 0   2 0 2 −1   t  t   adj A = − + − =  −1 − 2 −1 A = 1 2 − 6 1 −1 1 0    0 −1 1 0 −1 6 12 5   −1 0   2 0 2 −1   +   2 −6 − 1 −6 + 1 2     − 2 − 5 − 2  − 2 − 5 − 2    1 1  A −1 = adj A t = ⋅  − 1 − 2 − 1  =  − 1 − 2 − 1  A 1      6 12 5   6 12 5 

A −1 =

( )

( )

( )

c. Se despeja la matriz X empleando la propiedad de que el producto de una matriz por su inversa en la matriz identidad, y que la identidad es el elemento neutro en la multiplicación de matrices.

A ⋅ X = B ; A −1 ⋅ A ⋅ X = A −1 ⋅ B ; I ⋅ X = A −1 ⋅ B ;  − 2 − 5 − 2   − 2   − 3       X =  − 1 − 2 − 1  ⋅  1  =  − 1  6 12 5   1   5       

X = A −1 ⋅ B

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Una empresa produce cable de fibra óptica que vende a un precio de x euros el metro. Se estima que la venta diaria de cable (en miles de metros) se expresa en términos del precio mediante la función: 6 f (x ) = 2 x +1 a) Obtener la función I(x) que determina los ingresos diarios de la empresa en función de x. b) Calcular el precio x que ha de fijarse para que el ingreso diario sea máximo y calcular dicho ingreso máximo. c) Determinar las asíntotas de I(x) y esbozar su gráfica. Solución. En primer lugar hay que tener en cuenta que la función f(x) viene expresa miles de metros, mientras que la x a. expresa el precio en euros de un metro. Por lo tanto, a la hora de definir los ingresos habrá que multiplicar el precio de un metro por 1000 para obtener el precio de miles de metros. La función de ingresos vendrá representada por la multiplicación de lo que se vende (representado en f(x) ) por el precio en miles de metros, es decir:

4

I(x ) = 1000x ⋅

6 2

x +1

6000x

=

x2 +1

b. Se pide calcular el punto de máximo de la función de ingresos. El máximo se localiza en los puntos donde la primera derivada se anula y la segunda es negativa.

I′(x ) =

I′(x ) = 0

I′′(x ) = 6000 ⋅

)

(

6000 ⋅ x 2 + 1 − 6000x ⋅ 2x

(x 2 + 1)2

6000 ⋅

(

= 6000 ⋅

1− x2

(x + 1)

2

2

(x 2 + 1)2

1− x2 = 0

=0

) ( ) ( (x 2 + 1)4

1− x2

)

2 − 2x ⋅ x 2 + 1 − 1 − x 2 ⋅ 2 ⋅ x 2 + 1 ⋅ 2x

= 6000 ⋅

x = ±1

(

)(

)

− 2x ⋅ x 2 + 1 − 1 − x 2 ⋅ 2 ⋅ 2x

(x 2 + 1)

3

 2 ⋅ (− 1)3 − 6 ⋅ (− 1) > 0 ⇒ Mínimo I′′(− 1) = 6000 ⋅ 3 2 2x 3 − 6x  (− 1) + 1 I′′(x ) = 6000 ⋅ : 3 − 6 ⋅1 3  2 2 1 ⋅ x + 1 I′′(1) = 6000 ⋅ < 0 ⇒ Maximo  3  12 + 1

(

(

)

)

( )

I(1) =

6000 ⋅ 1 12 + 1

= 3000€

Se obtienen unos ingresos máximos de 3000 € con un precio de 1 €/m c.

Asíntotas verticales: Rectas de la forma x = a tal que a ∉ Dominio De I(x).

{

}

D[I(x )] = x ∈ R x 2 + 1 ≠ 0 x2 +1 ≠ 0 ∀ x ∈ R La función I(x) no tiene asíntotas verticales.

D[I(x )] = R

Asíntotas horizontales: Rectas de la forma y = L tal que L = Lím I(x ) x → ±∞

∞   6000x  ∞ 

6000 6000 x = ∞ = 0 =0 Lím I(x ) = Lím = Lím 2 2 1 1 x → ±∞ x → ±∞ x + 1 ÷ x x → ±∞ 1 + 1 1+ 2 2 x ∞ La función tiene una asíntota horizontal en y = 0. Asíntotas oblicuas. La función no presenta asíntota oblicua por tener asíntota horizontal Para representar la función, se tiene en cuenta que la función representa los ingresos y la variable el precio de venta de un producto, por lo tanto la existencia de la función solo tiene sentido para valores de x mayores o iguales que cero.

