Ingeniería en Alimentos - Fenómenos de Transporte Difusión Molecular de Masa – Parte II DIFUSION DE UN GAS “A” A TRAVES DE UN GAS “B” ESTACIONARIO Y QUE NO SE DIFUNDE

Supuestos: estado estable difusión unidireccional área de flujo constante sistema isotérmico e isobárico no existe reacción química homogénea comportamiento de gas ideal coeficiente de difusión (DAB=ctte) y concentración total (c=ctte) constantes equilibrio entre las fases vapor – líquido del componente A en la interfase gas B

y A, z2 ; y B, z2

P

z2

PB NA z

PA, z1

S ∆z

elemento de volumen

PA,z2

y A, z1 ; yB, z1

z1

interfase líquida

z1

z

z2

Líquido puro A

CELDA DE ARNOLD

Aplicando un balance masa en el elemento de volumen S ∆z en estado estacionario y sin SN A z z SN A z 0 (1) generación de masa obtenemos: si dividimos (1) entre S ∆z y tomamos el límite de ∆z tendiendo a cero

dN A dz

0 NA

ctte (2)

Flujo específico molar referido a coordenadas estacionarias es constante para el componente A en toda la fase gaseosa (de z1 a z2) a lo largo de toda la columna!!!

De igual manera se plantea para el componente B

dN B dz

0 NB

Si consideramos que el componente B es insoluble en el líquido A

ctte (3)

N B,z1

0 (4)

El flujo específico molar neto referido a coordenadas estacionarias es cero para el componente B en toda la trayectoria de difusión, por lo que B es estacionario o un gas estancado!!!

=0 La ley de Fick en coordenadas estacionarias para un gas es:

Reordenando

NA 1

PA P

Separo variables e integro N A

Al integrar queda N A

NA

D AB dPA RT dz

PA NA NB P

D AB dPA RT dz z2 z1

dz

D AB RT

P DAB P ln RT z2 z1 P

PA2 PA1

PA2 PA1

dPA PA 1 P (5) recordar

D AB P RT

PA2 PA1

dPA P PA

dPA P PA

ln P PA

Ingeniería en Alimentos - Fenómenos de Transporte Difusión Molecular de Masa – Parte II DIFUSION DE UN GAS “A” A TRAVES DE UN GAS “B” ESTACIONARIO Y QUE NO SE DIFUNDE EN ESTADO PSEUDOESTABLE

Supuestos: estado pseudoestable área de flujo constante difusión unidireccional sistema isotérmico e isobárico no existe reacción química homogénea comportamiento de gas ideal coeficiente de difusión (DAB=ctte) y concentración total (c=ctte) constantes equilibrio entre las fases vapor – líquido del componente A en la interfase diferencia de niveles del líquido A es una pequeña fracción de la trayectoria total de difusión [(z2-z1) cambia muy poco] en un período de tiempo grande Gas B z2 NA

zt=0

zt=t1

zt=0 zt1 interfase líquida en movimiento

t=0 t=t1 Líquido A

EXPERIENCIA DE STEFAN

Otra forma de escribir la ecuación (5) del caso estable es N A

y B2

Si se define y B , m l

y B1

y B2

ln

1 ln

y B1

y A2 1

y A2

1 1

1 y A2 cD AB (1) ln z 2 z1 1 y A1

y A1

y A1 1

ln

y A1

y A2

y A2

1

(2)

y A1

Despejando el denominador del cuarto miembro de la ecuación (2) y sustituyendo en (1)

cDAB z 2 z1

NA

Igualando (3) y (4)

A

y A1

y B ,ml

(3)

NA por definición es

dz cD AB y A1 y A2 = PM A dt z y B ,m l A

y B ,m l

PM A cDAB y A1

y A2

zt

y A2

zt

t

z dz

0

t 0

dt

con

NA

dz (4) PM A dt A

c Av A

separando variables e integrando

z

z2

z1 a partir de ella se saca el tiempo

para que la trayectoria de difusión se reduzca en una determinada cantidad:

t

A

z t2 t

y B ,m l

PM A cD AB ( y A1

y A2 )

