Edición digital para la Biblioteca Digital del ILCE Título original: The Foundations of Arithmetic © De la traducción: Emilio Méndez Pinto Primera edición: Basil Blackwell Publisher, 1950 D. R. © Basil Blackwell Publisher, 1950 Prohibida su reproducción por cualquier medio mecánico o eléctrico sin la autorización por escrito de los coeditores.

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INTRODUCCIÓN

Cuando preguntamos a alguien qué es el número uno, o qué significa el símbolo 1, por regla recibimos la respuesta “pues, una cosa”. Y si pasamos a señalar que la proposición “el número uno es una cosa” no es una definición porque tiene el artículo definido de un lado y el indefinido del otro, o que sólo asigna el número uno a la clase de cosas sin establecer qué cosa es, entonces muy probablemente seamos invitados a elegir algo - cualquier cosa que queramos - para llamar uno. Pero si todo el mundo tuviera el derecho de entender por este nombre cualquier cosa que quiera, entonces la misma proposición sobre uno significaría distintas cosas para distintas personas; tales proposiciones no tendrían un contenido común. Algunos, quizá, rechazarán responder la pregunta, señalando que es imposible establecer, también, qué se entiende por la letra a tal como se utiliza en la aritmética; y que si dijésemos “a significa un número”, esto estaría abierto a la misma objeción que la definición “uno es una cosa”. Ahora, en el caso de a es muy justificable rechazar responder: a no significa ningún número definido que pueda ser especificado, sino que sirve para expresar la generalidad de proposiciones generales. Si en a + a − a = a ponemos por a algún número, cualquier que queramos pero el mismo en todas partes, siempre obtenemos una verdadera identidad. Este es el sentido en el que se utiliza la letra a. Con uno, sin embargo, la posición es esencialmente distinta. ¿Podemos, en la identidad 1 + 1 = 2 , poner por 1 en ambos lados alguno y el mismo objeto, digamos la luna? Por el contrario, parece como si, cualquier cosa que pongamos por el primer 1, debemos poner algo distinto por el segundo. ¿Por qué es que aquí debemos hacer precisamente lo que habría sido incorrecto en el otro caso? De nuevo, la aritmética no puede arreglárselas sólo con a, sino que tiene que utilizar otras letras (b, c, y así sucesivamente) para expresar de forma general relaciones entre distintos números. Sería por tanto natural suponer que también el símbolo 1, si sirve de algún modo similar para conferir generalidad a las proposiciones, no podría ser suficiente por sí mismo. Pero, ¿no parece ciertamente el número uno como un objeto particular definido con propiedades que pueden ser especificadas, por ejemplo la de permanecer sin cambios cuando es multiplicado por sí mismo? En este sentido, a no tiene propiedades que puedan ser especificadas, porque cualquier cosa que se afirme de a es una propiedad

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común de todos los números, mientras que 11 = 1 no afirma nada de la luna, nada del sol, nada del Sahara, nada del Pico de Tenerife; ¿porque cuál podría ser el sentido de una afirmación así? Cuestiones como éstas toman desprevenidos incluso a los matemáticos, o a la mayoría de ellos, para ofrecer una respuesta satisfactoria. Pero, ¿no es un escándalo que nuestra ciencia sea tan poco clara sobre el primero y principal de sus objetos, y uno que es aparentemente tan simple? Pequeña esperanza, pues, de que podamos decir qué es el número. Si un concepto fundamental a una poderosa ciencia da lugar a dificultades, entonces ciertamente es una tarea imperativa investigarlo de manera más cercana hasta que tales dificultades sean superadas; especialmente porque difícilmente conseguiremos esclarecer los números negativos, o los números fraccionales o complejos, en tanto que nuestra visión del fundamento de toda la estructura de la aritmética sea todavía defectuosa. Cierto es que muchas personas pensarán que esto no vale la pena. Naturalmente, suponen, este concepto es adecuadamente tratado en los libros de texto elementales, donde el tema es resuelto de una vez por todas. ¿Quién creería que tiene algo más que aprender sobre un tema tan simple? Se considera el concepto de número entero positivo tan libre de toda dificultad que una explicación de él apropiada para los niños puede ser científica y exhaustiva; y que todos los escolares, sin mayor reflexión o comprensión de lo que otros han pensado, saben todo lo que hay que saber sobre él. El primer prerrequisito para aprender cualquier cosa está, así, totalmente ausente; me refiero al conocimiento de que no sabemos. El resultado es que todavía nos contentamos con los más crudos de los puntos de vista, incluso cuando desde los días de Herbart 1 ha estado disponible una mejor doctrina. Es triste y desalentador observar cómo los descubrimientos una vez hechos siempre están amenazados a perderse de nuevo de esta manera, y cuánto trabajo presagia haber sido hecho en vano, debido a que nos sentimos tan acomodados que no nos molestamos en asimilar sus resultados. Soy conciente de que también mi trabajo está expuesto a este riesgo. Una crudeza típica me enfrenta cuando encuentro el cálculo descrito como “pensamiento mecánico agregativo”. 2 Dudo que exista cualquier pensamiento que responda a esta descripción. Una imaginación agregativa podría, incluso, dejarse pasar; pero eso no tiene relevancia para el cálculo. El 1

Collected Works, ed. Hartenstein, Vol. X, parte I, Umriss pädagogischer Vorlesungen, §252, n. 2: “Dos no significa dos cosas, sino duplicar”, etc. 2 K. Fischer, System der Logik und Metaphysik oder Wissenschaftslehre, 2a edición, §94.

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pensamiento es, en lo esencial, el mismo en todas partes: no es verdad que haya distintos tipos de leyes del pensamiento para adaptarse a los distintos tipos de objetos sobre los que se piensa. Tales diferencias únicamente consisten en que el pensamiento es más puro o menos puro, menos dependiente o más dependiente de influencias psicológicas y de ayudas externas como las palabras o los numerales, y además, hasta cierto punto, también en la estructura más fina o más gruesa de los conceptos involucrados; pero es precisamente en este aspecto que las matemáticas aspiran a superar todas las otras ciencias, incluida la filosofía. La presente obra hará claro que incluso una inferencia como la de n a n + 1 , que según las apariencias es peculiar a las matemáticas, está basada sobre las leyes generales de la lógica, y que no hay necesidad de leyes especiales para el pensamiento agregativo. Es posible, desde luego, operar con figuras mecánicamente, así como también es posible hablar como un loro; pero eso difícilmente merece el nombre de pensamiento. Sólo se vuelve posible, en absoluto, después de que toda la notación matemática, como resultado de un pensamiento genuino, haya sido desarrollada de tal forma como para pensar por nosotros, por así decirlo. Esto no prueba que los números se formen de alguna manera peculiarmente mecánica como la arena, digamos, se forma de gránulos de cuarzo. Considero que, por su propio interés, los matemáticos deben combatir cualquier perspectiva de este tipo, ya que conduce al menosprecio de un objeto principal de su estudio, y junto con él al de su ciencia. Pero incluso en los trabajos de los matemáticos se encuentran expresiones exactamente de la misma especie. La verdad es del todo distinta: el concepto de número, como nos veremos obligados a reconocer, tiene una estructura más fina que la mayoría de los conceptos de las otras ciencias, incluso a pesar de que sigue siendo uno de los más simples en la aritmética. Para disipar esta ilusión de que los números enteros positivos realmente no suponen ninguna dificultad, sino que la concordia universal reina sobre ellos, me he propuesto criticar algunos de los puntos de vista expuestos por matemáticos y por filósofos sobre las cuestiones involucradas. Se verá qué tan pequeña es la extensión de su acuerdo; tan pequeña que encontramos una sentencia contradiciendo a otra. Por ejemplo, algunos sostienen que “las unidades son idénticas entre sí”, otros que son distintas, y cada parte apoya su afirmación con argumentos que no se pueden rechazar de plano. Mi objetivo en esto es despertar el deseo de una investigación más estricta. Al mismo tiempo, este examen preliminar de las perspectivas que otros han expuesto deberá allanar el camino para mis propias consideraciones al convencer a mis lectores, 5

por adelantado, de que estos otros caminos no conducen a la meta, y que mi opinión no es otra más entre otras igualmente defendibles; y de esta forma espero zanjar la cuestión, por lo menos esencialmente. Me doy cuenta de que, como resultado de esto, he perseguido argumentos más filosóficos de lo que muchos matemáticos podrían aprobar; pero cualquier investigación exhaustiva sobre el concepto de número siempre está obligada a volverse un tanto filosófica. Es una tarea común a las matemáticas y a la filosofía. Bien podría ser que la cooperación entre estas dos ciencias, a pesar de los muchos modos de andar de ambos lados, no sea tan próspera como uno desearía y como sería, para el caso, posible. Y si esto es así se debe, en mi opinión, a la predominancia en la filosofía de métodos de argumentación psicológicos que han penetrado incluso en el campo de la lógica. Con esta tendencia las matemáticas no tienen ninguna simpatía, y esto fácilmente da cuenta de la aversión que sienten muchos matemáticos por los argumentos filosóficos. Cuando Stricker, 3 por ejemplo, llama fenómenos motores a nuestras ideas de los números y las hace dependientes de sensaciones musculares, ningún matemático reconoce sus números en esta materia ni sabe qué demonios hacer con esta proposición. Una aritmética fundada sobre sensaciones musculares ciertamente resultaría lo suficientemente sensacional, pero también igual de vaga que su fundamento. No, las sensaciones no conciernen en absoluto a la aritmética. Tampoco las imágenes mentales formadas de los rastros amalgamados de impresiones sensoriales anteriores. Todas estas fases de la consciencia son característicamente fluctuantes e indefinidas, en fuerte contraste con la definitud y la fijeza de los conceptos y objetos de las matemáticas. Desde luego podría servir a algún propósito investigar las ideas y los cambios de ideas que ocurren durante el curso del pensamiento matemático, pero la psicología no debe pensar que puede contribuir en algo al fundamento de la aritmética. Para el matemático como tal estas imágenes mentales, con sus orígenes y sus transformaciones, son inmateriales. El mismo Stricker establece que la única idea que asocia con la palabra “cien” es el símbolo 100. Otros pueden tener la idea de la letra C o alguna otra cosa, y ¿no se sigue de esto que estas imágenes mentales son, por lo que nos concierne a nosotros y a la esencia de nuestro problema, totalmente inmateriales e incidentales, tan incidentales como la tiza y el pizarrón, y que en realidad no merecen llamarse ideas del número cien en absoluto? Nunca, pues, supongamos que la esencia de

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Studien über Association der Vorstellungen, Viena, 1883.

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la materia yace en tales ideas. Nunca tomemos una descripción del origen de una idea por una definición, ni una exposición de las condiciones mentales y físicas sobre las cuales nos hacemos conscientes de una proposición por una prueba de ella. Una proposición puede ser pensada y puede ser verdadera; nunca confundamos estas dos cosas. Parece que debemos recordarnos que una proposición no deja de ser verdadera cuando dejamos de pensar en ella como tampoco el Sol deja de existir cuando cerramos nuestros ojos. De otra forma, al probar el teorema de Pitágoras tendríamos que tener en cuenta el fósforo que contiene nuestro cerebro, y los astrónomos dudarían en sacar cualquier conclusión sobre el pasado distante por el miedo a ser acusados de anacronismo, con reconocer el doble de dos como cuatro sin importar el hecho de que nuestra idea de número es un producto de la evolución y tiene una historia tras de sí. Podría dudarse si en aquellos tiempos progresó tanto. ¿Cómo profesarían saber que la proposición 2 × 2 = 4 ya era válida en esa remota época? ¿No podría ser que las criaturas entonces existentes hubiesen sostenido la proposición 2 × 2 = 5 , de la cual la proposición 2 × 2 = 4 sólo evolucionó más tarde por un proceso de selección natural en la lucha por la existencia? ¡Podría ser que 2 × 2 = 4 está destinada, del mismo modo, a transformarse en 2 × 2 = 3 ! Est modus in rebus, sunt certi denique fines! El enfoque histórico, con su objetivo de detectar cómo comienzan las cosas y de llegar desde estos orígenes a un conocimiento de su naturaleza, es perfectamente legítimo; pero también tiene sus límites. Si todo estuviese en un flujo continuo y nada se mantuviese fijo para todo el tiempo, no habría ninguna posibilidad de llegar a conocer algo sobre el mundo y todo estaría inmerso en confusión. Parecería que damos por supuesto que los conceptos brotan en la mente individual como las hojas de un árbol, y creemos descubrir su naturaleza al estudiar su nacimiento: buscamos definirlos psicológicamente en términos de la naturaleza de la mente humana. Pero esta consideración hace todo subjetivo, y si la seguimos hasta el final elimina la verdad. Lo que se conoce como historia de los conceptos es en realidad una historia del conocimiento de los conceptos o del significado de las palabras. A menudo es sólo después de un inmenso esfuerzo intelectual, que pudo haber continuado por siglos, que la humanidad por fin consigue alcanzar el conocimiento de un concepto en su forma pura, al quitar las acreciones irrelevantes que lo encubren de los ojos de la mente. ¿Qué debemos decir entonces de aquellos que, en lugar de avanzar con este trabajo ahí donde no ha sido completado, lo desprecian, y se dirigen al vivero o se 7

entierran en los periodos más remotos concebibles de la evolución humana para descubrir, como John Stuart Mill, alguna aritmética de pan de jengibre o de guijarro? Sólo queda con atribuir al sabor del pan algún significado especial para el concepto de número. Un procedimiento como éste es ciertamente todo lo contrario de lo racional, y es tan amatemático como puede ser. No es de extrañar que los matemáticos le den la espalda. ¿Los conceptos, a medida que nos aproximamos a sus supuestas fuentes, se revelan de forma pura? En absoluto; vemos todo como a través de una niebla, borroso e indiferenciado. Es como si alguien que quisiera saber sobre América intentara ponerse en la posición de Colón en el tiempo cuando tuvo su primera visión dudosa sobre su supuesta India. Es claro que una comparación como ésta no prueba nada, pero espero que aclare mi punto. Bien puede ser que en muchos casos la historia de los descubrimientos sea un estudio útil como preparación para investigaciones posteriores, pero no debe usurpar su lugar. En cuanto concierne a los matemáticos, un ataque a tales perspectivas apenas habría sido necesario; pero mi tratamiento estuvo diseñado para traer cada disputa a un problema también para los filósofos, así que me vi obligado a entrar un poco en la psicología, si tan sólo para repeler su invasión a las matemáticas. Además, también los libros de texto matemáticos hacen uso de expresiones psicológicas. Cuando el autor se siente obligado a ofrecer una definición y no puede, entonces ofrece por lo menos una descripción de la forma en la que llegamos al objeto o concepto de que se trate. Estos casos son fácilmente reconocibles por el hecho de que tales explicaciones nunca son tomadas de nuevo en el curso de la exposición subsecuente. Para propósitos de enseñanza, los dispositivos introductorios son ciertamente muy legítimos, pero siempre deben distinguirse claramente de las definiciones. Un ejemplo exquisito de la manera en la que inclusive los matemáticos pueden confundir las bases de la prueba con las condiciones mentales o físicas a ser satisfechas si la prueba ha de ser dada se encuentra en E. Schröder. 4 Bajo el encabezamiento “Axioma especial”, dice lo siguiente: “El principio que tengo en mente bien podría llamarse el axioma de la estabilidad simbólica. Nos garantiza que a lo largo de todos nuestros argumentos y deducciones los símbolos permanece constantes en nuestra memoria, o preferiblemente sobre el papel”, y así sucesivamente.

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Lehrbuch der Arithmetik und Algebra [Leipzig, 1873].

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No menos esencial para las matemáticas que el rechazo de toda ayuda de la psicología es el reconocimiento de su cercana conexión con la lógica. Yo incluso concuerdo con aquellos que sostienen que es imposible efectuar cualquier separación tajante de las dos. Todo el mundo concedería que cualquier investigación sobre la fuerza de una prueba o sobre la justificación de una definición debe ser una cuestión de lógica. Pero tales investigaciones simplemente no pueden ser eliminadas de las matemáticas, porque es únicamente respondiéndolas que podemos llegar a la certeza necesaria. En esta dirección también voy más lejos de lo normal. La mayoría de los matemáticos se contenta, en las indagaciones de este tipo, cuando ha satisfecho sus necesidades inmediatas. Si una definición se muestra tratable cuando se le utiliza en las pruebas, si no se encuentran contradicciones en ningún lado, y si las conexiones se revelan entre cuestiones aparentemente remotas entre sí, conduciendo esto a un avance en el orden y en la regularidad, es común considerar la definición como suficientemente establecida, y se hacen pocas preguntas en cuanto a su justificación lógica. Este procedimiento por lo menos tiene la ventaja de que dificulta perder el hilo por completo. Incluso yo concedo que las definiciones deben mostrar su valor por su fecundidad: debe ser posible emplearlas para construir pruebas. Pero debe tenerse en mente que el rigor de la prueba sigue siendo una ilusión incluso si no falta ningún eslabón en la cadena de nuestras deducciones, con tal que las definiciones estén justificadas sólo como una idea tardía, por no habernos encontrado con ninguna contradicción. Con estos métodos nunca habríamos conseguido, en el fondo, más que una certeza empírica, y en realidad debemos enfrentar la posibilidad de que al final podamos encontrar una contradicción que haga caer en ruinas todo el edificio. Por esta razón me he sentido obligado a remontarme mucho más en los fundamentos lógicos generales de nuestra ciencia de lo que quizá la mayoría de los matemáticos considerarán necesario. En la investigación que sigue me he atenido a tres principios fundamentales:

siempre separar claramente lo psicológico de lo lógico, lo subjetivo de lo objetivo;

nunca preguntar por el significado de una palabra aislada, sino únicamente en el contexto de una proposición;

nunca perder de vista la distinción entre concepto y objeto. 9

En cumplimiento del primer principio, he utilizado la palabra “idea” siempre en el sentido psicológico, y he distinguido las ideas de los conceptos y de los objetos. Si el segundo principio no se observa, uno casi se ve forzado a tomar, por los significados de las palabras, imágenes mentales o actos de la mente individual, incumpliendo así también el primer principio. En cuanto al tercer punto, es una mera ilusión suponer que un concepto puede hacerse un objeto sin alterarlo. De esto se sigue que una teoría formalista ampliamente difundida de los números fraccionales, negativos, etc., es insostenible. Cómo me propongo perfeccionarla no puede ser más que indicado en el presente trabajo. Con los números de todos estos tipos, así como con los números enteros positivos, es una cuestión de fijar el sentido de una identidad. Creo que mis resultados, por lo menos en lo esencial, ganarán la adhesión de aquellos matemáticos que se tomen la molestia de atender mis argumentos. Me parece que éstos están en el aire, y que cada uno de ellos individualmente ya ha sido presentado, o por lo menos algo parecido a él; aunque quizá, presentados como están aquí, conectados entre sí, puede que sean novedosos. A menudo me asombra la forma en la que los autores que en un punto se acercan mucho a mi perspectiva, en otros se alejan de ella violentamente. Su recepción por parte de los filósofos variará dependiendo de la posición de cada filósofo, pero presumiblemente a aquellos empiristas que reconocen la inducción como el único proceso original de inferencia (e incluso a éste como un proceso no de inferencia sino de habituación) les gustarán menos. Uno u otro, quizá, aproveche esta oportunidad para reexaminar los principios de su teoría del conocimiento. Para aquellos que se sientan inclinados a criticar mis definiciones por innaturales, les sugeriría que el punto aquí no es si son naturales, sino si van a la raíz de la cuestión y son lógicamente incuestionables. Me permito la esperanza de que incluso los filósofos, si examinan sin prejuicio lo que he escrito, encontrarán en ello algo de utilidad.

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§ 1. Después de abandonar por un tiempo los viejos estándares de rigor euclidiano, las matemáticas están regresando a ellos, e incluso haciendo esfuerzos por ir más allá de ellos. En la aritmética, tan sólo porque muchos de sus métodos y conceptos se originaron en la India, la tradición ha sido razonar de manera menos estricta que en la geometría, que fue desarrollada principalmente por los griegos. El descubrimiento del análisis superior únicamente sirvió para confirmar esta tendencia, pues dificultades considerables, casi insuperables, se interpusieron en el camino de cualquier tratamiento riguroso de estos temas, al tiempo que parecía probable sólo una pequeña recompensa por los esfuerzos gastados en superarlas. Sin embargo, los desarrollos posteriores han mostrado cada vez más claramente que en las matemáticas una convicción meramente moral, sostenida por una masa de aplicaciones exitosas, no es suficiente. Ahora se demanda una prueba de muchas cosas que antes pasaban como autoevidentes. Una y otra vez se han establecido por primera vez los límites de la validez de una proposición. Los conceptos de función, de continuidad, de límite, y de infinito han mostrado la necesidad de una definición más nítida. Los números negativos e irracionales, que han sido admitidos desde hace mucho tiempo en la ciencia, han tenido que someterse a un escrutinio más detenido de sus credenciales. En todas direcciones pueden verse en marcha estos mismos ideales: rigor en la prueba, delimitación precisa de la extensión de validez, y, como medio para esto, definición nítida de los conceptos. § 2. Continuando en esta línea, eventualmente llegamos al concepto de número y a las proposiciones más simples válidas para los números enteros positivos, que forman el fundamento de toda la aritmética. Desde luego, fórmulas numéricas como 7 + 5 = 12 y leyes como la ley asociativa de la adición están tan ampliamente establecidas por las innumerables aplicaciones que se hacen de ellas cada día que casi parecería ridículo intentar traerlas a disputa al demandar su prueba. Pero en la naturaleza de las matemáticas siempre está preferir una prueba, donde sea posible, a cualquier confirmación por inducción. Euclides ofrece pruebas de muchas cosas que cualquiera concedería sin preguntar. Y fue cuando el hombre rechazó estar satisfecho incluso con los estándares de rigor de Euclides que llegó a las indagaciones puestas en marcha por el axioma de las paralelas. Así, nuestro movimiento a favor de todo el rigor posible ya ha superado en muchas direcciones la demanda originalmente levantada, mientras que la propia demanda ha seguido creciendo en alcance y urgencia. 11

El objetivo de una prueba, de hecho, no es solamente poner la verdad de una proposición más allá de toda duda, sino también proporcionarnos una visión sobre la dependencia de las verdades entre sí. Después de habernos convencido de que una roca es inamovible, queda la pregunta ¿qué es lo que la sostiene tan fuertemente? Mientras más ejercemos estas indagaciones, menos se vuelven las verdades primitivas a las que reducimos todo, y esta simplificación es por sí misma una meta que vale la pena perseguir. Pero también puede haber un justificación para una esperanza más: si, al examinar los casos más simples, podemos sacar a la luz lo que la humanidad ha hecho por instinto, y podemos extraer de tales procedimientos lo que es universalmente válido en ellos, ¿no podríamos llegar así a métodos generales para formar conceptos y establecer principios que serán aplicables también en casos más complicados? § 3. Motivos filosóficos también me han movido a indagaciones de este tipo. Las respuestas a las preguntas planteadas sobre la naturaleza de las verdades aritméticas ¿son a priori o a posteriori?, ¿analíticas o sintéticas? - deben encontrarse en esta misma dirección. Pues aunque los conceptos que nos conciernen pueden pertenecer a la filosofía, creo que no puede alcanzarse ninguna decisión sobre estas cuestiones sin la ayuda de las matemáticas (aunque esto depende, claro está, del sentido en el que las entendamos). No es extraño que primero descubramos el contenido de una proposición y únicamente después ofrezcamos una prueba rigurosa de ella sobre líneas distintas y más difíciles; y a menudo sucede que esta misma prueba revela de manera más precisa las condiciones que restringen la validez de la prueba original. En general, pues, la cuestión de cómo llegamos al contenido de un juicio debe ser distinta de la cuestión ¿de dónde derivamos la justificación para su afirmación? Ahora, estas distinciones entre lo a priori y lo a posteriori, entre lo analítico y lo sintético, conciernen, como yo lo veo, 5 no al contenido del juicio sino a la justificación para hacer el juicio. Cuando no hay tal justificación, se desvanece la posibilidad de trazar las distinciones. Un error a priori es, de esta forma, un sinsentido, como lo es, digamos, un concepto azul. Cuando una proposición es llamada a posteriori o analítica en mi sentido, esto no es un juicio sobre las condiciones, psicológicas, fisiológicas, y físicas, que han hecho posible formar el contenido de la proposición en nuestra consciencia; ni tampoco es un juicio sobre la forma en la que algún otro hombre ha 5

Es claro que por esto no pretendo asignar un nuevo sentido a estos términos, sino sólo establecer precisamente qué quisieron decir con ellos algunos autores, particularmente Kant.

