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MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA ESTIMACIÓN DE INGRESOS La estimación o proyección de ingresos futuros puede llevarse a cabo mediante diferentes métodos estadísticos de extrapolación, entre ellos: sistema automático, promedios móviles y de suavización exponencial, de aumento, econométricos (e.g., método de mínimos cuadrados, modelo de regresión lineal, modelo de correlación no lineal) y directo. Métodos de extrapolación Estiman la recaudación con base en su evolución en el tiempo. Es decir, mantienen la premisa de que la recaudación está determinada por el incremento o decremento de ella en el tiempo. Los cálculos de estimación se proyectan con base en información histórica de los ingresos obtenidos en distintos periodos (trimestres, semestres, años, etc.). Sistema automático Estima los rendimientos más probables del ejercicio futuro con base en resultados conocidos del año anterior. En este método hay que tomar en cuenta que el presupuesto de ingresos se encuentra en ejecución, por lo cual, no se conoce la recaudación final del último periodo anterior al que se presupuestará; entonces, se tomará como base los ingresos del penúltimo ejercicio fiscal para el periodo que se pretende presupuestar. Cabe señalar que este método fue el primero que se utilizó en la estimación de ingresos públicos, aunque en la actualidad no se utiliza, ya que no considera el cambio en las condiciones económicas que afectan la captación de ingresos.

Métodos de promedios Aunque existen más métodos para pronosticar, por simplicidad presentamos solamente dos, que consideramos los más usuales y sencillos de llevar a cabo.





Promedios Móviles Suavización Exponencial

Estos métodos pueden utilizarse cuando: a) b) c)

Hay información disponible de la variable(s) que se está pronosticando. La información puede ser cuantificada. Si se considera razonable que el patrón de comportamiento del pasado continuará en el D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2006

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futuro. Si se cuenta con una base de datos histórica y se quiere pronosticar una variable considerando su comportamiento pasado, entonces podemos utilizar el método de promedios móviles o el método de suavización exponencial, que son conocidos también como métodos de series de tiempo1. Método de Promedios Móviles La utilización de esta técnica supone que la serie de tiempo es estable, esto es, que los datos que la componen se generan sin variaciones importantes entre un dato y otro (error aleatorio=0)2, esto es, que el comportamiento de los datos aunque muestren un crecimiento o un decrecimiento lo hagan con una tendencia constante.

Comment [u1]: Serie cronológica

Cuando se usa el método de promedios móviles se está suponiendo que todas las observaciones de la serie de tiempo son igualmente importantes para la estimación del parámetro a pronosticar (en este caso los ingresos). De esta manera, se utiliza como pronóstico para el siguiente periodo el promedio de los n valores de los datos más recientes de la serie de tiempo. Utilizando una expresión matemática, tenemos: El término móvil indica que conforme se tienen una nueva observación de la serie de Promedio Móvil

=

Σ (n valores de datos más recientes)

n

tiempo, se reemplaza la observación más antigua de la ecuación y se calcula un nuevo promedio. El resultado es que el promedio se moverá, esto es, conforme se tengan nuevos datos y se vayan sustituyendo en la fórmula, el valor del promedio irá modificándose. No existe una regla específica que nos indique cómo seleccionar la base del promedio móvil n. Si la variable que se va a pronosticar no presenta variaciones considerables, esto es, si su comportamiento es relativamente estable en el tiempo, se recomienda que el valor de n sea grande. Por el contrario, es aconsejable un valor de n pequeño si la variable muestra patrones cambiantes. En la práctica, los valores de n oscilan entre 2 y 10. El método de promedios móviles es muy útil cuando se tiene información no desagregada y cuando no se conoce otro método más sofisticado y que permita predecir con mayor confianza. Este método permite suavizar la serie de tiempo aunque existen otros métodos que son más eficientes en la predicción.