DAB

z t2 0 2 A

(6) reordenada permite evaluar la DAB

y B ,m l

PM A ct y A1

( z2 y A2

Expresión que permite determinar experimentalmente DAB conociendo el diámetro del tubo, midiendo las fracciones molares del líquido que se evapora y el tiempo

z1 ) t2 t

( z2 2

z1 ) t2 0

(7)

Ingeniería en Alimentos - Fenómenos de Transporte Difusión Molecular de Masa – Parte II DIFUSIÓN A TRAVÉS DE UN AREA DE SECCION TRANSVERSAL VARIABLE Supuestos: estado estable difusión unidireccional sistema isotérmico e isobárico no existe reacción química heterogénea comportamiento de gas ideal coeficiente de difusión (DAB=ctte) y concentración total (c=ctte) constantes equilibrio entre las fases vapor – líquido del componente A en la interfase medio circundante estacionario distancia r desde el centro de la esfera grande

Caso en estudio: Difusión de un gas A, hacia o desde una esfera, a través de un gas estacionario B A r1

r r2

PB

PA1

PA1 PA2 = 0 PA2 r2

r1

Como el área de flujo no es constante se definirá

Avariable

f (r )

NA

NA

El flujo específico molar en c.e. será

(2)

Avariable

1 r2

NA 4

r2 r1

D AB P RT

dr r2

D AB P P ln RT P

PA1 PA2

D AB P dPA RTdr P PA

N A dr 4 r2 PA 2

ctte

PA1

DAB P PA1 RTr1 PB ,m l

(4)

D AB P dPA RT P PA

considerando que

r2

r1 PB2 ln

NA 4 r12

NA

dPA P PA

Dividiendo ambos miembros por r1 e introduciendo PB , m l

NA

(1) en E.E.

área de esfera

NA

Reemplazando (2) y (3) en (4) y separando variables

NA 1 4 r1

moles A tiempo

4 r 2 (3)

Para gas A difundiéndose a través de B estacionario

Integrando en forma definida

nA t

NA

por lo tanto

PB1 PB2 PB1

1 r2

0

PA1

PA2

P

PA2

P

PA1

ln

PA2 Expresión del flujo específico molar en función del radio de la esfera (área variable)

Ingeniería en Alimentos - Fenómenos de Transporte Difusión Molecular de Masa – Parte II DIFUSIÓN MOLECULAR EN LIQUIDOS Característica distintiva: Velocidad de difusión de solutos en un líquido mucho menor que en gases

debido

Las moléculas chocan con mayor frecuencia

Las moléculas del líquido están mucho más cercanas entre sí que las de un gas

DIFUSIÓN MÁS LENTA

Fuerzas de atracción importantes

10 5 DLIQUIDOS

DGASES

J GASES

10 2 J LIQUIDOS debido

cGASES DLIQUIDOS

cLIQUIDOS

depende fuertemente concentración

Tabla 1. Ecuaciones más usuales de difusión en líquidos CASO

FLUJO ESPECIFICO

NA

NB

N A, z Contradifusión equimolal mezcla bifásica (liquido-liquido)

N A, z

0

NA

NOMECLATURA

NB

dx A c A NA NB dz c ( x A x A2 ) dx A c prom D AB 1 dz z 2 z1

cD AB

c prom D AB

1

c prom

Soluto A difundiéndose en disolvente B estacionario y que no se difunde

N A, z

cprom= concentrac promedio A+B PM1= peso molec. promedio mezcla en 1 PM1= peso molec. promedio mezcla en 2 1= densidad promedio mezcla en 1 2= densidad promedio mezcla en 2

=0

2

PM 1 PM

c prom D AB ln

2

prom

c prom c A2

c prom D AB ( x A1

c prom c A1

x B ,m l

PM 2

x B2

x B ,m l x B1

ln( x B2 / x B2 )

z2

x A2 ) z1

xA1= fracción molar A en 1 xA2= fracción molar A en 2 xB,ml= fracción molar media logarítmica B inerte

Ingeniería en Alimentos - Fenómenos de Transporte Difusión Molecular de Masa – Parte II CASOS ESPECIALES DE DIFUSION EN LIQUIDOS A. SOLUTOS BIOLOGICOS EN LIQUIDOS Secado de soluciones líquidas (jugos, café, té) Procesos fermentativos (nutrientes, oxígeno, etc.) depende de

Tamaño macromoléculas Forma macromoléculas Interacciones de las macromoléculas con las moléculas del disolvente

Característica distintiva: Las macromoléculas se difunden a velocidades unas veinte veces menores que las moléculas de solutos pequeños a iguales gradientes de concentración, por lo que los coeficientes de difusión son más pequeños (orden de magnitud de 5x10-11m2/s)

B. SOLUTOS EN GELES BIOLOGICOS DILUIDOS

GELES

MATERIALES SEMISOLIDOS POROSOS

Poros llenos de agua Agarosa Agar Gelatina, etc.

