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3
Un ida d Mc de Gr mu aw est -H ra ill pr Ed om uc oc ati ion on al .
5 Ecuaciones Sumario
1 El lenguaje de las ecuaciones 2
Descubre
Un id a d Mc d e G r mu aw est -H ra ill pr Ed om uc oc a ti i o n on al .
La palabra ecuación viene del latín aequatio, que significa nivelación, igualación. Comparte raíz con palabras como equilibrio, ecuador o ecuánime. Se trata, por lo tanto, de una igualdad en la que la can tidad que tenemos a la izquierda (primer miembro) del signo igual es idéntica a la cantidad situada a su derecha (segundo miembro). Esta
es una de las cosas más bellas que encontra remos en matemáticas: que en mitad de todos los cálculos, simplificaciones y operaciones que hace mos siempre permanece el signo igual. Todo cuanto hacemos en una ecuación se hace pro tegiendo esta igualdad. Basta, por lo tanto, con hacer un alto en cualquier punto del camino que recorre mos al resolver una ecuación y contemplar. Observar si nuestros pasos siguen respetando al signo igual. ¡Nuestra creatividad se somete a un rigor que la hace aún mejor! Después de ver el ejemplo planteado al principio, ¿te atreves a crear tu propio truco para sorprender a tus familiares y amigos? Juega con los núme ros y parámetros que quieras (número de pie, año de nacimiento, altura…). Tan solo tienes que encontrar la relación entre los números que tú puedes controlar y el que piensa tu «víctima» para convertirte en «adi vino».
¿Recuerdas qué son las ecuaciones? ¿Cuántas soluciones puede tener una ecuación? ¿Tienen siempre solución? ¿Por qué necesitamos saber resolver ecuaciones? ¿Identificas situaciones cotidianas en las que aparezcan ecuaciones?
El lenguaje de las ecuaciones
La resolución de ecuaciones es algo relativamente sencillo, pues se trata de un proceso bastante mecánico. En matemáticas es fundamental expresar con pro piedad todo aquello que estamos escribiendo, no solo saber hacer operaciones. Por eso, en lugar de comenzar por aprender a resolver distintos tipos de ecua ciones, vamos a empezar por aprender a nombrar variables y a traducir palabras al lenguaje algebraico. Como punto de inicio vamos a definir algunos conceptos: Una ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas.
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Una incógnita es una variable de estas expresiones cuyo valor no conoce mos y tratamos de encontrar.
Las matemáticas son un lenguaje que, como tal, sirve para describir todo lo que nos rodea. Por ello te puede resultar muy útil aprender a usarlo bien.
Resolver una ecuación consiste en encontrar qué valor, o valores, hacen que la incógnita, o incógnitas, cumplan la igualdad. Ese valor, o valores, es la solución.
Incógnita Observa esta ecuación: Primer miembro 2 x + 3 = 1 Segundo miembro El número que cumple la igualdad es x = −1, que es la solución de la ecuación. Teniendo en cuenta las soluciones de una ecuación, se clasifican de la siguiente forma:
Fíjate
ECUACIÓN
El grado de una ecuación es el máximo exponente al que está elevada la incógnita tras desarrollar las operaciones posibles en cada miembro. Una ecuación de grado n tiene, como máximo, n soluciones. Por ejemplo:
3 x + 5 = 2 x − 7 grado 1. 3 ( x − 1)( x + 2) = 4 x − 3 grado 2. Hay casos particulares en los que esa solución es múltiple. Por ejemplo:
( x + 3) 2 = 0 tiene una solución doble:
x = −3
80 UNIDAD 5
COMPATIBLE. Tiene solución.
INCOMPATIBLE. No tiene solución.
DETERMINADA. Un número finito de soluciones. INDETERMINADA. Un número infinito de soluciones.
Ejemplos
{ 2 x + 3 = 1 → La solución es x = − 1, es única. Se trata de una ecuación compa tible determinada.
{ x + 5 = x − 3 → No existe ningún número que, al sumarle cinco unidades, dé la misma cantidad que si le restamos tres unidades. Esta ecuación no tiene solución. Por lo tanto, es una ecuación incompatible.
{ 2 x + 5 = 2 x + 10 − 5 → Observa que 2x es el mismo número en ambos miem bros. Y si se le suma 5 (primer miembro) es lo mismo si se le suma 10 y se le resta 5 (segundo miembro). Esta ecuación es válida para cualquier número, por lo que tiene infinitas soluciones. Es una ecuación compatible indeterminada.
Actividades 1. ¿Tiene solución x + 2 = − x + 10? Si es así, ¿es única? Justifica tu respuesta.
1.1. Traducción al lenguaje de las ecuaciones A la hora de resolver un problema, tanto en las matemáticas como en la vida real, es necesario saber relacionar la información que tenemos para poder llegar a una solución. Aunque ya conoces cómo funciona el lenguaje algebraico, va mos a recordar algunos aspectos antes de avanzar en esta unidad.
Ejemplos
Fíjate Al escribir una ecuación, no olvides que lo que en un enunciado aparece como «un número es…» se traduce a «x = …».
El doble de un número o dos veces un número es 56.
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{ «El doble» se traduce como 2x, no como x + 2 o x 2. { La ecuación quedaría así: 2x = 56 .
La quinta parte de un número es 10.
x 1 { «La quinta parte» se traduce como , y no o x − 5. 5 5x x { La ecuación resultante es = 10 . 5
Dos números x e y tales que el primero es el doble del segundo. { Se escribe x = 2y, y no 2x = y.
{ ¿Por qué? Fíjate bien en lo que lees: si el primero es el doble del segundo, entonces el primero es mayor que el segundo. Por lo tanto, habrá que multi plicar por 2 al segundo para que sea tan grande como el primero.
Al traducir un enunciado a una ecuación es útil dar valores a las incógni tas, mentalmente o tomando notas. De esa manera se puede comprobar que lo escrito concuerda con lo leído.
Puedes calcular cuánto ahorras en rebajas ayudándote de una ecuación.
Actividades 2.
Relaciona en tu cuaderno cada uno de los siguientes enunciados con su ecuación correspondiente:
y 2
a) El cuadrado de un número es el doble de otro más 1.
I. 2 x + 1 =
b) El doble de un número más 1 es la mitad del otro.
II. 2 x = 3 y + 3
c) El doble del primer número es el triple del segundo más 3.
III. 2 x + 1 = y 2
3. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) 15 disminuido en x unidades da 8. b) Si se añaden cuatro unidades a un número se obtiene 20. c) Dos séptimas partes de un número equivalen al doble de otro.
UNIDAD 5 81
1.2. Ecuaciones equivalentes Para resolver ecuaciones haremos uso del concepto de ecuación equivalente. Dos ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones. De esa forma, encontraremos ecuaciones más sencillas en las que la solución se verá fácilmente.
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Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta el mismo número, la ecuación resultante es equivalente. Por lo tanto:
x+a=b x=b–a
Un término que está sumando en un miembro pasa restando al otro. Un término que está restando en un miembro pasa sumando al otro.
Del mismo modo, si los dos miembros de una ecuación se multiplican o se divi den por el mismo número, la ecuación resultante es equivalente. Entonces:
ax = b b x = —— a
Un término que multiplica en un miembro pasa al otro dividiendo (sin cambiar el signo). Un término que divide en un miembro pasa al otro multiplicando (sin cambiar el signo).
