2.

Planeta rigido

Potencial generado en ~r = (x, y, z): Z dm(~s) V (~r) = −G s − ~r | M |~

Manual del Mecanico Celeste version 3, noviembre 2002 Tabare Gallardo

Campo gravitacional en ~r generado por el planeta:

Producido bajo los efectos de la doxorrubicina, bleomicina, vinblastina y dacarbazina.

1.

~¨r = −∇V (~r) Energia potencial del planeta Z EP = V (~s)dm(~s)

Dinamica del punto

M

Momento lineal: p~ = m~v . Sea m en la posicion ~r respecto de O, defino momento angular respecto de O: ~ = ~r ×m~v . Energia cinetica: T = 1 mv 2 . Si el punto L 2 esta sometido a una fuerza F~ , el trabajo realizado por la fuerza es: Z B Z t2 Z t2 WAB = F~ · d~r = F~ · ~v dt = P (t)dt A

t1

que para una esfera homogenea es EP = −

Potencial de planeta con simetria de revolucion con radio ecuatorial R, latitud φ, caso r  R :

t1

Vp (r, φ) ' −

siendo P = F~ · ~v la potencia. Si F~ = −m∇V , la funcion V (~r) es el potencial y F~ es conservativa pues: Z

F~ ·d~r = mV (A)−mV (B) = EP (A)−EP (B)

Vp (~r) ' −

A

siendo EP la energia potencial de m. Segunda ley de Newton:

rˆIˆ r = I = (Ax2 + By 2 + Cz 2 )/r2 Siendo I el tensor de inercia. Para esfera homogenea

R de donde defino impulso: ∆~ p = F~ dt y de donde tambien: ~ ~ = ~r × F~ = dL M dt y de donde si m = cte Z

I=

C −A M R2 El sistema de referencia es no inercial definido por los ejes ppales de inercia que rota con ω ~ , por lo tanto J2 '

B

F~ · d~r = TB − TA

d~r ∂~r = +ω ~ × ~r dt ∂t

por lo que si la fuerza deriva de un potencial tenemos: Momento angular

WAB = TB − TA = EP (A) − EP (B)

~ = I~ L ω Energia cinetica rotacional

Gradiente en diferentes coordenadas:

∇V = ∇V =

2 M R2 5

Si A = B

A

∇V =

GM G(A + B + C − 3I) − r 2r3

con I momento de inercia en la direccion de rˆ:

d(m~v ) F~ = dt

WAB =

 R 2 (3 sin2 φ − 1)  GM  1 − J2 + ... r r 2

Formula de MacCullagh para planeta cuasi esferico y para r  R:

B

WAB =

3 GM 2 5 R

∂V ∂V ∂V e~x + e~y + e~z ∂x ∂y ∂z

T =

1 ~ ω ~ ·L 2

Potencial rotacional para los puntos de la superficie (r ' R): 1 Vrot (r, φ) = − ω 2 r2 cos2 φ 2 Potencial superficial total:

∂V 1 ∂V ∂V e~r + e~ϕ + e~z ∂r r ∂ϕ ∂z

∂V 1 ∂V 1 ∂V e~r + e~θ + e~ϕ ∂r r ∂θ r sin θ ∂ϕ

(θ = 90o − φ es colatitud y ϕ angulo acimutal)

Vtot (r, φ) = Vp (r, φ) + Vrot (r, φ) 1

3.

Planeta no rigido: deformacion rotacional

Epot = V (r)m: energia potencial de interaccion Si planeta y satelite son rigidos las energias potenciales de ambos cuerpos seran constantes y podemos obviarlas. Si planeta y satelite estan suficientemente alejados podemos asumir V (r) = −GM/r con lo cual nos remite al problema de 2 cuerpos resultando

Un planeta esferico rotante tiende a seguir una superficie de equipotencial cuya forma puede deducirse de: ∂Vrot ∂Vp Vtot ' Vp (R)+ δr+Vrot (R, φ)+ δr = cte ∂r R ∂r R

Eorb = −G

resultando

ω 2 R4 cos2 φ 2GM Limite para velocidad rotacional:

siendo a el semieje mayor de la orbita relativa. Finalmente 1 Mm ~ I~ ω−G = cte E= ω 2 2a

δr '

∇Vtot (R, 0) = 0 4.

=⇒

2 ωmax =

Mm 2a

GM R3

5.

Planeta rigido y satelite puntual: intercambio de momento angular

Planeta no rigido y satelite: deformacion de mareas

Se aplica al caso de un planeta no rigido afectado por el potencial Vs generado por un satelite S de masa m ubicado a una distancia a = OS. El punto P del ~ respecto al satelite y en planeta localizado en ρ ~ = SP ~ ~r = OP respecto al planeta experimentara debido al satelite un campo proporcional a ∇Vs (~r) donde

El satelite puntual m (o esferico con densidad radial) ubicado en la posicion ~r respecto al baricentro O del planeta experimenta una fuerza F~ = −m∇V (~r)

Vs = −

El planeta M experimentara un momento ~ = ~r × (−F~ ) M

∞ Gm Gm X r n =− ( ) Pn (cos ψ) ρ a n=0 a

siendo ψ el angulo Pd OS, donde ψ = φ solo si el satelite es ecuatorial. Considerando r ' R los terminos para n = 0, 1 son constantes para todos los puntos del planeta por lo cual el potencial de mareas corresponde a los terminos n = 2, . . . ∞. Si consideramos solo n = 2 tenemos

que producira una variacion en el momento angular − → Lp del planeta: dL~p ~ =M dt Momento angular total del sistema:

Vtidal (r, ψ) ' −G

L~p + L~s + L~orb = cte

m 2 (3 cos2 ψ − 1) r a3 2

Potencial total superficial

pero L~s = cte siempre por ser puntual o de simetria radial, entonces:

Vtot (r, φ) ' Vp (r, φ) + Vtidal (r, ψ)

dL~p dL~orb + =0 dt dt

El planeta tiende a seguir superficies de equipotencial cuya forma puede deducirse de ∂Vp ∂Vtid Vtot ' Vp (R)+ δr+Vtid (R, ψ)+ δr = cte ∂r R ∂r R

donde L~orb = mr ~r × ~v

resultando

siendo mr la masa reducida y v la velocidad orbital del satelite referida al baricentro del planeta (y respecto a un sistema no rotante). Energia total del sistema:

3mR4 cos2 ψ 2M a3 Parte de la energia mecanica se disipa en calor por friccion de mareas por lo cual (si estan suficientemente alejados) δr '

E = Erot + Eorb

dE d 1 Mm ' ( ω ~ I~ ω−G )