MECÁNICA Magnitudes Escalares y Vectoriales Algunas cantidades como la distancia, la masa, el tiempo no tienen asociadas una dirección y un sentido y se definen completamente por un número acompañado de una o más unidades apropiadas. A éstas cantidades son aplicables las reglas ordinarias de la aritmética (suma, resta, multiplicación, división, etc.). Ejemplo: Un cuerpo de 4 Kg equivale a cuatro cuerpos de 1 Kg cada uno, ya que se está aplicando una propiedad de masa, entonces esto se puede escribir en forma de ecuación: 4 𝑘𝑔 = 1𝑘𝑔 + 1𝐾𝑔 + 1𝐾𝑔 + 1𝐾𝑔

Las cantidades que se expresan con un número y su unidad o unidades, y que responden a las reglas de la aritmética, se las denominan CANTIDADES ESCALARES. Son también Cantidades Escalares aquellas que sólo se expresan con un número. Los Escalares son cantidades que no dependen del sistema de coordenadas. Ejemplos de magnitudes escalares: distancia (d) tiempo (t) masa (M) temperatura (T) densidad (δ) Existen cantidades que para ser definidas, necesitan además del número y la unidad o unidades, la indicación de la dirección y del sentido. A éstas cantidades son aplicables ciertas reglas del álgebra, en donde la suma de dos de estas cantidades puede ser muy diferente de la suma aritmética de las mismas. Las cantidades que se expresan con un número y su unidad o unidades, y que poseen una dirección y sentido, y que responden a ciertas reglas del álgebra, se las denominan CANTIDADES VECTORIALES o simplemente VECTORES. La palabra VECTOR lleva asociada un pensamiento abstracto, el cual no resulta fácil y claro, sin embargo en el pensamiento científico está permanentemente presente, tan es así que en la lengua española es Vector, en Ia inglesa es Vector, en la francesa es Vecteur, en la alemana es Vektor y en la rusa es Bektop (se pronuncia "vector").

El vector es una cantidad que posee módulo, dirección y sentido; el módulo es un escalar. Históricamente el significado de la palabra vector se inicia en la astronomía, como "la recta imaginaria que une a un planeta con el centro o foco de una elipse, al moverse, alrededor de éste". Ejemplos de magnitudes vectoriales: desplazamiento (d) velocidad (v) aceleración (a) fuerza (F) etc. La notación vectorial tiene dos grandes propiedades: La formulación de una ley física en función de los vectores es independiente de los ejes coordenados que se elijan. La notación vectorial es concisa. Para denotar un vector se usa una letra mayúscula en negrita o bien con una flecha arriba: A

o también

���⃗ A

Para expresar el módulo de un vector se puede usar lo siguiente: |𝐀|

o también

���⃗ A

o bien

A

Dos o más vectores son iguales sólo si poseen el mismo módulo, dirección y sentido. Suma de vectores: la suma de los vectores responde a la ley del paralelogramo de la adición vectorial: A+B=C

en donde el vector C resulta de unir el extremo del vector A con el origen del vector B respetando el módulo, dirección y sentido de cada uno; en la misma forma se puede obtener la substracción de vectores. Producto de vectores: existen dos formas del producto de vectores:

a) Producto escalar de dos vectores. b) Producto vectorial. Se define como producto escalar de dos vectores al número que se obtiene multiplicando los módulos de ambos y por el coseno del ángulo que forman entre sí como consecuencia de este producto se obtiene un ESCALAR: 𝐀 ∙ 𝐁 = A ∙ B ∙ cos (A, B)

producto escalar

Se define como producto vectorial de dos vectores (A y B), al VECTOR "C" normal (perpendicular) al plano en el que están contenidos los dos vectores (A y B) y cuyo módulo es igual al producto de los módulos de A y B y por el seno del ángulo que forman A y B: 𝐀×𝐁=𝐔=𝐮 � ∙ A ∙ B ∙ sen (A, B)

producto vectorial

en donde 𝐮 � es un vector unitario (llamado Versor) que le da la dirección y el sentido al vector U. El producto de un escalar “E” por un vector "I" da como resultado un vector "V" cuyo módulo es igual al producto del escalar “E” por el módulo del vector "I" (|𝐈|) Y cuya dirección y sentido son las del vector "Y": E ∙ 𝐈 = 𝐕 = E ∙ |𝐈| ∙ 𝐢̂

en donde “ı̂” es el versor del vector I No está definido el cociente de vectores o el de un escalar por un vector. ESTATICA Equilibrio de una partícula Muchas de nuestras nociones primitivas acerca de las fuerzas provienen de nuestros esfuerzos musculares con objetos a menudo en reposo. Comprendemos la fuerza porque hemos empujado mesas, nos hemos sentado en sillas y hemos tratado de levantar baúles