1

Una serie de tiempo es un conjunto de observaciones respecto a una variable, medidas en puntos sucesivos en el tiempo o a lo largo de periodos sucesivos de tiempo. Un análisis de una secuencia de datos se conoce como análisis de series de tiempo de una variable. 2 El error aleatorio muestra el grado de confiabilidad con que se van a comportar los datos. La variación del error puede ser de 0 a 1, en donde, un error aleatorio=0 muestra una total confiabilidad del comportamiento de los datos y un error aleatorio=1 muestra que los datos no son confiables en su comportamiento. D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2006

(1)

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Suavización Exponencial Otro método para realizar un pronóstcico es el método de suavización exponencial. A diferencia de los promedios móviles, este método pronostica otorgando una ponderación a los datos dependiendo del peso que tengan dentro del cálculo del pronóstico. Esta ponderación se lleva a cabo a través de otorgarle un valor a la constante de suavización, α, que puede ser mayor que cero y menor que uno. Para nuestro ejemplo, utilizamos un valor de α = 0.8, por ser éste el que mejor ajusta al pronóstico a los datos reales. El método de suavización exponencial supone que el proceso es constante, al igual que el método de promedios móviles. Esta técnica está diseñada para atenuar una desventaja del método de promedios móviles, en donde los datos para calcular el promedio tienen la misma ponderación. De manera particular, esta técnica considera que las observaciones recientes tienen más valor, por lo que le otorga mayor peso dentro del promedio. La suavización exponencial utiliza un promedio móvil ponderado de los datos históricos de la serie de tiempo como pronóstico; es un caso especial de promedio móvil en donde se selecciona un solo valor de ponderación3. El modelo básico de suavización exponencial se presenta a continuación:

Ft+1 = αYt + (1 - α)Ft

(2)

Donde: Ft+1 = Pronóstico de la serie de tiempo para el periodo de t + 1. Yt = Valor real del periodo anterior al año a pronosticar. Ft = Valor real del periodo anteanterior al año a pronosticar. α = Constante de suavización (0 ≤ α ≤ 1). La utilización de esta ecuación implica algunas especificaciones. El cálculo de Ft+1 está ligado con los 2 periodos anteriores. En otras palabras, el pronóstico de suavización exponencial en determinado periodo es (Ft+1) = al valor real de la serie de tiempo en el periodo anterior (Yt) X la constante de suavización (α), + 1 - la constante de suavización (α) X el periodo anteanterior (Ft). Ft+1 = αYt + (1 - α)Ft

(2)

A pesar de que la suavización exponencial nos da un pronóstico que es un promedio ponderado de todas las operaciones pasadas, no es necesario guardar todos los datos del pasado a fin de calcular el pronóstico para el periodo siguiente. De hecho, una vez seleccionada la 3

La ponderación se determina considerando el peso que se le asigna al valor más reciente de la serie. Los pesos o ponderaciones para los demás valores se determinan automáticamente, haciéndose más pequeños conforme las observaciones se alejan del presente. D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2006

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constante de suavización α, sólo se requiere de dos elementos de información para calcular el pronóstico. La ecuación (2) muestra que con un α dado, podemos calcular el pronóstico para el periodo t + 1 simplemente conociendo los valores reales y pronosticados de la serie de tiempo para el periodo t, es decir, Yt y Ft. La elección de la constante de suavización α es crucial en la estimación de pronósticos futuros. Si la serie de tiempo contiene una variabilidad aleatoria sustancial, se preferirá un valor pequeño como constante de suavización. La razón de esta aseveración es que gran parte del error del pronóstico es provocado por la variabilidad aleatoria, por lo que un valor pequeño de α permite un pronóstico mejor. Por el contrario, para una serie de tiempo con una variabilidad aleatoria relativamente pequeña, valores más elevados de la constante de suavización tienen la ventaja de ajustar con rapidez los pronósticos cuando ocurren errores de pronóstico y permitiendo, por lo tanto, que el pronóstico reaccione con mayor rapidez a las condiciones cambiantes. En la práctica, el valor de α está entre .01 y .90. AÑO