Paso a paso
Buscamos ecuaciones equivalentes más sencillas para resolver la ecuación:
3x − 5 = −4 − 2 x
1. Pasamos los términos con incógnita a un miembro y los que no la tienen (independientes) al otro:
3 x − (−2x ) = −4 − (−5) 3 x + 2x = −4 + 5
2. Operamos: 3. Despejamos la x:
5x = 1 x=
1 5
Actividades 4. Escribe una ecuación equivalente a cada una de las siguientes: a) 2 x + 5 = 7 − 3 x
82 UNIDAD 5
b) x 2 − 3 x + 5 = 5 x
c) 2 x 2 + 6 x = 4 x + 8
2 Ecuaciones de primer grado Para resolver este tipo de ecuaciones hemos de pasar nuestra incógnita a un miembro y todos los términos independientes al otro.
2.1. Resolución de ecuaciones de primer grado sin fracciones Para resolver estas ecuaciones tan solo tenemos que seguir un proceso sistemá tico que nos permitirá reducir al mínimo los posibles errores.
Paso a paso
Comprobar la solución o soluciones de una ecuación te ayudará a descubrir si hay algún error en el desarrollo. Hazlo tantas veces como sea necesario. Así podrás identificar los puntos en los que poner más atención. ¡Recuerda hacerlo!
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Resolvemos la siguiente ecuación de primer grado:
Fíjate
3 ( 3 x + 1) − ( x − 1) = 6 ( x + 10 )
1. Eliminamos los paréntesis, si los hay: 9 x + 3 − x + 1 = 6 x + 60
2. Pasamos todos los términos con x a un lado: 9 x − x − 6 x = 60 − 3 − 1 3. Operamos:
2x = 56
56 2 x = 28
4. Despejamos la x:
5. Comprobamos la solución:
x=
3 (3 ⋅ 28 + 1) − ( 28 − 1) = 6 ( 28 + 10) 3 ⋅ 85 − 27 = 6 ⋅ 38 255 − 27 = 228 228 = 228
Una ecuación de primer grado puede tener: Una única solución Ecuación compatible determinada Infinitas soluciones Ecuación compatible indeterminada
Tu turno
Fíjate
1. Resuelve la siguiente ecuación: 3 x − ( x + 2) + 7 = 2 ( x + 4 ) − 3 x − ( 2 − 5 x ) 1 ¿Es x = la solución? 2
Ninguna solución Ecuación incompatible
Actividades 5. Resuelve las siguientes ecuaciones: a) − x − 6 x − 8 = 0
d) 5 ( 2 x − 1) + ( x − 1) = 5
b) 7 x = 60 x + 3
e) 6 ( 2 x − 3 x + 1) − 2 x − 1 = −1
c) 4 ( x − 1) − 7 ( x − 6) = 5 ( x + 6)
f) 3 x − ( x + 2) + 7 = 2 ( x + 4) − 3 x − ( 2 − 5 x)
6. En los siguientes problemas determina cuál es la incógnita, escribe la ecuación, resuélvela y comprueba. a) La edad de Lucas es tres veces la de su hijo. Si tiene 45 años, ¿cuántos años tiene su hijo?
b) Si a un número se le suma 2 y se multiplica el resultado por 3 da 27. ¿Cuál es el número?
UNIDAD 5 83
2.2. Ecuaciones de primer grado con fracciones
Fíjate El mínimo común múltiplo (mcm) de varios números es el menor de los múltiplos que tienen en común.
Paso a paso Resolvemos esta ecuación:
3 x − 1 2 (x + 3) 4 x + 2 − = −5 20 5 15
1. Si la ecuación tiene una suma o resta de fracciones, hallamos el mínimo
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Muchas veces en una ecuación con fracciones tendemos a poner como denominador común al producto de los denominadores. Aunque no sea incorrecto hacerlo así, nos puede complicar mucho los cálculos (tendríamos números mayores) y confundirnos en la simplificación.
El proceso para resolver estas ecuaciones con fracciones es muy sencillo, por lo que podemos enfrentarnos a este reto sin miedo.
común múltiplo de sus denominadores, dividimos cada miembro por ese nú mero y agrupamos cada miembro en una sola fracción:
3 (3 x − 1) − 12 ⋅ 2 ( x + 3) 4 (4 x + 2) − 60 ⋅ 5 = 60 60
2. Quitamos los denominadores y eliminamos los paréntesis si los hay: 9 x − 3 − 24 x − 72 = 16 x + 8 − 300
3. Pasamos todos los términos con incógnita a un lado y operamos:
Herramientas TIC
Veamos cómo resolver una ecuación con GeoGebra.
Selecciona en el menú la vista CAS (Computación Algebraica Simbólica) e introduce la siguiente ecuación:
9 x − 24 x − 16 x = 8 − 300 + 3 + 72 −31x = −217
4. Despejamos la x:
217 31 x=7 x=
5. Comprobamos la solución:
3 ⋅ 7 − 1 2 (7 + 3) 4 ⋅ 7 + 2 − = −5 20 5 15 20 20 30 − = −5 20 5 15 1− 4 = 2 − 5 −3 = −3
x−1 x+1 − =0 2 3
Haz clic en el botón «Resuelve (x=)» y obtendrás la solución.
Tu turno
2. Resuelve la siguiente ecuación siguiendo los pasos que acabamos de ver:
3x + 1 1− x 7x + 4 + = 2 6 4 En el paso 3 tendremos la siguiente ecuación equivalente:
36 x − 4 x − 42x = 24 − 12 − 4 Solución: x = − 84 UNIDAD 5
4 5
−10 x = 8
Actividades 7. Resuelve las siguientes ecuaciones: 1− x 3x − 1 1 + = 2 3 3 x+1 x+ 4 x+3 d) 1 − = − 5 5 2
x−1 x+1 − = 10 2 3 x+7 7− x x−7 b) − = +7 2 6 12
a)
x+3 = x+5 3 x − 3 −x + 1 + =3 f) 3 7
c)
e)
Te proponemos un reto
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1. Sudoecu. Para resolver el sudoku que te proponemos necesitas unos números de referencia del 1 al 9, que son las soluciones de las ecuaciones que encontrarás a continuación. Rellena las casillas con sus correspondientes soluciones y luego resuélvelo. a) A1: −9 = x − 14
q) F2: 7 x − 6 = 6 + 3 x
b) A2: −4 ( x + 6 ) = −40
r) F5: 5 x + 2 = 2 x + 5
c) A4: 4 x − 7 = 5 − 2 x
s) F9: 5 x + 50 = 30 x
u) G7: 6 − 3 ( 2 x − 4 ) = −18
1 e) A9: 4 + x = 5 4
w) H6: 3 x − 2 = 16
x) I1: 2 ( 8 + x ) = 22
g) B9: 6 x = 24
y) I4: 6 ( x + 3 ) = 24
2 3 x 71 h) C3: + = 3 4 12
z) I6: 9 + 4 x = 6 x − 5
i) C7: −6 x + 2 x = −36
k) D5: −2 x − 5 = −11 l) D8: −4 x + 132 = 108
3
4
5
6
7
8
9
B
C D
4 x = 6 9
F
p) F1: 4 x − 2 x = 18
2
A
E
x o) E6: − 4 = −3 5
1
m) D9: 3 x + 4 = x + 18 n) E4:
Estos se empleaban en la cul tura egipcia para predecir el futuro.
v) H1: 30 x = 150 − 45 x
f) B4: 5 x − 3 = 2 x + 12
j) D1: −2 x − 13 = −3 x − 5
El sudoku se basa en los cuadrados mágicos (serie de números en un cuadrado en el que la suma de los números por filas, columnas y diagonales principales es la misma).
t) G3: 8 x − ( 2 x − 3 ) = 9
d) A6: 3 x − 7 = 20
Hitos matemáticos
G H I
En 1776, Leonhard Euler estudió los cuadrados latinos: cuadrados cuyos elementos son números enteros (1, 2, …, n) y se repiten n veces en el cuadrado. De ahí que se le atribuya el origen de los sudokus. UNIDAD 5 85
Ecuaciones de segundo grado Fíjate
Una ecuación de segundo grado es aquella que, después de ser reduci da, tiene la forma de un polinomio de grado dos. Una ecuación de este tipo puede escribirse siempre de la siguiente forma:
Seguro que conoces situaciones de tu vida cotidiana en las que puedes encontrar funciones parabólicas.
donde a es distinto de cero, y b y c son números. Como el grado de la ecuación es 2, tendremos, a lo sumo, dos soluciones distintas (podremos tener una solución doble, pero este caso lo estudiaremos más ade lante).
