Magnitudes vectoriales y escalares

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Magnitudes escalares • Son aquellas que quedan completamente especificadas con un número (mayor o menor que cero) y unidades. • No tienen una expresión geométrica Por ejemplo: la temperatura. Si decimos que en un día hay 25°C, no necesitamos saber más sobre la temperatura. Otras cantidades escalares que podemos mencionar son:  Masa  Volumen  Tiempo  Presión  Densidad  Distancia recorrida

Magnitudes vectoriales  Son magnitudes que para estar determinadas precisan de un valor numérico, una dirección, un sentido y un punto de aplicación.  Tienen una expresión geométrica.  Un vector se utiliza para representar una magnitud física que tiene dirección y sentido, por ejemplo,  Fuerza  Velocidad  Aceleración  Desplazamiento.

Un ejemplo entre la diferencias de magnitudes vectoriales y escalares  Si una persona camina 8km hacía el este un día, y 6 km hacia el este el siguiente día, la persona estará 14km al este desde donde partió. 14km 8km Origen, 0

espacio recorrido = desplazamiento

6km

x (km) Este

 Si una persona camina 8km hacía el este un día, y 6 km hacia el oeste el siguiente día, la persona estará 2km al este desde donde partió.

2km Origen, 0

6km

8km

espacio recorrido ≠ desplazamiento

x (km) Este

Magnitudes vectoriales: expresión geométrica Es todo segmento de recta dirigido en el espacio con la siguientes características: • Origen: también llamado Punto de aplicación • Módulo: es la longitud o tamaño del vector y representa la intensidad de la cantidad vectorial que está representando: (Fuerza) • Dirección: viene dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. • Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector

Vectoriales iguales y opuestos

Suma de vectores Dados dos vectores, estos pueden se sumados mediante una operación llamada suma de vectores. Aunque recibe el mismo nombre que la suma de números, se trata de una operación distinta. La suma de vectores da como resultados otro vector

Suma de vectores: métodos gráficos • Regla del paralelogramo: consiste en trasladar paralelamente los vectores hasta unirlos por el origen, y luego trazar un paralelogramo, del que obtendremos el resultado de la suma, como consecuencia de dibujar la diagonal de ese paralelogramo. • De la poligonal o punta y cola: En el extremo del primer vector se sitúa el punto de aplicación del segundo, sobre el extremo del segundo vector se coloca el del tercero y así sucesivamente. El vector resultante es el que se obtiene al unir el punto de aplicación del primero con el extremo del último.

Suma de Vectores - Propiedades Como toda operación, la adición de vectores tiene ciertas propiedades • Conmutativa • Asociativa • Existe elemento neutro • Existe elemento opuesto

Conmutativa: 𝑢

𝑣 𝑤 𝑣

𝑢

𝑢+𝑣 =𝑣+𝑢 =𝑤

Suma de Vectores - Propiedades Asociativa:

𝑤

𝑢+𝑣

𝑣 𝑣+𝑤 𝑢+𝑣 +𝑤 =𝑢+ 𝑣+𝑤

𝑢

Suma de Vectores - Propiedades Elemento Neutro: Existe el elemento neutro, el vector 𝟎, cuyo punto de aplicación y punto final coinciden, por lo que su módulo vale 0.

𝑢+0=𝑢

Elemento Opuesto:

𝑣

−𝑣

Dado un vector 𝑣 existe su elemento opuesto ( −𝑣 ), de igual intensidad y dirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlos se obtiene el vector 0

𝑣 + −𝑣 = 0

Suma de vectores: métodos analíticos La suma gráfica de vectores no es suficientemente precisa y no es útil para cuando debemos trabajar con vectores en tres dimensiones. Los métodos analíticos son más eficaces y precisos a la hora de operar con vectores, ya sea en dos o tres dimensiones.

Suma de vectores: métodos analíticos •

• •

Para poder aplicar el método de componentes debemos primeramente repasar como descomponer un vector. Descomposición de una fuerza en componentes Al igual que dos o más fuerzas que actúan sobre una partícula se pueden sustituir por una única fuerza. También una única fuerza puede ser sustituida por dos o más fuerzas que actuando conjuntamente produzcan el mismo efecto que la primera

Suma de vectores: métodos analíticos

Suma de vectores: métodos analíticos componentes rectangulares

Métodos analíticos: vectores unitarios •Para poder representar cada vector en este sistema de coordenadas cartesianas, haremos uso de tres vectores unitarios. •Estos vectores unitarios, son unidimensionales, esto es: •tienen módulo 1, •son perpendiculares entre sí; y •corresponden a cada uno de los ejes del sistema de referencia.

Métodos analíticos: vectores unitarios Un Vector 𝑨, puede ser reemplazado por su representación con vectores unitarios, donde 𝐴𝑥 sería su componente en el eje x, 𝐴𝑦 su componente en el eje y, y finalmente, 𝐴𝑧 su representación en el eje z.