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llegado, quizá erróneamente, a creerla como cierta; más bien, es un juicio sobre el fundamento último en el que descansa la justificación para sostenerla como verdadera. Esto significa que la cuestión se mueve de la esfera de la psicología y se asigna, si la verdad concerniente es matemática, a la esfera de las matemáticas. El problema se vuelve, de hecho, el de encontrar la prueba de la proposición, y el de seguirla hasta las verdades primitivas. Si al llevar a cabo este proceso llegamos únicamente a leyes y definiciones lógicas generales, entonces la verdad es analítica, teniendo en mente que también debemos tomar en cuenta todas las proposiciones sobre las cuales depende la admisibilidad de cualquiera de las definiciones. Pero si es imposible ofrecer una prueba sin hacer uso de verdades que no son de una naturaleza lógica general, sino que pertenecen a la esfera de alguna ciencia especial, entonces la proposición es sintética. Para que una verdad sea a posteriori, debe ser imposible construir una prueba de ella sin incluir una apelación a los hechos, i. e., a verdades que no pueden probarse y no son generales, ya que contienen afirmaciones sobre hechos particulares. Pero si, por el contrario, su prueba puede derivarse exclusivamente de leyes generales, que por sí mismas no necesitan o no admiten prueba alguna, entonces la verdad es a priori. 6 § 4. A partir de estas cuestiones filosóficas, llegamos a formular la misma demanda que ha surgido independientemente en las matemáticas, a saber, que las proposiciones fundamentales de la aritmética deben ser probadas, de cualquier manera posible, con el máximo rigor; porque sólo si toda brecha en la cadena de deducciones es eliminada con el mayor cuidado podemos decir con certeza sobre qué verdades primitivas depende la prueba, y sólo cuando éstas sean conocidas podremos responder nuestras preguntas originales. Si intentamos satisfacer esta demanda, pronto nos encontramos con proposiciones que no pueden ser probadas en tanto no consigamos analizar los conceptos que ocurren en ellas en conceptos más simples o reducirlos a algo de mayor generalidad. Para nosotros es sobre todo el número lo que tiene que ser definido o reconocido como indefinible. Este es el punto que se pretende resolver en este trabajo. 7

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Si reconocemos la existencia de verdades generales, también debemos admitir la existencia de leyes primitivas, ya que de hechos meramente individuales nada se sigue a menos que sea en la fuerza de una ley. La propia inducción depende de la proposición general de que el método inductivo puede establecer la verdad de una ley, o por lo menos alguna probabilidad de ella. Si negamos esto, la inducción no es más que un fenómeno psicológico, un procedimiento que induce a los hombres a creer en la verdad de una proposición sin proporcionar la menor justificación para que así sea. 7 En lo que sigue, pues, a menos que se indique lo contrario, los únicos “números” bajo discusión son los números enteros positivos, que dan la respuesta a la pregunta “¿Cuántos?”.

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Del resultado de esta tarea dependerá la decisión en cuanto a la naturaleza de las leyes de la aritmética. Para mi ataque a estas preguntas, abordaré algo que puede ser un indicador para sus respuestas. Porque, si desde otros puntos de vista hay razones para sostener que los principios de la aritmética son analíticos, éstos serán también un apoyo para la demostrabilidad y para la definibilidad del concepto de número, mientras que cualesquiera motivos para creer que las mismas verdades son a posteriori tendrán el efecto contrario. Así pues, las teorías rivales primero serán sometidas a un escrutinio.

I. Puntos de vista de ciertos autores sobre la naturaleza de las proposiciones aritméticas ¿Son demostrables las fórmulas numéricas? § 5. Debemos distinguir entre fórmulas numéricas como 2 + 3 = 5 , que tratan con números particulares, de leyes generales que son válidas para todos los números. Las primeras son consideradas por algunos filósofos 8 como indemostrables e inmediatamente autoevidentes como los axiomas. Kant 9 declara que son indemostrables y sintéticas, pero duda en llamarlas axiomas porque no son generales y porque su número es infinito. Hankel 10 justificadamente llama a esta concepción de infinitas verdades primitivas indemostrables incongruente y paradójica. El hecho es que entra en conflicto con uno de los requerimientos de la razón, que debe ser capaz de abarcar de una sola vez todos los primeros principios. Además, ¿es realmente autoevidente que 135664 + 37863 = 173527 ?

No lo es, y Kant insta esto como un argumento para sostener que estas proposiciones son sintéticas. Sin embargo, lo anterior dice más bien lo contrario de que sean indemostrables, porque ¿cómo, si no es por medio de una prueba, pueden ser verdaderas, viendo que no son inmediatamente autoevidentes? Kant piensa poder recurrir al auxilio de nuestra intuición de dedos o puntos, corriendo así el riesgo de hacer que estas proposiciones parezcan empíricas, cosa contraria a su propia opinión; porque cualquier cosa que pueda ser nuestra intuición de 37863 dedos, ciertamente no es pura. Además, el término “intuición” difícilmente parece ser apropiado, porque 8

Hobbes, Locke, Newton. Cf. Baumann, Die Lehren von Zeit, Raum und Mathematik, pp. 241-42, 365 ss., 475-76. 9 Crítica de la razón pura, Obras Completas, ed. Hartenstein, Vol. III, p. 157. 10 Vorlesungen über die completen Zahlen und ihren Functionen, p. 53.

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incluso 10 dedos pueden dar lugar, en distintos arreglos, a intuiciones muy distintas. ¿Y tenemos en realidad una intuición en absoluto de 135664 dedos o puntos? Si la tuviésemos, y si tuviésemos otra de 37863 dedos y una tercera de 173527 dedos, entonces la exactitud de nuestra fórmula, si fuese indemostrable, habría de ser evidente de inmediato, por lo menos aplicando a los dedos; pero no lo es. Obviamente Kant estaba pensando en números pequeños. Así que para números grandes las fórmulas serían demostrables, aunque para números pequeños son inmediatamente autoevidentes por medio de la intuición. Pero es muy torpe hacer una distinción fundamental entre números pequeños y grandes, especialmente porque apenas sería posible trazar una frontera clara entre ellos. Si las fórmulas numéricas fuesen demostrables desde, digamos, 10, deberíamos preguntar con justicia “¿Por qué no desde 5? ¿O desde 2? ¿O desde 1?”. § 6. Otros filósofos y algunos matemáticos han afirmado que las fórmulas numéricas sí son demostrables. Leibniz 11 dice: “No es una verdad inmediata que 2 y 2 son 4. Siempre que 4 signifique 3 y 1, puede probarse como sigue: Definiciones: (1) 2 es 1 y 1. (2) 3 es 2 y 1. (3) 4 es 3 y 1. Axioma: Si iguales son sustituidos por iguales, la igualdad permanece. Prueba: 2 + 2 = 2 + 1 + 1 (por Def.1) = 3 + 1 (por Def. 2) = 4 (por Def. 3). ∴ 2 + 2 = 4 (por el Axioma).”

Esta prueba parece estar, a primera vista, construida enteramente por las definiciones y el axioma citado. Y el axioma también podría ser transformado en una definición, como lo hace el propio Leibniz en otro pasaje. 12 Parecería como si de 1, 2, 3, y 4 no necesitáramos saber más de lo que está contenido en las definiciones. Pero si miramos más de cerca podemos descubrir una brecha en la prueba, que está oculta por la omisión de los paréntesis. Para ser estrictamente precisos, tendríamos que escribir: 2 + 2 = 2 + (1 + 1)

(2 + 1) + 1 = 3 + 1 = 4 .

Lo que falta aquí es la proposición 2 + (1 + 1) = (2 + 1) + 1 , 11 12

Nouveaux Essais, IV, § 10 (Ed. Erdmann, p. 363). Non inelegans specimen demonstrandi in abstractis (Ed. Erdmann, p. 94).

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que es un caso especial de a + (b + c) = (a + b) + c .

Si asumimos esta ley, es fácil ver que puede darse una prueba similar para cada fórmula de adición. Esto significa que cada número ha de ser definido en términos de su predecesor. Y en realidad no veo cómo un número como 437986 pueda sernos dado más acertadamente que a la manera de Leibniz. Incluso sin tener ninguna idea de él, lo obtenemos por estos medios a nuestra disposición. Mediante tales definiciones reducimos todo el conjunto infinito de números al número uno y aumentamos por uno, y cada una de las infinitas fórmulas puede probarse desde unas pocas proposiciones generales. Esta opinión es compartida por H. Grassmann y H. Hankel. Grassmann intenta obtener la ley a + (b + 1) = (a + b) + 1

por medio de una definición: 13 “Si a y b son miembros arbitrarios de la serie básica, entonces por la suma a + b debe entenderse aquel miembro de la serie básica para el cual la fórmula a + (b + e) = a + b + e

es válida.” e debe tomarse aquí como una unidad positiva. Esta definición puede criticarse de dos maneras. Primero, la suma está definida en términos de sí misma. Si aún no comprendemos el significado de a + b , tampoco comprendemos la expresión a + (b + e) . Esta crítica, sin embargo, pueda quizá evadirse si decimos (yendo

reconocidamente en contra del texto) que lo que pretende definir no es la suma sino la adición. En ese caso, la crítica podría ser que a + b sería un símbolo vacío si no hubiera ninguno o bien hubiera varios miembros de la serie básica que satisficieran la condición prescrita. Que esto en realidad no suceda, Grassmann simplemente lo asume sin ninguna prueba, así que el rigor de su procedimiento sólo es aparente. § 7. Bien podría suponerse que las fórmulas numéricas serían sintéticas o analíticas, a posteriori o a priori, dependiendo de si las leyes generales sobre las cuales dependen sus pruebas lo son. John Stuart Mill, sin embargo, es de la opinión contraria. Al principio parece pretender basar la ciencia, al igual que Leibniz, sobre definiciones, 14

13 14

Lehrbuch der Mathematik für oere Lehranstalten, parte I Arithmetik, p. 4. Stettin, 1860. Sistema de Lógica, libro III, c. XXIV, § 5 (traducción al alemán de J. Schiel).

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ya que define los números individuales de la misma manera que él; pero esta chispa de sano sentido se extingue antes de alumbrar, gracias a su preconcepción de que todo el conocimiento es empírico. Nos informa, de hecho, 15 que estas definiciones no son definiciones en el sentido lógico; no sólo fijan el significado de un término, sino también afirman, junto con él, una cuestión de hecho observada. Pero, ¿qué demonios podría ser el hecho observado, o el hecho físico (para usar otra de las expresiones de Mill), afirmado en la definición del número 777864? De toda la riqueza de hechos físicos en su Apocalipsis, Mill nombra para nosotros sólo uno solitario, el que sostiene es afirmado en la definición del número 3. Consiste, de acuerdo con él, en que las colecciones de objetos existen, y mientras impresionan los sentidos así separados en dos partes, así

, pueden ser

. ¡Qué bendición, entonces, que no todo en el

mundo esté firmemente clavado, porque entonces no podríamos llevar a cabo esta separación y 2 + 1 no sería 3! ¡Qué pena que Mill no haya ilustrado los hechos físicos subyacentes a los números 0 y 1! “Admitida esta proposición”, prosigue Mill, “llamamos tres a todas las parcelas similares.” De esto podemos ver que es realmente incorrecto hablar de tres campanadas cuando el reloj da las tres, o llamar dulce, agrio, y amargo a tres sensaciones de gusto; e igualmente injustificable es la expresión “tres métodos de resolver una ecuación”, porque ninguna de éstas es una parcela que impresiona los sentidos así

.

Ahora, de acuerdo con Mill, “los cálculos no se siguen de la propia definición sino de la cuestión de hecho observada”. ¿Pero entonces en qué punto, en la prueba ofrecida arriba de la proposición 2 + 2 = 4 , debió Leibniz haber apelado al hecho en cuestión? Mill omite señalar la brecha en la prueba, aunque él mismo ofrece una prueba precisamente análoga de la proposición 5 + 2 = 7 . 16 Y en efecto hay una brecha consistiendo en la omisión de los paréntesis, pero Mill lo pasa por alto justo como Leibniz. Si la definición de cada número individual realmente afirmara un hecho físico especial, entonces nunca podríamos suficientemente admirar, por su conocimiento de la naturaleza, a un hombre que calcula con números de nueve cifras. Entretanto, quizá Mill no va tan lejos como para mantener que todos estos hechos tendrían que ser observados separadamente, sino que piensa que sería suficiente con que hubiésemos derivado, por

15 16

Op. cit., libro II, c. VI, § 2. Op. cit., libro III, c. XXIV, § 5.

17

medio de la inducción, una ley general en la que todos estuviesen incluidos. Pero si uno intenta formular esta ley, descubre que es imposible. No es suficiente con decir: “Existen grandes colecciones de cosas que pueden separarse.” Porque esto no establece que existan colecciones de tal tamaño y de tal tipo como se requieren para, digamos, el número 1,000,000 , ni está la manera en la que han de ser divididas específicamente de forma más precisa. La teoría de Mill necesariamente conduce a la demanda de que un hecho deba ser observado especialmente para cada número, porque en una ley general precisamente lo que es peculiar al número 1,000,000 , que necesariamente pertenece a su definición, se perdería. A la vista de Mill en realidad no podríamos poner 1,000,000 = 999,999 + 1 a menos que hayamos observado una colección de cosas

divididas precisamente de esta forma peculiar, distinta de tal característica de cualquier y cada número. § 8. Mill parece sostener que no debemos formar las definiciones 2 = 1 + 1,3 = 2 + 1,4 = 3 + 1 , y así sucesivamente, a menos que y hasta que los hechos a

los que se refiere hayan sido observados. Es muy cierto que no debemos definir 3 como (2 + 1) si no atribuimos ningún sentido a (2 + 1) . Pero la cuestión es si, para esto, es

necesario observar su colección y su separación. Si así fuese, el número 0 sería un enigma, porque hasta donde sé, nadie hasta ahora ha visto o tocado 0 guijarros. Mill, desde luego, explicaría al 0 como algo que no tiene sentido, como una mera forma de hablar; los cálculos con 0 serían un simple juego, jugado con símbolos vacíos, y la única maravilla sería que cualquier cosa racional pudiera surgir de él. Pero si estos cálculos tienen un significado serio, entonces el símbolo 0 no puede estar completamente desprovisto de sentido. Y la propia posibilidad sugiere que 2 + 1 , del mismo modo que 0, podría tener un sentido incluso sin la cuestión de hecho de Mill siendo observada. ¿Quién está preparado para afirmar que el hecho que, de acuerdo con Mill, está contenido en la definición de un número de dieciocho cifras ha sido observado alguna vez, y quién está preparado para negar que el símbolo para tal número tiene, no obstante, un sentido? Quizá se supone que los hechos físicos sólo serán utilizados para los números pequeños, digamos hasta 10, mientras que los números restantes podrían ser construidos a partir de éstos. Pero si podemos formar 11 desde 10 y 1 simplemente por definición, sin haber visto la colección correspondiente, entonces no hay razón por la que no seamos capaces, de esta manera, de construir 2 de 1 y 1. Si los cálculos con el número

18

11 no se siguen de ninguna cuestión de hecho singularmente característica de tal número, ¿cómo puede ser que los cálculos con el número 2 deban depender de la observación de una colección particular, separada en su propio modo peculiar? Podría preguntarse cómo podría existir la aritmética si no pudiésemos distinguir nada por medio de nuestros sentidos, o sólo tres cosas a lo mucho. Ahora, ciertamente para nuestro conocimiento de proposiciones aritméticas y de sus aplicaciones, tal situación sería un tanto extraña; pero ¿afectaría la verdad de tales proposiciones? Si llamamos empírica a una proposición sobre la base de que debemos haber hecho observaciones para hacernos concientes de su contenido, entonces no estamos utilizando la palabra “empírico” en el sentido en el que se opone a “a priori”. Estamos haciendo una declaración psicológica que únicamente concierne al contenido de la proposición; no tocamos la cuestión de su verdad. En este sentido, todos los cuentos de Münchhausen también son empíricos, porque ciertamente tuvieron que hacerse todo tipo de observaciones antes de que pudiesen ser inventados.

¿Son las leyes de la aritmética verdades inductivas? § 9. Las consideraciones hechas hasta ahora hacen probable que las fórmulas numéricas puedan derivarse de las definiciones de los números individuales solos por medio de unas cuantas leyes generales, y que estas definiciones ni afirman hechos observados ni los presuponen para su legitimidad. Nuestra siguiente tarea, por tanto, debe ser averiguar la naturaleza de las leyes involucradas. Mill 17 propone hacer uso, para su prueba (ya referida arriba) de la fórmula 5 + 2 = 7 , del principio de que “Cualquier cosa hecha de partes está hecha de partes de

tales partes.” Sostiene que esto es una expresión, en un lenguaje más característico, del principio familiar en todas partes “Las sumas de iguales son iguales.” Lo llama una verdad inductiva y una ley de la naturaleza del mayor orden. Es típico de la inexactitud de su exposición que, cuando llega al punto en la prueba en el que, en su propio punto de vista, este principio debe ser indispensable, no recurre a él en absoluto. Sin embargo, parece que esta verdad inductiva tiene la intención de hacer el trabajo del axioma de Leibniz de que “Si iguales son sustituidos por iguales, permanece la igualdad.” Pero para poder llamar a las verdades aritméticas leyes de la naturaleza, Mill les atribuye un sentido que no tienen. Por ejemplo, 18 sostiene que la identidad 1 = 1 podría ser falsa 17 18

Op. cit., libro III, c. XXIV, § 5. Op. cit., libro II, c. VI, § 3.

19

sobre la base de que una libra de peso no siempre pesa exactamente lo mismo que otra. Pero la proposición 1 = 1 no pretende establecer, en absoluto, que lo haga. Mill comprende el símbolo + de una forma tal que servirá para expresar la relación entre las partes de un cuerpo físico o de un montón y todo el cuerpo o el montón; pero ese no es el sentido de tal símbolo. Que el verter 2 volúmenes unitarios de líquido en 5 volúmenes unitarios de líquido nos dé 7 volúmenes unitarios de líquido no es el significado de la proposición 5 + 2 = 7 , sino una aplicación de ella que es válida siempre que no ocurra ninguna alteración del volumen como resultado, por ejemplo, de alguna reacción química. Mill siempre confunde las aplicaciones que pueden hacerse de una proposición aritmética, que a menudo son físicas y presuponen hechos observados, con la propia proposición puramente matemática. El símbolo de “más” ciertamente puede parecer, en muchas aplicaciones, como si correspondiera a un proceso de amontonar, pero ese no es su significado, porque en otras aplicaciones no puede haber una cuestión de montones o de agregados, o de la relación entre un cuerpo físico y sus partes, como por ejemplo cuando calculamos números de eventos. No cabe duda de que incluso aquí podemos hablar de “partes”, pero entonces estamos utilizando la palabra no en un sentido físico o geométrico, sino lógico, como cuando hablamos de tiranicidios como una parte del asesinato como un todo. Esta es una cuestión de subordinación lógica. Y de la misma forma la adición no corresponde, en general, a ninguna relación física. Se sigue que las leyes generales de la adición no pueden ser, por su parte, leyes de la naturaleza. § 10. Pero, ¿no podrían ser todavía verdades inductivas? No veo cómo tal cosa sea concebible. ¿Con qué hechos particulares debemos comenzar aquí para avanzar a lo general? Los únicos candidatos disponibles para el papel son las fórmulas numéricas. Pero entonces perdemos la ventaja obtenida al ofrecer nuestras definiciones de los números individuales; tendríamos que empezar a buscar algún otro medio de establecer las fórmulas numéricas. Incluso si conseguimos elevarnos por encima de este inconveniente, que no es precisamente fácil, el terreno seguiría siendo desfavorable para la inducción, porque aquí no hay la uniformidad que en otros campos puede dar al método un alto grado de confiabilidad. Leibniz 19 ya reconocía esto: para su Philatèthex, quien había afirmado que

19

Baumann, Die Lehren von Raum, Zeit und Mathematik, Vol. II, p. 39 (Ed. Erdmann, p. 243).

20

“los diversos modos del número no son capaces de ninguna otra diferencia excepto la de más o menos, que es por lo que son modos simples, como los del espacio”, responde “Eso puede decirse del tiempo y de la línea recta, pero ciertamente no de las figuras y menos aún de los números, que no son simplemente distintos en magnitud, sino también disimilares. Un número par puede ser dividido en dos partes iguales, pero un número non no; tres y seis son números triangulares, cuatro y nueve son cuadrados, ocho es un cubo, y así sucesivamente. Y esto es todavía más el caso con los números que con las figuras, porque dos figuras desiguales pueden ser perfectamente similares entre sí, pero nunca dos números.” Sin duda hemos crecido acostumbrados a tratar los números, en muchos contextos, como todos del mismo tipo, pero esto sólo es porque conocemos un conjunto de proposiciones generales que son válidas para todos los números. Para el presente propósito, sin embargo, debemos ponernos en la posición de que ninguna [de estas proposiciones generales] ha sido descubierta. El hecho es que sería difícil encontrar un ejemplo de inferencia inductiva paralelo a nuestro caso presente. En las inducciones ordinarias solemos hacer buen uso de la proposición de que toda posición en el espacio y todo momento en el tiempo es tan bueno en sí mismo como cualquier otro. Nuestros resultados deben valer para cualquier otro lugar y cualquier otro tiempo, siempre que las condiciones sean las mismas. Pero en el caso de los números esto no aplica, ya que no están en el espacio o en el tiempo. La posición en la serie de números no es una cuestión de indiferencia como la posición en el espacio. Los números, además, están relacionados entre sí de una manera muy distinta de como lo están los especímenes individuales de, digamos, una especie animal. Está en su naturaleza el estar arreglados en un orden de precedencia fijo, definido, y cada uno está formado en su propio modo especial y tiene sus propias peculiaridades únicas, que son especialmente prominentes en los casos de 0, 1, y 2. En otros lugares, cuando establecemos por inducción una proposición sobre una especie, comúnmente ya estamos en posesión, meramente de la definición del concepto de la especie, de toda una serie de sus propiedades comunes. Pero con los números tenemos dificultad en encontrar incluso una sola propiedad común que en realidad no tenga primero que ser probada como común.