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Elabora una lista de, al menos, diez aplicaciones de las parábolas.
ax 2 + bx + c = 0
3.1. Resolución por el método gráfico
y
Un polinomio de grado 2 corresponde a una parábola. La ecuación de segundo grado nos da los puntos de corte de esa parábola con el eje OX. Por esto iguala mos el polinomio que queda en el miembro de la izquierda a 0 (el eje OX corres ponde a y = 0).
y
c
c
x1
x2
x
x1 = x2
y
Los puntos de corte de la gráfica con el eje OX son las soluciones de la ecuación de segundo grado.
x
El número de soluciones de la ecuación depende del número de puntos en los que la parábola corta el eje OX:
c
Si la gráfica corta en dos puntos el eje OX, hay dos soluciones distintas.
x
Si la gráfica toca el eje OX en un solo punto, hay una solución doble. Si la gráfica no corta el eje OX, no existe solución.
Ejemplos
La función y = x 2 − 5 x + 6 corta el eje OX en los puntos x = 2 y x = 3. Así, la ecuación x 2 − 5 x + 6 = 0 tie ne dos soluciones distintas: 2 y 3.
La función y = x 2 + 4 x + 4 toca el eje OX en el punto x = −2. La solu ción de la ecuación x 2 + 4 x + 4 = 0 es −2 (doble).
La función y = x 2 + x + 1 no corta el eje OX en ningún punto. Por lo tan to, la ecuación x 2 + x + 1 = 0 no tie ne solución.
y
y
y
7
7
7
6
6
6
5
5
5
4
4
4
3
3
3
2
2
2
1
1
1
1
86 UNIDAD 5
2
3
4
5 x
–5 –4 –3 –2
–1
x
–3 –2
–1
1
2 x
3.2. Ecuaciones de segundo grado completas (a, b, c ≠ 0) Las dos soluciones de la ecuación se obtienen mediante esta fórmula:
Fíjate
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b 24−ac4ac −b−+b +b 2 − x =x = −b−±b ±b 2 − b 24−ac4ac 1 1 2a 2a x =x = = = 2a 2a b 24−ac4ac −b−−b −b 2 − x 2 =x 2 = 2a 2a
Solo tenemos que sustituir en esta fórmula los valores de los coeficientes a, b y c y obtendremos las soluciones. Al radicando = b − 4ac se lo conoce como discriminante. Dependien do de su valor, encontramos estas situaciones: 2
Si
> 0, la ecuación tiene dos soluciones distintas.
Si
= 0, la ecuación tiene dos soluciones iguales (solución doble).
Si < 0, la ecuación no tiene solución (pues la raíz cuadrada de un núme ro negativo no existe).
Observa la siguiente parábola:
y = ax 2 + bx + c
Calculamos su discriminante: = b2 − 4ac
Si > 0, la parábola corta en dos puntos el eje OX. Si = 0, la parábola corta en un punto el eje OX. Si < 0, la parábola no corta el eje OX.
Ejemplos
{ x 2 − 5 x + 6 = 0 → En esta ecuación, a = 1, b = −5 y c = 6. Por lo tanto, el discriminante es el siguiente:
= (−5) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 6 = 25 − 24 = 1 > 0 tintas.
La ecuación tiene dos soluciones dis
{ x 2 − 4 x + 4 = 0 → El discriminante es el siguiente:
= (−4) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 16 − 16 = 0
La ecuación tiene una solución doble.
{ x 2 + x + 4 = 0 → El discriminante es el siguiente: 2
= 1 − 4 ⋅ 1 ⋅ 4 = 1 − 16 = −15 < 0
La ecuación no tiene solución.
Herramientas TIC Resuelve con GeoGebra la primera ecuación del ejemplo. Comprueba que las soluciones son 2 y 3.
Encuentra las soluciones del resto de las ecuaciones.
Actividades 8. Con la ayuda del discriminante, indica cómo van a ser las soluciones de las siguientes ecuaciones de segundo grado:
a) 2 x 2 + x − 3 = 0
b) x 2 − 2 x + 1 = 0
c) x 2 + 3 x + 5 = 0
UNIDAD 5 87
Paso a paso
Fíjate Para resolver una ecuación de grado mayor que uno es conveniente dejar el segundo miembro a cero.
Veamos cómo resolver una ecuación de segundo grado completa:
(x − 3 )( x + 1) = 3 − x
1. Escribimos la ecuación en la forma ax 2 + bx + c = 0 ; para eso desarrollamos la ecuación y pasamos todo al primer miembro:
Por ejemplo:
x 2 − 2x − 3 = 3 − x
2x + 3 = 1 − x2
x2 − x − 6 = 0
2. Identificamos los valores de los coeficientes a, b y c teniendo cuidado de no confundir los signos: a = 1, b = −1, c = −6.
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La ecuación equivalente más idónea para resolver sería esta:
2x + 3 − 1+ x = 0 2
x2 + 2x + 2 = 0
3. Sustituimos estos valores en la fórmula de resolución de la ecuación de se gundo grado:
x=
−(−1) ± (−1) 2 − 4 ⋅ 1 ⋅ (−6) 2⋅1
4. Operamos:
1 +15+ 5 6 6 x1 x=1 = = = = 3= 3 + 24 1 ±1 ± 2525 1 ±15± 5 1 ±1 ±1 +124 22 22 x =x = == == == 22 22 22 1 −15− 5 −4−4 x 2 x=2 = = = = −=2−2 22 22 5. Comprobamos las soluciones:
xxx1x1x11=11====3333→ 333)(33)()()(3)(333+3++++ 1)11)1)1=))====3333−3−−−− 33333 0000⋅0⋅⋅4⋅4⋅44= → 3→ → →((3((33(3−3−−−− 4====00000 00000=====00000 xxx2x2x222=2====−−−− 2−222→ 2−222−2−−−− 333)(33)()()(−)(−−− 2−222+2++++ 1)11)1)1=))====3333−3−−−− ((−((−− 2−22)2)2))) ((−((−− 5−55)55))⋅)⋅)⋅(⋅(− 1−)11)1)1=))====3333+3++++22222 5555=5====55555 → 2→ → →((−((−− (− (− (− (− ⋅((−−
Tu turno
3. Resuelve ahora una ecuación en la que no tengamos los coeficientes a, b y c tan claros. Por ejemplo: 2 x ( x − 3) + 1 = x − 2. Solución: x1 = 3; x 2 =
1 2
Actividades
9. Escribe una ecuación de segundo grado en cada caso que cumpla las condiciones indicadas:
a) Que tenga dos soluciones iguales o solución doble.
Fíjate Toma siempre los valores de a, b y c teniendo en cuenta que obedecen a la siguiente expresión:
b) Que tenga dos soluciones distintas. c) Que no tenga solución.
10. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
ax 2 + bx + c = 0 ¡Vigila los signos! 88 UNIDAD 5
a) 3 x 2 − 4 x + 1 = 0
c) 5 x 2 − 4 x + 1 = 0
e) x 2 − 6 x + 9 = 0
b) x 2 + 2 x + 1 = 0
d) − x 2 + 5 x − 6 = 0
2 f) 2 x + x − 15 = 0
3.3. Ecuaciones de segundo grado incompletas Son aquellas ecuaciones en las que no hay ningún término con x (b = 0) o no hay término independiente (c = 0). Estas ecuaciones pueden resolverse aplicando la fórmula, pero existe una forma más sencilla.
Ecuaciones de segundo grado con b = 0 En este caso despejamos la x y calculamos la raíz.
Herramientas TIC Usa la aplicación on-line WolframAlpha para resolver la ecuación 3 x2 − 75 = 0. En la imagen se muestra la solución que nos proporciona el programa.
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cccc cccc 2 2 2 2 2 2 2 2 axax + axc+ax=c+0=c+0=c 0=ax 0ax ax =− ax =c−=c− =2x−=2 − =x ±=x−±=−±− − =c−xc2x=2 x− = −x =x ± aa aa aa aa Así, este tipo de ecuaciones solo tendrán solución cuando c y a tengan c signos distintos. De esa forma el cociente − será positivo y existirá la raíz a cuadrada.
a x2 + c = 0
Paso a paso
Resolvemos la ecuación 2 x 2 − 18 = 0.
xxx===33x31 = 3
181818 18 222 2
111 1. Despejamos y hacemos la raíz: 22x2x2x2=2==18 218 x182 =x18x2x2=2==x 2====999 =xx9= x== ±±3±x33= ±3
2. Comprobamos las soluciones:
xx2x2=2==−−x3−323= −3
x1 = 3 → 2 ⋅ 3 2 − 18 = 2 ⋅ 9 − 18 = 18 − 18 = 0 x 2 = −3 → 2 (−3) 2 − 18 = 2 ⋅ 9 − 18 = 18 − 18 = 0
Ecuaciones de segundo grado con c = 0
Al no tener término independiente, extraemos como factor común la x:
ax ax ++bx bx==00
xx(ax (ax++bb) )==00
22
Si el producto de dos números es 0, hay dos posibilidades: o bien el pri mero de ellos es 0, o bien lo es el segundo. Por lo tanto, las dos soluciones ax++bb))==00 de esta ecuación son las siguientes:xx((ax
xx11 ==00
x (ax + b) = 0 x1 = 0
Paso a paso
ax + b = 0
ax++bb==00 ax x2 = −
b a
bb xx22 ==−− aa
Observa las soluciones y los cortes de la gráfica con el eje X. ¿Cuánto habría que subir la gráfica para que solo cortara el eje de abscisas en un punto? ¿Y en ninguno? ¿Sabrías escribir la ecuación de esas parábolas?
Fíjate
Obtener el factor común en una expresión es encontrar el elemento común que multiplica a todos sus sumandos:
3 x 2 + 6 x = 3 x ( x + 2)
a x2 + b x = 0
Resolvemos la ecuación x 2 + 6 x = 0.
1. Extraemos el factor común (la x): x ( x + 6) = 0
3. Comprobamos las soluciones:
2. Obtenemos las dos soluciones: x1 = 0 x+6 = 0
x 2 = −6
x 1 = 0 → (0) 2 + 6 ⋅ 0 = 0 x 2 = −6 → (−6) 2 + 6 (−6) = 36 − 36 = 0
UNIDAD 5 89
Ecuaciones de segundo grado con b = c = 0
a x2 = 0
Solo tendremos que despejar la x, lo que da lugar a una solución doble x = 0. 0000 2 2 2 2 axax ax = ax 0= = 0 0=x02x=2x=2x=2 = x 2x=2x0=2x= 02 0=x0=x 0= x= 0x 0= 0 aaaa
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Paso a paso Resolvemos la ecuación −5 x 2 = 0.
1. Despejamos la x.
00 −5−x52x=2 0= 0 x 2x=2 = −5−5
2. Al dividir 0 entre cualquier número obtenemos 0. Por lo tanto: 00 x 2x=2 = x 2x=2 = 00 −5−5
3. Como la raíz de 0 es 0, tenemos:
x 2x=2 0= 0 x =x 0= 0
donde x = 0 es una solución doble.
Actividades
11.
12.
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas:
a) x 2 − 25 = 0
d) − x 2 + 16 = 0
b) 3 x 2 − 12 = 0
e) 5 x 2 − 5 = 0
c) x 2 + 4 = 0
f) 25 x 2 − 4 = 0
Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas. Comprueba tus resultados con la aplicación WolframAlpha. a) x 2 + x = 0
2 d) −4 x + 5 x = 0
2 b) −3 x − 6 x = 0
2 e) 5 x − 10 x = 0
c) 3 x 2 + 7 x = 0
f) − x 2 − 4 x = 0
13. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado incompletas: a) 2 x 2 = 0
90 UNIDAD 5
b)
4 2 x =0 5
3 c) − x 2 = 0 8
3.. Ecuaciones polinómicas factorizadas A veces podemos encontrarnos ecuaciones con alguno de sus miembros facto rizado. Por ejemplo, ( x − 1)( x + 3) = 0 . Podemos resolverlas sin necesidad de operar y aplicar la fórmula. Las soluciones de la ecuación del ejemplo son −3 y 1, pues hacen que el valor del polinomio sea 0.
¿Te suena de algo la factorización de polinomios? Es una forma de escribir un polinomio como producto de polinomios irreducibles que hallábamos calculando sus raíces. Las raíces de un polinomio coinciden con las soluciones de la ecuación resultante de igualar ese polinomio a 0.
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Cuando en una ecuación de segundo grado el segundo miembro es 0 y el primer miembro es el producto de binomios, las soluciones serán los nú meros que den el valor de 0 a cada uno de los binomios.
Fíjate
Paso a paso
En el caso anterior, ( x − 1 )( x + 3 ) = 0:
1. Igualamos a 0 cada uno de los factores:
2. Despejamos la incógnita: 3. Comprobamos:
x −1= 0 x+3 =0 x1 = 1
x 2 = −3
x1 = 1 → (1 − 1) (1 + 3) = 0 ⋅ 4 = 0
x 2 = −3 → (−3 − 1) (−3 + 3) = −4 ⋅ 0 = 0
Fíjate
En una ecuación de la forma
x 2 + bx + c = 0
si las soluciones son x1 y x2, tenemos lo siguiente:
Actividades 14.
Relaciona cada una de las ecuaciones factorizadas con su expresión correspondiente en la forma ax 2 + bx + c = 0:
x1 + x2 = −b x1 ⋅ x 2 = c
a) ( x − 3)( x − 2) = 0
I. x 2 − 2 x + 1 = 0
b) ( x − 6)( x + 1) = 0
II. x 2 − 4 = 0
Así, resulta fácil buscar las soluciones sin utilizar la fórmula de ecuaciones de segundo grado.
c) ( x − 1)( x − 1) = 0
III. x 2 − 5 x + 6 = 0
Por ejemplo, si x 2 − x − 6 = 0:
d) ( x − 2)( x + 2) = 0
IV. x 2 − 7 x + 6 = 0
e) ( x − 6)( x − 1) = 0
V. x 2 − 5 x − 6 = 0
15. Resuelve las siguientes ecuaciones:
x1 + x2 = −(−1) = 1 x1 ⋅ x2 = −6 Por lo tanto:
x1 = −2 x2 = 3
a) ( x + 1)( x + 7) = 0 b) 2 x ( x + 9) = 0 c) −3 ( x − 5)( x + 2) = 0
Observa:
( x + 2) ( x − 3) = x 2 − x − 6
UNIDAD 5 91
4 Ecuaciones de grado superior a 2
Si la ecuación está dada en la forma P(x) = 0, podemos factorizarla por la regla de Ruffini y resolver las ecuaciones de grado inferior que nos quedan. Hay un caso particular que estudiaremos más adelante: las ecuaciones bicuadradas.