pesados. Entonces, el estudio de objetos en reposo tiene un interés intrínseco básico. Los ingenieros deben diseñar puentes que no se hundan y los cirujanos deben consolidar con clavos una cadera fracturada para que el paciente pueda mantenerse de pie. Si un cuerpo está en reposo y permanece en él, se dice que está en EQUILIBRIO ESTÁTICO. Si sabemos que un cuerpo está en equilibrio estático, y por consiguiente, que tiene aceleración igual a cero, por las leyes de Newton sabemos que la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo es nula. Puesto que la fuerza neta que actúa sobre un cuerpo es en general, la suma de varias fuerzas, podríamos escribir: "Si un cuerpo está en equilibrio estático, la suma vectorial de las fuerzas externas que actúa sobre el cuerpo es cero", en símbolos: �𝐅 = 𝐑 = 0

Si la fuerza neta ejercida sobre una partícula es igual a cero, las leyes de Newton nos dicen que la aceleración de la partícula es igual a cero, y que (a partícula se mueve con velocidad constante. Si la fuerza neta ejercida sobre una partícula es igual a cero, se dice entonces que la partícula está en equilibrio. Si la velocidad de una partícula que está en equilibrio es una constante y distinta de cero, la partícula está en EQUILIBRIO DINÁMICO; si la partícula está en reposo se dice que está en EQUILIBRIO ESTÁTICO. Cuando se trata de cuerpos y no de partículas, la condición para que éste se encuentre en equilibrio estático es que todas las fuerzas externas que actúan sobre dicho cuerpo sean concurrentes, es decir que las líneas de acción de todas las fuerzas externas que actúan sobre él, pasen por el mismo punto. Para que un cuerpo o una partícula se encuentre en condiciones de equilibrio estático es necesario que la resultante de fuerzas que actúan sobre él o ella sea nula y que las velocidades de traslación y la de rotación también sean nulas. a) ∑ 𝐅 = 𝐑 = 0 b) 𝐯 = 0

Si sólo se cumple con la primera condición (∑ 𝐅 = 𝐑 = 0), el cuerpo o la partícula se encuentra en equilibrio pero ya no se sabe si es estát.ico, ya que podría estar trasladándose a velocidad constante o podría estar rotando en tomo a un punto fijo. Si se cumplen las condiciones antes expresadas, se puede decir que el "sistema" se encuentra en un equilibrio completo; esta es la esencia de la PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO de Newton, la cual se puede expresar de la siguiente forma: “Todo cuerpo continúa en su estado de reposo, o de movimiento uniforme y rectilíneo, a menos que sea impulsado a cambiar dicho estado por fuerzas ejercidas sobre él”.

Para poder saber si un sistema está en equilibrio, es necesario realizar un diagrama de fuerzas (diagrama de vectores fuerza) y por el método del paralelogramo se obtiene la resultante (R) de las fuerzas. Siempre que un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo ejerce sobre el primero una fuerza igual en magnitud, pero de sentido opuesto y sobre la misma línea de acción; esto significa que no existe una fuerza única y aislada. Las dos fuerzas que intervienen en toda acción mutua entre dos cuerpos se denomina ACCIÓN y REACCIÓN; esto no implica que una, de las fuerzas, se la causa y la otra el efecto. Esta propiedad de las fuerzas fue enunciada por Newton en su TERCERA LEY DEL MOVIMIENTO, según sus propias palabras A cada acción se opone siempre una reacción igual; o sea, las acciones mutuas entre dos cuerpos, uno sobre otro, son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias. CENTRO DE GRAVEDAD Los cuerpos reales constan de gran número de partículas, cada una de las cuales es atraída por la Tierra. Si el cuerpo se encuentro cerca de la superficie de la Tierra, todas estas fuerzas serán paralelas. La resultante de todas estas fuerzas paralelas es lo que generalmente llamamos peso del cuerpo. La línea de acción de esta fuerza resultante, o peso, pasa siempre por un solo punto del cuerpo, punto llamado CENTRO DE GRAVEDAD del cuerpo. Paro cualquier cuerpo particular la situación del centro de gravedad depende de la distribución de la materia en dicho cuerpo. A partir del conocimiento de los vectores y de las condiciones de equilibrio, se está en posición de poder definir las magnitudes vectoriales y escalares de la Física para poder comprender y resolver los problemas que se presentarán en la Biomedicina que se explican a partir de los conocimientos de la Física.