21

El siguiente es quizá el caso con el que puede compararse más fácilmente nuestra inducción putativa. Supongamos haber notado que, en un pozo, la temperatura aumenta regularmente con la profundidad, y supongamos que hasta ahora hemos encontrado una amplia variedad de distintos estratos de roca. Aquí es obvio que no podemos, simplemente sobre la fuerza de las observaciones hechas en este pozo, inferir cualquier cosa sobre la naturaleza de los estratos a niveles más profundos, y que cualquier respuesta a la cuestión de si la distribución regular de la temperatura continuará valiendo más abajo sería prematura. Hay, es cierto, un concepto, el de “cualquier cosa que te encuentres hasta aburrirte”, bajo el cual caen tanto los estratos observados hasta ahora como aquellos que están a niveles más bajos, pero eso nos es de poca ayuda aquí. E igualmente, tampoco nos ayudaría aprender, para el caso de los números, que éstos caen todos bajo el concepto de “cualquier cosa que obtengas al ir aumentando por uno”. Es posible trazar una distinción entre los dos casos sobre la base de que los estratos son cosas que simplemente encontramos, mientras que los números son literalmente creados, y determinados en toda su naturaleza, por el proceso de aumentar continuamente por uno. Ahora, esto sólo puede significar que, de la forma en que un número, digamos 8, es generado al aumentar por uno, todas sus propiedades pueden ser deducidas. Pero esto equivale, en principio, a conceder que las propiedades de los números se siguen de sus definiciones, y a abrir la posibilidad de que podamos probar las leyes generales de los números a partir del método de generación que les es común a todos, al tiempo de deducir las propiedades especiales de los números individuales del modo especial en el que, por el proceso de aumentar continuamente por uno, es formado cada uno. Análogamente podemos deducir, para el caso geológico, cualquier cosa que esté determinada simple y únicamente por la profundidad en la que se encuentra un estrato, a saber, su posición espacial relativa a cualquier otra cosa, desde la propia profundidad, sin tener ninguna necesidad de inducción; pero cualquier cosa que no esté así determinada, no puede aprenderse tampoco por inducción. El procedimiento de inducción, podemos conjeturar, es por sí mismo justificable sólo por medio de proposiciones generales de la aritmética - a menos que por inducción entendamos un mero proceso de habituación, en cuyo caso es claro que no tiene ningún poder para conducir al descubrimiento de la verdad -. El procedimiento de las ciencias, con sus estándares objetivos, a veces encontrará una alta probabilidad establecida por un único caso confirmatorio, mientras que otras veces descartará miles [de casos] por su 22

poco valor; mientras, nuestros hábitos están determinados por el número y por la fuerza de las impresiones que recibimos y por circunstancias subjetivas, que no tienen ningún tipo de derecho para influir nuestro juicio. La inducción, entonces, debe basarse sobre la teoría de la probabilidad, ya que nunca puede hacer a una proposición más que probable. Pero cómo podría desarrollarse la teoría de la probabilidad sin presuponer leyes aritméticas está más allá de la comprensión. § 11. Leibniz 20 sostiene la opinión contraria, que las verdades necesarias, como las que se encuentran en la aritmética, deben tener principios cuya prueba no dependa de ejemplos y por tanto no de la evidencia de los sentidos, aunque es claro que sin los sentidos a nadie se le habría ocurrido pensar en ellos. “Toda la aritmética es innata y está en nosotros de manera virtual.” Lo que quiere decir por el término “innata” lo explica en otro pasaje, donde niega “que todo lo que aprendemos no es innato. Las verdades del número están en nosotros y aún así las aprendemos, ya sea atrayéndolas de su fuente cuando las aprendemos por demostración (lo que las muestra como innatas), o ya sea…”.

¿Son las leyes de la aritmética sintéticas a priori o analíticas?

§ 12. Si ahora nos ocupamos de la otra antítesis entre lo analítico y lo sintético, resultan cuatro posibles combinaciones, de las cuales una, analítico a posteriori, puede ser eliminada. Aquellos que, junto con Mill, han decidido a favor de lo a posteriori no tienen una segunda opción, así que sólo nos quedan dos posibilidades por examinar, a saber, sintético a priori y analítico. Kant se decide por la primera. En ese caso, no hay otra alternativa sino la de invocar una intuición pura como el fundamento último de nuestro conocimiento de tales juicios, aunque es difícil decir si ésta es espacial o temporal, o cualquier otra cosa. Baumann 21 concuerda con Kant, aunque por razones distintas. También Lipschitz22

20

Baumann, op. cit., Vol. II, pp. 13-14 (Ed. Erdmann, pp. 195, 208-9). Op. cit., Vol. II, p. 669. 22 Lehrbuch der Analysis, Vol. I, p. 1. 21

23

sostiene que ciertas proposiciones, como la que afirma que el número es independiente del método de numeración y también las leyes de adición conmutativa y asociativa, derivan de una intuición interna. Hankel 23 basa la teoría de los números reales sobre tres proposiciones fundamentales a las que adscribe el carácter de “nociones comunes”: “Una vez expuestas son perfectamente autoevidentes; son válidas para magnitudes en todo campo, como lo avala nuestra intuición pura de magnitud, y sin perder su carácter pueden transformarse en definiciones simplemente al definir la adición de magnitudes como una operación que las satisface.” En la última declaración hay cierta oscuridad. Quizá la definición pueda ser construida, pero no hará de sustituta de las proposiciones originales, ya que al intentar aplicarla siempre surgiría la cuestión: ¿Son los números magnitudes, y es lo que comúnmente llamamos adición de números adición en el sentido de esta definición? Y para responderla, necesitaríamos conocer sus proposiciones originales sobre los números. Además, la expresión “intuición pura de magnitud” nos choca. Si consideramos todas las distintas cosas que son llamadas magnitudes: números, longitudes, áreas, volúmenes, ángulos, curvaturas, masas, velocidades, fuerzas, iluminaciones, corrientes eléctricas, etc., podemos muy bien comprender cómo todas pueden ponerse bajo el concepto único de magnitud, pero el término “intuición de magnitud”, y peor aún, “intuición pura de magnitud”, no puede admitirse como apropiado. Ni siquiera puedo permitir una intuición de 100,000 , mucho menos del número en general, por no mencionar la magnitud en general. Estamos muy listos a invocar la intuición interna siempre que no podemos producir ningún otro fundamento del conocimiento. Pero, con todo, no debemos perder el sentido general de la palabra “intuición”. Kant, en su Lógica (Ed. Hartenstein, Vol. VIII, p. 88), la define como sigue: “Una intuición es una idea individual (REPRAESENTATIO SINGULARIS), un concepto es una idea general (REPRAESENTATIO PER NOTAS COMMUNES) o una idea de reflexión (REPRAESENTATIO DISCURSIVA).” Aquí no hay ninguna mención a cualquier conexión con la sensibilidad, que está, no obstante, incluida en la noción de intuición en la Estética Trascendental, y sin la cual la intuición no puede servir como el principio de nuestro conocimiento de los juicios sintéticos a priori. En la Crítica de la razón pura (Ed. Hartenstein, Vol. III, p. 55) leemos:

23

Theorie der completen Zahlensysteme, pp. 54-55.

24

“Es, por lo tanto, por medio de la sensibilidad que los objetos nos son dados, y ella sola nos proporciona intuiciones.” Se sigue que el sentido de la palabra “intuición” es más amplio en la Lógica que en la Estética Trascendental. En el sentido de la Lógica, quizá podamos llamar a 100,000 una intuición, porque de cualquier manera no es un concepto general. Pero una

intuición en este sentido no puede servir como la base de nuestro conocimiento de las leyes de la aritmética. § 13. Haremos bien, por lo general, en no sobreestimar la extensión en que la aritmética es similar a la geometría. Ya he citado una advertencia de Leibniz a este efecto. Un punto geométrico, considerado por sí mismo, no puede distinguirse de ninguna manera de cualquier otro [punto], y lo mismo aplica a las líneas y a los planos. Solamente cuando varios puntos, o líneas o planos, son incluidos en una única intuición es que los distinguimos. En la geometría, por lo tanto, es muy inteligible que las proposiciones generales deban derivarse de la intuición; los puntos o líneas o planos que intuimos no son en absoluto particulares, y eso les permite presentarse como representantes del todo de su tipo. Pero con los números es distinto; cada número tiene sus propias peculiaridades. Hasta qué extensión un número particular dado puede representar a todos los demás, y hasta qué punto es relevante su propio carácter especial, no puede establecerse generalmente por adelantado. § 14. Si, de nuevo, comparamos los diversos tipos de verdades con respecto a los dominios que gobiernan, la comparación va una vez más en contra del supuesto carácter empírico y sintético de las leyes aritméticas. Las proposiciones empíricas son válidas para lo que es física o psicológicamente real, las verdades de la geometría gobiernan todo lo que es intuible espacialmente, ya sea real o un producto de nuestra fantasía. Las visiones más salvajes del delirio, las invenciones más audaces de la leyenda y la poesía, donde los animales hablan y las estrellas permanecen inmóviles, donde los hombres son convertidos en piedra y los árboles en hombres, donde los ahogados salen de los pantanos por sus propios moños; todas éstas siguen estando, en tanto sigan siendo intuibles, sujetas a los axiomas de la geometría. El pensamiento conceptual por sí solo puede liberarse, de cierto modo, de este yugo cuando asume, digamos, un espacio de cuatro dimensiones o una curvatura positiva. Estudiar tales concepciones no es de ninguna manera inútil; pero es dejar detrás por completo el fundamento de la intuición. Si incluso aquí hacemos uso de la intuición, como un auxilio, sigue siendo la misma vieja intuición del espacio euclidiano, 25

el único cuyas estructuras podemos intuir. Sólo entonces la intuición no es tomada en su valor aparente, sino como simbólica de algo más; por ejemplo, llamamos recto o plano a lo que realmente intuimos como curvo. Para propósitos del pensamiento conceptual siempre podemos asumir el contrario de alguno u otro de los axiomas geométricos sin involucrarnos en ninguna autocontradicción cuando procedemos con nuestras deducciones, a pesar del conflicto entre nuestras suposiciones y nuestra intuición. El hecho de que esto sea posible muestra que los axiomas de la geometría son independientes entre sí y de las leyes primitivas de la lógica, y que consecuentemente son sintéticos. ¿Puede decirse lo mismo de las proposiciones fundamentales de la ciencia del número? Aquí sólo basta con intentar negar cualquiera de ellas para que sobrevenga una confusión total. Incluso el pensar parece ya no ser posible. La base de la aritmética es más profunda, al parecer, que la de las ciencias empíricas, e incluso que la de la geometría. Las verdades de la aritmética gobiernan todo lo que es numerable. Este es el dominio más amplio de todos, porque pertenece no sólo a lo real, no sólo a lo intuible, sino a todo lo pensable. ¿No deberían entonces las leyes del número estar conectadas de manera muy íntima con las leyes del pensamiento? § 15. Las declaraciones de Leibniz sólo pueden ser tomadas para significar que las leyes del número son analíticas, y esto no es ninguna sorpresa porque para él lo a priori coincide con lo analítico. Así, declara 24 que los beneficios del álgebra se deben al préstamo que hace de una ciencia muy superior, la de la verdadera lógica. En otro pasaje 25 compara las verdades necesarias y contingentes con las magnitudes conmensurables e inconmensurables, y sostiene que en el caso de las verdades necesarias es posible una prueba o una reducción a identidades. Sin embargo, estas declaraciones pierden algo de su fuerza en vista de la inclinación de Leibniz 26 a considerar todas las verdades como demostrables: “Toda verdad”, dice, “tiene su prueba a priori derivada del concepto de los términos, a pesar de que no siempre está en nuestro poder el alcanzar este análisis.” Aunque desde luego la comparación con magnitudes conmensurables e inconmensurables levanta una nueva barrera entre las verdades necesarias y contingentes, que por lo menos para nosotros es insuperable.

24

Baumann, op. cit., Vol. II, p. 56 (Ed. Erdmann, p. 424). Baumann, op. cit., Vol. II, p. 57 (Ed. Erdmann, p. 83). 26 Baumann, op. cit., Vol. II, p. 57 (Ed. Pertz, Vol. II, p. 55). 25

26

Una declaración muy enfática a favor de la naturaleza analítica de las leyes del número es la de W. S. Jevons: 27 “Sostengo que el álgebra es una lógica sumamente desarrollada, y que el número es una discriminación lógica.” § 16. Pero esta perspectiva también tiene sus dificultades. ¿Puede el gran árbol de la ciencia del número, imponente, extenso, y en continuo crecimiento, tener sus raíces en meras identidades? ¿Y cómo es que las formas vacías de la lógica llegan a arrojar un contenido tan rico? Para citar a Mill: 28 “La doctrina de que podemos descubrir hechos, detectar los procesos ocultos de la naturaleza, por medio de una ingeniosa manipulación del lenguaje, es tan contraria al sentido común que una persona debe haber hecho algunos avances en filosofía para creerla.” Muy cierto, si se da por supuesto que durante la ingeniosa manipulación no pensamos en absoluto. Aquí Mill está criticando un tipo de formalismo que difícilmente alguien querría defender. Cualquiera que utiliza palabras o símbolos matemáticos pretende que significan algo, y nadie esperaría que de símbolos vacíos surja algún sentido. Pero es posible que un matemático lleve a cabo cálculos muy grandes sin entender, por sus símbolos, algo intuible o con lo que podríamos estar familiarizados sensiblemente. Y eso no significa que los símbolos no tengan sentido; seguimos distinguiendo entre los propios símbolos y su contenido, incluso cuando pueda ser que el contenido sólo sea aprehendido con su ayuda. Somos perfectamente concientes de que podrían haberse asignado otros símbolos para representar las mismas cosas. Todo lo que necesitamos saber es cómo manejar lógicamente el contenido hecho sensible en los símbolos y, si queremos aplicar nuestro cálculo a la física, cómo realizar la transición hacia los fenómenos. Pero constituye un error el ver en tales aplicaciones el sentido real de las proposiciones; en cualquier aplicación siempre se pierde una gran parte de su generalidad, y entra un elemento particular que en otras aplicaciones es remplazado por otros elementos particulares. § 17. Sin importar qué tanto podamos menospreciar la deducción, no puede negarse que las leyes establecidas por la inducción no son suficientes. Deben derivarse nuevas proposiciones de ellas que no están contenidas en ninguna de ellas por sí sola. Sin duda estas proposiciones están de cierta manera contenidas encubiertamente en toda la serie en su conjunto, pero esto no nos absuelve de extraerlas y establecerlas por su 27 28

The Principles of Science, Londres, 1879, p. 156. Op. cit., Libro II, cap. VI, §2.

27

propio derecho. Visto esto, también podemos ver la siguiente posibilidad. En lugar de enlazar nuestra cadena de deducciones directamente con cualquier cuestión de hecho, podemos dejar el hecho de un lado y adoptar su contenido en la forma de una condición. Al sustituir así condiciones por hechos a lo largo de todo el tren de razonamiento, finalmente lo reduciremos a una forma en la que un cierto resultado se hace dependiente de una cierta serie de condiciones. Esta verdad se establecería sólo por el pensamiento o, para utilizar la expresión de Mill, por una ingeniosa manipulación del lenguaje. No es imposible que las leyes del número sean de este tipo. Esto las haría juicios analíticos, a pesar del hecho de que normalmente no serían descubiertas sólo con el pensamiento; aquí no nos interesa el modo en que son descubiertas sino el tipo de fundamento sobre el cual descansan sus pruebas. En palabras de Leibniz, 29 “la cuestión aquí no es la historia de nuestros descubrimientos, que es distinta en distintos hombres, sino la conexión y el orden natural de las verdades, que es siempre la misma.” Entonces únicamente le quedaría a la observación decidir si las condiciones incluidas en las leyes así establecidas se cumplen en realidad. De esta manera llegaremos al final a la misma posición que habríamos alcanzado al enlazar nuestra cadena de deducciones directamente con cuestiones de hecho observadas. Pero el tipo de procedimiento señalado aquí es preferible en muchos casos, porque conduce a una proposición general que no necesita ser aplicable únicamente a los hechos inmediatamente bajo consideración. Las verdades de la aritmética estarían entonces relacionadas con aquellas de la lógica de la misma manera que lo están los teoremas de la geometría con los axiomas. Cada una contendría, concentrada dentro de ella, toda una serie de deducciones para uso futuro, y su uso sería que ya no necesitamos hacer las deducciones una por una, sino expresar simultáneamente el resultado de toda la serie. 30 Si esto es así, entonces el prodigioso desarrollo de los estudios aritméticos, con sus multitudinarias aplicaciones, será suficiente para poner fin al desprecio generalizado por los juicios analíticos y al mito de la esterilidad de la lógica pura. Esta no es la primera vez que se ha presentado tal opinión. Si pudiese ser elaborada a detalle, tan rigurosamente que no quede la menor duda, eso sería, me parece, un resultado de no poca importancia. 29

Nouveaux Essais, IV, §9 (Ed. Erdmann, p. 362). Es notable que también Mill (op. cit., Libro II, cap. VI, §4) parece expresar este punto de vista. Su sensatez le permite superar, de cuando en cuando, su prejuicio a favor de lo empírico. Pero este mismo prejuicio suele traer todo de vuelta a un embrollo, al hacerle confundir las aplicaciones físicas de la aritmética con la propia aritmética. Parece no percatarse de que un juicio hipotético puede ser verdadero incluso cuando el antecedente no lo sea. 30

28

II. Puntos de vista de ciertos autores sobre el concepto de número

§ 18. Al pasar a considerar los objetos primarios de la aritmética, debemos distinguir entre los números individuales 3, 4, y así sucesivamente, y el concepto general de número. Ahora bien, ya nos hemos decidido a favor de la opinión de que los números individuales son mejor derivados del modo propuesto por Leibniz, Mill, H. Grassmann y otros, desde el número uno junto con el incremento por uno, pero que estas definiciones son incompletas en tanto que el número uno y el incremento por uno están por sí mismos indefinidos. Y hemos visto que tenemos necesidad de proposiciones generales si habremos de derivar las fórmulas numéricas desde estas definiciones. Tales leyes no pueden, sólo en virtud de su generalidad, seguirse de las definiciones de los números individuales, sino únicamente del concepto general de número. Es este concepto el que ahora someteremos a un examen más detenido, y en el curso de esto podemos esperar tener también que discutir el número uno y el incremento por uno, como resultado de lo cual, a la vez, esperamos completar las definiciones de los números individuales. § 19. En este punto me gustaría oponerme de inmediato al intento de pensar el número geométricamente, como una proporción entre longitudes o superficies. Obviamente, el pensamiento detrás de esto fue facilitar las numerosas aplicaciones de la aritmética a la geometría al poner los rudimentos de ambas en la conexión más cercana desde el principio. Newton 31 propone entender por número no tanto un conjunto de unidades sino más bien la relación abstracta entre cualquier magnitud dada y otra magnitud del mismo tipo tomada como unidad. Puede concederse que ésta es una descripción apta del número en el sentido más amplio, que incluye también fracciones y números irracionales; pero presupone los conceptos de magnitud y de relación con respecto a la magnitud. Esto significaría, presumiblemente, que seguiría siendo necesaria una definición de número en el sentido más estricto, o de número cardinal; porque Euclides, para definir la identidad de dos proporciones entre longitudes, hace uso del concepto de equimúltiplos, y éstos nos llevan de nuevo a la identidad numérica. Sin embargo, sea el caso, como podría ser, de que la identidad de proporciones entre longitudes puede realmente ser definida sin referencia alguna al concepto de número. Incluso así nos

31

Baumann, op. cit., Vol. I, p. 475.

29

quedaría la duda de cómo es que el número definido geométricamente de esta manera está relacionado con el número de la vida ordinaria, que entonces estaría completamente aislado de la ciencia. Con todo, ciertamente podemos exigir de la aritmética que sus números deban adaptarse al uso de toda aplicación hecha del número, incluso cuando tal aplicación no sea por sí misma asunto de la aritmética. Incluso en nuestras sumas diarias, debemos poder confiar en la ciencia de la aritmética para proporcionar la base de los métodos que utilizamos. Y, además, surge la cuestión de si la propia aritmética puede conformarse con un concepto geométrico del número cuando pensamos en algunas de las nociones que ocurren en ella, como el número de raíces de una ecuación o de los números primos con un número dado y menores que él. Por otra parte, el número que da la respuesta a la pregunta ¿cuántos? puede responder, entre otras cosas, cuántas unidades están contenidas en una longitud. Y las operaciones con números negativos, fraccionales, e irracionales, pueden ser todas reducidas a operaciones con los números naturales. Quizá lo que Newton quería comprender por magnitudes, al definir al número como una relación entre magnitudes, no era únicamente magnitudes geométricas, sino también conjuntos. En ese caso, empero, su definición es inservible para nuestros propósitos, porque la expresión “relación entre un conjunto y la unidad del conjunto” no nos dice más que la expresión “número por el cual está determinado un conjunto”. § 20. La primera cuestión que hay que afrontar es, entonces, si el número es definible. Hankel 32 declara que no lo es con estas palabras: “Lo que queremos decir con pensar o poner una cosa una, dos, tres veces, y así sucesivamente, no puede ser definido, debido a la simplicidad en principio del concepto de poner.” Pero el punto ciertamente no es tanto el de poner como el de una, dos, y tres veces. Si esto pudiera ser definido, la indefinibilidad de poner apenas nos preocuparía. Leibniz está inclinado a considerar el número como una idea adecuada, una que es tan clara que todo elemento contenido en ella es también claro, o por lo menos casi adecuado. Si la inclinación general es, en conjunto, sostener que el número es indefinible, es más porque los intentos por definirlo han fallado que porque se haya descubierto cualquier cosa en la naturaleza del caso que muestre que así debe ser.

32

Op. cit., p. 1.

30

¿Es el número una propiedad de las cosas externas?

§ 21. Tratemos, al menos, de asignar al número su lugar apropiado entre nuestros conceptos. En el lenguaje, los números suelen aparecer en forma adjetiva y en construcción atributiva del mismo modo que las palabras duro o pesado o rojo, que tienen por significados propiedades de cosas externas. Es natural preguntar si también debemos pensar los números individuales como tales propiedades, y si, en consecuencia, el concepto de número puede ser clasificado junto con el de, digamos, color. Que sí pueda parece ser la perspectiva del Sr. Cantor, 33 cuando llama a las matemáticas una ciencia empírica en la medida en que comienza con la consideración de cosas en el mundo externo. Desde esta posición, el número se origina únicamente por abstracción desde los objetos. Para E. Schröder, 34 el número está modelado sobre la realidad, derivado de ella por un proceso de copiar las unidades reales con unos, que llama la abstracción del número. En esta copia, las unidades sólo son representadas en cuanto a su frecuencia, ignorando otras propiedades de las cosas en cuestión, como su color o forma. Aquí, la frecuencia es sólo otro nombre para el número. Se sigue, por tanto, que Schröder pone la frecuencia o el número al nivel del color y la forma, y lo trata como una propiedad de las cosas. § 22. Baumann 35 rechaza la opinión de que los números sean conceptos extraídos de las cosas externas: “La razón siendo que las cosas externas no nos presentan ningunas unidades estrictas; nos presentan grupos aislados o puntos sensibles, pero tenemos la libertad de tratar cada uno de éstos como muchos.” Y es muy cierto que, mientras no estoy en posición, simplemente por pensarlo de manera distinta, de alterar el color o la dureza de una cosa, sí puedo pensar en La Ilíada ya sea como un poema o como 24 libros o como algún gran número de versos. ¿No es en sentidos totalmente distintos que hablamos de un árbol teniendo 1000 hojas y teniendo hojas verdes? El color verde lo adscribimos a cada sola hoja, pero no el número 1000. Si llamamos follaje a todas las hojas del árbol tomadas juntas, entonces el follaje también es verde, pero no es 1000. Entonces, ¿a qué pertenece realmente la propiedad 1000?