4.1. Ecuaciones de grado superior a 2 por la regla de Ruffini Resolvemos x 3 + 2xx3 +2 −2xx−2 −2x=−02 = 0
1 x 3 +12xx3 2+−21xx2− 21 x=−02. = 0
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Fíjate
Paso a paso
En la regla de Ruffini buscamos una raíz entera entre los divisores del término independiente. Lo más sencillo es buscar el valor numérico del polinomio para esos divisores (P (1), P (−1), …) y ver si este valor es 0.
1. Factorizamos el polinomio del primer miembro aplicando la regla de Ruffini: 1
1
2 −1 −2 1 3 2 1 3 2 0
1
−1
1
3 2 −1 −2 2 0
2. Expresamos la ecuación en forma factorizada:
( x − 1) ( x + 1) ( x + 2) = 0
Hitos matemáticos
El creador de esta regla, Paolo Ruffini, fue profesor de Matemáticas y rector en la Universidad de Módena.
Investiga más sobre él. ¿En qué época vivió? ¿Por qué se le recuerda?
3. Igualamos cada factor a 0 y obtenemos así las soluciones: x −1= 0
x = 1;
x+1= 0
x = −1;
x+2=0
x = −2
4. Comprobamos las soluciones:
P(1) = 13 + 2 ⋅ 12 − 1 − 2 = 1 + 2 − 1 − 2 = 0
P(−1) = (−1) 3 + 2 ⋅ (−1) 2 − (−1) − 2 = −1 + 2 + 1 − 2 = 0
P(−2) = (−2) 3 + 2 ⋅ (−2) 2 − (−2) − 2 = −8 + 8 + 2 − 2 = 0
Actividades 16. Resuelve las siguientes ecuaciones:
92 UNIDAD 5
a) x 3 + 3 x 2 − x − 3 = 0
4 3 2 d) x − x − 16 x − 20 x = 0
b) x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8 = 0
4 3 2 e) x − 6 x − 11x + 96 x − 80 = 0
c) 2 x 3 − x 2 − 8 x + 4 = 0
f) 2 x 4 − 5 x 3 + 5 x − 2 = 0
4.2. Ecuaciones bicuadradas Son ecuaciones de la forma ax 4 + bx 2 + c = 0 , es decir, ecuaciones de cuarto grado sin términos de grado impar. Estas ecuaciones se resuelven haciendo un cambio de variable x 2 = t , para así reducirlas a una ecuación de segundo grado at 2 + bt + c = 0 . Tras resolverla habrá que deshacer el cambio de variable: x = ± t .
Fíjate
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Si t < 0 , no existe t y se descartarían esas soluciones para la ecuación.
Si, por ejemplo, obtuviésemos las soluciones t1 = 9 y t2 = −4, resolveríamos así:
Paso a paso
Resolvemos x 4 − 13 x 2 + 36 = 0.
1. Hacemos el cambio de variable x 2 = t:
ttt1t111====9999
t 2 − 13t + 36 = 0
2. Resolvemos la ecuación at 2 + bt + c = 0.
13 +135 + 5 t1 =t1 = = 9 = 9 2 2 − 14413 ±13 ±25 2513 ±135 ± 5 −(−−13()−±13) ±(−13()−13−)4 ⋅−1 ⋅436 ⋅ 1 ⋅ 3613 ±13 ±169 −169144 2 2 = = = = = = t=t= 2⋅1 2⋅1 2 2 2 2 2 2 13 −135 − 5 t2 =t2 = = 4 = 4 2 2
3. Deshacemos el cambio de variable. Estas dos soluciones posibles pasan a ser cuatro, teniendo en cuenta que:
33 x1 x=1 x=31 = ; ; ; −3−3 x 2x=2x=−2 3=
t2 t=2 t=42 = 44
xxxx2222====−−−− 9999====−−−−3333
ttt2t222====−−−−4444
xxxx3333==== −−−−4444==== xxxx4444====−−−− −−−−4444====
El símbolo indica que no existe solución real. Las soluciones serían las siguientes: x1 = 3 y x2 = −3
x 2x=2 = t t x =x ±= ±t t
t1 t=1 t=91 = 99
xxxx1111==== 9999====3333
x3x=3x=23 =2 2
−2−2 x4x=4x=−4 2=
4. Comprobamos las soluciones:
x1 = 3 → 34 − 13 ⋅ 3 2 + 36 = 81 − 13 ⋅ 9 + 36 = 81 − 117 + 36 = 117 − 117 = 0
x 2 = −3 → (−3) 4 − 13 ⋅ (−3) 2 + 36 = 81 − 13 ⋅ 9 + 36 = 81 − 117 + 36 = 117 − 117 = 0 x3 = 2 → 2 − 13 ⋅ 2 + 36 = 16 − 52 + 36 = 52 − 52 = 0 4
2
x4 = −2 → (−2) − 13 ⋅ (−2) + 36 = 16 − 13 ⋅ 4 + 36 = 52 − 52 = 0 4
2
Actividades 17.
Resuelve las siguientes ecuaciones y comprueba las soluciones con alguna herramienta TIC: a) x 4 − 5 x 2 − 36 = 0
4 c) x − 16 = 0
b) x 4 − 4 x 2 + 3 = 0
4 2 d) x + x − 20 = 0
Herramientas TIC Utiliza alguna herramienta TIC de resolución de problemas para resolver la ecuación x4 − 5x2 + 6 = 0. Puedes usar GeoGebra o WolframAlpha, con las que ya has trabajado, o cualquier otra que tú conozcas. Observa la representación gráfica y relaciónala con las soluciones.
UNIDAD 5 93
5 Resolución de problemas
En la vida tenemos que aprender a afrontar los problemas que se nos presentan en lugar de huir de ellos. En muchas de estas ocasiones, las matemáticas nos proporcionan una estructura de razonamiento que nos facilita las cosas.
Estrategia de resolución de problemas Te proponemos un método para resolver problemas. Estamos seguros de que te va a ayudar mucho a la hora de abordarlos.
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Vamos a plantear la resolución de un problema como un juego.
1. META
2. FICHAS
1.1. Antes de comenzar a leer el enunciado de un problema ve al final de dicho enunciado. ¿Qué te piden?
2.1. Comienza a leer el enunciado.
1.2. Si se trata de una ecuación o de un sistema de ecuaciones, identifica cuá les son las incógnitas.
2.2. Anota todos los datos que te dan. 2.3. Si te cuesta interpretarlo, intenta dibujarlo. 2.4. Si no lo ves claro, vuelve a leer el enunciado. 2.5. Traduce el enunciado al lenguaje de las ecuaciones.
3. TABLERO
4. ESTRATEGIA
3.1. ¿Qué te hace falta para llegar a la solución?
4.1. Escribe las relaciones que puedas establecer entre las fichas que tienes y el tablero.
3.2. ¿Puedo relacionarlo con lo que tengo?
4.2. Plantea ecuaciones (si procede) o redacta el modo de abordar tu problema. 4.3. Comienza la resolución. 4.4. Comprueba tus soluciones. No solo numéri camente, sino también contextualmente. Por ejemplo, ¿tendría sentido obtener una edad de −4 años? 4.5. ¡Inténtalo tantas veces como lo necesites!
