MATEMÁTICAS I SEPTIEMBRE 2004 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y responder razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción. Para la realización de esta prueba puede utilizarse calculadora científica, siempre que no disponga de capacidad gráfica o de cálculo simbólico. TIEMPO MÁXIMO: Una hora y media. CALIFICACIÓN: Cada ejercicio lleva indicada su puntuación máxima.

OPCIÓN A Ejercicio 1. ( Puntuación máxima: 3 puntos) Se considera el sistema lineal de ecuaciones dependientes del parámetro real m:  mx + y − 3z = 5  − x + y + z = −4 x + my − mz = 1  (a) Discútase el sistema según los diferente valores del parámetro m. Solución. Al sistema lo describen dos matrices, la matriz de coeficientes(A), y la matriz ampliada(A’)  m 1 −3 5   m 1 −3      A' =  − 1 1 1 − 4  A ⊂ A’ ⇒ rg A ≤ rg A’ ≤ n = 3 A =  −1 1 1   1 m −m 1   1 m − m     En todo sistema con igual número de ecuaciones que de incógnitas, sí el determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero, el sistema es compatible determinado y se puede resolver por el método de Cramer. Teniendo en cuenta lo anterior, el sistema se discute para los valores del parámetro que anulan el determinante de la matriz de coeficientes.

m

1

−3

A = −1 1 1 = −m ² + 1 + 3m − (− 3 + m ² + m ) = −2m ² + 2m + 4 = −2(m + 1)(m − 2 ) 1 m −m m + 1 = 0 : m = −1 A = 0 ⇔ −2(m + 1)(m − 2) = 0 :  m − 2 = 0:m = 2 Discusión i.

Sí m ≠ −1, 2. A ≠ 0 rg A = rg A’ = n = 3. Sistema compatible determinado(solución única).

 − x + y − 3z = 5  Si m = −1: − x + y + z = −4 . Es estudio se puede hacer de dos formas:  x − y+ z =1  - Mediante los rangos de A y A’, siguiendo el criterio de Rouché.  −1 1 − 3   1 1 A =  −1 1 1  : A = 0 rg A < 3 ; = 2 ≠ 0. rg A = 2 1 1  1 −1 1   

ii.

 −1 1 − 3 5    1 1 son, el determinante de la matriz de coeficiente, que A' =  − 1 1 1 − 4  Los menores orlados a −1 1   1 −1 1 1   1 −3 5 1 − 4 = 6 ≠ 0 que por no ser es nulo para m = −1, y el menor formado por las columnas 2ª, 3ª y 4ª, 1 −1 1 1 nulo indica que el rg A’ es tres. rg A = 2 ≠ rg A’ sistema incompatible -

Gauss  −1 1 − 3 M 5   −1 1 − 3 M 5      − −      → 1 1 1 4 M   E 2 = E 2 − E1  0 0 4 M − 9   1 − 1 1 M 1  E 3 = E 3 + E1  0 0 − 2 M 6     

Sistema incompatible, la 2ª y 3ª ecuación se han convertido en incongruentes.

iii.

 2 x + y − 3z = 5  Sí m = 2 : − x + y + z = −4 . Es estudio se puede hacer de dos formas también:  x + 2 y − 2z = 1 

- Mediante los rangos de A y A’, siguiendo el criterio de Rouché.  2 1 − 3   2 1 A =  − 1 1 1  : A = 0 rg A < 3 ; = 2 ≠ 0. rg A = 2 1 1  1 2 − 2    2 1 −3 5    2 1 son, el determinante de la matriz de coeficiente, que A' =  − 1 1 1 − 4  Los menores orlados a −1 1  1 2 −2 1    2 1 5 es nulo para m = −1, y el menor formado por las columnas 1ª, 2ª y 4ª, − 1 1 − 4 = 0 que por ser nulo indica 1