CINEMATICA Y DINAMICA Causas del Movimiento La causa del movimiento es una cuestión que ha ocupado la mente de los hombres durante siglos. Lo experimentado en casi todos los cuerpos es compatible con la idea de que el movimiento es causado por una fuerza (mover un piano suele ser suficiente para hacer evidente esta idea). Pero el problema de la Ciencia es hacer precisa la noción, expresar cuidadosamente las condiciones y las limitaciones. Los escolásticos medievales elaboraron un conjunto de hipótesis basadas en las ideas de Aristóteles y Platón, que en esencia afirmaban que hay dos clases de movimientos: natural y forzado. Los movimientos naturales eran característicos de las cosas que se

movían y no necesitaban de ninguna fuerza (aparte de las fuerzas necesarias para la creación de las cosas). Desde este punto de vista, los objetos celestiales se mueven de una forma determinada, porque la naturaleza de dichos objetos es moverse en esa forma. Análogamente, las piedras caen porque la naturaleza de las piedras es hallarse en la superficie de la Tierra, y cuando son desplazadas vuelven a su lugar natural. Esto (aunado a la idea de que existen, rodeando a la Tierra, esferas de aire, agua y fuego) explicaba muchos movimientos, tales como el humo que se eleva y la corriente de los ríos. En cada caso todo el objeto móvil o parte de él "pertenecía" naturalmente a una de las esferas y se movía naturalmente hacia dicha esfera. Otros movimientos, los movimientos forzados, suponían mover un objeto a un lugar no natural, y suponían también la acción de una fuerza de algún agente externo. Para los filósofos medievales era evidente que ese agente externo siempre debía estar en contacto con el objeto en movimiento, por lo que no invocaban la gravedad como fuerza. Aunque había varios problemas, de los cuales algunos eran del tipo de “¿cuántos ángeles pueden danzar en la copa de un pino?", este conjunto de ideas explicaba generalmente los movimientos que se observaban. Con la llegada del Renacimiento, se desmoronó toda la estructura de ideas que apoyaban la noción de movimientos naturales y más importante aún, se descubrió que algunos movimientos, una vez iniciados, continuaban sin la presencia de una fuerza externa. El nuevo examen posterior del problema, realizado en forma experimental y matemático por Galileo, culminó en la obra de Newton. El resultado central del análisis newtoniano del movimiento es que la fuerza sirve para cambiar el estado del movimiento; las fuerzas hacen que los objetos se pongan en movimiento o se detengan, cambie la velocidad o cambie el sentido. La primera idea de que son necesarias fuerzas para iniciar un movimiento, es una de las abstracciones de la experiencia tan fundamentales, y aprendidas tan temprano en la vida, que las consideramos obvias. Igualmente obvio, surge como segunda idea, que las fuerzas detienen los objetos en movimiento. A veces es necesario y siempre es posible descubrir una fuerza que explique el cese de un movimiento particular. Por ejemplo una bola de billar que rueda por una mesa siempre se desacelera y se detiene. Si la bola permanece sobre la mesa suele atribuirse el cambio en su movimiento a la existencia de una fuerza llamada FRICCION. En realidad, la fuerza de fricción es tan común que es casi imposible observar un movimiento en el que ella no actúe. Por ello la tercera idea, de que en ausencia de fuerzas un objeto se moverá sin ningún cambio, es decir que se moverá con velocidad constante en un sentido fijo, no es tan obvio. Esta idea, como la mayoría de las ideas importantes de la Física, ha de abstraerse de muchas observaciones y análisis. Sin embargo, si la bota de billar (en buen estado) rueda sobre una mesa de billar (también en buen estado) se halla sometida a pequeñas fuerzas que casi no la desaceleran, y podríamos concluir que la bola continuaría rodando indefinidamente si no hubiera fricción.

Quizás la idea más difícil de aceptar es la cuarta, la conexión entre el cambio del sentido del movimiento y la fuerza. Cuando un automóvil sigue una curva, cambia de sentido; la fuerza que causa este cambio es una fuerza de fricción que actúa hacia un lado de las ruedas del automóvil. Este puede inferirse del hecho de que si la fuerza de fricción se redujera por una capa de aceite sobre la ruta, la fuerza lateral sería tan pequeña que el automóvil patinaría; es decir, tendería a continuar moviéndose hacia adelante y no cambiaría el sentido. Newton describe las causas del movimiento en dos expresiones, llamadas PRIMERA LEY DEL MOVIMIENTO Y SEGUNDA LEY DEL MOVIMIENTO. Newton describe también en su TERCERA LEY la naturaleza de las fuerzas que actúan entre los cuerpos. Primera Ley: Un cuerpo en reposo permanecerá en reposo, y un cuerpo en movimiento continuará en movimiento con velocidad constante en línea recta mientras no actúe sobre él una fuerza no equilibrada. Segunda Ley: Si una fuerza no equilibrada actúa sobre un cuerpo, el cuerpo 'será acelerado; la magnitud de la aceleración es proporcional a la magnitud de la fuerza no equilibrada, y el sentido de la aceleración es el de la fuerza no equilibrada. Tercera Ley: Cuando un cuerpo ejerce una fuerza sobre otro, el segundo cuerpo ejerce una fuerza de igual magnitud y de sentido opuesto al primer cuerpo. Cabría ahora preguntarse ¿qué es el movimiento?, y se podría responder diciendo que es EL CAMBIO PERMANENTE DE POSICIÓN y la parte de la Mecánica que estudia al movimiento se la denomina Cinemática. Esto implica una observación y estudio de la, trayectoria de un cuerpo o de una partícula, a su vez esa trayectoria se la debe referir a un referencial (sistema de coordenadas ortogonales). Es decir que en el movimiento encontramos "una distancia recorrida", "una dirección" o línea de acción y “un sentido" u orientación de ese movimiento, y así el vector desplazamiento (d) es su módulo (distancia recorrida) y su orientación (dirección y sentido). Si aI desplazamiento (d) se lo relaciona con el tiempo (t), se puede definir un vector llamado velocidad (v); la expresión matemática es:

o bien

𝐯=

𝐝 t

𝐝=𝐯∙t

(1-1)

(1-2)

La ecuación 1-2 representa el movimiento de la partícula en línea recta.

Si dicho movimiento se realiza recorriendo distancias iguales a lo largo de una recta, en tiempos iguales, se dice que es un MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME. Las condiciones para que una partícula se encuentre en Movimiento Rectilíneo Uniforme son: a) que la resultante (𝐑) de las fuerzas que actúan sobre ella se nula �𝐅 = 𝐑 = 0

b) que el desplazamiento (𝐝) varíe uniformemente en el tiempo 𝐝 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒(𝑐𝑡𝑒. ) ≠ 0

c) que la velocidad (v) sea constante en el tiempo y distinta de cero 𝐯 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒(𝑐𝑡𝑒. ) ≠ 0

d) que la aceleración (a) sea nula

𝐚=0

Si se grafica el desplazamiento (𝐝) en función del tiempo (t) (ec. 2), da una recta que pasa por el origen, cuya pendiente está dada por la velocidad (v) como se muestra en la siguiente figura:

Si se grafica la velocidad (v) en función del tiempo (t), da una recta horizontal, se muestra en la siguiente figura:

Normalmente una partícula al desplazarse no lo hace a velocidad constante, es decir que al moverse su velocidad varía continuamente y por consiguiente está realizando un MOVIMIENTO ACELERADO; quiere decir que si Ia velocidad (v) varía en función del tiempo (t), se debe al vector aceleración (a); la expresión matemática es:

o bien

𝐚=

𝐯

(1-3)

t

𝐯 =𝐚∙t

(1-4)

La ec. 1-4 representa el movimiento acelerado de la partícula. Si dicho movimiento se realiza con incrementos iguales de la velocidad (v) a lo largo de una recta, en tiempos iguales, se dice que es un MOVIMIENTO RECTILINEO UNlFORMEMENTE ACELERADO. Las condiciones para que una partícula se encuentre en Movimiento Rectilíneo Uniformemente Acelerado son: a) que la resultante (R) de las fuerzas que actúan sobre ella se distinta de cero � 𝐅 = 𝐑 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒(𝑐𝑡𝑒. ) = 0

b) que el desplazamiento (d) varíe cuadráticamente en el tiempo 𝐝 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒(𝑐𝑡𝑒. ) ≠ 0

c) que la velocidad (v) varíe uniformemente en el tiempo

𝐯 ≠ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒(𝑐𝑡𝑒. ) ≠ 0

d) que la aceleración (a) sea constante y distinta de cero 𝐚 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒(𝑐𝑡𝑒. ) ≠ 0 Si se grafica la velocidad (v) en función del tiempo (t) (ec. 1-4), da una recta que pasa por el origen, cuya pendiente está dada por la aceleración (a) como se muestra en la siguiente figura:

Si se grafica la aceleración (a) en función del tiempo (t), da una recta horizontal, como se muestra en la siguiente figura:

Cabría ahora preguntarse ¿cómo es la trayectoria de la partícula cuando su movimiento es uniformemente acelerado? Para poder responder se debe comenzar por plantear que como la aceleración (a) es constante, la aceleración media es igual a la aceleración instantánea, entonces se puede " reemplazar la aceleración media por la aceleración constante "a" y se obtiene: 𝐚=

𝐯𝟏 −𝐯𝟎

𝐚=

𝐯𝟏 −𝐯𝟎

𝐭 𝟏 −𝐭 𝟎

(1-5)

en donde 𝐯𝟏 es en el 𝐭 𝟏 y 𝐯𝟎 es en el 𝐭 𝟎 ; generalmente se denomina a 𝐯𝟎 velocidad inicial y a 𝐭 𝟎 se lo considera igual a cero, entonces de la ec. 1-5 se obtiene lo siguiente: o bien