IN GRESO S

EGRESOS

PR O N Ó S T IC O D E

PR O N Ó S T ICO D E

N IVEL DE

TO TAL ES

TO T A LES

S U A VIZ ACIÓ N

S U AV IZ A CIÓ N

AHO RRO

EX PO N EN CIA L D E

EX PO N E N CIA L D E

LO S IN G RES O

LO S EGRES OS

19 9 0

16 3 3 0 5

1991

2 0 19 8 6

162370 189498

16 3 3 0 5

16 2 3 7 0

935

19 9 2

3 18 7 7 4

318776

19 4 2 5 0

18 4 0 7 2

10 17 7

19 9 3

405554

412658

293869

2 9 18 3 5

2034

19 9 4

440775

4 6 110 5

383217

388493

-5 2 7 6

19 9 5

437164

4 3 9 7 19

429263

446583

-17 3 19

19 9 6

537194

540698

435584

4 4 10 9 2

-5 5 0 8

19 9 7

704574

705373

5 16 8 7 2

520777

-3 9 0 5

19 9 8

10 0 5 7 4 5

945202

667034

668454

-14 2 0

19 9 9

12 3 5 6 6 5

1484561

938003

889852

4 8 15 0

2000

12 9 5 5 3 5

1712623

117 6 13 3

13 6 5 6 19

-18 9 4 8 7

2001

117 6 13 3

16 3 4 3 6 6

1271655

1643222

-3 7 15 6 8

2002

12 7 16 5 5

16 4 3 2 2 2

119 5 2 3 7

16 3 6 13 7

-4 4 0 9 0 0

2003

119 5 2 3 7

1636137

1256371

16 4 18 0 5

-3 8 5 4 3 4

CUADRO

2

Utilizando la ecuación 2, sustituimos los valores correpondientes para hacer el pronóstico para el año 1992. Sutituyendo valores nos quedaría: Fingresos 1992 = 0.8 (201986) + (1 – 0.8)(163305) Fegresos 1992 = 0.8 (189498) + (1 – 0.8)(162370) El mismo procedimiento se realiza para el resto de los años y obtenemos los resultados que aparecen en el cuadro 2. Una vez que se calculan los D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2006

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pronósticos de ingresos y egresos, la diferencia entre éstos nos da el ahorro, que aparece en la última columna del mismo cuadro. Podemos observar que el pronóstico se ajusta más a los datos reales que en el caso de los promedios móviles. Este método nos permite realizar un pronóstico más confiable que el caso anterior. Claramente se observa que el pronóstico tiene mejor ajuste y la diferencia entre los valores reales y los pronosticados es mínima. Por lo tanto, este método es una mejor opción que los promedios móviles para predecir el comportamiento futuro de los ingresos y egresos. Método de aumento En este método se aplica la tasa de variación observada en los últimos periodos fiscales sobre sus recaudaciones respectivas. La estimación se puede realizar de las siguientes maneras: a)

El promedio de las diferencias resultantes entre las recaudaciones de un año y otro, se agrega a la recaudación del último año.

b)

Estima la recaudación para un próximo ejercicio fiscal en función de la tasa de variación observada en los últimos años. Media Geométrica.

c)

Estimación a través de la tasa media de variación, la cual se aplica cuando no se tenga la información sobre los montos de ingresos de algún periodo intermedio, dentro del número de ejercicios fiscales considerados.

a) Estimación con base en el promedio de las diferencias resultantes entre las recaudaciones de distintos periodos. Diferencia Anual en la Recaudación Años Recaudación 1995 $13’000,000 1996 $22’500,000 1996-1995= $ 22’500,000 - $ 13’000,000 = $ 9’500,000 1997 $29’500,000 1997-1996= 29’500,000 22’500,000 = 7’000,000 1998 $50’500,000 1998-1997= 50’500,000 29’500,000 = 21’000,000 1999 $53’720,000 1999-1998= 53’720,000 50’500,000 = 3’220,000 Σ$ 40’720,000

Promediando el total de diferencias entre el número de ellas $ 40’720,000 /4 = $ 10’180,000

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Si este incremento lo agregamos a la recaudación de 1999, podemos obtener la estimación de la recaudación para el año 2000

$ 53’720,000 + 10’180,000 = $63’900,000 Recaudación esperada para el año 2000. b) Estimación en base a la tasa de variación en el tiempo. Media Geométrica AÑOS 1995 1996 1997 1998 1999