2

1

que el rg A’ es dos. rg A = 2 = rg A’ < n = 3, sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación. (Grado de indeterminación = n(incógnitas) − rg A, indica el número de parámetro necesarios para resolver el sistema) Teniendo en cuenta que el rg A = 2, el sistema tiene dos ecuaciones linealmente independientes, que son las que forman el sistema equivalente que permite calcular las infinitas soluciones. Las ecuaciones linealmente independientes son las que contienen a los términos del menor de rango dos distinto de cero:  2 x + y − 3z = 5 S' :  − x + y + z = −4 - Gauss.  2 1 −3 M 5   1 2 −2 M 1  1 2 − 2 M 1        − −     → − −       → M M 1 1 1 4 1 1 1 4   E ↔E   E 2 = E 2 + E1  0 3 − 1 M − 3  → 1 2  1 2 −2 M 1   2 1 −3 M 5        E 3 = E 3 − 2E1  0 − 3 1 M 3 

1 2 − 2 M 1      → 0 3 − 1 M − 3  E3 = E3 + E 2 0 0 0 M 0    Sistema compatible indeterminado con un grado de indeterminación. (Grado de indeterminación = n(incógnitas) − nº de ecuaciones, indica el número de parámetro necesarios para resolver el sistema)

(b) Resuélvase el sistema para m = 2. Solución. - Rouché: Se resuelve empleando el sistema equivalente  2 x + y − 3z = 5 S' :  − x + y + z = −4 Tomando la z como constante y transformándola en un parámetro(z = λ):  2x + y = 5 + 3λ S' :  − x + y = −4 − λ se obtiene un sistema con igual número de ecuaciones que de incógnita que se resuelve por el método de Cramer. 5 + 3λ 1 2 5 + 3λ − 4 − λ 1 9 + 4λ −1 − 4 − λ − 3 + λ 4 1 x= x= = = 3+ λ = = −1 + λ 3 3 3 3 2 1 2 1 −1 1

−1 1 4 1   S =  3 + λ, − 1 + λ, λ  ∀ λ ∈ R 3 3  

-

Gauss: A partir de la matriz triangularizada se obtiene el sistema asociado 1 2 − 2 M 1   x + 2 y − 2z = 1   0 3 − 1 M − 3 →   0 0 0 M 0   3 y − z = −3  

Tomando la z como constante y transformándola en un parámetro(z = λ): x + 2 y = 1 + 2λ   3y = −3 + λ despejando y de la segunda ecuación y sustituyendo en la primera se resuelve el sistema. x = 3 + 4 λ 3   y = −1 + λ 3 ∀ λ ∈ R  z=λ 

Ejercicio 2. (Puntuación máxima 3 puntos) Se considera la función real definida por

x3 − ax 2 + 5x + 10 , a ≠ 0 a a) Obtener los valores de a para los cuales la función f (x) tiene un máximo en x = 1. Solución.  f ′(1) = 0 Para que la función tenga un máximo en x = 1 se debe cumplir:  f ′′(1) < 0 Derivadas de f (x): f (x) =

f ′( x ) = f ′(1) =

3x 2 6x − 2ax + 5 : f ′′( x ) = − 2a a a

a = − 1 3 ⋅ 12 3 2 − 2a ⋅1 + 5 = − 2a + 5 = 0 ordenando − 2a 2 + 5a + 3 = 0 :  a a  a = 3

a = − 1 : f ′′(x ) = −12 x + 1 : f ′′(1) = −12 ⋅1 + 1 = −11 : En x = 1 hay un máximo 2 Si :   a = 3 : f ′′(x ) = 2 x − 6 : f ′′(1) = 2 ⋅1 − 6 = −4 : En x = 1 hay un máximo

Para que la función f (x) tenga un máximo en x = 1, el parámetro a puede tomar los valores − 1