33

Grundzüge einer Elementarmathematik, p. 2, §4. Similarmente Lipschitz, op. cit., p. 1. Op. cit., pp. 6, 10-11. 35 Op. cit., Vol. II, p. 669. 34

31

Casi parecería como si no perteneciera ni a una sola hoja ni a la totalidad de ellas; ¿es posible que en realidad no pertenezca en absoluto a cosas en el mundo externo? Si le doy a alguien una piedra y le digo: “encuentra el peso de esto”, le he dado precisamente el objeto que ha de investigar. Pero si pongo una baraja de cartas en sus manos y le digo: “encuentra el número de éstas”, esto no le dice si quiero saber el número de cartas, o los juegos completos, o incluso, digamos, los puntos en el juego de skat. Haberle dado la baraja en sus manos no es haberle dado por completo el objeto que ha de investigar; debo añadir alguna otra palabra: cartas, juegos, o puntos. Tampoco podemos decir que en este caso los distintos números existen en la misma cosa lado a lado, como lo hacen los distintos colores. Puedo señalar la mancha de cada color individual sin decir una palabra, pero no puedo señalar del mismo modo los números individuales. Si puedo llamar rojo y verde al mismo objeto con el mismo derecho, es una señal segura de que el objeto nombrado en realidad no tiene el color verde; para eso primero debemos tener una superficie que es sólo verde. Similarmente, un objeto al cual puedo adscribir distintos números con el mismo derecho no es lo que realmente tiene un número. Marca, por consiguiente, una diferencia importante entre el color y el número que un color como el azul pertenezca a una superficie independientemente de cualquier elección nuestra. El color azul es un poder de reflejar la luz de ciertas longitudes de onda y de absorber, en distintos grados, la luz de otras longitudes de onda; ante esto, nuestra forma de considerarlo no puede hacer la menor diferencia. Del número 1, por el otro lado, o de 1000 o de cualquier otro número, no puede decirse que pertenezca a la baraja de cartas por derecho propio, sino a lo mucho que pertenece a ella en vista de la forma en la que hemos elegido considerarlo; e incluso entonces no de una manera tal que podamos simplemente asignar el número a ella como un predicado. Lo que elegimos llamar un juego completo es obviamente una decisión arbitraria, sobre la cual la baraja de cartas no tiene nada que decir. Pero es cuando examinamos la baraja a la luz de esta decisión que descubrimos, quizá, que podemos llamarla dos juegos completos. Cualquiera que no supiese a qué llamamos un juego completo probablemente descubriría en la fila cualquier otro número antes de acertar el dos. § 23. A la pregunta “¿qué es a lo que el número pertenece como una propiedad?” Mill 36 responde: el nombre de un número connota: “desde luego, alguna propiedad perteneciente a la aglomeración de las cosas que llamamos por el nombre; y esa

36

Op. cit., Libro III, cap. XXIV, §5.

32

propiedad es la manera característica en la que la aglomeración está hecha de, y puede separarse en, partes.” Aquí, el artículo definido en la frase “la manera característica” es un error inmediato, porque hay muchas formas distintas en las que una aglomeración puede ser separada en partes, y no podemos decir que una sola sería característica. Por ejemplo, un haz de pajas puede ser separado en partes al cortar todas las pajas a la mitad, o al dividirlo en pajas individuales, o al dividirlo en dos. Además, ¿está un montón de cien granos de arena hecho de partes en exactamente la misma forma que un haz de 100 pajas? Y sin embargo, tenemos el mismo número. El numeral “uno” en la expresión “una paja” señaladamente falla en hacer justicia al modo en el que la paja está hecha de células o moléculas, y se presenta todavía más dificultad con el número 0. Además, ¿necesitan las pajas formar alguna especie de haz para ser numeradas? ¿Debemos llevar a cabo una reunión de todos los ciegos en Alemania antes de poder asignar cualquier sentido a la expresión “el número de ciegos en Alemania”? ¿Mil granos de trigo, una vez esparcidos por el sembrador, dejan de serlo? ¿Tales cosas realmente existen como aglomeraciones de pruebas de un teorema, o como aglomeraciones de eventos? Y sin embargo, ambas pueden ser numeradas. Tampoco hace ninguna diferencia si los eventos ocurren juntos o a miles de años de diferencia. § 24. Esto nos da otra razón para rechazar clasificar al número junto con el color y la solidez: es aplicable sobre un rango mucho más amplio. Mill 37 sostiene que la verdad de que cualquier cosa hecha de partes está hecha de partes de tales partes es válida para los fenómenos naturales de todo tipo, ya que todos admiten ser numerados. ¿Pero no puede ser numerado mucho más que esto? Locke38 dice: “El número aplica a los hombres, a los ángeles, a las acciones, a los pensamientos; a cualquier cosa que exista o que pueda imaginarse.” Leibniz 39 rechaza la opinión de los escolásticos de que el número no es aplicable a cosas inmateriales, y llama al número una especie de figura inmaterial que resulta de la unión de cosas de todo tipo, por ejemplo de Dios, un ángel, un hombre, y un movimiento, que juntos son cuatro. Por tal razón sostiene que el número es de suprema universalidad y pertenece a la metafísica. En otro lugar 40 dice: “Algunas cosas no pueden ser pesadas, porque no tienen fuerza ni potencia; algunas cosas no pueden ser medidas, porque no tienen partes; pero no hay 37

Op. cit., Libro III, cap. XXIV, §5. Baumann, op. cit., Vol. I, p. 409. 39 Baumann, op. cit., Vol. II, pp. 2-3. 40 Baumann, op. cit., Vol. II, p. 56. 38

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nada que no pueda ser numerado. Entonces el número es, por así decirlo, un tipo de figura metafísica.” Realmente sería extraordinario que una propiedad abstraída de cosas externas pudiera transferirse, sin ningún cambio de sentido, a eventos, a ideas, y a conceptos. El efecto sería como hablar de eventos fusibles, o de ideas azules, o de conceptos salados o de juicios duros. No tiene sentido que lo que es sensible por naturaleza ocurra en lo que es no sensible. Cuando vemos una superficie azul, tenemos una impresión de un único tipo que corresponde a la palabra “azul”; reconocemos de nuevo esta impresión cuando divisamos otra superficie azul. Para suponer que hay del mismo modo, cuando vemos un triángulo, algo sensible correspondiente a la palabra “tres”, tendríamos que comprometernos con la búsqueda de la misma cosa de nuevo en tres conceptos; así que algo no sensible tendría en él algo sensible. Sin duda podrá concederse que una impresión sensible de un tipo corresponde a la palabra “triangular”, pero entonces debe tomarse la palabra como un todo. El tres en ella no lo vemos directamente; más bien, vemos algo sobre lo cual se puede sujetar una actividad intelectual nuestra conduciendo a un juicio en el que tiene lugar el número 3. ¿Cómo es que, después de todo, nos familiarizamos con, digamos, el número de figuras del silogismo aristotélico? ¿Es quizá con nuestros ojos? Lo que vemos es, a lo mucho, ciertos símbolos para las figuras silogísticas, no las propias figuras. ¿Cómo podríamos ver su número si ellas mismas permanecen invisibles? No obstante, podría argumentarse que es suficiente con ver los símbolos; su número es idéntico al número de las figuras. Pero entonces, ¿cómo sabemos esto? Para eso, tendremos que haber determinado el número de las figuras por algún otro medio. ¿O es la proposición “El número de figuras del silogismo es cuatro” sólo otra forma de decir que “El número de símbolos para las figuras del silogismo es cuatro”? Desde luego que no. No hay ninguna intención de decir algo sobre los símbolos; nadie quiere saber nada sobre ellos excepto en la medida en que alguna de sus propiedades refleje directamente alguna propiedad de lo que simbolizan. Además, lo mismo puede ser simbolizado, sin ninguna falacia lógica, con varios símbolos distintos, así que no hay siquiera necesidad de que el número de símbolos coincida con el número de cosas simbolizadas.

34

§ 25. Mientras que para Mill el número es algo físico, para Locke y para Leibniz existe sólo como una noción. Desde luego, Mill 41 tiene razón en que dos manzanas son físicamente distintas de tres manzanas, y dos caballos de un caballo; en que son un fenómeno distinto visible y tangible. 42 ¿Pero debemos inferir de esto que su dualidad o trinidad es algo físico? Un par de botas puede ser el mismo fenómeno visible y tangible que dos botas. Aquí tenemos una diferencia en número a la cual no corresponde ninguna diferencia física, porque dos y un par no son de ningún modo la misma cosa, como Mill parece extrañamente creer. ¿Cómo es posible, después de todo, que dos conceptos sean físicamente distinguibles de tres conceptos? Para citar a Berkeley: 43 “Debe considerarse que el número no es algo fijo y establecido, existiendo realmente en las propias cosas. Es por completo la criatura de la mente, considerando una idea por sí misma o una combinación de ideas a la cual da un nombre, y así la hace pasar por una unidad. Según como la mente combine variadamente sus ideas, la unidad varía; y como la unidad, también el número, que es sólo una colección de unidades, también varía. Decimos que una ventana es una, que una chimenea es una, y sin embargo una casa en la que hay muchas ventanas y muchas chimeneas tiene el mismo derecho a llamarse una, y muchas casas hacen una ciudad.”

¿Es el número algo subjetivo?

§ 26. Esta línea de pensamiento puede fácilmente llevarnos a considerar el número como algo subjetivo. Parece como si la manera en la que el número se origina en nosotros puede resultar la clave para su naturaleza esencial. Es así que la cuestión se volvería propia para una investigación psicológica. Esto es, en efecto, lo que Lipschitz44 está pensando cuando escribe: “Quienquiera que se proponga hacer un reconocimiento de un número de cosas, comenzará con alguna cosa particular y procederá añadiendo continuamente una nueva a aquella previamente seleccionada.” Esto parece describir mucho mejor cómo es que adquirimos, digamos, la intuición de una constelación que cómo construimos números. La intención de hacer un reconocimiento no es esencial, 41

Op. cit., Libro III, cap. XXIV, §5. Estrictamente hablando deberíamos añadir: siempre que sean un fenómeno en absoluto. Porque si alguien tiene un caballo en Alemania y uno en América (y ninguno más), entonces posee dos caballos; pero estos dos caballos no forman un fenómeno, sólo cada uno de los dos, por sí mismo, puede ser descrito así. 43 Baumann, op. cit., Vol. II, p. 428. 44 Op. cit., p. 1. Supongo que Lipschitz quiere referirse a un proceso mental. 42

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porque apenas puede sostenerse que se hace más fácil reconocer un rebaño después de haber aprendido de cuántas cabezas está compuesto. Ninguna descripción de este tipo de los procesos mentales que preceden la formación de un juicio del número, incluso si es más adecuada que la que acabamos de considerar, puede tomar el lugar de una genuina definición del concepto. Nunca puede aducirse como prueba de alguna proposición de la aritmética; no nos familiariza con ninguna de las propiedades de los números. Pues el número no es una pizca más un objeto de la psicología o un producto de procesos mentales de lo que lo es, digamos, el Mar del Norte. La objetividad del Mar del Norte no se ve afectada por el hecho de que es una cuestión arbitraria qué parte de toda el agua sobre la superficie terrestre señalamos y decidimos llamar “Mar del Norte”. Esta no es razón para decidirse a investigar el Mar del Norte por métodos psicológicos. Del mismo modo el número también es algo objetivo. Si decimos “El Mar del Norte tiene una extensión de 10,000 millas cuadradas”, entonces ni por “Mar del Norte” ni por “ 10,000 ” nos referimos a estado o proceso mental alguno: por el contrario, afirmamos algo bastante objetivo, que es independiente de nuestras ideas y de cualquier cosa del tipo. Si sucede que queremos, en otra ocasión, trazar de forma distinta los límites del Mar del Norte o comprender por “ 10,000 ” algo distinto, eso no haría falso el mismo contenido previamente verdadero: lo que quizá diríamos es que un contenido falso ha tomado ahora el lugar de uno verdadero sin privar de ningún modo la verdad de su predecesor. El botánico pretende afirmar algo tan fáctico cuando da el número de pétalos de una flor que cuando da su color. Uno depende de nuestra elección arbitraria tan poco como el otro. Existe, por tanto, una cierta similitud entre el número y el color; pero no consiste, empero, en nuestra familiarización con ambos en las cosas externas por medio de los sentidos, sino en que ambos son objetivos. Distingo lo que llamo objetivo de lo que es manipulable o espacial o real. El eje de la Tierra es objetivo y también lo es el centro de masa del Sistema Solar, pero no los llamo reales en el modo en que la propia Tierra lo es. A menudo hablamos del ecuador como una línea imaginaria, pero sería incorrecto llamarla una línea ficticia; no es una criatura del pensamiento, el producto de un proceso psicológico, sino que sólo es reconocida o aprehendida por el pensamiento. Si ser reconocido fuese ser creado, entonces no podríamos decir nada positivo sobre el ecuador para cualquier periodo anterior a la fecha de su presunta creación.

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El espacio, de acuerdo con Kant, pertenece a la apariencia. Para otros seres racionales podría tomar alguna forma muy distinta de aquella en la que lo conocemos. En realidad, ni siquiera podemos saber si parece el mismo para un hombre que para otro, porque no podemos colocar, para compararlas, la intuición del espacio de un hombre al lado de la de otro. Pero, con todo, hay algo objetivo aquí; todo el mundo reconoce los mismos axiomas geométricos, aunque sea sólo por su comportamiento, y deben hacerlo así si quieren orientarse en el mundo. Lo que es objetivo es lo que está sujeto a leyes, lo que puede concebirse y juzgarse, lo que es expresable en palabras. Lo que es puramente intuible no es comunicable. Para aclarar esto, supongamos dos seres racionales tales que las propiedades y relaciones proyectivas son todo lo que pueden intuir: el estar tres puntos en una recta, de cuatro puntos en un plano, y así sucesivamente; y supongamos que lo que uno intuye como un plano parece al otro como un punto, y viceversa, de tal modo que para lo que uno es la línea que une dos puntos para el otro es la línea de intersección de dos planos, y así sucesivamente siempre con una correspondencia dual. En estas circunstancias podrían comprenderse entre sí muy bien y nunca se darían cuenta de la diferencia entre sus intuiciones, ya que en la geometría proyectiva toda proposición tiene su contraparte dual; cualesquiera desacuerdos sobre puntos de apreciación estética no serían evidencia concluyente. Estarían completamente de acuerdo en todos los teoremas geométricos, únicamente interpretando las palabras de manera distinta en términos de sus respectivas intuiciones. Con la palabra “punto”, por ejemplo, uno podría conectar una intuición y el otro otra. Podemos, por lo tanto, decir que este mundo tendría para ellos un significado objetivo siempre que por este significado no entendamos alguna de las peculiaridades de sus respectivas intuiciones. Y en este sentido el eje de la Tierra también es objetivo. La palabra “blanco” suele hacernos pensar en una cierta sensación que es, desde luego, completamente subjetiva. Pero incluso en el habla cotidiana ordinaria tiene a menudo, creo, un sentido objetivo. Cuando llamamos blanca a la nieve, pretendemos referirnos a una cualidad objetiva que reconocemos, en la luz del día, por una cierta sensación. Si la nieve es vista bajo una luz con determinado color, en nuestro juicio tomamos eso en cuenta y decimos, por ejemplo, “Parece roja ahora, pero es blanca.” Incluso un hombre daltónico puede hablar de rojo y verde a pesar del hecho de que no distingue entre estos colores en sus sensaciones; reconoce la distinción por el hecho de que otros la hacen, o quizá al hacer un experimento físico. A menudo, por tanto, una palabra referida a algún color no indica nuestra sensación subjetiva, que no podemos 37

saber si concuerda con la de cualquier otro (porque obviamente el llamar a las cosas por el mismo nombre no garantiza tanto), sino más bien una cualidad objetiva. Es de esta forma que comprendo lo objetivo como significando lo que es independiente de nuestra sensación, intuición, e imaginación, y de toda construcción de imágenes mentales a partir de memorias de sensaciones anteriores, pero no lo que es independiente de la razón, porque ¿qué son las cosas independientes de la razón? Responder eso sería tanto como juzgar sin juzgar, o como lavar la piel sin mojarla. § 27. Por tal razón no puedo concordar tampoco con Schloemilch 45 cuando llama al número la idea de la posición de un elemento en una serie. 46 Si el número fuese una idea, entonces la aritmética sería psicología. Pero la aritmética no es más psicología que, digamos, la astronomía. La astronomía no se ocupa de las ideas de los planetas, sino de los planetas mismos, y por el mismo indicio tampoco los objetos de la aritmética son ideas. Si el número dos fuese una idea, entonces en seguida sería privada sólo para mí. La idea de otro hombre es, ex vi termini, otra idea. Entonces quizá tendríamos millones de doses en nuestras manos. Si aceptamos ideas latentes o inconscientes, tendríamos doses inconscientes entre ellas que después regresarían subsecuentemente a la consciencia. A medida que crecieran las nuevas generaciones, continuamente nacerían nuevas generaciones de doses, y en el curso de los milenios éstos podrían evolucionar, para todo lo que podríamos decir, a tal punto que dos de ellos darían cinco. Pero, a pesar de todo esto, sería dudoso si existen infinitos números, como comúnmente suponemos. 1010 podría ser sólo un símbolo vacío, y podría no existir idea alguna que, en cualquier ser, responda al nombre. Extraños y maravillosos son, como vemos, los resultados de considerar seriamente la sugerencia de que el número es una idea. Y nos vemos impulsados a la conclusión de que el número no es espacial y físico, como los montones de guijarros y 45

Handbuch der algebraischen Analysis, p. 1. Otra posible objeción es que en esta teoría la misma idea de una posición en una serie tendría siempre que aparecer cuando ocurra el mismo número, lo que obviamente no sucede. Mis argumentos estarían fuera de lugar si por idea quisiera decir una noción objetiva; pero en ese caso, ¿qué distinción habría entre la idea de la posición y la posición misma? Una idea en el sentido subjetivo es lo que está gobernado por las leyes psicológicas de asociación; tiene un carácter sensible, pictórico. Una idea en el sentido objetivo pertenece a la lógica y en principio es no-sensible, aunque la palabra que significa una idea objetiva suele estar acompañada por una idea subjetiva que, no obstante, no es su significado. Las ideas subjetivas suelen ser demostrablemente distintas en distintos hombres, mientras que las ideas objetivas son las mismas para todos. Las ideas objetivas pueden dividirse en objetos y conceptos. Yo mismo, para evitar confusiones, utilizo “idea” sólo en el sentido subjetivo. Es porque Kant asoció ambos significados con la palabra que su doctrina asumió una tez tan subjetiva, idealista, y su verdadera opinión fue muy difícil de descubrir. La distinción trazada aquí se mantiene o cae con la distinción entre psicología y lógica. ¡Si tan sólo éstas dos se mantuvieran siempre rígidamente distintas! 46

38

las galletas de jengibre de Mill, ni subjetivo como las ideas, sino no-sensible y objetivo. Ahora, la objetividad no puede estar basada sobre cualquier impresión sensible, que como afección de nuestra mente es completamente subjetiva, sino sólo, hasta donde puedo ver, sobre la razón. Sería extraño si la más exacta de todas las ciencias tuviera que buscar apoyo en la psicología, que todavía anda a tientas.

Números como conjuntos

§ 28. Algunos autores definen el número como un conjunto o multitud o pluralidad. Todas estas perspectivas sufren del inconveniente de que entonces el concepto no cubre los números 0 y 1. Más todavía, estos términos son totalmente vagos: a veces se aproximan en significado a “montón” o “grupo” o “aglomeración”, refiriéndose a una yuxtaposición en el espacio, a veces son utilizados como para ser prácticamente equivalentes a “número”, sólo que de forma más vaga. Por lo tanto, no hay ningún análisis del concepto de número en una definición de este tipo. Thomae 47 requiere, para la formación del número, que a conjuntos de elementos que difieren se les den distintos nombres. Con esto evidentemente pretende referirse a un proceso de sacar a relucir más bruscamente las características de los conjuntos en cuestión, de las cuales la denominación es solamente el signo externo. La cuestión es: ¿cómo es este proceso? Obviamente, la noción de número no resultaría si, en lugar de “3 estrellas”, “3 dedos”, y “7 estrellas”, intentásemos introducir nombres en los que no hubiese elementos comunes reconocibles. No es simplemente una cuestión de asignar nombres, sino de simbolizar, por derecho propio, al elemento numérico. Para esto es necesario reconocer tal elemento en su peculiaridad. Además, debe notarse que hay dos perspectivas distintas. Algunos llaman número a un conjunto de cosas u objetos; otros, siguiendo a Euclides, lo definen como un conjunto de unidades. Esta última expresión requiere una discusión aparte.

47

Elementare Theorie der analytischen Functionen, p. 1.

39

III. Opiniones sobre la unidad y el uno ¿Corresponde el numeral “uno” a una propiedad de los objetos?

§ 29. En las definiciones ofrecidas por Euclides al comienzo del Libro VII de los Elementos, parece pretender significar por la palabra “

” a veces un objeto a ser

contado, a veces una propiedad de tal objeto, y a veces el número uno. Podemos traducirla consistentemente por la palabra alemana “Einheit”, pero sólo porque tal palabra en sí se desplaza sobre la misma variedad de significados. De acuerdo con Schröder, 48 “Cada una de las cosas a ser contadas es llamada una unidad.” Bien podríamos preguntarnos por qué debemos primero llevar las cosas bajo el concepto de unidad en lugar de simplemente definir el número de inmediato como un conjunto de cosas, lo que nos llevaría de vuelta a la primera de las dos opiniones. La respuesta más obvia es que, al llamar unidades a las cosas, estamos supuestos a agregarnos a nuestra descripción de ellas; bajo la influencia de la forma gramatical, estamos considerando “uno” como una palabra para una propiedad y tomando “una ciudad” de la misma manera que “hombre sabio”. En ese caso una unidad sería un objeto caracterizado por la propiedad “uno” y guardaría con “uno” la misma relación que “un sabio” con el adjetivo “sabio”. Ahora, ya hemos dado razones conclusivas en contra de la opinión de que el número es una propiedad de las cosas, pero hay varios argumentos más en contra de la sugerencia presente en particular. De inmediato debe sorprendernos que cada cosa deba poseer esta propiedad. Sería incomprensible por qué aún debemos adscribirla expresamente a una cosa. Es sólo en virtud de que algo no es sabio que tiene sentido decir “Solón es sabio.” El contenido de un concepto disminuye a medida que aumenta su extensión; si su extensión llega a abarcar todo, su contenido debe desaparecer por completo. No es fácil imaginar cómo es que el lenguaje pudo haber inventado una palabra para una propiedad que no sería del menor uso añadir a la descripción del objeto que sea. Si fuese correcto considerar “un hombre” del mismo modo que “hombre sabio”, esperaríamos poder utilizar “uno” también como un predicado gramatical, y poder decir “Solón era uno” tanto como “Solón era sabio”. Es verdad que “Solón era uno” puede realmente ocurrir, pero no de una forma tal como para hacerlo inteligible en su propia forma aislada. Podría, por ejemplo, significar “Solón era un hombre sabio” si “hombre 48

Op. cit., p. 5.

40

sabio” puede ser suministrado desde el contexto. Aisladamente, sin embargo, parece que “uno” no puede ser un predicado. 49 Esto es todavía más claro si consideramos el plural. Mientras que podemos combinar “Solón era sabio” y “Tales era sabio” en “Solón y Tales fueron sabios”, no podemos decir “Solón y Tales fueron uno”. Pero es difícil ver por qué esto sería imposible si “uno” fuese una propiedad tanto de Solón como de Tales en el mismo sentido en que “sabio” lo es. § 30. En línea con esto está el hecho de que nadie ha sido nunca capaz de ofrecer una definición de la propiedad “uno”. Leibniz 50 dice, en efecto, que “Por uno quiere decirse cualquier cosa que comprendamos en un acto del entendimiento”, pero esto es definir “uno” en términos de sí mismo. Además, ciertamente también podemos comprender lo que es muchos en un acto del entendimiento. Leibniz admite tanto en el mismo pasaje. Baumann 51 no lo hace mejor cuando dice: “Es uno lo que aprehendemos como uno”, y además: “Cualquier cosa que tomemos como un punto, o rechacemos tomar como subdividido en partes, es lo que consideramos como uno; pero cada una de las intuiciones externas, ya sea empírica o pura, también puede considerarse como muchas. Cada idea es una cuando está aislada en contraste con otra, pero en sí misma puede distinguirse otra vez en muchas.” Esto barre todo límite a la aplicación del concepto impuesta por la naturaleza de los hechos, y todo se hace dependiente de nuestra manera de considerarlos. Pregunto una vez más: ¿cómo puede tener sentido adscribir la propiedad “uno” a cualquier objeto que sea cuando cada objeto, de acuerdo con cómo lo veamos, puede ser uno o no uno? ¿Cómo puede una ciencia que basa su pretensión de fama precisamente en ser tan definida y precisa como sea posible reposar sobre un concepto tan nebuloso como éste? § 31. Aunque Baumann 52 basa el concepto de uno sobre la intuición interna, en el pasaje citado se refiere, no obstante, a ciertos criterios para ser uno, a saber, ser indiviso y estar aislado. Si esto fuese correcto, entonces tendríamos que esperar que también los animales fueran capaces de tener algún tipo de idea de la unidad. ¿Puede ser que un perro mirando la Luna tenga una idea, por más mal definida que sea, de lo que significamos con la palabra “uno”? Esto es difícilmente creíble, y aún así ciertamente distingue objetos individuales: otro perro, su amo, una piedra con la que juega, se le 49

Hay usos que parecen contradecir esto, pero si miramos más de cerca encontraremos que tiene que suministrarse algún término general o que “uno” no está siendo utilizado como un numeral, que lo que se pretende afirmar es el carácter no de ser único, sino de ser unitario. 50 Baumann, op. cit., Vol. II, p. 2 (Ed. Erdmann, p. 8). 51 Op. cit., Vol. II, p. 669. 52 Op cit., Vol. II, p. 669.