𝐯=

𝐭𝟏

𝐯𝟎 + 𝐚 ∙ t

(1-6)

(1-7)

en donde la velocidad "v" en el instante "t" es igual a la velocidad inicial "𝐯𝟎 " a tiempo cero "𝐭 𝟎 ", más la variación de la velocidad " 𝐚 ∙ t"; a su vez se define como velocidad media, en cualquier intervalo de tiempo, a la semisuma de las velocidades al comienzo (𝐯𝟎 ) y al fInal (v) de dicho intervalo, entonces la velocidad media entre cero y t es: ��⃗ v=

𝐯𝟎 +𝐯 𝟐

(1-8)

La ec. 1-8 NO ES VÁLIDA SI LA ACELERACIÓN NO ES CONSTANTE. Otra forma de expresar a la velocidad media es a partir del cociente entre la diferencia de las posiciones en la trayectoria de la partícula y el incremento del tiempo, o sea: 𝑉=

𝑑1−𝑑0 𝑡1−𝑡0

=

∆𝑑 ∆𝑡

(1-9)

si se parte del reposo con un tiempo inicial cero. la eco se reduce a: 𝑑 =𝑣∗𝑡

(1-10)

si se reemplaza la ecuación 1-8 en la 1-10 se obtiene: 𝑑=

𝑣0+𝑣

𝑑=

𝑑𝑣0+𝑣0+𝑎∗𝑡

2

∗𝑡

(1-11)

ahora si se reemplaza la ecuación 1-7 en la 1-11 se logra:

o bien:

2

∗𝑡

1

𝑑 = 𝑣0 ∗ 𝑡 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑡 2

(1-12)

(1-13)

La ecuación 1-13 es la respuesta a la pregunta que se había planteado anteriormente en donde se observa una función de segundo grado ya que la variable dependiente es el desplazamiento y la variable independiente es el tiempo, por lo tanto al graficarla da una parábola. La pendiente de la tangente en el instante "t = 0" es igual a la velocidad inicial "v0" y la pendiente de la tangente en el instante "t" es igual a la velocidad "v" en dicho momento. Es evidente que la pendiente aumenta continuamente y si se mide este incremento en el tiempo se encontraría que es siempre él mismo, esto significa que la aceleración es constante. La gráfica de la ecuación 1-13 es la siguiente:

Un caso especial del movimiento uniformemente acelerado es cuando la aceleración es nula y entonces la velocidad resulta constante. Si se despeja "t" de la ecuación 1.7 y luego se la reemplaza en la ecuación 1-13 se obtiene: 𝑣 2 = 𝑣02 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑑

(1-14)

𝑣=

(1-7)

Resumiendo, las ecuaciones del movimiento en línea recta y con aceleración constante son las siguientes:

𝑑=

𝑣0 + 𝑎 ∙ 𝑡

𝑣0+𝑣 2

∗𝑡

1

𝑑 = 𝑣0 ∗ 𝑡 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑡 2 𝑣 2 = 𝑣02 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑑

(1-11) (1-13) (1-14)

Se debe tener presente que dos de estas ecuaciones fueron obtenidas de la combinación de otras dos, quiere decir que sólo dos de las cuatro ecuaciones son independientes y por consiguiente estas ecuaciones se pueden utilizar para despejar como máximo dos incógnitas. Como hay cinco símbolos utilizados en las ecuaciones necesariamente se deben conocer tres de ellos para poder resolver las dos incógnitas; también hay que prestar mucha atención a las unidades que se utilizan ya que deben pertenecer al mismo sistema de unidades para la correcta resolución de las incógnitas. Se ha visto hasta aquí las condiciones necesarias para lograr el equilibrio de un cuerpo o de una partícula, y que ocurre cuando dicho equilibrio es alterado, Por lo tanto si la resultante (R) de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo o la panícula es nula, la situación es de equilibrio; ahora si se altera dicha situación, la resultante de las fuerzas actuantes deja de ser nula y por consiguiente se rompe el equilibrio pasando a un estado de movimiento acelerado.

Para el primer caso se debe cumplir Jo siguiente: a) b) c) d)

∑𝐅 = 𝐑 = 0 n=0 v = constante(cte. ) ≠ 0 d= v∗t

Para el segundo caso se debe cumplir lo siguiente: a) ∑ 𝐅 = 𝐑 ≠ 0 b) a = constante(cte. ) ≠ 0 c) v = a ∗ t 1

d) 𝑑 = 𝑣0 ∗ 𝑡 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑡 2

Este segundo caso corresponde a la. Segunda Ley de Newton (antes enunciada) la cual afirma que cuando la fuerza resultante no es nula, el cuerpo o la partícula se desplaza con un movimiento acelerado, y que la aceleración para una fuerza dada, depende de una propiedad del cuerpo o la partícula llamada MASA (M). La parte de la Mecánica que estudia conjuntamente al movimiento con la o las fuerzas que lo originan se denomina DINAMICA la cual en un sentido amplio abarca casi toda la Mecánica. Al realizar un experimento con un cuerpo aplicándole una fuerza y midiendo la aceleración que éste adquiere, se encuentra lo siguiente: a) Que el sentido de la aceleración es el mismo que el de la fuerza cuando el cuerpo parte del reposo. b) Que el cociente del módulo de la fuerza con el módulo de la aceleración es siempre el mismo para el mismo cuerpo, o sea constante.