2

ó3

b) Calcular los extremos relativos de f (x) para a = 3 y representar la función. Solución. x3 − 3x 2 + 5x + 10 f (x) = 3 Extremos relativos. Una función presenta extremos relativos en los puntos donde su primera derivada es nula y su segunda derivada no nula, con el siguiente criterio: - Si la segunda derivada es negativa, MÁXIMO - Si la segunda derivada es positiva, MÍNIMO f ′( x ) = x 2 − 6 x + 5 : f ′′( x ) = 2 x − 6

x = 1 f ′′(1) = 2 ⋅1 − 6 = −4 < 0 f ′( x ) = 0 : x 2 − 6 x + 5 = 0 :   x = 5 f ′′(5) = 2 ⋅ 5 − 6 = 4 > 0 13 37  37  : En 1,  f (x) tiene un máximo − 3 ⋅12 + 5 ⋅1 + 10 = 3 3  3  3 5 5  5 f (5) = : En  5,  f (x) tiene un mínimo − 3 ⋅ 5 2 + 5 ⋅ 5 + 10 = 3 3  3 Gráfica. Por ser polinómica el dominio es todo R, no tiene asíntotas, las tendencias en el infinito son:  x3   x3  − 3x 2 + 5x + 10  = +∞ − 3x 2 + 5x + 10  = −∞ Lím  Lím      x → +∞ 3 x → −∞ 3     f (1) =

Por ser continua y tener un máximo en x = 1 y un mínimo en x = 5, la monotonía de la función es: En (−∞, 1) ∪ (5, + ∞ ) f ′(x ) > 0 ⇒ f (x ) es creciente En (1, 5) f ′(x ) < 0 ⇒ f (x ) es decreciente Los puntos de inflexión y la curvatura se obtiene del estudio de los ceros y signo de la segunda deriva.

Sí x < 3 : f ′′(x ) < 0, f (x ) es concava(∩ )  f ′ ′(x ) = 2 x − 6 : 2 x − 6 = 0 : x = 3 : Si x = 3 : f ′′(3) = 0 : f (3) = 7 : (3, 7 ) Punto de inflexión Sí x > 3 : f ′ ′(x ) > 0, f (x ) es convexa (∪ ) 

Todos los datos anteriores permiten trazar la gráfica de la función razonadamente.

Ejercicio 3. (Puntuación máxima 2 puntos) Una cierta señalización de seguridad tiene instalados dos indicadores. Ante una emergencia los indicadores se activan de forman independiente. La probabilidad de que se active el primer indicador es 0’95 y de que se active el segundo es 0’90. (a) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active solo uno de los indicadores. Solución. Sucesos: A1 ≡ Se activa el indicador 1 A2 ≡ Se activa el indicador 2 Que se active solo uno de los indicadores es el suceso “solo A1 ó solo A2”, también denominado suceso diferencia simétrica. (A1 ∩ A 2 ) ∪ (A1 ∩ A 2 )

p[(A 1 ∩ A 2 ) ∪ (A 1 ∩ A 2 )] = p(A 1 ∪ A 2 ) − p(A 1 ∩ A 2 ) 14444244443 Sucesos diferencia simétrica

Por se sucesos independientes p(A1 ∩ A 2 ) = p(A 1 ) ⋅ p(A 2 ) = 0'95 ⋅ 0'90 = 0'855 Por ser sucesos compatibles p(A1 ∪ A 2 ) = p(A1 ) + p(A 2 ) − p(A1 ∩ A 2 ) = 0'95 + 0'90 − 0'855 = 0'995 sustituyendo

p[(A1 ∩ A 2 ) ∪ (A1 ∩ A 2 )] = 0'995 − 0'855 = 0'14

La probabilidad de que se active un o solo de los indicadores es del 14% (b) Hallar la probabilidad de que ante una emergencia se active al menos uno de los indicadores. Solución. Al menos uno es que se cumpla A1 ó A2, lo que equivale al suceso unión, cuya probabilidad se ha calculado en el apartado anterior

p(A1 ∪ A 2 ) = 0'995

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos)

Una muestra aleatoria de 9 tarrinas de helado proporciona los siguientes pesos en gramos 88