41

aparecen como aislados, como autónomos, como indivisos, como son para nosotros. Sin duda, notará una diferencia entre estar acompañado por otros perros y estar acompañado por uno solo, pero esto es lo que Mill llama diferencia física. Necesitamos saber específicamente: ¿es el perro conciente, sin importar qué tan tenuemente, de aquel elemento común en las dos situaciones que nosotros expresamos con la palabra “uno” cuando, por ejemplo, es primero mordido por un perro más grande y después persigue un gato? Esto me parece poco probable. Infiero, por tanto, que la noción de unidad no es, como sostiene Locke, 53 “sugerida al entendimiento por cada objeto fuera de nosotros y cada idea dentro”, sino que la conocemos por el ejercicio de aquellas altas capacidades

intelectuales

que

distinguen

a

los

hombres

de

las

bestias.

Consecuentemente, tales propiedades de las cosas como ser indivisas o estar aisladas, que los animales perciben tan bien como nosotros, no pueden ser lo que es esencial en nuestro concepto. § 32. Con todo, podemos sospechar que tienen algún tipo de conexión con él. El lenguaje indica tanto al formar “unido” como un derivado de “uno”. Entre más se desvanecen en la insignificancia los contrastes internos dentro de una cosa en comparación con los contrastes entre ella y su entorno, y entre más eclipsan las conexiones internas entre sus elementos a sus conexiones con su entorno, más natural nos es considerarla como un objeto distinto. Pues que una cosa esté “unida” significa que tiene una propiedad que causa en nosotros, cuando la pensamos, el cortarla de su entorno y considerarla por su propia cuenta. Del mismo modo podemos explicar cómo el término francés “uni” viene a significar “liso” o “llano”. La palabra “unidad” también se emplea cuando hablamos de la unidad política de un país o de la unidad de una obra de arte. 54 Pero en este sentido “unidad” está conectada no tanto con “uno” sino con “unido” o “unitario”. Porque cuando decimos que la Tierra tiene una luna, no queremos señalar que nuestro satélite está aislado, o es autónomo o indiviso; más bien estamos contrastando el sistema satelital de la Tierra con el de Venus o Marte o Júpiter. En cuanto a estar aisladas o ser indivisas, las lunas de Júpiter podrían compararse con la nuestra, y en ese sentido son unitarias.

53

Baumann, op. cit., Vol.1, p. 409. Sobre la historia de la palabra “unidad”, véase Eucken, Geschichte der philosophischen Terminologie, pp. 122-23, 136, 220. 54

42

§ 33. Algunos autores van más lejos y reclaman algo no meramente indiviso sino indivisible. G. Köpp 55 llama a cualquier cosa pensada como autónoma e incapaz de ser diseccionada, ya sea que nos familiaricemos con ella por medio de los sentidos o de alguna otra forma, un individuo, y a los individuos a ser numerados los llama unos, evidentemente utilizando “uno” en el sentido de “unidad”. También Baumann, cuando argumenta a favor de su opinión de que las cosas externas no se nos presentan como unidades estrictas porque somos libres de tratarlas como muchas, ofrece como criterio de unidad estricta que debe ser incapaz de ser diseccionada. Obviamente, al reforzar su cohesión interna sin límite, esperan llegar a un criterio para su unidad que es independiente de cualquier manera arbitraria de considerar las cosas. Este intento colapsa porque entonces nos quedamos con prácticamente nada en condiciones de ser llamado una unidad y de ser numerado. El resultado es que inmediatamente comenzamos a volver sobre nuestros pasos al dar como criterio no que la cosa en sí sea incapaz de ser diseccionada en realidad, sino que pensemos sobre ella así. Esto nos lleva otra vez a nuestra manera de considerar las cosas, con todas sus fluctuaciones. ¿Y realmente tiene alguna ventaja pensar en las cosas como siendo lo que no son? Por el contrario, cualesquiera conclusiones sacadas de una suposición falsa son susceptibles de ser falsas; mientras que, si no hay conclusiones a ser sacadas de nuestra unidad siendo incapaz de ser diseccionada, ¿por qué molestarnos en asumir que lo es? Si no hace daño, y en realidad es necesario, tomar nuestras unidades estrictas no muy estrictamente, ¿cuál fue el punto de ser estricto? A menos, quizá, que todo lo que se quiso decir fue que no debemos pensar en las posibilidades de disección, ¡como si la ausencia de pensamiento nos llevara a algún lado! Además, hay casos en los que simplemente no podemos evitar pensar en ellas, donde una conclusión está en realidad basada en la manera en que una unidad está compuesta de partes, como por ejemplo en el problema: Si hay 24 horas en un día, ¿cuántas hay en tres días?

¿Son las unidades idénticas entre sí?

§ 34. Habiendo fallado todo intento por definir “uno” como una propiedad, debemos finalmente abandonar la opinión de que al designar una cosa como una unidad estamos agregándonos a nuestra descripción de ella. Volvemos una vez más a nuestra

55

Schularithmetik, pp. 5-6, Eisenach, 1867.

43

cuestión: ¿por qué llamamos unidades a las cosas si “unidad” es sólo otro nombre para cosa, si cualquier cosa es una unidad o puede ser considerada como una? E. Schröder56 da como razón que la palabra es utilizada para adscribir, a los elementos a ser numerados, la necesaria identidad. Pero, para empezar, no es fácil ver por qué las palabras “cosa” y “objeto” no podrían indicar esto igual de bien. Y además, es natural preguntar ¿por qué adscribimos identidad a objetos a ser numerados? ¿Y es sólo adscrita a ellos, o realmente son idénticos? En cualquier caso, nunca hay dos objetos completamente idénticos. Por otro lado, desde luego, prácticamente siempre podemos ingeniar algún aspecto en el que cualesquiera dos objetos concuerden. Y con eso regresamos a nuestro modo arbitrario de considerar las cosas, a menos que estemos dispuestos a adscribir a las cosas, independientemente de la verdad, una identidad que va más allá de la que realmente poseen. En realidad, muchos autores llaman idénticas a las unidades sin ninguna calificación. Hobbes 57 declara que: “El número en sentido absoluto en las matemáticas presupone unidades idénticas entre sí de las cuales se forma aquél.” Hume 58 sostiene que las partes componentes de la cantidad y del número son completamente similares. Thomae 59 llama a los miembros individuales de su conjunto una unidad, y en pocas palabras dice que las unidades son idénticas entre sí (aunque podríamos decir, con igual o incluso más justicia, que los miembros individuales de su conjunto deben ser distintos entre sí). Ahora bien, ¿qué tiene que ver esta presunta identidad con el número? Las propiedades que sirven para distinguir las cosas entre sí son, cuando estamos considerando su número, inmateriales y ajenas al punto. Es por eso que queremos mantenerlas fuera de él. Pero no conseguiremos esto siguiendo estas líneas. Porque supongamos que, como requiere Thomae, “nos abstraemos de las peculiaridades de los miembros individuales de un conjunto de elementos” o que “prescindimos, al considerar cosas separadas, de aquellas características que sirven para distinguirlas”. En ese caso no nos quedamos, como sostiene Lipschitz, con “el concepto del número de las cosas consideradas”; lo que obtenemos es más bien un concepto general bajo el cual caen las cosas en cuestión. Las propias cosas no pierden, en el proceso, ninguna de sus características especiales. Por ejemplo, si al considerar un gato blanco y un gato negro prescindo de las propiedades que sirven para distinguirlos, entonces presumiblemente obtengo el concepto “gato”. Incluso si paso a llevarlos a 56

Op. cit., p. 5. Baumann, op. cit., Vol. I, p. 242. 58 Baumann, op. cit., Vol. II, p. 568. 59 Op. cit., p. 1. 57

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ambos bajo este concepto y los llamo unidades, el blanco sigue siendo blanco y el negro negro. Podría no pensar en sus colores, o podría proponerme no hacer ninguna inferencia de su diferencia en este aspecto, pero a pesar de ello los gatos no se vuelven incoloros y siguen siendo precisamente tan distintos como antes. Sin duda el concepto “gato”, al que hemos llegado por abstracción, ya no incluye las características especiales de ninguno, pero es justo por esa razón que es sólo uno. § 35. No podemos conseguir hacer idénticas cosas distintas simplemente a fuerza de operaciones con conceptos. Pero incluso si pudiéramos, entonces ya no tendríamos cosas en plural, sino sólo una cosa; porque como dice Descartes, 60 el número (o mejor dicho, la pluralidad) en las cosas surge de su diversidad. Y como justamente observa E. Schröder: 61 “Que las cosas deban ser numeradas es una demanda razonable sólo cuando los objetos presentados aparezcan claramente distinguibles entre sí (por ejemplo, espacial y temporalmente separados) y aislados en contraste uno con el otro.” En efecto sucede a veces que una similitud muy grande, por ejemplo la de las barras de una reja, hace muy difícil la numeración. W. S. Jevons 62 recalca este punto con una fuerza inusitada: “Número no es sino otro nombre para diversidad. La identidad exacta es unidad, y con la diferencia surge la pluralidad.” Y de nuevo (p. 157): “A menudo se ha dicho que las unidades son unidades respecto de ser perfectamente similares entre sí; pero aunque puedan ser perfectamente similares en algunos aspectos, deben ser distintas en por lo menos un punto, porque de otra forma serían incapaces de pluralidad. Si tres monedas fuesen tan similares que ocuparan el mismo espacio al mismo tiempo, no serían tres monedas, sino una.” § 36. Sin embargo, la opinión de que las unidades deben ser distintas se enfrenta, tan pronto como se revela, con nuevas dificultades. Jevons define una unidad como “cualquier objeto del pensamiento que pueda ser discriminado de cualquier otro objeto tratado como una unidad en el mismo problema.” Pero esto es definir la unidad en términos de sí misma, y la cláusula de calificación “que pueda ser discriminado de cualquier otro objeto” no logra describirla de manera más precisa, porque no hace falta decir que los llamamos otros objetos simple y llanamente porque podemos

60

Baumann, op. cit., Vol. I, p. 103. Op. cit., p. 3. 62 The principles of science, 3era edición, p. 156. 61

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discriminarlos del primero mencionado. Sigue Jevons: 63 “Siempre que empleo el símbolo 5 en realidad quiero decir 1 + 1 + 1 + 1 + 1,

y se entiende perfectamente que cada una de estas unidades es distinta de cada otra. Si se requiere, podría marcarlas así 1'+1' '+1' ' '+1' ' ' '+1' ' ' ' ' .”

Ciertamente es un requisito marcarlas de manera distinta si son distintas; de otra forma, debe resultar la máxima confusión. Porque si una diferencia simplemente en la posición en la que aparece el 1 fuese hecha para significar una propia diferencia en la unidad, esta convención tendría que establecerse como regla sin excepción, o de otro modo nunca sabríamos si 1 + 1 debe tomarse para significar 2 o 1. De acuerdo con esto, tendríamos que abandonar la ecuación 1 = 1 y nunca podríamos marcar la misma cosa dos veces. Obviamente esto no serviría. Pero si adoptamos el plan alternativo de asignar distintos símbolos a distintas cosas, es difícil ver por qué todavía retenemos un elemento común en nuestros símbolos; ¿por qué no escribir, en lugar de 1'+1' '+1' ' '+1' ' ' '+1' ' ' ' ' ,

simplemente a+b+c+d +e?

Pero ahora la identidad de las unidades se ha perdido por completo, y no ayuda en absoluto señalar que son similares hasta cierto punto. Así, nuestro uno se desliza entre los dedos; nos quedamos con los objetos en toda su peculiaridad. Los símbolos 1' ,1' ' ,1' ' '

cuentan la historia de nuestra pena. Debemos tener identidad, y por tanto el 1; pero debemos tener diferencia, y por tanto los índices. Sólo que, desafortunadamente, los últimos deshacen el trabajo del primero. § 37. En otros autores nos encontramos con la misma dificultad. En Locke64 leemos: “Por la repetición…de la idea de una unidad, y al unirla a otra unidad, hacemos de ello una idea colectiva marcada con el nombre dos. Y quienquiera que pueda hacer esto y proceder así, añadiendo una más a la última idea colectiva que teníamos de cualquier número, y darle un nombre a ella, puede contar.” Leibniz 65 define al número

63

Op. cit., p. 162. Baumann, op. cit., Vol. I, pp. 410-11. 65 Baumann, op. cit., Vol. II, p. 3. 64

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como 1 y 1 y 1 o como unidades. Hesse 66 escribe: “Cualquiera que pueda formarse una idea de la unidad que en el álgebra es expresada por el símbolo 1,…puede pasar a concebir una segunda unidad tan buena como la primera, y después más unidades del mismo tipo. La unión de la segunda con la primera en un todo único produce al número 2.” En estos pasajes debe notarse la relación entre los significados de las palabras “unidad” y “uno”. Leibniz entiende por unitas un concepto bajo el cual caen este y aquel y el otro uno, o como también lo dice: “Abstractum ab uno est Unitas.” Locke y Hesse parecen utilizar unidad y uno para decir lo mismo. En realidad Leibniz, en último análisis, también lo hace, porque cuando llama unum a cada objeto individual que cae bajo su concepto de unitas, esta palabra está siendo utilizada para significar no al objeto individual sino al concepto bajo el cual todos caen. § 38. Sin embargo, para no confundir todavía más, es conveniente observar una estricta distinción entre unidad y uno. Cuando hablamos de “el número uno”, indicamos, por medio del artículo definido, un objeto definido y único de estudio científico. No hay diversos números uno, sino sólo uno. En 1 tenemos un nombre propio que como tal no admite un plural más de lo que [lo admite] “Federico el Grande” o “el elemento químico oro”. No es accidente, ni tampoco inexactitud nocional, que escribamos 1 sin índices para marcar diferencias. Jevons reescribiría la ecuación 3− 2 =1

de alguna manera como esta: (1'+1' '+1' ' ' ) − (1' '+1' ' ' ) = 1'.

Pero, ¿cuál sería el resultado de (1'+1' '+1' ' ' ) − (1' ' ' '+1' ' ' ' ' ) ?

Ciertamente no 1' . Se sigue, por lo tanto, que bajo su perspectiva no sólo habría distintos unos, sino también distintos doses, etc.; porque 1' ' ' '+1' ' ' ' ' no podría ser sustituido por 1' '+1' ' ' . Esto nos pone en posición de ver claramente que el número no es una aglomeración de cosas. La aritmética llegaría a un punto muerto si intentásemos introducir, en lugar del número uno, que es siempre el mismo, diferentes cosas distintas, sin importar qué tan similares sean sus símbolos; pero hacer los símbolos idénticos sería, desde luego, un error, y ciertamente no podemos suponer que el resorte principal de la aritmética sea un pedazo de notación defectuosa. Por consiguiente es imposible 66

Vier Species, p. 2.

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considerar 1 como un símbolo para diferentes objetos distintos, para Islandia, Aldebarán, Solón, y así sucesivamente. El absurdo puede mostrarse mejor al tomar el caso de una ecuación que tiene tres raíces, a saber, 2, 5, y 4. Supongamos ahora, con Jevons, que por 3 escribimos 1'+1' '+1' ' ' ,

y tomemos 1' y 1' ' y 1' ' ' como unidades, esto es, todavía siguiendo a Jevons, como los objetos actualmente bajo consideración. Se sigue que 1' significaría 2, 1' ' 5, y 1' ' ' 4. Entonces, ¿no sería más inteligible escribir, en lugar de 1'+1' '+1' ' ' , 2 + 5 + 4 ? Sólo palabras conceptuales pueden formar un plural. Entonces, si hablamos de “unidades”, debemos estar utilizando la palabra no como un equivalente del nombre propio “uno”, sino como una palabra conceptual. Si este término “unidad” significa “objeto a ser numerado”, entonces el número no puede ser definido como unidades. Pero si por “unidad” entendemos un concepto que incluye al número uno y nada más, un plural no tiene sentido, y se vuelve imposible, una vez más, definir el número, con Leibniz, como unidades o como 1 y 1 y 1, porque si “y” es utilizado como en “Bunsen y Kirchhof”, entonces 1 y 1 y 1 no es 3 sino 1, justo como oro y oro y oro nunca es nada más que oro. El símbolo más en 1+1+1 = 3

debe, por tanto, ser interpretado distintamente del “y” que utilizamos al simbolizar una colección o una “idea colectiva”. § 39. Nos enfrentamos, pues, con la siguiente dificultad: Si intentamos producir el número poniendo juntos diferentes objetos distintos, el resultado es una aglomeración en la que los objetos contenidos siguen poseyendo precisamente aquellas propiedades que sirven para distinguirlos entre sí, y eso no es el número. Pero si intentamos hacerlo del otro modo, poniendo juntos idénticos, el resultado acaba por ser siempre el uno, y nunca alcanzamos una pluralidad. Si utilizamos 1 para representar cada uno de los objetos a ser numerados, cometemos el error de asignar el mismo símbolo a distintas cosas. Pero si proveemos al 1 con índices diferenciados, se vuelve inservible para la aritmética. La palabra “unidad” se adapta admirablemente para encubrir esta dificultad, y esta es la razón real, aunque sin duda inconciente, por la que la preferimos sobre las palabras “objeto” y “cosa”. Comenzamos por llamar “unidades” a las cosas a ser numeradas, sin desmerecer su diversidad; después, subsecuentemente, el concepto de poner juntas (o de coleccionar, o de unir, o de anexar, o lo que sea que decidamos 48

llamarlo) se transforma en el de adición aritmética, mientras que la palabra conceptual “unidad” se transforma imperceptiblemente en el nombre propio “uno”. Y ahí tenemos nuestra identidad. Si anexo a la letra a primero una n y después una d, cualquier puede fácilmente ver que eso no es el número 3. Si, empero, llevo las letras a, n, y d bajo el concepto “unidad” y en lugar de “a y n y d” digo “una unidad y una unidad y una unidad más” o “1 y 1 y 1”, estaremos listos para creer que esto nos da el número 3. La dificultad está tan bien encubierta bajo la palabra “unidad” que aquellos que tienen alguna sospecha sobre su existencia deben seguramente ser una minoría. Aquí, en efecto, se encuentra una ingeniosa manipulación del lenguaje propia de la censura de Mill, porque esto no es una manifestación externa de un proceso interno del pensamiento, sino la ilusión de una. Aquí tenemos la impresión de que las palabras desprovistas de pensamiento deben poseer algún poder misterioso si lo que es distinto podrá hacerse idéntico simplemente por llamarse unidad.

Intentos de superar la dificultad

§ 40. A continuación consideraremos algunas opiniones detalladas que representan intentos de superar esta dificultad, aunque no siempre han sido producidos clara y concientemente para este fin. La primera sugerencia es pedir ayuda de una cierta propiedad del espacio y del tiempo. Un punto del espacio, considerado por sí mismo, es absolutamente indistinguible de otro, y también lo es una línea recta, o un plano, o uno de un número de cuerpos congruentes o de áreas o de segmentos lineales: son distinguibles solamente cuando son unidos como elementos en una única intuición total. Aquí, pues, parecemos tener identidad combinada con distinguibilidad. Con las partes del tiempo aplica lo mismo. Esto es, presumiblemente, por lo que Hobbes 67 sostiene que es difícilmente concebible que la identidad de unidades resulte de otra cosa sino de la división del continuo. Como apunta Thomae: 68 “Si consideramos un conjunto de individuos o de unidades en el espacio y los numeramos uno después de otro, para lo cual es necesario el tiempo, entonces, tan abstracto como queramos, siempre quedan como marcas discriminantes de las unidades sus distintas posiciones en el espacio y el orden de sucesión en el tiempo.” 67 68

Baumann, op. cit., Vol. I, p. 242. Op. cit., p. 1.

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La primea duda que nos llama la atención de cualquier posición similar es que entonces nada sería numerable excepto lo espacial y temporal. Ya hace tiempo que Leibniz 69 refutó la perspectiva de los escolásticos de que el número resulta de la mera división del continuo y de que no puede aplicarse a cosas inmateriales. Baumann 70 disocia enfáticamente el número del tiempo: clama que el concepto de unidad es pensable incluso aparte del tiempo. Jevons 71 escribe: “Tres monedas son tres monedas, ya sea que las contemos sucesivamente o las consideremos simultáneamente. En muchos casos ni el tiempo ni el espacio es la base de diferencia, sino que sólo entra la pura cualidad. Podemos discriminar, por ejemplo, el peso, la inercia, y la dureza del oro como tres cualidades, aunque ninguna de éstas está antes que otra ni en el espacio ni en el tiempo. Cualquier medio de discriminación puede ser una fuente de pluralidad.” Yo añadiría que, si los objetos numerados no se siguen uno después de otro, sino que sólo son numerados uno después de otro, entonces el tiempo no puede ser la base de discriminación entre ellos. Esto porque, si somos capaces de numerar uno después de otro, ya debemos estar en posesión de distinguir marcas. El tiempo es sólo una necesidad psicológica para la numeración; no tiene nada que ver con el concepto del número. Sí representamos objetos que son no-espaciales y no-temporales con puntos espaciales o temporales, y esto quizá pueda ser ventajoso al llevar a cabo el procedimiento de numeración; pero esto presupone, fundamentalmente, que el concepto de número es aplicable a lo no-espacial y a lo no-temporal. § 41. Pero además, suponiendo que prescindimos de todos los signos distintivos excepto los del espacio y tiempo, ¿habremos logrado combinar la distinguibilidad con la identidad? En absoluto. No estamos más cerca de una solución. Si los objetos son mucho más o mucho menos similares no viene al caso si al final hay que seguir manteniéndolos separados. No puedo simbolizar los puntos individuales, o las líneas o cualquier cosa, todos con 1 por igual más de lo que, para propósitos geométricos, puedo llamar a uno y a todos A; en un caso y en otro es esencial distinguir entre ellos. Es sólo considerándolos en sí mismos, y desatendiendo sus relaciones espaciales, que los puntos del espacio son idénticos entre sí; si he de pensarlos juntos, entonces estoy obligado a considerarlos en su colocación en el espacio, o bien se fusionan irremediablemente en uno. Ahora, los puntos tomados juntos como un grupo quizá caen en algún patrón u otra

69

Bauman,, op. cit., Vol. II, p. 2. Op. cit., Vol. II, p. 668. 71 Op. cit., p. 157. 70

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cosa como una constelación o pueden igualmente arreglarse de alguna u otra manera en una línea recta, y un grupo de segmentos idénticos quizá puede encontrarse con sus puntos finales adyacentes como para combinarse en un solo segmento o quizá a una distancia uno de otro. Los patrones así producidos pueden ser completamente distintos mientras que el número de sus elementos sigue siendo el mismo. Así que, una vez más, tendríamos distintos cincos, seises, etc., diferentes. Los puntos del tiempo, por otra parte, están separados por intervalos de tiempo, largos o cortos, iguales o desiguales. Todas éstas son relaciones que no tienen nada que ver con el número como tal. Impregnarlas a todas es una mezcla de algún elemento especial que el número en su forma general deja muy atrás. Incluso un momento singular tiene algo sui generis que sirve para distinguirlo de, digamos, un punto del espacio, y de lo cual no hay rastro en el concepto de número. § 42. Otra manera de salir es invocando, en lugar de un orden espacial o temporal, un más generalizado concepto de serie, pero esto también falla en su objetivo. Esto porque sus posiciones en la serie no pueden ser la base sobre la cual distinguimos los objetos, porque ya deben haber sido distinguidos de una u otra forma para poderlos haber arreglado en la serie. Cualquier arreglo así siempre presupone relaciones entre los objetos, ya sea espaciales o temporales o lógicas, o relaciones de tono o lo que sea, que sirven para llevarnos de un objeto al siguiente y que están necesariamente ligadas a la distinción entre ellos. Cuando Hankel 72 habla de nuestro pensar o poner una cosa una o dos o tres veces, parece intentar combinar, en las cosas a ser numeradas, la distinguibilidad con la identidad. Pero también es obvio en seguida que no tiene éxito, porque sus ideas o intuiciones del mismo objeto, si no han de aglutinarse en una sola, deben ser distintas de una u otra forma. Podemos hablar, imagino, de 45 millones de alemanes sin tener primero que haber pensado o puesto a un alemán promedio 45 millones de veces, lo que sería un tanto tedioso. § 43. Es probablemente para evitar las dificultades a las que llega Jevons al hacer que cada símbolo 1 signifique uno de los objetos numerados que E. Schröder sólo le permite copiar al objeto. La consecuencia es que ofrece una definición no de número sino de numerales. En sus palabras: 73 “Para llegar a un símbolo capaz de expresar

72 73

Op. cit., p. 1. Op. cit., pp. 5 y ss.