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘

Métodos analíticos: vectores unitarios 𝐴𝑥

𝐴𝑦 𝑗

𝐶 =

𝐴𝑥 𝑖

𝑗 𝑖

x

2

+ 𝐴𝑦

2

Métodos analíticos: suma de vectores Dados dos o más vectores

y

𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗

𝐵

𝐵𝑦 𝑗

Entonces 𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗

𝐴𝑦 𝑗

𝐶

𝐴 𝐴𝑥 𝑖

𝐵𝑥 𝑖

x

Otras operaciones con Vectores: Producto Escalar Definición: Dados dos vectores 𝒓 y 𝒗 , el producto punto o producto escalar se define como el producto de la magnitud de 𝒓 , por la magnitud 𝐝𝐞 𝒗 y el coseno del ángulo que va en sentido antihorario del primero al segundo vector.

𝑟 = 𝑟𝑥 𝑖 + 𝑟𝑦 𝑗 + 𝑟𝑧 𝑘

𝑣

𝜑

𝑣 = 𝑣𝑥 𝑖 + 𝑣𝑦 𝑗 + 𝑣𝑧 𝑘 𝑟 ∙ 𝑣 = 𝑟 𝑣 cos 𝑟, 𝑣

𝑟

Puede demostrarse fácilmente que:

𝑟 ∙ 𝑣 = 𝑟𝑥 𝑣𝑥 + 𝑟𝑦 𝑣𝑦 + 𝑟𝑧 𝑣𝑧

Significado del producto escalar

El producto escalar de dos vectores puede definirse como el producto del módulo de uno de ellos por la proyección del otro sobre él.

Aplicaciones Ángulo entre dos vectores: 𝑢∙𝑣 cos 𝑢, 𝑣 = = 𝑢 𝑣

𝑢𝑥 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 𝑣𝑦 + 𝑢𝑧 𝑣𝑧 𝑢𝑥

2

+ 𝑢𝑦

2

+ 𝑢𝑧

2

𝑣𝑥

2

+ 𝑣𝑦

2

+ 𝑣𝑧

Proyección de un vector sobre otro: 𝑢∙𝑣 Proyección de 𝑢 sobre 𝑣 = = 𝑣

𝑢𝑥 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 𝑣𝑦 + 𝑢𝑧 𝑣𝑧 𝑣𝑥

2

+ 𝑣𝑦

2

+ 𝑣𝑧

Criterio de Perpendicularidad de dos vectores:

𝑢 ⊥ 𝑣 ⇔ 𝑢 ∙ 𝑣 = 0 ⇔ 𝑢𝑥 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦 𝑣𝑦 + 𝑢𝑧 𝑣𝑧 = 0

2

Producto vectorial o Cruz Definición: es una operación binaria entre dos vectores en un espacio tridimensional. El resultado es un vector perpendicular a los vectores que se multiplican.

𝐴 = 𝐴𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴𝑧 𝑘 𝐵 = 𝐵𝑥 𝑖 + 𝐵𝑦 𝑗 + 𝐵𝑧 𝑘

𝐶 = 𝐴 × 𝐵 = 𝐴𝑦 𝐵𝑧 − 𝐴𝑧 𝐵𝑦 𝑖 + 𝐴𝑧 𝐵𝑥 − 𝐴𝑥 𝐵𝑧 𝑗 + 𝐴𝑥 𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 𝑘 Debido a su capacidad de obtener un vector perpendicular a otros dos vectores, cuyo sentido varía de acuerdo al ángulo formado entre estos dos vectores, esta operación es aplicada con frecuencia para resolver problemas matemáticos, físicos o de ingeniería.

Regla de la Mano Derecha 𝑏

𝑎×𝑏

𝑎 Si pones el dedo pulgar de tu mano derecha apuntando en el mismo sentido que el vector 𝑎 y el dedo índice en el mismo sentido que el vector 𝑏, entonces el sentido del producto vectorial 𝑎 × 𝑏 lo da el dedo mayor de tu mano derecha cuando éste se estira de manera que esté perpendicular a los otros dos dedos.

REGLA DEL TORNILLO O ROSCA DERECHA

𝑖×𝑗 =− 𝑗×𝑖 = 𝑘 𝑗×𝑘 =− 𝑘×𝑗 =𝑖 𝑘×𝑖=− 𝑖×𝑘 =𝑗

𝑖×𝑖=𝑗×𝑗=𝑘×𝑘 =0

El producto vectorial de dos vectores paralelos es cero.

Producto de un escalar por un vector Definición: Dado un escalar 𝑘 y un vector 𝐴, el producto 𝑘 𝐴 es un vector con la misma dirección de 𝐴, y con sentido y módulo determinado por 𝑘.

𝑘1 𝐴 𝐴 𝑘2 𝐴

𝐴 = 𝐴 𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 𝑗 + 𝐴 𝑧 𝑘

𝑘3 𝐴

𝑘 𝐴 = 𝑘𝐴𝑥 𝑖 + 𝑘 𝐴𝑦 𝑗 + 𝑘 𝐴𝑧 𝑘

𝑘1 > 1

0 < 𝑘2 < 1

𝑘3 < 0