90

90

86

87

88

91

92

89

hallar un intervalo de confianza al 95% para la media de la población, sabiendo que el peso de las tarrinas tiene una distribución normal con una desviación típica de 1,8 gramos. Solución. x ≡ Variable continua que proporciona el peso de las tarrinas La variable x sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica de 1’8 gr. N(µ, σ ) = N(µ, 1'8) Se pide calcular el intervalo de confianza al 95% a partir de una muestra de nueve elementos. Las medias de las muestras de nueve elementos también siguen una distribución normal cuyos parámetros son:  1'8   σ   = N x (µ, 0'6)  = N x  µ, N x  µ, n 9    El intervalo de confianza para las medias muestrales, a partir de la media de una muestra viene dado por la expresión:  σ σ   x − Z α ⋅  , x + Zα ⋅ 2 2 n n  donde: 88 + 90 + 90 + 86 + 87 + 88 + 91 + 92 + 89 x= = 89 9 A partir del nivel de confianza se calcula el nivel de significación y con este el Z crítico. Nivel de confianza = 0’95 = 1 − α : α = 0’05  α  0'05  −1 Z α = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0'9750) = 1'96 2  2  2   1'8 1'8   89 − 1'96 ⋅  = (87'8 , 90'2) , 89 + 1'96 ⋅   9 9 

OPCIÓN B Ejercicio 1. ( Puntuación máxima: 3 puntos) Un establecimiento de prendas deportivas tiene almacenados 1600 bañadores, 1000 gafas de baño y 800 gorros de baño. Se quiere incentivar la compra de estos productos mediante la oferta de dos tipos de lotes: el lote A, que produce un beneficio de 8 euros, formado por un bañador, un gorro y unas gafas, y el lote B que produce un beneficio de 10 euros y esta formado por dos bañadores y unas gafas. Sabiendo que la publicidad de esta oferta tendrá un coste de 1.500 euros a deducir de los beneficios, se pide calcular el número de lotes A y B que harán máximo el beneficio y a cuánto asciende éste. Solución. - Variables X ≡ Número de lotes tipo A Y ≡ Número de lotes tipo B -

Datos

Tipo A Tipo B Máximos

Bañadores 1 2 1600

Gafas 1 1 1000

Gorros 1 − 800

Beneficio 8€ 10

- Función objetivo F (x, y) = 8x + 10y − 1500 -

Restricciones x + 2y ≤ 1600 x + y ≤ 1000 x ≤ 800 x ≥ 0, y ≥ 0

-

Región factible

Bañadores: Gafas: Gorros: Variables:

Para seleccionar la región factible, se prueba un punto cualquiera en cada inecuación, si la cumple, la región donde está el punto es la factible, si no la cumple, es la contraria. Por ejemplo, respecto de x < 800, el punto (0, 0), la cumple, por lo que la región factible es la que se encuentra de la recta x = 0 a la izquierda. Los vértices de la región factible son:  x + y = 1000 x + y = 1000 A = (0, 800); B ≡  : B = (400, 600) ; C ≡  : C = (800, 200 ) ; D = (800, 0) x + 2 y = 1600  x = 800 No se tiene en cuenta el vértice (0, 0), por carecer de interés comercial.

Optimación

-

x 0 400 800 800

A B C D

F(x, y) = 8x + 10y − 1500 6500 7700 6900 4900

y 800 600 200 0

El máximo beneficio cumpliendo todas las restricciones propuestas se obtiene vendiendo 400 lotes tipo A y 600 lotes tipo B, obteniéndose un beneficio máximo de 7700 €

Ejercicio 2. (Puntuación máxima: 3 puntos) Sean las funciones g (x ) = −

f (x ) = x 2 − 2 x − 8;

a)

x2 +x+4 2

f (x ) g (x )

Calcular lím

x→ 4

Solución.

f (x ) x 2 − 2x − 8 x 2 − 2x − 8 = lím = lím = lím (− 2) = −2 x →4 x → 4 g (x ) x → 4 x 2 x →4 1 2 − x − 2x − 8 − +x+4 2 2 b) Calcular el área del recinto acotado limitado por las curvas f (x ) y g(x ) . Solución. Se representan gráficamente las parábolas: 1  9 f (x ) = (x + 2) ⋅ (x − 4) : Vf (1, − 9 ) ; g(x ) = − (x + 2) ⋅ (x − 4) : Vf 1,  2  2 lím

A=

4

∫−2

(

(

)