94 UNIDAD 5
5.1. Problemas de ecuaciones de primer grado Trabajaremos con el siguiente enunciado: Una herencia de 12 000 € se reparte entre tres hermanos, de modo que el me diano recibe 2 000 € más que el mayor y que el menor recibe el triple de lo que reciben los otros dos juntos. ¿Cuánto dinero le tocará a cada hermano?
Paso a paso 1. Meta. Calcular el dinero que recibe cada hermano. En principio tendríamos
¿Tú también te estás preguntando qué es lo que habrá hecho el mayor para recibir semejante trato discriminatorio?
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tres incógnitas: la cantidad que recibe cada uno de ellos.
2. Fichas. El mediano recibe 2 000 € más que el mayor y el menor tres veces la cantidad que reciben los otros dos.
3. Tablero. Si definimos como incógnita, x, la cantidad que recibió el mayor, podemos relacionar las otras dos cantidades con esta. Además, las tres canti dades suman 12 000 €.
4. Estrategia
{{El mayor recibe x euros.
{{El mediano, 2 000 € más: x + 2 000. {{El menor recibe 3 [ x + ( x + 2000)] .
{{Por lo tanto, si entre los tres se reparten los 12 000 €:
x + ( x + 2000) + 3[ x + ( x + 2000)] = 12000
{{Resolvemos la ecuación:
–– Quitamos los paréntesis: x + x + 2000 + 3 ( 2x + 2000) = 12000
2x + 2000 + 6 x + 6000 = 12000
–– Agrupamos las x y operamos:
2x + 6 x = 12000 − 2000 − 6000 8 x = 4000
4000 = 500 8 –– Entonces el mayor recibirá: x = 500 € –– Despejamos la incógnita: x =
–– El mediano recibirá: x + 2000 = 2500 € –– Por último, el menor recibirá:
3[ x + ( x + 2000)] = 3 (500 + 2500) = 3 ⋅ 3000 = 9000 €
{{Comprobamos: 500 + 2 500 + 9 000 = 12 000. Es correcto.
UNIDAD 5 95
Tu turno 4. Halla dos números consecutivos tales que la suma de la tercera parte del mayor y la quinta parte del menor sea igual que si a la mitad del menor le sumamos 1. Resolvamos el problema ayudándonos de nuestra estrategia. Te damos al gunas pistas:
1. Meta. Hallar dos números consecutivos, es decir, dos números enteros cuya diferencia es 1. Tendremos una incógnita: x será el número menor y x + 1, el mayor.
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2. Fichas.
3. Tablero. Plantearemos una ecuación con las coordenadas que se nos dan. 4. Estrategia.
Solución: los números son 20 y 21.
Actividades
18. Un amigo gasta las cinco séptimas partes del dinero que tiene ahorra-
do en videojuegos, y los tres cuartos del resto en celebrar su cumpleaños. Después de esto le quedan 10 €. ¿Cuánto dinero tenía ahorrado? ¿Cuánto gasta en videojuegos? ¿Y en celebrar su cumpleaños?
19. El perímetro de un rectángulo mide 45 m. Calcula sus dimensiones sabiendo que la base mide 9 m más que la altura.
20. En un concurso realizado en clase, la profesora reparte puntos extra entre tres alumnas. La primera recibe la tercera parte más cuatro puntos, la segunda un sexto del resto y la tercera recibe cinco puntos. ¿Cuántos puntos se han repartido? ¿Cuántos recibe cada una?
21. Calcula la edad de una persona sabiendo que si al triple de la edad le
quito 2 y divido este resultado entre 5 me da la mitad de la edad más 2.
22. En un curso de tercero de ESO hay el doble número de alumnas que de alumnos y la mitad de profesores (entre hombres y mujeres) que de estudiantes. Si en total hay 36 personas, ¿cuál será el número de alumnos, el de alumnas y el de profesores?
23. María tiene 16 años más que Pedro y dentro de cuatro años tendrá el doble. ¿Qué edad tiene cada uno?
24. La cabeza de una trucha corresponde al tercio de su peso total, la cola a un cuarto del peso y el resto del cuerpo pesa 4 kg y 600 g. ¿Cuánto pesa el pez?
25. Al preguntarle a Pitágoras por cuántas personas estudiaban con él, dio
96 UNIDAD 5
la siguiente respuesta: «La mitad de mis alumnos estudia Matemáticas, la cuarta parte estudia Física, una séptima guarda silencio y, además de estos, hay tres mujeres». ¿Puedes deducir cuántos alumnos tenía el famoso matemático griego?
5.2. Problemas de ecuaciones de segundo grado Trabajaremos con este enunciado: La diferencia entre la base y la altura de un rectángulo es de 2 m. Si sabemos que el área mide 48 m2, ¿cuánto medirán la base y la altura?
Paso a paso 1. Meta. Calcular las dimensiones de un rectángulo: dos incógnitas.
x
2. Fichas. La base y la altura están relacionadas entre sí: la base es 2 m mayor.
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Además, nos dan el valor de su producto (área), que es 48 m2.
3. Tablero. Si definimos como incógnita la medida de la base, x, podríamos re
x−2
48 m2
lacionarlo con la altura (x − 2) a través de la expresión del área: x ( x − 2) = 48.
4. Estrategia. Resolvamos la ecuación planteada:
Este tipo de problemas puede ayu darnos a decorar nuestra casa.
1. Quitamos los paréntesis y ordenamos: xx2 2−−22xx==48 48 xx2 2−−22xx−−48 48==00
2. Aplicamos la fórmula de la ecuación de segundo grado:
−b ± b 2 − 4ac −(−2) ± (−2) 2 − 4 ⋅ 1 (−48) 2 ± 4 + 192 = = = 2a 2⋅1 2 2 + 14 =8 x1 = 2 ± 196 2 ± 14 2 = = = 2 2 2 − 14 = −6 x2 = 2 x=
3. Como una dimensión no puede ser negativa (−6 m no tiene sentido como medida de longitud), solo existe una solución: x = 8 m. Si la base mide 8 m, entonces la altura medirá 8 − 2 = 6 m. 4. Comprobamos la solución: x = 8 → 8 (8 − 2) = 8 ⋅ 6 = 48
5. La base del rectángulo mide 8 m y la altura, 6 m.
Fíjate
Siempre que resolvamos una ecuación de segundo grado tenemos que ver si sus dos soluciones tienen sentido.
Tu turno 5. Calcula dos números pares consecutivos cuyo producto es 624. Uno de los números pares será 2 x. Solución: 24 y 26 o −24 y −26.
Actividades 26. Halla las dimensiones de una mesa de superfi-
28. Halla el número que, sumado al cuadrado de
27. Dentro de once años, la edad de Alejandra será
29. Un número es cinco veces más grande que otro. Si
cie 48 dm2 y base la tercera parte de su altura.
la mitad del cuadrado de la edad que tenía hace trece años. ¿Qué edad tiene Alejandra ahora?
su quinta parte, nos da 6.
su producto es 320, ¿qué números son?
UNIDAD 5 97
Actividades finales El lenguaje de las ecuaciones 1.
e) La mitad de un número más 8 es 24. f) Disminuye en 6 el triple de un número para obtener 18.
Traduce al lenguaje algebraico las siguientes expresiones: a) La mitad de un número menos su triple es 0. b) El cuádruple de un número más una cuarta parte de este da 16.
Ecuaciones de primer grado 4.
c) Los años que tendrá Marta dentro de quince años son dos veces los que tiene ahora.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
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a) 30 − 9 x = −7 x + 21 b) −4 x + 30 = −3 x − 10
d) Los años que tenía Silvia hace siete años son la mitad de los que tiene ahora.
c) x − 3 ( x − 2) = 6 x − 2
e) Dos números enteros consecutivos suman 15.
d) 2 ( 2 + 4 x ) = 3 + 12 x
f) Dos números pares consecutivos se diferencian en seis unidades.
e) 2 ( x − 2) = −( 4 − x ) f) 2 x − 1 = 3 ( 2 x − 15)
2.