Dicha constante es la que se denomina MASA: 𝐹

O bien

𝑀 = 𝑎 = Constante para un cuerpo dado

(1-15)

𝐹 =𝑀∗𝑎

(1-16)

La masa de un cuerpo o de una partícula es un ESCALAR. LEY DE NEWTON SOBRE LA GRAVITACION UNIVERSAL

La primera fuerza que fue comprendida en forma sistemática fue la gravedad. Uno de los aspectos más notables de la teoría de Newton (1685) fue la afirmación de que la fuerza de gravitación es universal, es decir que la misma fuerza que provoca la caída de la manzana es la causa del movimiento de la Luna. Ley de Gravitación Universal: Dos cuerpos cualesquiera del universo se atraen mutuamente con una fuerza que es directamente proporcional al producto de las masas de los dos cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. Esta ley se enuncia en la siguiente ecuación: 𝐹=𝐺∗

𝑀∗𝑚 𝑟2

(1.17)

en donde "M" es la masa de uno de los cuerpos y "m" es la masa del otro cuerpo; r es la distancia entre ellos; F es la fuerza que ejerce un cuerpo sobre el otro y "G”' es la constante de proporcionalidad llamada CONSTANTE DE GRAVITACION UNIVERSAL. En base a estudios realizados en laboratorios se determinó el valor de la constante G: G=6,670x10-8 dinas * cm2 * g-2 = 6,670x10-11 N * m2 * Kg-2 La masa del planeta Tierra es: M= 5,98x1027 g = 5,98x1024 Kg El volumen del planeta Tierra es: 4 𝑉 = ∗ 𝜋 ∗ 𝑟 3 = 1,09 ∗ 1027 𝑐𝑚3 = 1,09 ∗ 1021 𝑚3 3 Si se realiza el cociente entre la masa y el volumen se define un escalar denominado DENSIDAD (δ): δ=

M V

(1-18)

La densidad del planeta Tierra es de 5,5 g/cm3. MASA y PESO Es habitual confundir los conceptos de MASA y PESO puesto que el primero es un escalar y el segundo es un vector. De hecho que por definición la MASA es la cantidad de materia que posee un cuerpo o partícula, mientras que el segundo es una resultante del producto entre el escalar masa con el vector aceleración de la gravedad y por consiguiente "depende de la aceleración de la gravedad del lugar en donde se efectúa la medición, considerando que siempre se trabaja con el mismo cuerpo o partícula. Es decir

que la expresión matemática del PESO es la misma que se dio para el concepto desarrollado en el Segundo Principio de Newton: 𝐹 =𝑀∗𝑎

(1-16)

𝐹 =𝑀∗𝑔

(1-19)

y por lo tanto representaremos al peso de un cuerpo o partícula con la tetra "efe" minúscula en negritas ( f) y a la aceleración “a" como "g" ya que se está expresando la aceleración gravitatoria:

Como el peso f es una fuerza, su unidad será en el CGS: dina y en el MKS: N (Newton). TRABAJO Y ENERGIA El diccionario define la energía en el sentido Físico como "la capacidad para efectuar trabajo", esta definición da la idea esencial: un cuerpo tiene energía si posee la capacidad para alterar el estado de otro cuerpo. Debemos definir por lo menos dos tipos de energía, la energía de movimiento de un cuerpo y la energía de posición. Como la palabra "capacidad" en la definición anterior es tan imprecisa, ninguna ecuación obvia se sugiere como la "apropiada" a una u otra clase de energia. Sin embargo, la idea de que la energía puede ser transformada de una forma a otra y transferida de un cuerpo a otro sugiere que podríamos definir la energía de tal modo que, en determinadas circunstancias, la cantidad de energía es constante" Es decir, que es posible escoger definiciones matemáticas de energía de movimiento y de energía de posición tales que, como consecuencia de las leyes de Newton, la suma de todas las energías para algunos sistemas permanece constante. Si aumenta la energía. de un objeto del sistema, disminuye la energía de uno o más objetos del sistema en la misma cantidad. Si aumenta la energía de movimiento, disminuye la energía de posición. Escogidas estas definiciones de energía, podemos examinar la conducta de la energía total de otros sistemas. En general, si escogemos arbitrariamente un grupo de cuerpos y los llamamos un sistema, hallaremos que la energía de tal sistema no es constante. Sin embargo, las leyes de Newton nos permiten llegar a la conclusión de que cuando cambia la energía total de cierto sistema, puede hallarse uno o más sistemas diferentes cuyas energías cambian en una cantidad igual y opuesta. Es decir que puede extenderse el sistema y decirse que la energía total del nuevo sistema es constante, o puede decirse que la energía total que deja un sistema es transferida a uno o más sistemas sin pérdida de energía. Así, para un gran número de situaciones la ENERGIA SE CONSERVA.

