Matemática – Agronomía y Zootecnia Extremos de una función En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos como extremos de la función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado dentro de un intervalo en particular de la curva (extremo local o relativo) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.

Definición Extremos relativos  

Sea P(x0,f(x0)) un punto perteneciente a la gráfica de la función. Se dice que P es un máximo relativo de f sí y sólo sí f(x0) ≥ f(x) x (a,b) contenido en Dom f. Sea P(x0,f(x0)) un punto perteneciente a la gráfica de la función. Se dice que P es un mínimo relativo de f sí y sólo sí f(x0) ≤ f(x) x (a,b) contenido en Dom f.

Extremos absolutos  

Sea P(x0,f(x0)) un punto perteneciente a la gráfica de la función. Se dice que P es un máximo absoluto de f sí y sólo sí f(x0) ≥ f(x) x Dom f. Sea P(x0,f(x0)) un punto perteneciente a la gráfica de la función. Se dice que P es un mínimo absoluto de f sí y sólo sí f(x0) ≤ f(x) x Dom f.

Valor crítico de una función Es un valor x0 dentro del dominio de f, donde la función no es diferenciable, o bien, su derivada es 0. Es decir: x = x0 es un valor crítico de f si x0 Dom f y f’(x0) no está definida o f’(x0) = 0. El punto P(x0,f(x0)) tal que x0 es valor crítico, se llama punto crítico de f.

Estos conceptos pueden ser visualizados por medio de la gráfica de f:

En un punto crítico, la gráfica de f no admite una recta tangente (punto anguloso), o bien, la recta tangente es vertical u horizontal. Si la recta tangente es horizontal, la derivada es 0 y el punto es llamado punto estacionario de la función. Teorema de Fermat Los máximos y mínimos de una función pueden ocurrir únicamente en sus puntos críticos. Sin embargo, no todo punto crítico es un máximo o mínimo de la función. Criterio de la primera derivada ( para la determinación de máximos y mínimos) Se llama Criterio de la primera derivada al método o teorema utilizado frecuentemente en el cálculo matemático para determinar los máximos y mínimos relativos que pueden existir en una función mediante el uso de la primera derivada, donde se observa el cambio de signo, en un intervalo abierto que contiene al valor crítico x0. Teorema Sea x0 un valor crítico de una función f que es continua en un intervalo abierto que contiene a x0. Si f es derivable en el intervalo, excepto posiblemente enx0, entonces f(x0) puede clasificarse como sigue: 1. Si f’(x) cambia de positiva a negativa en x0, entonces f tiene un máximo relativo en (x0,f(x0)). 2. Si f’(x) cambia de negativa a positiva en x0, entonces f tiene un mínimo relativo en (x0,f(x0)). 3. Si f’(x)es positiva en ambos lados de x0 o negativa en ambos lados de x0, entonces f(x0) no es ni un máximo ni un mínimo relativo.