)

  x2 − + x + 4 − x 2 − 2x − 8  ⋅ dx =   −2   2

(g(x) − f(x)) ⋅ dx = ∫

4

4

  3x 2 − + 3x + 12  ⋅ dx =   −2 2  

∫

4

4

 x3 3 2   3x 3  x2 + x + 12x  = = − +3 + 12x  = − 2  − 2  2 ⋅ 3  − 2  2 2   43 3 2   (− 2 )3 3 = − + 4 + 12 ⋅ 4  −  − + (− 2 )2 + 12 ⋅ (− 2 ) = 54 u 2  2 2    2 2    

Ejercicio 3. (Puntuación máxima 2 puntos) En una población, el 40% son hombres y el 60% mujeres. En esa población el 80% de los hombres y el 20% de las mujeres son aficionadas al fútbol. a) Calcular la probabilidad de que una persona elegida al azar sea aficionada al fútbol. Solución. Sucesos: H ≡ Ser hombre M ≡ Ser mujer A ≡ Ser aficionado al fútbol Datos: p(H ) = 0'40 p(M ) = 0'60

( H ) = 0'80

pA

( M ) = 0'20

pA

Aficionado = hombre Y aficionado Ó mujer y aficionada p(A ) = p[(H ∩ A ) ∪ (M ∩ A )] teniendo en cuenta que H∩A y M∩A son sucesos incompatibles: p(A ) = p[(H ∩ A ) ∪ (M ∩ A )] = p(H ∩ A ) + p(M ∩ A ) y por ser sucesos dependientes, el ser aficionado tiene distinta probabilidad si se es hombre(80%) que si se es mujer(20%), la expresión queda: p(A ) = p(H ∩ A ) + p(M ∩ A ) = p(H ) ⋅ p A + p(M ) ⋅ p A H M sustituyendo los datos p(A ) = p(H ) ⋅ p A + p(M ) ⋅ p A = 0'4 ⋅ 0'8 + 0'6 ⋅ 0'2 = 0'44 H M La probabilidad de ser aficionado al fútbol es del 44%.

( )

( )

( )

( )

b) Elegida al azar una persona resulta ser aficionada al fútbol, ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer? Solución. A p(M ∩ A ) p(M ) ⋅ p M 0'6 ⋅ 0'2 p M = {T. BAYES} = = = = 0'2727 A p(A ) p(A ) 0'44

( )

( )

La probabilidad de que un aficionado al fútbol sea mujer es del 27’27%. Otra forma diferente de hacer el problema es mediante un cuadro de contingencia. HOMBRE MUJER AFICIONADO 80 20 40 ⋅ = 32 60 ⋅ = 12 32 + 12 = 44 100 100 8 + 48 = 56 NO AFICIONADO 40 − 32 = 8 60 − 12 = 48 40 60 100 Nota: Los valores en azul, se obtienen de los datos tomando como base de cálculos 100 individuos, los valores en rojo, se obtienen por sumas o restas. Las probabilidades de los sucesos que se piden se calculan mediante la definición axiomática de probabilidad de Laplace. Casos favorables p(A ) = Casos posibles a) b)

Aficionados 44 = Totales 100 p(H ∩ A ) Mujeres afionadas 12 3 pH = = = = A p(A ) Aficionados 44 11

p(A ) =

( )

Ejercicio 4. (Puntuación máxima: 2 puntos) Calcular el tamaño mínimo que debe tener una muestra aleatoria para garantizar que, en la estimación de la media de una población normal con varianza igual a 60, al 90% de confianza, el error de estimación cometido no sea superior a 3 unidades. Solución. El error máximo admitido viene dado por la expresión: σ ε máx > Z α ⋅ 2 n de la cual se puede despejar el tamaño muestral(n) en función del error, la desviación típica y del nivel de confianza a través del Z crítico. σ  n >  Zα ⋅   2 ε

2

- Desviación : σ = Varianza = 60 - Z crítico:

  α 0'10  Z α = φ −1 1 −   −1  −1  = φ (0'9500 ) = 1'65  : Z α = φ 1 − 2  2 2 2   N.C. = 1 − α = 0'90 : α = 0'10

Sustituyendo los datos en la expresión el tamaño muestral: 2

 60  n > 1'65 ⋅ = 18'15 ⇒ n ≥ 19 3  