Estructuras macromoleculares en red, generalmente abierta, que se comportan mecánicamente como un sólido

Aumenta la longitud de la trayectoria de difusión

DAB D AB

f (conc. gel ) lineal

gel

Aumenta la resistencia a la difusión Disminuye el flujo molar específico

z D AB J A, z

z

Ingeniería en Alimentos - Fenómenos de Transporte Difusión Molecular de Masa – Parte II DIFUSION EN SÓLIDOS

No depende de la ESTRUCTURA DEL SÓLIDO (obedecen la Ley de Fick)

Depende de la ESTRUCTURA DEL SÓLIDO La difusión ocurre a través de los poros en fase líquida o gaseosa

La difusión se lleva adelante cuando el fluido o soluto que se difunde se disuelve en el sólido (material homogéneo) formando una solución más o menos homogénea

DAB D AB cA

Tamaño de los poros (r0)> Recorrido libre medio de las moléculas ( ) difundentes

S pA 22414

J A, z D A ef

D AB dc A dz D AB

El número de choques entre moléculas es despreciable frente al número de choques con las paredes del poro

3

S : sol ubilidad gas

cm gas (CNPT ) atm cm 3 solido

cm 3 gas mol gas p A : presión parcial A atm

22414

D AB S

cm 3 gas (CNPT ) s cm 2 atm / cmespesor

M A : tamaño molecular 1

PERMEABILIDAD: Volumen de gas (soluto) a CNPT que se difunden por segundo por cm2 de área transversal a través de un sólido de 1cm de espesor con diferencia de presión de 1atm.

Tamaño de los poros del orden del recorrido libre medio de las moléculas ( ) difundentes

0,1

1 DA

f (ro , M A )

r0 : radio del poro

D AK

permite definir

PM

D AK

: porosidad : factor si nuosidad D A ef : difusividad efectiva

r0

1 D AK

10

1 D AB

4 2 RT r0 3 MA

2

Ingeniería en Alimentos - Fenómenos de Transporte Difusión Molecular de Masa – Parte II Tabla 2: Ecuaciones más usuales de difusión de líquidos o gases en sólidos

NA

cD AB

dx A dz

cA NA c

NA

cD AB

dx A dz

cD AB

NB

( x A1 z2

;

cA c

x A2 )

PM: permeabilid S: solubilidad

0

Placa sólida

z1

Áreas variables

Sólidos que siguen la Ley de Fick

NA

(c A1

D AB

PM

SDAB

NA

D A ef

cD AB

Avariable

NA

NA

Sólidos porosos

NA

D AB

z2

z2 D AB ( p A1 RT z 2

ver tabla 14.1 – Incropera – De Witt

c A2 )

D AB S p A1

p A2

PM p A1

z1

22,414 z 2

z1

22,414 z 2

p A2 z1

Sp A 22,414

cA

(c A1

dx A dr

c A2 ) z1 p A2 ) z1

D A efectiva

(c A1

c A2 )

z2

z1

D A efectiva ( p A1 RT

z2

p A2 ) z1

(líquidos)

: porosidad : tortuosidad DAef: difusividad efectiva

(gases)

D AB

Referencias Bibliográficas 1. Welty, J.; Wicks, C.;Wilson, R. 1996. Fundamentos de transferencia de momento, calor y masa. Capítulo 24. Editorial LIMUSA. 2. Geankoplis, C. J. 1983. Fenómenos de Transporte y Operaciones Unitarias. Parte 1 - Capítulo 5. Segunda Edición. Editorial PRENTICE HALL. 3. Incropera, F.; De Witt, D. 1996. Fundamentos de Transferencia de Calor. Capítulo 14. Cuarta Edición. Editorial PEARSON - PRENTICE HALL.