RECAUDACIÓN $ 13’ 000,000 22’500,000 29’500,000 50’500,000 53’720,000

TASA DE VARIACION 1996 – 1995 = 22’500,000 - 13’000,000 1997 – 1996 = 29’500,000 - 22’500,000 1998 – 1997 = 50’500,000 - 29’500,000 1999 – 1998 = 53’720,000 - 50’500,000

X 100 / 13’000,000 X 100 / 22’500,000 X 100 / 29’500,000 X 100 / 50’500,000

= = = =

73.07% 31.11% 71.18% 6.37%

M . G = n ( x1)( x 2 )( x 3)( xi ) M.G = Media Geométrica n = Número de Periodos x n = Tasas de Variación.

M .G.= 4 (7307 . )(3111 . )(7118 . )(6.37) M .G.= 4 1'030,71010 . M .G.= 3186% . Aplicando esta tasa a la recaudación de 1994, obtenemos el incremento esperado en la recaudación para el año 2000 $ 53’720,000 x .3186 = $17’836.00 $ 53’720,000 + $17’836.00 = $ 70’835,192.00 Recaudación estimada para el año 2000. c) Estimación a través de la tasa media de variación En el caso de que se carezca de información sobre la recaudación específica de un periodo intermedio de los considerados se puede obtener una tasa de cambio promedio, aplicando la siguiente formula.

r=n

Pn −1 Po

r = Tasa de cambio porcentual observada en la recaudación en un período de D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2006

Diplomado en Finanzas públicas para la competitividad y el desarrollo tiempo determinado. n = número de años comprendidos en el periodo observado. Po = Ingresos esperados al finalizar el periodo. Pn = Ingresos obtenidos al inicio del periodo total a analizar

r=4

53'720,000 −1 13'000,000

r = 4 4.1312 − 1 r = 1.4257 − 1 r = .4257 = Tasa de variación promedio $ 53’720,000 x .4257 = 22’872,133 $ 53’720,000 + 22’872,133 = 76,592,133 Recaudación estimada para el año 2000.

Métodos econométricos Mediante el uso de este método es factible medir el grado de confiabilidad de la relación existente entre variables tributarias, económicas y administrativas. Así por ejemplo, si se aplicara un aumento en un impuesto, se produciría una transferencia de recursos del sector privado al sector público. Con la aplicación de métodos econométricos es factible medir, con base en datos para un período de tiempo, la relación existente entre la recaudación y las modificaciones en la estructura del impuesto. El cálculo de la recaudación estará en función del nivel de las tasas que se apliquen; de la base imponible del tributo; y del efecto conjunto de ambos, sobre las variables tributarias que se estén afectando. De igual forma, es factible medir futuros niveles de recaudación con base en cambios en variables, tales como cambios en el Producto Interno Bruto, Consumo Privado, Sueldos y Salarios, etc. Igualmente, podrían realizarse estimaciones vinculando el monto de las recaudaciones a variables representativas del grado de eficiencia de la administración tributaria, como por ejemplo porcentajes de evasión, estructura administrativa dedicada a la recaudación, número de empleados, etc.

D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2006

Comment [u2]: Indica cuán seguros podemos estar de que el proceso seguido resulte en valores que representen verdaderamente la población. Se usa más comúnmente con intervalos de confianza. En sentido probabilístico, si tuviéramos una confiabilidad del 95%, decimos que si repitiéramos el proceso muchas veces, en cerca del 95% de las veces obtendríamos resultados que reflejan verdaderamente la realidad. Cerca del 95% de los intervalos así construidos contendrían el valor desconocido del parámetro. Comment [u3]: Base gravable

Diplomado en Finanzas públicas para la competitividad y el desarrollo Algunos modelos econométricos que se pueden aplicar son los siguientes: • Modelo de Regresión Lineal • Método de Mínimos Cuadrados • Modelos de Correlación no Lineal.