5

Ejercicio 3. (Puntuación máxima: 2 puntos). En una cierta población, la probabilidad de que un habitante elegido al azar siga una dieta de adelgazamiento es igual a 0,2. Entre los habitantes que siguen dieta de adelgazamiento, la probabilidad de que uno de ellos elegido al azar practique deporte regularmente es igual a 0,6. Entre los habitantes que no siguen dieta de adelgazamiento, la probabilidad de que uno de ellos elegido al azar practique deporte regularmente es igual a 0,3. Se elige al azar un habitante de la población: a) Calcular la probabilidad de que practique deporte regularmente. b) Si se sabe que dicho habitante practica deporte regularmente, ¿cuál es la probabilidad de que esté siguiendo una dieta de adelgazamiento? Solución. Sucesos A ≡ El habitante de la población sigue una dieta de adelgazamiento B ≡ El habitante de la población practica regularmente un deporte. Datos -

a.

“La probabilidad de que un habitante elegido al azar siga una dieta de adelgazamiento es igual a 0,2” p(A ) = 0,2 “Entre los habitantes que siguen dieta de adelgazamiento, la probabilidad de que uno de ellos elegido al azar practique deporte regularmente es igual a 0,6” p(B A ) = 0,6 “Entre los habitantes que no siguen dieta de adelgazamiento, la probabilidad de que uno de ellos elegido al azar practique deporte regularmente es igual a 0,3” p B A = 0,3

(

)

“Probabilidad de que un individuo de la población practique deporte” p(B)

(

(

))

*

**

(

)

( ) (

p(B) = p (A ∩ B) ∪ A ∩ B = p(A ∩ B) + p A ∩ B = p(A ) ⋅ p(B A ) + p A ⋅ p B A

)

* Los sucesos A ∩ B y A ∩ B son incompatibles, no se pueden producir simultáneamente ** Los sucesos A y B son dependientes, no es igual la probabilidad de B si se cumple A que si no se cumple A p(B) = p(A ) ⋅ p(B A ) + (1 − p(A )) ⋅ p B A = 0,2 ⋅ 0,6 + (1 − 0,2) ⋅ 0,3 = 0,36

(

)

p(B) = 36% b.

“probabilidad de que este siguiendo una dieta si se sabe que hace deporte” p(A B) . Se aplica el teorema de Bayes: ) p(A ∩ B ) p(A ) ⋅ p(B A ) 0,2 ⋅ 0,6 p(A B) = = = = 0,3 p(B) p(B) 0,36 ) p(A B) = 33,3%

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) Se considera una variable aleatoria con distribución normal de desviación típica σ = 2. Se toma una muestra aleatoria simple de tamaño 25 y se obtiene una media muestral igual a 12. a) Determínese un intervalo de confianza al 90% para estimar la media de la variable aleatoria. b) Determínese el tamaño mínimo que ha de tener la muestra para que el valor absoluto de la diferencia entre la media de la población y la media muestral sea menor o igual que 0,1 con un nivel de confianza de al menos el 95%. Solución.   σ  2  2   = x : N12,   = x : N12, a. x: x : N µ, 5 n 25       Intervalo de confianza para la media poblacional a partir de una media muestral:  σ σ   x − z α 2 ⋅  , x + zα 2 ⋅ n n   α Donde, z α 2 = φ −1 1 −  , siendo 1 ‒ α = Nivel de confianza = 90% = 0,90 ⇒ α = 0,1  2  0,1  −1 z α 2 = φ −1 1 −  = φ (0,9500) = 1,645 2   2 2  12 − 1,645 ⋅ , 12 + 1,645 ⋅  = (11'34, 12'66) 5 5  6

b.

El tamaño muestral se obtiene del error máximo admitido.

ε máx > z α 2 ⋅

 σ ⇒ n >  z α 2 ⋅ ε máx n 

σ

  

2

 α z α 2 = φ −1 1 −  , siendo 1 ‒ α = Nivel de confianza = 95% = 0,95 ⇒ α = 0,05  2  0,05  −1 z α 2 = φ −1 1 −  = φ (0,9750) = 1,96 2   2

 2  n > 1,96 ⋅  = 1536,64 0 ,1   n ≥ 1537 elementos

7