Escribe un enunciado para las siguientes expresiones algebraicas:
5.
a) 3 x − 5 = 2 b)
Resuelve las siguientes ecuaciones:
a) 5 −
2 x−4 = 4 5
b) 1 +
c) 5 ( x − 3 ) = x − 1
x = 3 x − 16 2
x−2 = 3x 2
c)
x−7 x−1 + = x−5 4 3
d)
x 13 5 x 5 − = − 4 6 2 6
e)
5x −2 x + 18 − 5 ( x − 20 ) = 8 6
Escribe en lenguaje algebraico las siguientes expresiones:
f)
x−3 x−3 x−3 x+3 − = − 5 2 3 2
a) La suma de tres números consecutivos es 53 veces la diferencia entre el segundo y el primero.
g)
3 x 2x 1+ 3 x + = 2 3 2
d) x( x + 1) = 0
7 e) 2 x + x − 3 = 1 5 70 x = 2x f) x − 100
3.
b) Si aumentamos en 4 el triple de un número obtenemos 49. c) La base es el doble de la altura. d) La altura de un rectángulo es tres quintos de su base. 98 UNIDAD 5
6.
Halla un número tal que su triple menos 5 sea igual a su doble más 2.
7.
Unas gafas con su funda valen 30 €. Las gafas cuestan 20 € más que la funda. ¿Cuánto vale cada cosa?
Ecuaciones de segundo grado
2 2 d) 2 ( x − 1) + 3 x = 4 x − x
e) 3 x ( x − 2) + 4 = 2 x 2 − 1
8. Halla las soluciones de las siguientes ecuaciones:
f) x 2 − 6 = 30
a) x 2 + 3 x − 4 = 0 b) 2 x 2 − 5 x − 7 = 0
13.
Los lados de un triángulo rectángulo tienen por medida tres números enteros consecutivos. ¿Cuánto miden sus lados?
14.
Si duplicamos el lado de un cuadrado, su área aumenta en 147 cm2 . ¿Cuánto mide el lado del cuadrado original?
2 c) x + 16 x + 64 = 0
Un id a d Mc d e G r mu aw est -H ra ill pr Ed om uc oc a ti i o n on al .
d) x 2 + 9 x + 1 = 0 e) 50 + 3 x 2 = 5 x 2
2 f) x − 27 x + 180 = −3 x − 20
9.
A partir del discriminante de las siguientes ecuaciones, analiza cuántas soluciones tendrán: 2 a) x − 5 x + 25 = 0
b) x 2 − 14 x + 49 = 0
Ecuaciones de grado superior a 2 15. Resuelve aplicando la regla de Ruffini: a) x 3 + 3 x 2 − x − 3 = 0
c) 4 x − 3 x − 3 = 0 2
10.
b) x 3 + 2 x 2 + 2 x + 1 = 0
¿Cuáles son las soluciones de las siguientes ecuaciones?
c) x 3 − 6 x 2 + 8 x = 0
a) x 2 = 121
d) 2 x 4 − 5 x 3 + 5 x + (−2) = 0 5 3 e) x − 13 x + 36 x = 0
b) 5 x 2 − 7 x = 0 c) 9 x 2 − 16 = 0
11.
Resuelve las ecuaciones sin operar el producto de los binomios:
Halla las soluciones de estas ecuaciones de la manera más simple posible: a) x 2 ( x + 1)( x + 2) 2 = 0
2 a) ( 5 − x ) = 0
b) ( x − 3 ) 2 ( x + 3 ) 2 = 0
b) ( x − 3 )( x − 8) = 0
c) ( x 2 − 1) 2 = 0
c) ( 2 x − 1)( x + 4 ) = 0
d) x 4 − 1 = 0
d) x ( x − 1) = 0
12.
16.
Opera y resuelve:
17. Resuelve estas ecuaciones bicuadradas: 4 2 a) x − 2 x + 1 = 0
a) ( x − 3 ) 2 + 1 = 2 x − 5
b) x 4 + 2 x 2 = 0
b) 3 x 2 − 6 = x 2 + 2
c) x 4 − 25 x 2 + 144 = 0
c) 4 x 2 − 3 x = 2 x 2 + 7 x
d) x4 - 13 x2 + 36 = 0 UNIDAD 5 99
Actividades finales 18.
Resuelve las siguientes ecuaciones:
25.
Un estudiante dona parte de sus ahorros a tres ONG y les entrega, respectivamente, un tercio, un cuarto y un quinto de lo que tenía. Si aún le quedan 26 €, ¿cuánto dinero había ahorrado?
26.
Para delimitar una finca de 750 m2 , rectangular, se han utilizado 110 m de valla. Calcula las dimensiones de la finca.
3 2 a) x − 5 x + 6 x = 0
b) x 3 − 2 x 2 − 19 x + 20 = 0 5 4 3 2 c) x − x − 10 x + 10 x + 9 x − 9 = 0
Escribe en forma desarrollada una ecuación de grado 3 cuya única solución sea x = 2.
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19.
20.
27.
El perímetro de un rectángulo mide 100 m y el área, 600 m2 . Calcula sus dimensiones.
28.
Halla los dos números cuya suma es 78 y su producto, 1296.
29.
Un ladrón perseguido por un policía corre a una velocidad de 5 m/s. Si el policía corre a 10 m/s y se encuentra a 100 m del ladrón, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzarlo?
Opera y resuelve:
a) 6 x 2 − 1 = x 2 ( x + 3 ) + x 3
b) 5 x 2 − 3 x 2 ( x + 1) + 27 x = 18 c) 3 x − 6 x 2 = 2 x 2 ( 2 x − 1)
Resolución de problemas 21.
Para comprar unas zapatillas y un móvil hemos gastado 300 €. ¿Cuánto nos costaron las zapatillas si pagamos por ellas 20 € menos que por el móvil?
22.
En una familia la suma de las edades de los cuatro hijos es 28 años. ¿Cuál es la edad de cada uno si el mayor tiene cuatro años más que el segundo, el segundo dos años más que el tercero, y este cuatro más que el pequeño?
23.
24.
Añadiendo 5 unidades al doble de un número más los tres cuartos de este número da por resultado el doble de ese número más 2. ¿De qué cifra hablamos? Una madre tiene 45 años y su hijo, 11 . ¿Dentro de cuánto tiempo la edad de la madre será el triple de la edad del hijo?
100 UNIDAD 5
30.
Se tiene un lote de baldosas cuadradas. Si se forma con ellas un cuadrado de x baldosas por lado sobran 27, y si se toman x + 1 baldosas por lado faltan 40. ¿Cuántas baldosas hay en el lote?
31.
Dentro de once años el doble de la edad de Miguel será igual al cuadrado de la edad que tenía hace trece años. ¿Qué edad tiene Miguel ahora?
32.
Calcula el área de un círculo sabiendo que si aumentamos el radio en 3 cm se cuadriplica su área.
33.
De un tablero de 1 200 cm2 se cortan dos piezas cuadradas, una de ellas con 5 cm más de lado que la otra. Si la superficie total de las tiras de madera que sobran es 83 cm2, ¿cuánto miden los lados de las piezas cuadradas cortadas?
Síntesis 34.
35.
42.
Escribe un enunciado que plantee una ecuación para las siguientes soluciones: a) 10 años.
c) 6 libros.
b) 7 amigos.
d) 3 tabletas.