Análisis de Regresión El análisis de regresión implica que se determine una relación entre una variable dependiente (ingresos) y una variable independiente (por ejemplo impuestos). Este método implica la verificación de la relación de las variables asociadas con la teoría económica. El esquema 1 muestra el proceso que debe seguirse cuando se utiliza una regresión. Figura 1. Descripción Esquemática de los pasos que supone la utilización del Análisis de Regresión Teoría o modelo económico

Información previa

Modelo econométrico o enunciado de la teoría económica en forma verificable empíricamente

Datos

Prueba de cualesquiera de las hipótesis sugeridas por el modelo

Uso del modelo para predicciones y políticas

Estimación del modelo

La fórmula general de regresión entre la variable dependiente y y la variable independiente x está dada como Y = b0 + b1x + b2x²+...+ bnxⁿ + ε

donde b0, b1... bn son parámetros desconocidos. El error aleatorio ε tiene una media cero y una desviación estándar constante. La forma más simples del modelo de regresión supone que la variable dependiente varía linealmente con el tiempo, es decir Y* = a + bx

(3)

La constante a y b se determinan de los datos de la serie de tiempo con base en el criterio de los mínimos cuadrados ordinarios (MCO), que busca minimizar la suma del cuadrado de las D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2006

Diplomado en Finanzas públicas para la competitividad y el desarrollo diferencias entre los valores observados y estimados4. Esto quiere decir que utilizando MCO obtenemos la función lineal óptima que garantiza la mejor estimación de las variables que queremos pronosticar. Haciendo las manipulaciones algebraicas, se obtiene la siguiente solución: a =

b =

ΣY – b ΣX n

n

n Σ XY -Σ X Σ Y n Σ X² - ( Σ X) ²

(5 )

(4 )

En estas ecuaciones se muestra que primero tenemos que calcular el valor de b para después poder calcular el valor de a.

Una vez que se tienen calculados los valores de a y b, tenemos que establecer si los valores encontrados son válidos5. Para hacerlo, necesitamos calcular el coeficiente de correlación, r, que nos ayudará a establecer la validez de las variables estimadas. El índice r se calcula de acuerdo con la siguiente ecuación: r=

b

nΣ x² – ( Σ x) ² n Σ y² – (Σ y) ²

Donde –1 ≤ r ≤. Si r = ± 1, entonces ocurre un ajuste lineal perfecto entre x y y. En general, entre más cercano sea el valor de r a 1, mejor será el ajuste lineal. Si r = 0, entonces y y x pueden ser independientes. Realmente, r = 0 es sólo una condición necesaria pero no suficiente para la independencia, ya que es posible que dos variables dependientes arrojen una resultado r = 0. Cualquiera de las opciones que presentamos anteriormente, nos ayuda a elaborar un pronóstico confiable de las variables que vamos a considerar para determinar el pronóstico de los ingresos futuros de un municipio. La elección dependerá, como ya lo señalamos, de las condiciones de cada ayuntamiento. Sea cual sea el método que se elija, se podrá establecer un pronóstico adecuado de las variables que se consideren.

4

La suma del cuadrado de las desviaciones entre los valores observados y los valores estimados está dado por: S = ∑(yi – a – bxi)² Los valores de a y b se determinan al resolver las siguientes condiciones necesarias para la minimización de S, es decir, ∂S/∂a = -2∑ (yi – a – bxi) = 0 ∂S/∂b = -2∑ (yi – a – bxi)xi = 0 5 Cuando utilizamos el método de mínimos cuadrados ordinarios, decimos que los valores de a y b son válidos para cualquier distribución probabilística de yi. D.R. Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, México, 2006

Diplomado en Finanzas públicas para la competitividad y el desarrollo Sin embargo, una limitación para la aplicación de este método es la falta de información estadística adecuada, y el costo de obtenerla, por parte de las Tesorerías Municipales, para la aplicación de modelos econométricos.

Análisis del método directo Existe un modelo intermedio que vincula en cierta medida al modelo del método de aumento, el cual pretende incorporar en forma directa, el análisis de la recaudación en el tiempo y el comportamiento esperado de las variables que afectan la base impositiva de los ingresos. Este método demanda un conocimiento de la estructura de cada ingreso, en lo que hace a la base imponible y sus tasas.

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