Más importante aún, es posible extender la definición afirmando que la energía se conserva siempre. Es decir que es posible definir un pequeño número de clases adicionales de energía, tales como energía eléctrica y energía nuclear, de modo que la energía total de un sistema es constante, o el cambio en energía del sistema puede explicarse por una transferencia de energías sin pérdida en favor de uno o más sistemas diferentes. La energía puede ser transferida de un sistema a otro; dicha transferencia puede ser en forma de calor si ambos sistemas tienen diferentes temperaturas. Para dos sistemas que está a la misma temperatura, la transferencia de energía se llama TRABAJO. Así, si disminuye la energía de un sistema, debe efectuar trabajo sobre otro sistema, y la energía de este otro debe aumentar. TRABAJO EFECTUADO POR UNA FUERZA Un concepto muy importante expuesto por la Física es el de "trabajo efectuado" sobre un cuerpo por la acción de cierto agente externo que ejerce una fuerza sobre este cuerpo y le produce movimiento. Por ejemplo si alguien eleva un cuerpo, está realizando un trabajo al ejercer una fuerza sobre él, moviéndolo hacia arriba. El trabajo efectuado es el producto de la fuerza aplicada sobre el cuerpo por el desplazamiento que se produce en el mismo, mientras actúa dicha fuerza. Entonces el trabajo se lo puede expresar como: 𝑊 =𝐹∗𝑑

(1-20)

𝑊 = 𝐹 ∗ 𝑑 ∗ cos θ

(1-21)

siempre que la fuerza sea PARALELA al desplazamiento, de lo contrario como se observa en la figura, el trabajo efectuado por una fuerza F que actúa con un ángulo θ en el sentido de su desplazamiento es:

en donde “d" es el sentido en el que se desplaza el cuerpo de masa “M" por acción de la fuerza "F” y "F*cos θ” es la componente de la anterior. ENERGIA CINETICA La energía que posee un cuerpo cuando está en movimiento se denomina Energía Cinética y se la puede determinar calculando el trabajo que se efectúa al acelerarlo desde una velocidad inicial (v0) hasta una velocidad final (v1), al aplicarle una fuerza constante: 𝑊 =𝐹∗𝑑

(1-20)

𝐹 =𝑀∗𝑎

(1-16)

𝑊 =𝑀∗𝑎∗𝑑

(1-22)

y teniendo en cuenta la segunda Ley:

ahora si se reemplaza la ec. 1-16 en la 1-20 se 'obtiene:

Pero sabemos que:

𝑣 2 = 𝑣02 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑑

(1-14)

y si se despeja “a ∗ d” se obtiene: 𝑎∗𝑑 =

𝑣 2 −𝑣02

(1-23)

2

al encontrar la ecuación 1-23 se la puede reemplazar en la ecuación 1-22 y así llegar a: 1

1

𝑊 = 2 ∗ 𝑀 ∗ 𝑣 2 − 2 ∗ 𝑀 ∗ 𝑣02

(1-24)

en donde el segundo miembro. de la ecuación 1-24 es el cambio de energía cinética del cuerpo o de la partícula. La forma genérica de expresar a la energía cinética es por medio de: 1

𝐸𝑐 = 2 ∗ 𝑀 ∗ 𝑣 2

ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA

(1-25)

Si se levanta un cuerpo (M) verticalmente con movimiento uniforme, desde un plano de referencia hasta una altura (h) dada, la fuerza necesaria para lograr dicho movimiento debe ser constante y de igual magnitud que el peso (M • g) del cuerpo, por consiguiente el trabajo desarrollado será: 𝑊 = 𝑀 ∗ 𝑔 ∗ (ℎ𝑖 − ℎ0 )

(1-26)

en donde "g" es la aceleración de la gravedad (módulo), "h0" es la altura del plano de referencia y "hi" es la altura a la que se llega con el cuerpo. La diferencia de alturas se puede expresar como (hi − h0 ) y la ecuación 1-25 se transforma en la forma matemática, tradicionalmente conocida como: 𝐸𝑝 = 𝑀 ∗ 𝑔 ∗ ℎ

(1-27)