Tres hermanos recogen una cierta cantidad de naranjas. Ya por la tarde terminan agotados por el calor y se van a descansar, dejando todas las naranjas juntas en un saco. Uno de ellos se despierta durante la noche y decide comerse su parte. Coge la tercera parte de las naranjas, se las come y se vuelve a dormir. Un rato después se despierta otro hermano y decide también comerse su parte. Va al saco, coge la tercera parte, se las come y se vuelve a dormir. El tercer hermano hace lo mismo un poco después. Si cuando se despertaron por la mañana los tres hermanos quedaban en el saco ocho naranjas, ¿cuántas habían recogido?
Encuentra las soluciones de las siguientes ecuaciones:
Un id a d Mc d e G r mu aw est -H ra ill pr Ed om uc oc a ti i o n on al .
a) −2 ( 2 x 2 + x ) − 9 x 3 = 5 x 2
b) 3 x 2 − x( x 2 −2) = 39 − 3 x
c) 4 − 3 x 2 − 9 x 3 = x 2 ( 2 x 2 − 2 x ) − 8 x
36.
La nota media conseguida en una clase de 20 estudiantes ha sido 6. Ocho estudiantes han suspendido con un 3 y el resto superó el 5. ¿Cuál es la nota media de los estudiantes aprobados?
37.
Tenemos cuatro perros: un caniche, un mastín, un bulldog y un pitbull. El pitbull come más que el caniche; el bulldog come más que el caniche y menos que el mastín, pero este come más que el pitbull. ¿Con cuál de los cuatro perros gastaremos menos dinero en comida?
38.
Distribuye 2000 € entre dos personas de forma que una de ellas se lleve el 25 % de lo que se lleva la otra.
39.
Para una fiesta de final de curso se han comprado 340 helados. De chocolate hay el triple que de vainilla, mientras que de nata hay el doble que de vainilla menos 20. ¿Cuántos helados se han comprado de cada sabor?
40.
En el aula de 3.o A de un colegio hay el doble de estudiantes que en la de 3.o B. Si nueve estudiantes del aula A pasaran al aula B, habría en esta el doble de alumnos de los que quedaban en aquella. ¿Cuántos estudiantes hay en cada aula?
41.
En una tienda de móviles hacen un pedido anual de 60 nuevos dispositivos y al final del año se vende la mitad del total. Si al cabo de tres años hay 65 móviles, ¿cuántos dispositivos había en un principio?
Cuando llegan los meses de verano, Alfonso gasta todos los días la mitad de lo que tiene más 1 €. Si se queda sin nada al tercer día, ¿cuánto dinero tenía?
43.
Seis amigos desean pasar sus vacaciones juntos y deciden, por parejas, utilizar diferentes medios de transporte. Sabemos que Alberto no utiliza el coche, pues acompaña a Marta, que no va en avión. Natalia viaja en avión. Si Manuela no acompaña a Eduardo ni hace uso del avión, ¿en qué medio de transporte llegará a su destino Fran?
44.
Una empresaria invierte en su negocio de energías renovables una gran cantidad de dinero. Cada año gasta 100 millones de euros y gana una tercera parte de lo que le queda. Si al cabo de tres años ha doblado su fortuna, ¿de cuánto dinero disponía inicialmente?
¿Ha mejorado tu habilidad para resolver ecuaciones? ¿Has encontrado momentos de dificultad? ¿Cuáles? Escribe en tu cuaderno tres aspectos de tu proceso de aprendizaje que te han gustado y quieres repetir en próximas unidades. ¿Cuáles crees que deberías mejorar?
UNIDAD 5 101
Actividades PISA
Cine on-line Una página web de descarga de películas on-line da la opción de hacerse socio para tener un precio reducido en sus películas. La cuota anual de socio es de 10 €. El precio de las películas para los socios es inferior al precio para los no socios, tal y como se muestra en el siguiente anuncio:
1. El año pasado, Tomás era socio de la web. Gastó un total de 52,50 €, incluida la cuota de socio. ¿Cuánto
Un id a d Mc d e G r mu aw est -H ra ill pr Ed om uc oc a ti i o n on al .
habría gastado Tomás si no hubiese sido socio y hubiese comprado el mismo número de películas?
2. ¿Cuál es el número mínimo de películas que tiene que descargar un socio para cubrir el coste de su cuota?
Oferta de empleo
En Zedland dos diarios quieren contratar vendedores. Los siguientes anuncios muestran cómo pagan a sus vendedores.
1. Como media, Federico vende 350 ejemplares de La Estrella de Zedland cada semana. ¿Cuánto gana cada semana de acuerdo con este promedio?
2. Cristina vende El Diario de Zedland. Una semana ganó 74 zeds. ¿Cuántos periódicos vendió esa semana?
Cine on-line
Oferta de empleo
Al preguntarnos por cuántas películas tiene que descargar Antonio para cubrir el coste de su cuota, lo que nos pide el problema es calcular a partir de qué pelí cula descargada es rentable para Anto nio haberse hecho socio.
Para hallar el número de periódicos que vendió esa se mana Cristina, ten en cuenta si el dinero que ha gana do supera el que habría ganado en el caso de vender 240 ejemplares. Si el dinero que gana es mayor que esa cantidad, tendrás que considerar el beneficio del resto de periódicos vendidos.
102 UNIDAD 5
Autoevaluación
1. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes ex-
5. La edad de Santiago y la de su hija Elsa suman
presiones:
48 años. Si dentro de ocho años la edad del padre será el triple de la de la hija, ¿cuántos años tienen actualmente?
a) El doble de un número más su mitad es 30. b) Encuentra un número tal que al sumarle 8 obtenemos su triple.
6. Halla las soluciones de estas ecuaciones: a) x 2 + 9 = −6 x
2. Resuelve las siguientes ecuaciones:
b) x 2 + 4 = 0
a) 6 x − ( 5 + 2 x ) + 5 = x
2x x 4 − = +x 5 3 3
7. Plantea y resuelve una ecuación con la que obten-
Un id a d Mc d e G r mu aw est -H ra ill pr Ed om uc oc a ti i o n on al .
b)
c) 3 x 2 + 6 x = 0 gas dos números enteros consecutivos tales que su producto sea 72.
3. Resuelve: a) b)
x+5 3− x x−1 + = 3− 4 3 2
8. Resuelve las siguientes ecuaciones:
4x 7 2 x 4 −3 x− = + 5 3 5 3 6
–1
y
b)
y 8 6 4 2
Mapa mental
4 2 d) x − 2 x + 1 = 0
10. A un curso de interpretación teatral asisten 63 per
sonas. Si hay cuatro mujeres por cada tres hombres, ¿cuántas mujeres y cuántos hombres están participando en la actividad?
2 4 6 8x
1 2x
b) 4 x 3 − 4 x 2 − 3 x = 0
área lo hace en 11 cm2 . ¿Cuál es la longitud del lado del cuadrado original?
gráfico: 4 3 2 1
c) ( x + 2)( x 2 − 5 x ) = 0
9. Si el lado de un cuadrado aumenta en 1 cm, su
4. Resuelve las siguientes ecuaciones por el método a)
a) x 4 − 81 = 0
Ahora que has llegado al final de la unidad, te proponemos que elabores tu propio mapa mental. Recuerda reflejar en él los términos clave de la unidad y organizarlos alrededor del tema principal.
Sin solución
Al lado te proponemos algunas palabras y ecuaciones clave que deberías incluir. Aña de tú el resto.
Método gráfico Incompletas
Ecuaciones de 2.o grado
Ecuaciones de 1.er grado
Ecuaciones con grado superior a 2
Resolución de problemas Solución doble
Dos soluciones distintas
Regla de Ruffini
Método algebraico UNIDAD 5 103
