Modelo de Leontief Matriz Insumo Producto (Input – Output)

1

Las definiciones del autor: MIP “La Matriz Insumo Producto (MIP) describe el flujo de bienes y servicios entre los distintos sectores de la economía nacional durante un período fijado de tiempo” En otra palabras, la MIP es un registro ordenado de las transacciones entre los sectores productivos orientadas a la satisfacción de bienes para la demanda final, así como de bienes intermedios que se compran y venden entre sí. Por lo tanto, la MIP resulta en una matriz cuadrada ya que tanto las filas como las columnas se componen por los distintos sectores de una economía.

2

Las definiciones del autor: El Modelo de Leontief (Método Input – Output) “El modelo … es una adaptación de la teoría neoclásica del equilibrio general al estudio empírico de la interdependencia cuantitativa entre actividades económicas interrelacionadas” El propósito del modelo es analizar y cuantificar las relaciones derivadas de esos flujos de bienes mediante una serie de ecuaciones lineales cuyos coeficientes numéricos representan las características estructurales propias del mismo. De esta forma, permite determinar el impacto directo e indirecto que tiene sobre sectores de la economía un incremento en la demanda final. Así, logra cuantificar el incremento de la producción de todos los sectores, derivado del aumento de uno de ellos en particular. 3

Supuestos del modelo


Existen n industrias responsables del total de la producción, entendiendo como industria a todo ente que produce un bien homogéneo representado por un precio único .




Existe un equilibrio estático entre oferta y demanda. No hay acumulación ni déficit de inventario.




Hay una relación proporcional entre lo que cada industria produce y los insumos que consume.




Durante el período de análisis no existe variación en los coeficientes tecnológicos. Es decir, no hay mejoras tecnológicas ni de productividad. La tecno-estructura se mantiene constante.




Hay un último supuesto que no es estricto: se asume también que no se está operando al límite de capacidad, por lo que se puede satisfacer mayor demanda. 4

Estructura del modelo H1 a12 . x2

a11 . x1

1

a13 . x3

2

3

Donde: aij : Insumo que i le proporciona a j para que este produzca 1 unidad.

a1j . xj

j

aij . xj : Insumo que i le proporciona a j para que este produzca xj unidades. Hj : Demanda al sector j para consumo final (esto también puede leerse como balanza comercial del sector). xj : Producción total del sector j para cubrir demanda propia, intersectorial y consumo final. 5

…

a1n . xn

… n

Desarrollo del modelo Demanda Total = Oferta Total Demanda Propia + Demanda Intersectorial + Demanda Final = Oferta Total

a11 . x1 + a12 . x2 + a13 . x3 + … + a1j . xj + … + a1n . xn + H1 = x1 a21 . x1 + a22 . x2 + a23 . x3 + … + a2j . xj + … + a2n . xn + H2 = x2 …

…

…

…

…

…

…

…

…

aj1 . x1 + aj2 . x2 + aj3 . x3 + … + ajj . xj + … + ajn . xn + Hj = xj …

…

…

…

…

…

…

…

…

an1 . x1 + an2 . x2 + an3 . x3 + … + anj . xj + … + ann . xn + Hn = xn 6

Desarrollo del modelo Queda planteado un sistema de n ecuaciones con n incógnitas, que es resulto por el Modelo de Leontief. (1 - a11 . x1) - a12 . x2 - a13 . x3 - … - a1j . xj - … - a1n . xn = H1 - a21 . x1 + (1 – a22 . x2) - a23 . x3 - … - a2j . xj - … - a2n . xn = H2 …

…

…

…

…

…

…

…

…

- aj1 . x1 - aj2 . x2 - aj3 . x3 - … + (1 – ajj . xj) - … - ajn . xn = Hj …

…

…

…

…

…

…

…

…

- an1 . x1 - an2 . x2 - an3 . x3 - … - anj . Xj - … + (1 – ann . xn) = Hn

7

Desarrollo del modelo En forma matricial: (I nxn – A nxn ). X nx1 = H nx1 Y si existe la matriz inversa de (I – A), entonces: X = (I – A)-1 . H Donde: X: Producción Total H: Demanda final (externa) A: Matriz de coeficientes tecnológicos I : Matriz identidad I – A : Matriz de Leontief 8

Veamos un ejemplo Consideremos una economía que pueda ser representada, para simplificar el ejercicios, por dos industrias P y Q. Las interacciones de estas industrias se representan en la tabla que se observa a continuación. Dada una variación futura en la demanda final de P y Q (20 y 25 respectivamente), el modelo permite determinar el impacto que tendrá en la producción total de la economía y por lo tanto, en la generación de valor agregado (PBI).

9

Orig / Dest

P

Q

H

Total

P

28

12

16

56

Q

14

36

22

72

Consumo

42

48

90

VA

14

24

38

Prod Total

56

72

128

Veamos un ejemplo Dado que:

72

12

Q P Entonces, apq = 12 / 72 De forma genérica: apq = bpq / xq , siendo b los componentes de la MIP (matriz de demanda intersectorial). Por lo tanto, la Matriz A resulta en: A

=

10

28/56

12/72

14/56

36/72

A

=

1/2

1/6

1/4

1/2

Veamos un ejemplo Entonces, (I – A) : I–A=

1/2

-1/6

-1/4

1/2

Luego, podemos obtener (I – A)-1 por alguno de los métodos conocidos, como Gauss-Jordan u otros más simples: Para matrices de 2x2: Para matrices de orden superior:

11

Veamos un ejemplo Así obtenemos : (I – A)-1

=

12/5

4/5

6/5

12/5

Y considerando que:

H =

20 25

y

X = (I – A)-1 . H , entonces:

12/5

4/5

6/5

12/5

12

. 20 25

=

68 84

Veamos un ejemplo Finalmente, obtenida la producción total se puede rearmar la MIP para el nuevo nivel de producción, considerando que los coeficientes tecnológicos se mantienen constantes :

13

Orig / Dest

P

Q

H

Total

P

34

14

20

68

Q

17

42

25

84

Consumo

51

56

90

VA

17

28

38

Prod Total

68

84

152

Veamos un ejemplo Ahora podemos contestar: ¿Cuál fue la variación porcentual del PBI? ¿Cuál fue la variación porcentual de la Producción Total? ¿Cuál fue el impacto en cada sector de la economía? Si conocemos la capacidad utilizada en la situación inicial, cuál será la utilización de capacidad futura? ¿Qué sectores requieren mayor niveles de inversión? ¿En donde se observan los cuellos de botella que pueden limitar el crecimiento de la economía?

14