La ecuación 1-26 implica el cambio de energía de posición cuando acciona dentro del campo gravitatorio. POTENCIA En la definición de trabajo no se tiene en cuenta al tiempo, por lo tanto se puede realizar un trabajo en una hora o en un día, etc. Cuando se relacionan el trabajo y el tiempo mediante un cociente, se está definiendo a un escalar denominado Potencia (p): p=

W

(1-28)

t

Si para realizar el trabajo "W" se empleó una fuerza “F" constante produciendo un desplazamiento "d" en el sentido de la fuerza, se puede obtener la siguiente combinación entre las ecuaciones 1-19 y 1-27: 𝑝=

W t

𝑑

=𝐹∗𝑡

(1-29)

pero el cociente entre el desplazamiento y el tiempo corresponde a la ecuación 1-1 de velocidad por lo cual se llega a: 𝑝 =F∗v

(1-30)

EJERCICIOS DESARROLLADOS 1Un vehículo que circula a 120 Km/h sufre una aceleración de 20 m/s2 durante 2 min ¿Qué desplazamiento se produjo en ese tiempo? Datos: a = 20 m/s2 v = 120 Km/h t = 2 min Previo a la aplicación de la ecuación se debe unificar los datos en un mismo sistema: a = 20 m/s2 v = 120 Km/h = 1,2x105 m / 3600 s = 33,33 m/s t = 2 min = 120 s A partir estos datos se despeja la incógnita que en este caso es el desplazamiento, utilizando la siguiente ecuación: 1

𝑑 = 𝑣0 ∗ 𝑡 + 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑡 2

(1-13)

Si se reemplazan los datos en dicha ecuación, se obtiene: D = 33,33 m/s x 120 s + 0,5 x 20 m/s2 x 1202 s2 = 3.999,6 m + 144.000 m = 1,47x105 m 2¿Cuál es la aceleración de un vehículo que se desplazó 130 Km en 1 h, partiendo del estado de reposo? Datos: d = 130Km t=1h Se deben expresar los datos en unidades de un sistema: d = 130x103 m = 1,3x105 m t = 1 h = 3600 s En base a la ecuación 1-13 y teniendo en cuenta que la velocidad inicial es nula, se obtiene:

1

𝑑 = 2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑡2)

y

𝑑

𝑎 = 2 ∗ 𝑡2

Si se reemplazan los datos en la última ecuación, se obtiene: a = 2d+t2 = 2x1,3x105 m + (3600s)2 = 2x1O-2 m/s2 3¿Cuál es la aceleración de un móvil que a t0 = O s, su velocidad es de 110 Km/h y a los 12 min su velocidad es de 130 Km/h? Datos: v0 = 110 Km/h v1 = 130 Km/h t1 – t0 = 12 min Se deben expresar los datos en unidades de un mismo sistema: v0 = 110 Km/h = 110x103 m ÷ 3600 s = 30,55 m/s v1 = 130 Km/h = 130x103 m ÷ 3600 s = 36,11 m/s t1 – t0 = 12 min = 720 s A partir de estos datos se despeja la incógnita, que en este caso es la aceleración, utilizando la siguiente ecuación: 𝑣 −𝑣

𝑎 = 𝑡 𝑖− 𝑡0 1

0

(1-5)

Si se reemplazan los datos en dicha ecuación, se obtiene: a = 5,56 m/s ÷ 720 s = 7,7x10-3 m/s2 4¿Qué desplazamiento sufrió un cuerpo que recibió una aceleración de 33 m/s2 durante 5 min? Datos: a = 33 m/s2 t = 5 min Se deben expresar los datos en unidades de un sistema: a = 33 m/s2 t = 5 min = 300 s A partir de estos datos se despeja la incógnita de la ecuación 1-13, que en este caso es el desplazamiento.

Si no se enuncia la v0, se debe considerar que el cuerpo parte del reposo, es decir que la v0 es nula y por lo tanto: 𝑑=

1 ∗ 𝑎 ∗ 𝑡2 2

Si se reemplazan los datos en la ecuación resultante, se obtiene: d = 0,5 x 33 m/s2 x 9x104.s2 = 1,485x106 m 5¿Cuál es la aceleración de un automóvil que en el momento de medir el tiempo, su velocidad era de 95 Km/h y que al cabo de 1 min recorrió 5 Km? Datos: v0 = 95 Km/h t = 1 min d = 5 km Se deben expresar los datos en unidades de un mismo sistema: v0 = 95 Km/h = 9,5x104 m ÷ 3600 s = 26,38 m/s t= 1 min = 60 s d= 5 Km = 5x103 m A partir de estos datos se despeja la incógnita de la ecuación 1-13, que en este caso es la aceleración: 𝑎 = 2 (𝑑 − 𝑣0 ∗ 𝑡) + 𝑡 2 =

= 2 [5x103 m - (26,38 m/s x 60 s)] ÷ 3600 s2 = 1,89 m/s2