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cuántas de tales unidades 74 están presentes, dirigimos nuestra atención a cada una de ellas una vez, y la copiamos con un trazo (un uno), así, 1; estos unos los ponemos en una fila uno por uno ligándolos entre sí con el símbolo + (más), porque de otro modo 111, por ejemplo, se leería, siguiendo la notación numérica habitual, como ciento once. De esta forma obtenemos un símbolo como 1 + 1 + 1 + 1 + 1,

cuya composición podemos describir diciendo: ‘Un número natural es una suma de unos’.” Este pasaje muestra que para Schröder el número es un símbolo. Lo que el símbolo expresa, que es lo que aquí hemos venido llamando número, se toma, junto con las palabras “cuántas de tales unidades están presentes”, como ya conocido. Incluso por la palabra “uno” entiende el símbolo 1, no su significado. El símbolo + es introducido únicamente para servir como una marca visible, sin contenido propio, para ligar los otros símbolos; solamente después define la adición. Pudo haber descrito lo que quiere decir más brevemente diciendo que escribimos uno al lado del otro tantos símbolos 1 como tengamos objetos a ser numerados, y que los ligamos con el símbolo +. El cero se expresaría no escribiendo nada. § 44. Para no tener que recoger en el número las marcas distintivas de las cosas numeradas, Jevons 75 invoca la abstracción: “Ahora habrá poca dificultad en formar una clara noción de la naturaleza de la abstracción numérica. Consiste en abstraer el carácter de la diferencia desde la cual surge la pluralidad, reteniendo simplemente el hecho. Cuando hablo de tres hombres no necesito a la vez especificar las marcas por las cuales cada uno puede ser conocido. Tales marcas deben existir si son realmente tres hombres y no uno y el mismo, y al hablar de ellos como muchos implico la existencia de las diferencias requeridas. El número abstracto, entonces, es la forma vacía de la diferencia.” ¿Cómo debemos interpretar esto? O bien podemos abstraer de las propiedades distintivas de las cosas antes de unirlas en un todo, o bien podemos primero formar un todo y después abstraer las propiedades distintivas. Con el primer método nunca llegaremos tan lejos como para distinguir las cosas en absoluto, y consecuentemente tampoco podríamos retener el hecho de las diferencias; el segundo método parece ser el propósito de Jevons. Pero con él, me parece, nunca llegaremos a un número como 74 75

Objetos a ser numerados. Op. cit., p. 158.

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10,000 , porque está más allá de nuestras facultades el captar tantas diferencias a la vez

y retener el hecho de su existencia, mientras que ir a través de ellas una después de la otra no es suficiente, porque el número nunca estaría completo. Numeramos en el tiempo, desde luego, pero eso no nos da al propio número, sino que sólo nos dice el número de lo que sea que estemos numerando. Además, decirnos cómo abstraer no es, en ningún caso, darnos una definición. ¿Qué debemos entender por “la forma vacía de la diferencia”? ¿Quizá alguna proposición como “a es distinto de b”, donde a y b se dejan indefinidos? ¿Puede esta proposición ser, digamos, el número 2? ¿Pero la proposición “La Tierra tiene dos polos” significa lo mismo que “El Polo Norte es distinto del Polo Sur”? Obviamente no. La segunda proposición podría ser verdadera sin que la primera lo sea, y viceversa. Y para el número 1,000 tendríamos entonces tantas como 1000 × 999 1× 2

proposiciones, cada una estableciendo una diferencia. En particular, con los números 0 y 1 lo que dice Jevons simplemente no funciona. ¿Qué es de lo que, en realidad, habremos de abstraer para pasar, por ejemplo, de la Luna al número 1? Por abstracción ciertamente obtenemos determinados conceptos, a saber, satélite de la Tierra, satélite de un planeta, cuerpo celeste sin luz propia, cuerpo celeste, cuerpo, objeto. Pero en esta serie no damos con 1, porque no es un concepto bajo el cual pueda caer la Luna. En el caso de 0 simplemente no tenemos objeto alguno desde el cual comenzar nuestro proceso de abstracción. No vale objetar que 0 y 1 no son números en el mismo sentido que 2 y 3. ¿Qué responde a la pregunta “cuántos”? Es el número, y si preguntamos, por ejemplo, “¿Cuántas lunas tiene este planeta?”, estamos tan preparados para la respuesta 0 o 1 como para 2 o 3, y eso sin haber entendido la pregunta distintamente. No cabe duda de que hay algo único con 0, y también con 1; pero lo mismo es cierto, en principio, para cada número entero, sólo que a mayor el número menos obvio es. Hacer de esto una diferencia de tipo es totalmente arbitrario. Lo que no funciona con 0 y 1 no puede ser esencial al concepto de número.

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Finalmente, tomando al número surgiendo de esta manera no eliminamos la dificultad con la que nos tropezamos cuando consideramos la simbolización de 5 con 1'+1' '+1' ' '+1' ' ' '+1' ' ' ' ' .

Esta notación concuerda bien con lo que dice Jevons sobre la formación del número por abstracción; los trazos sobre la línea indican que existe una diferencia, pero sin especificar de qué tipo. Pero la mera existencia de la diferencia ya es suficiente, como vimos, para producir en opinión de Jevons distintos unos y doses y treses diferentes, lo que es completamente incompatible con la existencia de la aritmética.

Solución de la dificultad

§ 45. Ahora es tiempo de inspeccionar lo establecido hasta aquí y las preguntas que aún siguen sin respuesta. El número no es abstraído de las cosas del modo en que el color, el peso, y la dureza lo son, ni es una propiedad de las cosas en el sentido en que éstos lo son. Pero cuando hacemos una declaración del número, ¿qué es eso de lo que afirmamos algo? Esta pregunta quedó sin respuesta. El número no es algo físico, pero tampoco es algo subjetivo (una idea). El número no resulta del anexar cosa con cosa. No hay diferencia incluso si asignamos un nombre nuevo después de cada acto de anexión. Los términos “multitud”, “conjunto”, y “pluralidad” son inadecuados, debido a su vaguedad, para utilizarlos al definir el número. Al considerar los términos uno y unidad, dejamos sin respuesta la pregunta: ¿cómo vamos a frenar la arbitrariedad de nuestros modos de considerar las cosas, que amenaza con destruir toda distinción entre uno y muchos? El ser autónomo, el ser indiviso, el ser incapaz de disección; nada de esto puede servir como criterio para lo que expresamos con la palabra “uno”. Si llamamos unidades a las cosas a ser contadas, entonces la afirmación de que las unidades son idénticas es, si se hace sin reservas, falsa. Que sean idénticas en este aspecto o en aquel es muy cierto pero de ningún interés. En realidad, es necesario que las cosas a ser contadas sean distintas si el número ha de ser mayor que 1. Nos vimos así forzados, al parecer, a adscribir dos cualidades contradictorias a las unidades, a saber, la identidad y la distinguibilidad.

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Debe trazarse una distinción entre uno y unidad. La palabra “uno”, como nombre propio de un objeto de estudio matemático, no admite el plural. Consecuentemente, no tiene sentido hacer que los números resulten de poner juntos unos. El símbolo “más” en 1 + 1 = 2 no puede significar tal poner juntos. § 46. Debe arrojar algo de luz sobre el asunto el considerar al número en el contexto de un juicio que saca a relucir su uso básico. Al ver a uno y al mismo fenómeno externo, puedo decir con igual verdad “esto es un bosquecillo” y “esto son cinco árboles”, o bien “aquí hay cuatro compañías” y “aquí hay 500 hombres”. Ahora, lo que aquí cambia de un juicio a otro no es ningún objeto individual, ni el todo, ni su aglomeración, sino mi terminología. Pero eso es sólo señal de que un concepto ha sido sustituido por otro. Esto sugiere, como la respuesta a la primera de las preguntas dejadas abiertas en nuestro último párrafo, que el contenido de una declaración de número es una afirmación sobre un concepto. Esto es quizá más claro con el número 0. Si digo “Venus tiene 0 lunas”, ahí simplemente no existe ninguna luna o aglomeración de lunas de la que pudiera afirmarse algo, sino lo que sucede es que una propiedad es asignada al concepto “luna de Venus”, a saber, la de incluir nada bajo él. Si digo “el carruaje del Rey es tirado por cuatro caballos”, entonces asigno el número cuatro al concepto “caballo que tira del carruaje del Rey”. Podría objetarse que un concepto como “habitante de Alemania” entonces poseería, a pesar de no haber cambio en sus características definitorias, una propiedad que variaría año con año, si las declaraciones del número de habitantes realmente afirmaran una propiedad de él. En respuesta a esto, es suficiente con señalar que los objetos también pueden cambiar sus propiedades sin que esto nos impida reconocerlos como lo mismo. Sin embargo, en este caso podemos dar una explicación más precisa. El hecho es que el concepto “habitante de Alemania” contiene una referencia de tiempo como un elemento variable en él, o dicho matemáticamente, es una función del tiempo. En lugar de “a es un habitante de Alemania” podemos decir “a habita en Alemania”, y esto se refiere a la fecha actual en el tiempo. Así, en el mismo concepto ya hay algo fluido. Por otro lado, el número perteneciente al concepto “habitante de Alemania en el año nuevo de 1883, tiempo de Berlín” es el mismo para toda la eternidad. § 47. Que una declaración del número deba expresar algo fáctico independiente de nuestro modo de considerar las cosas sólo puede sorprender a aquellos que piensan que un concepto es algo subjetivo, como una idea. Pero esta perspectiva es equivocada. Si, por ejemplo, llevamos el concepto de cuerpo bajo el de lo que tiene peso, o el 55

concepto de ballena bajo el de mamífero, estamos afirmando algo objetivo; pero si los propios conceptos fuesen subjetivos, entonces la subordinación de uno a otro, siendo una relación entre ellos, también sería subjetiva justo como lo es una relación entre ideas. Es verdad que a primera vista la proposición “Todas las ballenas son mamíferas” parece no tratarse de conceptos sino de animales; pero si preguntamos de qué animal estamos hablando, somos incapaces de señalar a alguno en particular. Incluso suponiendo que una ballena está ante nosotros, nuestra proposición no declara nada sobre ella. De ella no podemos inferir que el animal ante nosotros es un mamífero sin la permisa adicional de que es una ballena, a lo cual nuestra proposición no dice nada. Como principio general, es imposible hablar de un objeto sin designarlo o nombrarlo de alguna manera, pero la palabra “ballena” no es el nombre de ninguna criatura individual. Si se replica que de lo que estamos hablando no es, en realidad, de un objeto definido individual, sino de un objeto indefinido, sospecho que “objeto indefinido” es únicamente otro término para concepto, y uno pobre en que es autocontradictorio. Por muy cierto que pueda ser que nuestra proposición sólo puede verificarse al observar animales particulares, eso no prueba nada en cuanto a su contenido; para decidir de qué se trata no necesitamos saber si es verdadera o no, ni por qué razones creemos que es verdadera. Entonces, si un concepto es algo objetivo, una afirmación sobre un concepto puede tener, por su parte, un contenido fáctico. § 48. Varios ejemplos ofrecidos antes dieron la falsa impresión de que distintos números pueden pertenecer a la misma cosa. Esto se explica por el hecho de que estábamos tomando objetos para ser lo que tiene número. Tan pronto como restauramos la posesión al legítimo propietario, el concepto, los números se revelan como no menos mutuamente excluyentes en su propia esfera que los colores en la suya. También ahora vemos porqué hay una tentación por sugerir que obtenemos el número por abstracción desde las cosas. Lo que realmente obtenemos por tales medios es el concepto, y en éste descubrimos el número. Así, la abstracción a menudo precede genuinamente a la formación de un juicio del número. Sería una confusión análoga sostener que el modo de adquirir el concepto de riesgo de incendio es construyendo una casa de madera con hastial enmaderado, techo de paja, y chimeneas con fugas. El concepto tiene un poder de colección muy superior al poder unificador de la apercepción sintética. Por medio de la última no sería posible unir a los habitantes de

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Alemania en un todo; pero ciertamente podemos llevarlos a todos bajo el concepto de “habitante de Alemania” y numerarlos. Ahora también se hace explicable el amplio rango de aplicabilidad del número. No sin razón encontramos desconcertante que podamos afirmar el mismo predicado de fenómenos físicos y mentales por igual, de lo espacial y temporal y de lo no-espacial y lo no-temporal. Pero entonces, esto simplemente no es lo que ocurre con declaraciones del número más que en otros lugares; los números sólo son asignados a los conceptos, bajo los cuales caen por igual lo físico y lo mental, lo espacial y temporal y lo noespacial y no-temporal. § 49. Una corroboración de nuestra opinión se encuentra en Spinoza 76 cuando escribe: “Respondo que una cosa es llamada una o única simplemente con respecto a su existencia, y no con respecto a su esencia; porque sólo pensamos en cosas en términos de número después de haberlas reducido primero a un género común. Por ejemplo, un hombre que tenga en su mano un sestercio y un imperial no pensará en el número dos a menos que pueda cubrir su sestercio y su imperial con uno y el mismo nombre, a saber, pieza de plata, o moneda; después puede afirmar que tiene dos piezas de plata, o dos monedas, ya que por el nombre pieza de plata o moneda designa no sólo al sestercio sino también al imperial.” Desafortunadamente, continúa: “De esto es claro, por tanto, que ninguna cosa es llamada una o única excepto cuando primero ha sido concebida otra cosa que, como se ha dicho, la empareja”, y sostiene además que no podemos llamar propiamente a Dios uno o único porque sería imposible formarnos un concepto abstracto de su esencia. Aquí comete el error de suponer que un concepto sólo puede adquirirse por abstracción directa desde un número de objetos. Podemos, por el contrario, llegar igualmente bien a un concepto comenzando desde características definitorias, y en tal caso es posible que nada caiga bajo él. Si esto no sucediera, nunca podríamos negar la existencia, y de esta forma la afirmación de existencia perdería todo su contenido. § 50. E. Schröder 77 llama la atención al hecho de que, si habremos de poder hablar de la frecuencia de una cosa, el nombre de la cosa en cuestión siempre debe ser un nombre genérico, una palabra conceptual general o notio communis: “Tan pronto como nos representamos un objeto por completo - con todas sus propiedades y en todas sus relaciones -, se presentará como único en el Universo, y ya no habrá nada para 76 77

Baumann, op. cit., Vol. I, p. 169. Op. cit., p. 6.

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emparejarlo. El nombre del objeto toma inmediatamente el carácter de un nombre propio (nomen proprium), y el propio objeto no puede pensarse como uno que se encuentra más de una vez. Pero observemos que esto es válido no sólo para objetos concretos, sino generalmente para cualquier cosa, incluso cuando su idea surge por abstracciones, con la única condición de que esta idea contenga en ella suficientes elementos para constituir la cosa en cuestión en una cosa completamente determinada…”. Para que una cosa sea numerada “primero se hace posible en tanto que, para ese propósito, prescindamos o abstraigamos de algunas de sus características y relaciones peculiares, que la distinguen de todas las demás cosas; esto tiene el efecto de convertir lo que era el nombre de la cosa en un concepto aplicable a más de una cosa.” § 51. Lo que hay de cierto en esta exposición está envuelto en un lenguaje tan torcido y engañoso que nos vemos obligados a enderezarlo y a separar el trigo de la paja. Para empezar, es inadecuado llamar a una palabra conceptual general el nombre de una cosa. Eso conduce directamente a la ilusión de que el número es una propiedad de una cosa. La tarea de una palabra conceptual general es precisamente significar un concepto. Sólo cuando está unida con el artículo definido o con un pronombre demostrativo puede contarse como el nombre propio de una cosa, pero en ese caso deja de contar como una palabra conceptual. El nombre de una cosa es un nombre propio. Un objeto, por otra parte, no se encuentra más de una vez, sino más bien sucede que más de un objeto cae bajo el mismo concepto. Que un concepto no necesite adquirirse por abstracción de las cosas que caen bajo él ya fue señalado al criticar a Spinoza. Aquí añadiré que un concepto no deja de serlo simplemente porque sólo una única cosa caiga bajo él, la cual está, en consecuencia, completamente determinada por él. Es precisamente a conceptos de este tipo (por ejemplo, satélite de la Tierra) a los que pertenece el número 1, que es un número en el mismo sentido que 2 y 3. Con un concepto la cuestión es siempre si algo, y si es así qué, cae bajo él. Con un nombre propio tales cuestiones no tienen sentido. No debemos engañarnos por el hecho de que el lenguaje hace uso de nombres propios, por ejemplo Luna, como palabras conceptuales, y viceversa; esto no afecta la distinción entre los dos. Tan pronto como una palabra es utilizada con el artículo indefinido o en el plural sin ningún artículo, es una palabra conceptual. § 52. Una confirmación adicional de la opinión de que el número es asignado a conceptos se encuentra en el idioma; en alemán hablamos de “tres barril”, “diez

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hombre”, “cuatro marco”, etc. 78 El uso del singular puede indicar que la intención es el concepto, no la cosa. La ventaja de este modo de hablar es particularmente notable en el caso del número 0. En otros lugares, debe admitirse, nuestro lenguaje ordinario asigna el número no a conceptos, sino a objetos: hablamos de “el número de balas” tanto como de “el peso de las balas”. Así, según las apariencias, estamos hablando de objetos, mientras que en realidad estamos pretendiendo afirmar algo de un concepto. Este uso es confuso. La construcción en “cuatro caballos pura sangre” fomenta la ilusión de que “cuatro” modifica el concepto “caballo pura sangre” justo igual que “pura sangre” modifica el concepto “caballo”. Pero en realidad solamente “pura sangre” es una característica utilizada de esta forma; la palabra “cuatro” es utilizada para afirmar algo de un concepto. § 53. Por propiedades que se afirman de un concepto naturalmente no me refiero a las características que componen el concepto. Estas últimas son propiedades de las cosas que caen bajo el concepto, no del concepto. Así, “rectangular” no es una propiedad del concepto “triángulo rectángulo”; pero la proposición de que no existe ningún triángulo rectángulo equilátero rectilíneo sí establece una propiedad del concepto “triángulo rectángulo equilátero rectilíneo”; le asigna el número cero. En este aspecto, la existencia es análoga al número. La afirmación de existencia no es en realidad otra cosa que la negación del número cero. Ya que la existencia es una propiedad de los conceptos, el argumento ontológico para la existencia de Dios se cae. Pero la unicidad no es una característica componente del concepto “Dios” más de lo que lo es su existencia. La unicidad no puede ser utilizada en la definición de este concepto más de lo que la solidez de una casa, o su comodidad o habitabilidad, pueden utilizarse en su construcción junto con las vigas, los ladrillos, y la argamasa. Sin embargo, sería incorrecto concluir que en principio es imposible deducir desde un concepto, esto es, desde sus características componentes, cualquier cosa que sea una propiedad del concepto. Bajo ciertas condiciones esto es posible, justo como ocasionalmente podemos inferir la durabilidad de una construcción desde el tipo de piedra utilizada en construirla. Sería, pues, ir muy lejos afirmar que nunca podemos inferir desde las características componentes de un concepto la unicidad o la existencia; lo que es verdad es que esto no puede ser tan directo como lo es asignar algún componente de un concepto como una propiedad a un objeto que cae bajo él.

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Es decir, de “drei Fass”, “zehn Mann”, y “vier Mark”, respectivamente. Nota del Traductor.

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También sería incorrecto negar que la existencia y la unicidad puedan ser características componentes de un concepto. Lo que es verdad es sólo que no son componentes de aquellos conceptos particulares a los cuales el lenguaje podría tentarnos a adscribirlas. Si, por ejemplo, coleccionamos bajo un único concepto todos los conceptos bajo los cuales cae sólo un objeto, entonces la unicidad es una característica componente de este nuevo concepto. Bajo él caería, por ejemplo, el concepto “luna de la Tierra”, aunque no el cuerpo celeste real llamado por este nombre. De este modo podemos hacer que un concepto caiga bajo otro más alto o, por así decirlo, concepto de segundo orden. Esta relación, empero, no debe confundirse con la subordinación de la especie al género. § 54. Ahora es posible ofrecer una definición satisfactoria del término “unidad”. E. Schröder escribe, en la página 7 de su libro de texto ya citado: “Este nombre genérico o concepto será llamado la denominación del número formado por el método ofrecido, y constituye, en efecto, lo que se entiende por su unidad.” ¿Por qué no, de hecho, adoptar esta sugerencia muy acertada y llamar a un concepto la unidad relativa al número que pertenece a él? Entonces podemos conseguir un sentido para las afirmaciones hechas sobre la unidad, que está aislada de su ambiente y que es indivisible. Porque es el caso que el concepto, al cual el número es asignado, en general aísla, de una manera definida, lo que cae bajo él. El concepto “letras en la palabra tres” aísla la t de la r, la r de la e, y así sucesivamente. El concepto “sílabas en la palabra tres” toma la palabra como un todo, y como indivisible en el sentido de que ninguna parte de ella cae bajo el mismo concepto. No todos los conceptos poseen esta cualidad. Podemos, por ejemplo, dividir algo cayendo bajo el concepto “rojo” en partes de distintas maneras, sin que las partes dejen de caer bajo el mismo concepto “rojo”. A un concepto de este tipo no pertenecerá ningún número finito. La proposición que afirma que las unidades están aisladas y son indivisibles puede, en consecuencia, formularse como sigue: Solamente un concepto que aísla lo que cae bajo él de una manera definida, y que no permite ninguna división arbitraria de ello en partes, puede ser una unidad relativa a un número finito. Se observará, no obstante, que aquí “indivisibilidad” tiene un significado especial. Ahora podemos resolver fácilmente el problema de reconciliar la identidad de unidades con su distinguibilidad. Aquí, la palabra “unidad” está siendo empleada en un 60

doble sentido. Las unidades son idénticas si la palabra tiene el significado recién explicado. En la proposición “Júpiter tiene cuatro lunas”, la unidad es “luna de Júpiter”. Bajo este concepto cae la luna I, y también la luna II, y la luna III, y finalmente la luna IV. Así, podemos decir: la unidad con la cual se relaciona I es idéntica a la unidad con la cual se relaciona II, y así sucesivamente. Esto nos da nuestra identidad. Pero cuando afirmamos la distinguibilidad de unidades, nos referimos a que las cosas numeradas son distinguibles.

IV. El concepto de número Cada número individual es un objeto autosubsistente

§ 55. Ahora que hemos aprendido que el contenido de una declaración de número es una afirmación sobre un concepto, podemos intentar completar las definiciones leibnizianas de los números individuales ofreciendo las definiciones de 0 y de 1. Es tentador definir al 0 diciendo que el número 0 pertenece a un concepto si ningún objeto cae bajo él. Pero esto parece equivaler a remplazar 0 por “ningún”, que significa lo mismo. Por tanto es preferible la siguiente formulación: el número 0 pertenece a un concepto si la proposición de que a no cae bajo tal concepto es verdadera universalmente, sea lo que sea a. Similarmente podríamos decir: el número 1 pertenece a un concepto F si la proposición de que a no cae bajo F no es verdadera universalmente, sea lo que sea a, y si de las proposiciones “a cae bajo F” y “b cae bajo F” se sigue universalmente que a y b son lo mismo. Queda por ofrecer una definición general del paso que se da desde cualquier número dado al siguiente. Intentemos la siguiente formulación: el número (n + 1) pertenece a un concepto F si hay un objeto a cayendo bajo F y tal que el número n pertenece al concepto “cayendo bajo F, pero no a”. § 56. Estas definiciones surgen tan espontáneamente a la luz de nuestros resultados previos que debemos ir a las razones por las que no pueden considerarse satisfactorias. La que probablemente cause mayores recelos es la última, porque estrictamente hablando no conocemos el sentido de la expresión “el número n pertenece al concepto 61

G” más de lo que conocemos el de la expresión “el número (n + 1) pertenece al concepto F”. Podemos, desde luego, utilizando las dos últimas definiciones juntas, decir qué se quiere decir con “el número 1 + 1 pertenece al concepto F” y después, utilizando esto, dar el sentido de la expresión “el número 1 + 1 + 1 pertenece al concepto F”, y así sucesivamente; pero nunca podemos decidir – tomando un ejemplo crudo – por medio de nuestras definiciones si algún concepto tiene al número Julio César perteneciendo a él, o si el mismo conquistador de Galia es un número o no. Más aún, con la ayuda de nuestras definiciones sugeridas no podemos probar que, si el número a pertenece al concepto F y el número b pertenece al mismo concepto, entonces necesariamente a = b . Así, seríamos incapaces de justificar la expresión “el número que pertenece al concepto F”, y por lo tanto nos sería imposible, en general, probar una identidad numérica, porque seríamos absolutamente incapaces de alcanzar un número determinado. Es sólo una ilusión que hemos definido 0 y 1; en realidad únicamente hemos fijado el sentido de las frases “el número 0 pertenece a”, “el número 1 pertenece a”; pero no tenemos autoridad para elegir el 0 y el 1 como objetos autosubsistentes que puedan reconocerse como los mismos de nuevo. § 57. Es tiempo de obtener una visión más clara de lo que queremos decir con nuestra expresión “el concepto de una declaración de número es una afirmación sobre un concepto”. En la proposición “el número 0 pertenece al concepto F”, 0 es sólo un elemento en el predicado (tomando el concepto F como el sujeto real). Por esta razón he evitado llamar a un número como 0 o 1 o 2 una propiedad de un concepto. Precisamente porque forma solamente un elemento en lo que se afirma, el número individual se manifiesta como lo que es, un objeto autosubsistente. Ya he llamado la atención sobre el hecho de que hablamos de “el número 1”, donde el artículo definido sirve para clasificarlo como un objeto. En la aritmética esta autosubsistencia sale a cada paso, como por ejemplo en la identidad 1 + 1 =2 . Ahora, nuestra preocupación aquí es llegar a un concepto de número utilizable para los propósitos de la ciencia; no debemos, por tanto, disuadirnos por el hecho de que en el lenguaje de la vida diaria el número aparece también en construcciones atributivas. Eso siempre puede evitarse. Por ejemplo, la proposición “Júpiter tiene cuatro lunas” puede convertirse en “el número de las lunas de 62

Júpiter es cuatro”. Aquí la palabra “es” no debe tomarse como una mera cópula, como en la proposición “el cielo es azul”. Esto lo muestra el hecho de que podemos decir: “el número de las lunas de Júpiter es el número cuatro, o 4”. Aquí “es” tiene el sentido de “es idéntico a” o “es lo mismo que”. Así que lo que tenemos es una identidad indicando que la expresión “el número de las lunas de Júpiter” significa el mismo objeto que la palabra “cuatro”. Y las identidades son, de todas las formas de proposición, las más típicas de la aritmética. No es una objeción a esta consideración que la palabra “cuatro” no contenga nada sobre Júpiter o lunas. En el nombre “Colón” tampoco hay nada sobre descubrimiento o sobre América, y a pesar de eso es el mismo hombre al que llamamos Colón y descubridor de América. § 58. Una posible crítica es que no podemos formarnos, de este objeto que estamos llamando cuatro o el número de las lunas de Júpiter, ninguna idea 79 en absoluto que lo haría algo autosubsistente. Pero eso no es culpa de la autosubsistencia que hemos adscrito al número. Sé que es fácil suponer que en nuestra idea de cuatro puntos en un dado se encuentra algo que corresponde a la palabra “cuatro”; pero esto es un malentendido. Sólo tenemos que pensar en un campo verde e intentar comprobar si la idea se altera cuando remplazamos el artículo indefinido por el numeral “un”; no se añade nada nuevo, mientras que con la palabra “verde” realmente hay en la idea algo que corresponde a ella. Si imaginamos la palabra “oro” impresa, no pensaremos inmediatamente en ningún número en conexión con ella. Si ahora nos preguntamos cuántas letras contiene, el resultado es el número 3; pero la idea no se vuelve, como consecuencia, más definida, sino que puede permanecer completamente inalterada. Donde descubrimos el número es precisamente en el recién añadido concepto “letra en la palabra oro”. En el caso de los cuatro puntos en el dado la cuestión es bastante más oscura porque el concepto se nos impone tan inmediatamente, debido a la similitud de los puntos, que apenas notamos su intervención. No podemos formar una idea del número como un objeto autosubsistente o como una propiedad en una cosa externa porque realmente no es algo sensible o una propiedad de una cosa externa. Pero el punto es más claro en el caso del número 0; intentaremos en vano formar una idea de 0 estrellas visibles. Podemos, claro está, pensar en un cielo completamente nublado, pero en esto no hay nada que corresponda con la palabra “estrella” o con 0. Todo lo que

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“Idea” en el sentido de algo como una imagen.

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conseguimos imaginar es una situación en la que el juicio natural a hacer sería: ahora no se puede ver ninguna estrella. § 59. Podría ser que toda palabra evoque algún tipo de idea en nosotros, incluso una palabra como “sólo”; pero esta idea no necesita corresponder con el contenido de la palabra, podría ser muy diferente en distintos hombres. El tipo de cosa que hacemos es imaginar una situación en la que se requiera alguna proposición en la que ocurra la palabra, o podría suceder que la palabra hablada nos recuerde la palabra escrita en nuestra memoria. Esto no pasa solamente con las partículas. No hay la menor duda de que no podemos formar una idea de nuestra distancia al Sol. Porque incluso cuando conocemos la regla de que debemos multiplicar una vara de medir tantas y tantas veces, falla todo intento de construir, por sus medios, una imagen que siquiera se aproxime a lo que queremos. Pero esto no es razón para dudar de la exactitud del cálculo que estableció la distancia, ni tampoco nos impide de ninguna manera tomar esa distancia como un hecho sobre el cual basar otras inferencias. § 60. Incluso con una cosa tan concreta como la Tierra somos incapaces de imaginarla como sabemos que es; en lugar de eso, nos contentamos con una bola de tamaño moderado que nos sirve de símbolo para la Tierra, aunque muy bien sabemos que es distinta de él. Así, aunque nuestra idea falle en coincidir por completo con lo que queremos, hacemos juicios sobre un objeto como la Tierra con una certeza considerable, incluso cuando entra en consideración su tamaño. Una y otra vez nuestro pensamiento nos lleva más allá del alcance de nuestra imaginación, sin por ello perder el apoyo que necesitamos para nuestras inferencias. Incluso si, como parece ser el caso, es imposible para nosotros pensar sin ideas, sigue siendo posible que su conexión con lo que estamos pensando sea completamente superficial, arbitraria, y convencional. Que no podamos formar ninguna idea de su contenido no es, por lo tanto, una razón para negar todo significado a una palabra, ni para excluirla de nuestro vocabulario. De hecho, está impuesta sobre nosotros la opinión contraria porque cuando preguntamos por el significado de una palabra la consideraremos aisladamente, lo que nos lleva a aceptar una idea como el significado. De acuerdo con esto, cualquier palabra para la que no podamos encontrar ninguna imagen mental correspondiente parece no tener contenido. Pero siempre debemos tener ante nosotros una proposición completa. Solamente en una proposición las palabras tienen realmente un significado. Podría ser 64

que las imágenes mentales floten ante nosotros todo el tiempo, pero éstas no necesitan corresponder con los elementos lógicos en el juicio. Es suficiente con que la proposición tomada como un todo tenga sentido; es esto lo que confiere a sus partes también su contenido. Creo que esta observación está destinada a arrojar luz sobre un buen número de conceptos difíciles, entre ellos el de lo infinitesimal, 80 y su ámbito no está tampoco restringido a las matemáticas. La autosubsistencia que estoy clamando para el número no debe tomarse como queriendo decir que un numeral significa algo cuando es removido del contexto de una proposición, sino para excluir el uso de tales palabras como si fueran predicados o atributos, lo que altera apreciablemente su significado. § 61. Pero, quizá podría objetarse, incluso si la Tierra no es realmente imaginable, en cualquier caso es una cosa externa ocupando un lugar definido; ¿pero dónde está el número 4? No está ni fuera ni dentro de nosotros. Tomando tales palabras en su sentido espacial, eso es muy cierto. Dar coordenadas espaciales para el número 4 no tiene sentido; la única conclusión a ser sacada de esto es que 4 no es un objeto espacial, no que no es un objeto en absoluto. No todo objeto tiene un lugar. Tampoco nuestras ideas 81 están dentro de nosotros en este sentido (debajo de nuestra piel); debajo de la piel hay ganglios nerviosos, corpúsculos sanguíneos, y cosas parecidas, pero no ideas. Los predicados espaciales no aplican a ellas: una idea no está a la derecha o a la izquierda de otra idea, y no podemos establecer distancias milimétricas entre las ideas. Si, con todo, decimos que están dentro de nosotros, entonces queremos decir que son subjetivas. Pero incluso concediendo que lo que es subjetivo no tiene posición en el espacio, ¿cómo es posible que el número 4, que es objetivo, no esté en ningún lado? Yo sostengo que no hay ninguna contradicción en esto. Es un hecho que el número 4 es exactamente el mismo para cualquiera que trate con él, pero eso no tiene nada que ver con ser espacial. No todo objeto objetivo tiene un lugar.

80

Aquí el problema no es, como podría pensarse, producir un segmento limitado por dos puntos distintos cuya longitud es dx, sino más bien definir el sentido de una identidad del tipo df ( x) = g ( x)dx . 81

Entendiendo esta palabra en su sentido puramente psicológico, no psicofísico.

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Para obtener el concepto de número, debemos fijar el sentido de una identidad numérica

§ 62. ¿Cómo, entonces, nos han de ser dados los números si no podemos tener ninguna idea o intuición de ellos? Ya que es únicamente en el contexto de una proposición que las palabras tienen algún sentido, nuestro problema se convierte en este: definir el sentido de una proposición en la que tiene lugar un numeral. Eso, obviamente, todavía nos deja con una variedad muy amplia. Pero ya hemos asentado que los numerales han de entenderse como representando objetos autosubsistentes. Y eso basta para darnos una clase de proposiciones que deben tener un sentido, a saber, aquellas que expresan nuestro reconocimiento de un número como el mismo otra vez. Si hemos de utilizar el símbolo a para significar un objeto, debemos tener un criterio para decidir en todos los casos si b es lo mismo que a, incluso si no siempre está en nuestro poder aplicar este criterio. En nuestro caso presente, tenemos que definir el sentido de la proposición “el número que pertenece al concepto F es el mismo que el que pertenece al concepto G”; esto es, debemos reproducir el contenido de esta proposición con otros términos, evitando el uso de la expresión “el número que pertenece al concepto F”. Al hacer esto, estaremos ofreciendo un criterio general para la identidad de los números. Cuando de esta forma hemos adquirido un medio para llegar a un determinado número y para reconocerlo otra vez como el mismo, podemos asignarle un numeral como su nombre propio. § 63. Hace tiempo que Hume 82 mencionó tal medio: “Cuando dos números están combinados de forma tal que uno siempre tiene una unidad que responde a toda unidad del otro, decimos que son iguales.” Esta opinión de que la igualdad o identidad numérica debe definirse en términos de correlación uno-uno parece haber ganado, en los últimos años, una amplia aceptación entre los matemáticos. 83 Pero inmediatamente plantea ciertas dudas y dificultades lógicas que no deben pasarse por alto.

82

Baumann, op. Cit., Vol. II, p. 565. Cf. E. Schröder, op. Cit., pp. 7-8; E. Kossak, Die Elemente der Arithmetik, Programm des FriedrichsWerderschen Gymnasiums, Berlín 1872, p. 16; G. Cantor, Grundlagen einer allgemeinen Mannichfaltigkeitslehre, Leipzig 1883. 83

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La relación de identidad no se encuentra únicamente entre los números. De esto parece seguirse que no debemos definirla especialmente para el caso de los números. Debemos esperar que primero haya sido fijado el concepto de identidad y que después, de él junto con el concepto de número, deba ser posible deducir cuándo son idénticos los números entre sí, sin que para este propósito haya también necesidad de una definición especial de identidad numérica. En contraste con esto debe notarse que para nosotros aún no ha sido fijado el concepto de número, sino que quedará determinado a la luz de nuestra definición de identidad numérica. Nuestro propósito es construir el contenido de un juicio que pueda tomarse como una identidad tal que cada lado de ella sea un número. Por lo tanto estamos proponiendo no definir la identidad especialmente para este caso, sino utilizar el concepto de identidad, tomado como ya conocido, como un medio para llegar a aquello que ha de considerarse idéntico. Es cierto que esto parece ser un tipo muy extraño de definición, al cual los lógicos no han prestado la atención debida; pero unos cuantos ejemplos pueden dar cuenta de que no es totalmente inaudita. § 64. El juicio “la línea a es paralela a la línea b” o, puesto en símbolos, a / / b, puede tomarse como una identidad. Si hacemos esto, obtenemos el concepto de dirección, y decimos “la dirección de la línea a es idéntica a la dirección de la línea b”. Así, remplazamos el símbolo / / por el símbolo más genérico =, removiendo lo que es específico en el contenido del primero y dividiéndolo entre a y b. Repartimos el contenido de forma distinta a la forma original, y esto produce un nuevo concepto. A menudo, claro está, concebimos la cuestión al revés, y muchas autoridades definen las líneas paralelas como líneas cuyas direcciones son idénticas. La proposición de que “líneas rectas paralelas a la misma línea recta son paralelas entre sí” puede entonces ser convenientemente probada al invocar la proposición análoga sobre cosas idénticas a la misma cosa. El único problema es que esto invierte el verdadero orden de cosas. Porque ciertamente todo lo geométrico debe estar dado originalmente en la intuición. Pero ahora pregunto si alguien tiene una intuición de la dirección de una línea recta. De una línea recta, seguramente; pero ¿en nuestra intuición distinguimos entre esta línea recta y algo más, su dirección? Esto es difícilmente plausible. El concepto de dirección sólo es descubierto como resultado de un proceso de actividad intelectual que tiene su comienzo en la intuición. Por otro lado, sí tenemos una idea de líneas rectas paralelas. Nuestra prueba conveniente solamente se hace posible al asumir subrepticiamente, en 67

nuestro uso de la palabra “dirección”, lo que había que probar; porque si fuese falso que “líneas rectas paralelas a la misma línea recta son paralelas entre sí”, entonces no podríamos transformar a / / b en una identidad. Similarmente podemos obtener, del paralelismo de los planos, un concepto correspondiente al de la dirección en el caso de las líneas rectas; he visto el nombre “orientación” utilizado para esto. De la similitud geométrica se deriva el concepto de forma, así que en lugar de “los dos triángulos son similares” decimos “los dos triángulos son de idéntica forma” o “la forma de uno es idéntica a la del otro”. Es posible derivar otro concepto más de este modo, al que todavía no ha sido dado ningún nombre, desde la colineación de las formas geométricas. § 65. Para llegar ahora, por ejemplo, del paralelismo 84 al concepto de dirección, intentemos la siguiente definición: La proposición “la línea a es paralela a la línea b” es decir lo mismo que “la dirección de la línea a es idéntica a la dirección de la línea b”. Esta definición se aparta hasta cierto grado de la práctica normal en que sirve ostensiblemente para adaptar la relación de identidad, tomada como ya conocida, a un caso especial, mientras que en realidad está designada para introducir la expresión “la dirección de la línea a”, que sólo está en ella incidentalmente. Esto da lugar a una segunda duda: ¿no estamos propensos, al utilizar tales métodos, a entrar en conflicto con las bien conocidas leyes de identidad? Veamos qué son éstas. Como verdades analíticas, deben poderse derivar desde el concepto por sí solo. Ahora, la definición de Leibniz es como sigue: “Dos cosas son lo mismo entre sí si una puede ser sustituida por la otra sin pérdida de verdad.” Propongo adoptar esto como mi propia definición de identidad. No tiene importancia si utilizamos “lo mismo”, como hace Leibniz, o “idéntico”. “Lo mismo” puede en efecto pensarse para referir un acuerdo completo en todos los aspectos, “idéntico” sólo un acuerdo en este o aquel aspecto, pero podemos adoptar una forma de expresión tal que esta distinción desaparezca. Por ejemplo, en lugar de “los segmentos son idénticos en longitud”, podemos decir “la longitud de los segmentos es idéntica” o “la misma”, y en 84

Aquí he elegido discutir el caso del paralelismo porque me puedo expresar menos torpemente y hacerme comprender mejor. El argumento puede transferirse fácilmente al caso de la identidad numérica.

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lugar de “las superficies son idénticas en color”, “el color de las superficies es idéntico”. Y es así que hemos utilizado la palabra en los ejemplos de arriba. Ahora, en realidad es el caso que en la sustituibilidad universal están contenidas todas las leyes de identidad. Entonces, para justificar nuestra definición propuesta de dirección de una línea, tendríamos que mostrar que es posible, si la línea a es paralela a la línea b, sustituir “la dirección de b” en todas partes por “la dirección de a”. Esta tarea se simplifica por el hecho de que inicialmente estamos siendo llevados a no conocer nada que pueda afirmarse sobre la dirección de una línea excepto que coincide con la dirección de otra línea. Es así que tendríamos que mostrar sólo que la sustitución fue posible en una identidad de éste tipo, o en juicios conteniendo tales identidades como elementos constituyentes. 85 El significado de cualquier otro tipo de afirmación sobre direcciones tendría que ser definido antes que nada, y al definirlo podemos convenir la regla de que siempre debe ser posible sustituir, para la dirección de cualquier línea, la dirección de cualquier línea paralela a ella. § 66. Pero todavía queda una tercera duda que podría hacernos sospechar de nuestra definición propuesta. En la proposición “la dirección de a es idéntica a la dirección de b” la dirección de a desempeña el papel de un objeto, 86 y nuestra definición nos ofrece un medio para reconocer este objeto como el mismo otra vez en caso de que se presente con algún otro disfraz, como la dirección de b. Pero este medio no satisface todos los casos. No decidirá por nosotros, por ejemplo, si Inglaterra es lo mismo que la dirección del eje de la Tierra (si puede perdonárseme este ejemplo). Naturalmente, nadie va a confundir Inglaterra con la dirección del eje de la Tierra, pero eso no es ninguna gracia de nuestra definición de dirección. No dice nada sobre si la proposición “la dirección de a es idéntica a q” deba afirmarse o negarse, excepto para el caso en que q esté dada en la forma de “dirección de b”. Lo que nos falta es el concepto de dirección, porque si lo tuviésemos, 85

En un juicio hipotético, por ejemplo, una identidad de direcciones podría ocurrir como antecedente o consecuente. 86 Esto lo muestra el artículo definido. Un concepto es para mí aquello que puede predicarse de un juiciocontenido singular, un objeto aquel que puede ser sujeto de lo mismo. Si en la proposición “la dirección del eje del telescopio es idéntica a la dirección del eje de la Tierra” tomamos la dirección del eje del telescopio como sujeto, entonces el predicado es “idéntica a la dirección del eje de la Tierra”. Esto es un concepto. Pero la dirección del eje de la Tierra es sólo un elemento en el predicado; como también puede hacerse el sujeto, es un objeto.

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entonces podríamos establecer que, si q no es una dirección, nuestra proposición ha de ser negada, mientras que si es una dirección, nuestra definición original decidirá si ha de ser negada o afirmada. Así que la tentación es ofrecer como nuestra definición: q es una dirección si hay una línea b cuya dirección es q. Pero entonces es obvio que estamos dando vueltas. Porque para hacer uso de esta definición tendríamos que saber en cada caso si la proposición “q es idéntica a la dirección de b” habría de ser afirmada o negada. § 67. Si lo intentáramos diciendo: q es una dirección si es introducida por medio de la definición establecida arriba, entonces deberíamos estar tratando la manera en que el objeto q es introducido como una propiedad de q, que no lo es. La definición de un objeto como tal realmente no afirma nada sobre el objeto, sino que sólo depone el significado de un símbolo. Una vez hecho esto, la definición se transforma en un juicio que sí afirma [algo] sobre el objeto; pero ahora ya no introduce al objeto, se halla al nivel de otras afirmaciones hechas sobre él. Además, si adoptáramos esta salida, tendríamos que presuponer que un objeto sólo puede darse de una sola manera, porque de otro modo no se seguiría, del hecho de que q no fue introducido por medio de nuestra definición, que no podría haber sido introducido por medio de ella. Entonces todas las identidades equivaldrían simplemente a que cualquier cosa dada a nosotros de la misma manera ha de reconocerse como la misma. Esto, sin embargo, es un principio tan obvio y estéril que no vale la pena establecer. En efecto, no podríamos sacar de él ninguna conclusión que no fuese la misma que una de nuestras premisas. ¿Por qué es que, después de todo, podemos hacer uso de identidades con resultados significantes en diversos campos? Ciertamente es porque podemos reconocer algo como lo mismo otra vez incluso cuando esté dado de una manera distinta. § 68. Viendo que con estos métodos no podemos obtener ningún concepto de dirección limitado claramente a sus aplicaciones, ni por tanto, por las mismas razones, ningún concepto satisfactorio de número, tratemos de otra manera. Si la línea a es paralela a la línea b, entonces la extensión del concepto “línea paralela a la línea a” es idéntica a la extensión del concepto “línea paralela a la línea b”, y a la inversa, si las extensiones de los dos conceptos recién nombrados son idénticas, entonces a es paralela a b. Intentemos, pues, el siguiente tipo de definición: la dirección de la línea a es la extensión del concepto “paralela a la línea a”; la forma del triángulo t es la extensión del concepto “similar al triángulo t”. 70

Para aplicar esto a nuestro caso del número, debemos sustituir por líneas o triángulos conceptos, y por paralelismo o similitud la posibilidad de correlacionar uno a uno los objetos que caen bajo un concepto con aquellos que caen bajo el otro. En aras de la brevedad, cuando esta condición esté satisfecha hablaré del concepto F siendo igual al concepto G, pero debo pedir que esta palabra sea tratada como un símbolo elegido arbitrariamente, cuyo significado no debe recobrarse de su etimología, sino de lo aquí establecido. Mi definición es, por tanto, como sigue: el número que pertenece al concepto F es la extensión 87 del concepto “igual al concepto F”. § 69. La precisión de esta definición quizá no sea evidente a primera vista. Pues, ¿no pensamos en las extensiones de conceptos como algo muy distinto de los números? Cómo pensemos en ellas surge claramente de las afirmaciones básicas que hagamos sobre ellas. Éstas son como siguen: 1. Que son idénticas, 2. Que una es más amplia que la otra. Pero ahora la proposición: la extensión del concepto “igual al concepto F” es idéntica a la extensión del concepto “igual al concepto G” es verdadera si y sólo si la proposición “el mismo número pertenece al concepto F como al concepto G” también es verdadera. Así que aquí hay un acuerdo completo. Ciertamente no decimos que un número es más amplio que otro en el sentido en que la extensión de un concepto es más amplia que la de otro, pero entonces también es muy imposible que ocurra un caso donde la extensión del concepto “igual al concepto F” sea más amplia que la extensión del concepto “igual al concepto G”. 87

Creo que por “extensión del concepto” podríamos simplemente escribir “concepto”. Pero esto estaría abierto a dos objeciones: 1. Que contradice mi declaración anterior de que los números individuales son objetos, como lo indica el uso del artículo definido en expresiones como “el número dos” y por la imposibilidad de hablar de unos, doses, etc., en el plural, como también por el hecho de que el número constituye sólo un elemento en el predicado de una declaración de número; 2. Que los conceptos pueden tener extensiones idénticas sin que ellos coincidan. Estoy convencido de que estas dos objeciones pueden ser eliminadas, pero exponer cómo nos apartaría de nuestros propósitos actuales. Asumo que se sabe qué es la extensión de un concepto.

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Por el contrario, cuando todos los conceptos iguales a G son también iguales a F, entonces a la inversa también todos los conceptos iguales a F son iguales a G. “Más amplio”, como es utilizado aquí, no debe confundirse con “mayor que” como se utiliza con los números. Admito que es concebible otro tipo de caso donde la extensión del concepto “igual al concepto F” podría ser más amplia o menos amplia que la extensión de algún otro concepto que en nuestra definición no podría ser un número, y no es común hablar de un número como más amplio o menos amplio que la extensión de un concepto; pero tampoco hay algo que nos impida hablar así si tal caso se presentara.

Nuestra definición completada y su valor probado

§ 70. Las definiciones muestran su valor probándose fructíferas. Aquellas que pueden ser omitidas sin dejar rastro en la cadena de nuestras pruebas deben rechazarse por carecer de valor. Intentemos, entonces, derivar de nuestra definición del número que pertenece al concepto F cualquiera de las bien conocidas propiedades de los números. Aquí nos limitaremos a las más simples. Para esto es necesario ofrecer una descripción más precisa del término “igualdad”. “Igual” lo definimos en términos de correlación uno-uno, y lo que debemos establecer ahora es cómo ha de entenderse esta última expresión, ya que fácilmente podría suponerse que tiene algo que ver con la intuición. Consideraremos el siguiente ejemplo. Si un mesero quiere estar seguro de haber puesto exactamente tantos cuchillos como platos sobre una mesa, no necesita contar ninguno de los dos; todo lo que tiene que hacer es poner un cuchillo inmediatamente a la derecha de cada plato, teniendo cuidado de que cada cuchillo sobre la mesa se encuentre inmediatamente a la derecha de un plato. Los platos y los cuchillos están de esta forma correlacionados uno a uno, y eso por la idéntica relación espacial. Ahora, si en la proposición “a se encuentra inmediatamente a la derecha de A” concebimos primero uno y después otro objeto insertado en lugar de a y de A, entonces aquella parte del contenido que permanece inalterada a lo largo de este proceso constituye la esencia de la relación. Lo que necesitamos es una generalización de esto.

72

Si de un juicio-contenido que trata con un objeto a y un objeto b sustraemos a y b, obtenemos como resto un concepto relacional que es, de acuerdo con esto, incompleto en dos sentidos. Si de la proposición “la Tierra es más masiva que la Luna” sustraemos “la Tierra”, obtenemos el concepto “más masiva que la Luna”. Si, alternativamente, sustraemos el objeto, “la Luna”, tenemos el concepto “menos masiva que la Tierra”. Pero si sustraemos ambos a la vez, entonces nos quedamos con un concepto relacional que, tomado por sí solo, no tiene más sentido que el que tiene un concepto: siempre tiene que ser completado para hacer un juicio-contenido. Pero puede completarse de distintas formas: en lugar de Tierra y Luna puedo poner, por ejemplo, Sol y Tierra, y esto eo ipso efectúa la sustracción. Cada par individual de objetos correlacionados está enlazado con el concepto relacional tanto como un objeto individual lo está con el concepto bajo el que cae (podríamos llamarlos el sujeto del concepto relacional). Sólo que aquí el sujeto está compuesto. Ocasionalmente, cuando la relación en cuestión es convertible, este hecho alcanza reconocimiento verbal, como en la proposición “Peleo y Tetis eran los padres de Aquiles”. 88 Pero no siempre. Por ejemplo, difícilmente sería posible poner la proposición “la Tierra es mayor que la Luna” en otras palabras como para hacer que “la Tierra y la Luna” aparezcan como un sujeto compuesto; el “y” siempre debe indicar que las dos cosas están siendo puestas de alguna manera sobre un nivel. Sin embargo, esto no afecta el asunto. Así, la doctrina de los conceptos relacionales es, como la de los conceptos simples, una parte de la lógica pura. Lo que ocupa a la lógica no es el contenido especial de alguna relación particular, sino sólo la forma lógica. Y cualquier cosa que se afirme de esto es verdadero analíticamente y conocido a priori. Esto es tan cierto de los conceptos relacionales como de otros conceptos. Justo como “a cae bajo el concepto F” es la forma general de un juicio-contenido que trata con un objeto a, podemos tomar “a guarda la relación φ con b” como la forma general de un juicio-contenido que trata con un objeto a y un objeto b.

88

Este tipo de caso no debe confundirse con aquel en donde “y” aparentemente une los sujetos cuando en realidad une dos proposiciones.

73

§ 71. Si ahora todo objeto que cae bajo el concepto F está en la relación φ con un objeto cayendo bajo el concepto G, y si para todo objeto que cae bajo G hay en la relación φ un objeto cayendo bajo F, entonces los objetos cayendo bajo F y bajo G están correlacionados entre sí por la relación φ . Podría aún preguntarse cuál es el significado de la expresión “todo objeto que cae bajo F está en la relación φ con un objeto cayendo bajo G” en el caso en que ningún objeto en absoluto caiga bajo F. Yo entiendo esta expresión como sigue: las dos proposiciones “a cae bajo F” y “a no está en la relación φ con ningún objeto cayendo bajo G” no pueden ser, sea lo que sea significado por a, ambas verdaderas, así que o bien la primera proposición es falsa, o la segunda lo es, o ambas lo son. De esto puede verse que la proposición “todo objeto que cae bajo F está en la relación φ con un objeto cayendo bajo G” es, en el caso donde no hay objeto cayendo bajo F, verdadera; porque en ese caso la primera proposición “a cae bajo F” es siempre falsa, sea lo que sea a. Del mismo modo la proposición “para todo objeto que cae bajo G hay en la relación φ un objeto cayendo bajo F” significa que las dos proposiciones “a cae bajo G” y “ningún objeto cayendo bajo F está con a en la relación φ ” no pueden ser, sea lo que sea a, ambas verdaderas. § 72. Hemos visto, así, cuándo los objetos cayendo bajo los conceptos F y G están correlacionados entre sí por la relación φ . Pero en nuestro caso esta correlación tiene que ser uno-uno. Por esto entiendo que las dos proposiciones siguientes son válidas: 1. Si d está en la relación φ con a, y si d está en la relación φ con e, entonces generalmente, sean lo que sean d, a, y e, a es lo mismo que e.

74

2. Si d está en la relación φ con a, y si b está en la relación φ con a, entonces generalmente, sean lo que sean d, b, y a, d es lo mismo que b. Esto reduce la correlación uno-uno a relaciones puramente lógicas, y nos permite ofrecer la siguiente definición: la expresión “el concepto F es igual al concepto G” es decir lo mismo que la expresión “existe una relación φ que correlaciona uno a uno los objetos cayendo bajo el concepto F con los objetos cayendo bajo el concepto G”. Ahora repetimos nuestra definición original: el número que pertenece al concepto F es la extensión del concepto “igual al concepto F” y añadimos: la expresión “n es un número” es decir lo mismo que la expresión “existe un concepto tal que n es el número que pertenece a él”. Así, el concepto de número recibe su definición, aparentemente, en términos de sí mismo, pero en realidad sin ninguna falacia, porque “el número que pertenece al concepto F” ya ha sido definido. § 73. Nuestro siguiente propósito debe ser mostrar que el número que pertenece al concepto F es idéntico al número que pertenece al concepto G si el concepto F es igual al concepto G. Esto suena, desde luego, como una tautología. Pero no lo es; el significado de la palabra “igual” no debe inferirse de su etimología, sino tomado como lo he definido arriba. En nuestra definición [de “el número que pertenece al concepto F”] lo que hay que mostrar es que la extensión del concepto “igual al concepto F” es la misma que la extensión del concepto “igual al concepto G” si el concepto F es igual al concepto G. En otras palabras, ha de probarse que, para F igual a G, las siguientes dos proposiciones son válidas universalmente: si el concepto H es igual al concepto F, entonces también es igual al concepto G; y

75

si el concepto H es igual al concepto G, entonces también es igual al concepto F. La primera proposición equivale a decir que existe una relación que correlaciona uno a uno los objetos cayendo bajo el concepto H con aquellos cayendo bajo el concepto G si existe una relación φ que correlaciona uno a uno los objetos cayendo bajo el concepto F con aquellos cayendo bajo el concepto G y si existe también una relación ψ que correlaciona uno a uno los objetos cayendo bajo el concepto H con aquellos cayendo bajo el concepto F. La siguiente disposición de letras facilitará la comprensión de esto: Hψ F φ G. Tal relación puede darse en realidad: se encuentra en el juicio-contenido “existe un objeto con el que c está en la relación ψ y que está con b en la relación φ ” si sustraemos de él c y b (esto es, si los tomamos como los términos de la relación). Puede mostrarse que esta relación es uno-uno y que correlaciona los objetos cayendo bajo el concepto H con aquellos cayendo bajo el concepto G. También puede ofrecerse una prueba similar de la segunda proposición. 89 Y espero que con eso se haya indicado lo suficiente sobre mis métodos para mostrar que nuestras pruebas no son dependientes, en ningún punto, de préstamos de la intuición, y que nuestras definiciones pueden utilizarse para algún propósito. § 74. Ahora podemos pasar a las definiciones de los números individuales. Ya que nada cae bajo el concepto “no idéntico a sí mismo”, defino al cero como sigue: 0 es el número que pertenece al concepto “no idéntico a sí mismo”. Para algunos puede ser impactante que hable de un concepto en esta conexión. Objetarán, muy probablemente, que contiene una contradicción y que es una reminiscencia de nuestros viejos amigos el círculo cuadrado y el hierro de madera. Creo que estos viejos amigos no son tan negros como los pintan. Admito que ser de algún uso es lo último que se espera de ellos, pero al mismo tiempo no pueden hacer ningún daño si no asumimos que haya algo que caiga bajo ellos (y con eso no estamos comprometidos al meramente utilizarlos como conceptos). Que un concepto contenga

89

E igualmente de la inversa: si el número que pertenece al concepto F es el mismo que el que pertenece al concepto G, entonces el concepto F es igual al concepto G.

76

una contradicción no es siempre obvio sin investigación; pero para investigarlo primero debemos poseerlo y, en la lógica, tratarlo justo como cualquier otro [concepto]. Todo lo que puede demandarse de un concepto desde el punto de vista de la lógica y con un ojo en el rigor de la prueba sólo es que los límites de su aplicación sean claros, que esté determinado, con respecto a cada objeto, si cae o no bajo tal concepto. Pero esta demanda está completamente satisfecha por los conceptos que, como “no idéntico a sí mismo”, contienen una contradicción, porque de todo objeto sabemos que no cae bajo tal concepto. 90 En mi uso de la palabra “concepto”, “a cae bajo el concepto F” es la forma general de un juicio-contenido que trata con un objeto a y permite, para a, la inserción de cualquier cosa. Y en este sentido “a cae bajo el concepto ‘no idéntico a sí mismo’” tiene el mismo significado que “a no es idéntico a sí mismo” o “a no es idéntico a a”. Para la definición de cero pude haber utilizado cualquier otro concepto bajo el cual no cae ningún objeto. Pero quería elegir uno que pueda probarse sobre bases puramente lógicas, y para este propósito “no idéntico a sí mismo” es el más conveniente tomando, para la definición de “idéntico”, aquella definición de Leibniz ofrecida antes, que está en términos puramente lógicos. § 75. Ahora debe ser posible probar, por medio de lo establecido, que todo concepto bajo el cual no cae ningún objeto es igual a todo otro concepto bajo el cual no cae ningún objeto, y sólo a ellos; de esto se sigue que 0 es el número que pertenece a cualquier concepto así, y que ningún objeto cae bajo algún concepto si el número que pertenece a tal concepto es 0. 90

La definición de un objeto en términos de un concepto bajo el cual cae es una cuestión muy distinta. Por ejemplo, la expresión “la mayor fracción propia” no tiene contenido, ya que el artículo definido clama referirse a un objeto definido. Por otra parte, el concepto “fracción menor que 1 y tal que ninguna fracción menor que 1 la excede en magnitud” es totalmente irreprochable: para probar que no existe tal fracción debemos hacer uso justamente de este concepto a pesar de que contiene una contradicción. Sin embargo, si quisiéramos utilizar este concepto para definir un objeto cayendo bajo él, es claro que primero sería necesario mostrar dos cosas distintas: 1. Que algún objeto cae bajo este concepto; 2. Que sólo un objeto cae bajo él. Ya que la primera de estas proposiciones, por no mencionar la segunda, es falsa, se sigue que la expresión “la mayor fracción propia” no tiene sentido.

77

Si asumimos que ningún objeto cae bajo el concepto F o bajo el concepto G, entonces para probarlos iguales debemos encontrar una relación φ que satisfaga las siguientes condiciones: todo objeto que cae bajo F está en la relación φ con un objeto que cae bajo G, y para cada objeto que cae bajo G está en la relación φ un objeto cayendo bajo F. En vista de lo dicho arriba sobre el significado de estas expresiones, se sigue, dada nuestra asunción [de que ningún objeto cae bajo ninguno de los conceptos], que estas condiciones están satisfechas por cualquier relación que sea, y por tanto, entre otras, la de la identidad, que además es una relación uno-uno, porque satisface los dos requerimientos establecidos antes. Si, para tomar el otro caso, algún objeto, digamos a, cae bajo G pero ningún objeto cae bajo F, entonces las dos proposiciones “a cae bajo G” y “ningún objeto cayendo bajo F está con a en la relación φ ” son ambas verdaderas para toda relación φ . Esto porque la primera se hace verdadera por nuestra primera asunción y la segunda por nuestra segunda asunción. Esto es, si no existe ningún objeto cayendo bajo F, entonces a fortiori no existe ningún objeto cayendo bajo F que esté con a en alguna relación. No existe, por tanto, ninguna relación por la cual los objetos cayendo bajo F puedan estar correlacionados con aquellos cayendo bajo G como para satisfacer nuestra definición, y consecuentemente los conceptos F y G son desiguales. § 76. Propongo ahora definir la relación en la que están entre sí cualesquiera dos miembros adyacentes de la serie de los números naturales. La proposición: “existe un concepto F y un objeto x que cae bajo él tal que el número que pertenece al concepto F es n y el número que pertenece al concepto ‘cayendo bajo F pero no idéntico a x’ es m” es decir lo mismo que “n sigue en la serie de números naturales directamente después de m”. Evito la expresión “n es el número que sigue después de m” porque el uso del artículo definido no puede justificarse sin antes haber probado dos proposiciones. 91 Por

91

Véase la nota anterior.

78

la misma razón en este punto todavía no digo “ n= m + 1 ”, porque utilizar el símbolo = es asimismo designar (m + 1) como un objeto. § 77. Ahora bien, para llegar al número 1 tenemos que mostrar, antes que nada, que en la serie de números naturales hay algo que sigue directamente después de 0. Consideremos el concepto – o, si se prefiere, el predicado – “idéntico a 0”. Bajo éste cae el número 0. Pero bajo el concepto “idéntico a 0 pero no idéntico a 0”, por otro lado, no cae ningún objeto, así que 0 es el número que pertenece a este concepto. Tenemos, por tanto, un concepto “idéntico a 0” y un objeto 0 cayendo bajo él, para los cuales son válidas las siguientes proposiciones: el número que pertenece al concepto “idéntico a 0” es idéntico al número que pertenece al concepto “idéntico a 0”; el número que pertenece al concepto “idéntico a 0 pero no idéntico a 0” es 0. Por consiguiente, en nuestra definición el número que pertenece al concepto “idéntico a 0” sigue en la serie de números naturales directamente después del 0. Ahora, si damos la siguiente definición: 1 es el número que pertenece al concepto “idéntico a 0”, podemos entonces poner la conclusión precedente así: 1 sigue en la serie de números naturales directamente después de 0. Quizá valga la pena señalar que nuestra definición de número 1 no presupone, para su legitimidad objetiva, ninguna cuestión de hecho observado. 92 Es fácil confundirse sobre esto viendo que deben satisfacerse ciertas condiciones subjetivas si habremos de ser capaces de llegar a la definición, y tales experiencias sensoriales son las que nos impulsan a formularla. 93 Todo esto, empero, puede ser perfectamente correcto sin que por ello las proposiciones dejen de ser a priori. Una de tales condiciones es, por ejemplo, que en el cerebro debe circular – en suficiente volumen sangre de calidad adecuada (por lo menos hasta donde sabemos), pero la verdad de nuestra última proposición no depende de esto; sigue siendo válida incluso si nuestra circulación se detiene, e incluso si todos los seres racionales pasaran a hibernar y cayeran dormidos simultáneamente, nuestra proposición no se cancelaría, por así decirlo, durante esto, sino que permanecería inalterada. La verdad de una proposición no es justamente lo mismo que ser pensada.

92 93

Proposición no general. Cf. B. Erdmann, Die Axiome der Geometrie, p. 164.

79

§ 78. Paso a ofrecer una lista de varias proposiciones a ser probadas por medio de nuestras definiciones. El lector fácilmente verá, de una ojeada, cómo puede hacerse esto. 1. Si a sigue en la serie de números naturales directamente después de 0, entonces a es = 1 . 2. Si 1 es el número que pertenece a un concepto, entonces existe un objeto que cae bajo tal concepto. 3. Si 1 es el número que pertenece a un concepto F, entonces, si el objeto x cae bajo el concepto F y si y cae bajo el concepto F, x es = y ; esto es, x es lo mismo que y. 4. Si un objeto cae bajo el concepto F, y si generalmente puede inferirse de las proposiciones que x cae bajo el concepto F y que y cae bajo el concepto F, que x es = y , entonces 1 es el número que pertenece al concepto F. 5. La relación de m con n establecida por la proposición: “n sigue en la serie de números naturales directamente después de m” es una relación uno-uno. No hay nada hasta ahora para establecer que para cada número existe otro número que sigue directamente después de él, o después del cual directamente sigue, en la serie de números naturales. 6. Todo número excepto el 0 sigue en la serie de números naturales directamente después de un número. § 79. Para probar que después de cada número (n) en la serie de números naturales sigue directamente un número, debemos producir un concepto al cual pertenezca este último número. Para ello elegiremos el concepto “miembro de la serie de números naturales que termina con n”, que requiere primero ser definido. Para empezar, permítaseme repetir con palabras ligeramente distintas la definición de siguiente en una serie dada en mi Begriffsschrift: La proposición “si cada objeto con el cual x está en la relación φ cae bajo el concepto F, y si de la proposición de que d cae bajo el concepto F se sigue universalmente, sea lo que sea d, que todo objeto con el cual d está en la relación φ cae bajo el concepto F, entonces y cae bajo el concepto F, cualquiera que sea el concepto F”

80

es decir lo mismo que “y sigue en la serie φ después de x” y de nuevo lo mismo que “x va en la serie φ antes que y”. § 80. No perderemos el tiempo si hacemos algunos comentarios sobre esto. Primero, ya que la relación φ se ha dejado indefinida, la serie no necesariamente ha de concebirse en la forma de un arreglo espacial y temporal, aunque estos casos no están excluidos. Segundo, puede que haya quienes prefieran alguna otra definición por ser más natural, como por ejemplo la siguiente: si comenzando con x transferimos continuamente nuestra atención de un objeto a otro que está en la relación φ , y si por este procedimiento alcanzamos finalmente y, entonces decimos que y sigue en la serie φ después de x. Ahora, esto describe una forma de descubrir que y sigue, pero no define qué se quiere decir con y sigue. Que, a medida que cambia nuestra atención, alcancemos y puede depender de todo tipo de factores subjetivos, como por ejemplo de la cantidad de tiempo a nuestra disposición o del grado de nuestra familiaridad con las cosas en cuestión. Que y siga en la serie φ después de x no tiene, por lo general, absolutamente nada que ver con nuestra atención y con las circunstancias en las que la transferimos; por el contrario, es una cuestión de hecho, tanto como es un hecho que una hoja verde refleja rayos de luz de ciertas longitudes de onda ya sea que éstos lleguen o no a mi ojo y den lugar a una sensación, y es un hecho que un grano de sal es soluble en el agua ya sea que lo arroje o no al agua y observe el resultado, y es otro hecho que sigue siendo soluble incluso si me es totalmente imposible hacer un experimento con él. Mi definición lleva el asunto a un nuevo plano: ya no es una cuestión de qué es subjetivamente posible, sino de qué está objetivamente definido. Porque de hecho, que una proposición se siga de otras es algo objetivo, algo independiente de las leyes que gobiernan los movimientos de nuestra atención, y algo para lo que resulta inmaterial si en realidad sacamos la conclusión o no. Lo que he proporcionado es un criterio que en cada caso decide la cuestión ¿se sigue después?, dondequiera que se pueda poner; y sin importar qué tanto, en casos particulares, dificultades extrañas nos impidan alcanzar una decisión. Eso es irrelevante para el propio hecho.

81

No siempre tenemos necesidad de pasar por todos los miembros de una serie que intervienen entre el primer miembro y algún objeto dado para determinar que el último sigue después del primero. Dado, por ejemplo, que en la serie φ b sigue después de a y c después de b, entonces de nuestra definición podemos deducir que c sigue después de a, sin siquiera conocer a los miembros que intervienen en la serie. Sólo por medio de esta definición de seguir en una serie es posible reducir el argumento de n a (n + 1) , que aparentemente es peculiar a las matemáticas, a las leyes de la lógica. § 81. Si ahora tenemos para nuestra relación φ la relación de m con n establecida por la proposición “n sigue en la serie de números naturales directamente después de m”, entonces en lugar de “serie φ ” diremos “serie de números naturales”. Añado la siguiente definición: La proposición “y sigue en la serie φ después de x o y es lo mismo que x” es decir lo mismo que “y es un miembro de la serie φ que comienza con x” y de nuevo lo mismo que “x es un miembro de la serie φ que termina con y”. Se sigue que a es un miembro de la serie de números naturales que termina con n si n sigue en la serie de números naturales después de a o es idéntico a a. 94 § 82. Hay que mostrar ahora que – sujeto a una condición todavía por especificar – el número que pertenece al concepto “miembro de la serie de números naturales que termina con n” sigue en la serie de números naturales directamente después de n. Y al probar que existe un número que sigue en la serie de números naturales directamente después de n habremos probado, al mismo tiempo, que no hay un último miembro de esta serie. Obviamente, esta proposición no puede establecerse empírica o inductivamente. Ofrecer la prueba en su totalidad nos llevaría muy lejos. Sólo puedo indicar cómo va. Hay que probar que

94

Si n no es un número, entonces el propio n es el único miembro de la serie de números naturales que termina con n (si eso no es una forma demasiado impactante de ponerlo).

82

1. Si a sigue en la serie de números naturales directamente después de d, y si de d es verdad que: el número que pertenece al concepto “miembro de la serie de números naturales que termina con d” sigue en la serie de números naturales directamente después de d, entonces también es verdad de a que: el número que pertenece al concepto “miembro de la serie de números naturales que termina con a” sigue en la serie de números naturales directamente después de a. Entonces debe probarse, en segundo lugar, que lo que se afirma de d y de a en las proposiciones recién establecidas vale para el número 0. Y finalmente debe deducirse que también vale para n si n es un miembro de la serie de números naturales que comienza con 0. El argumento aquí es una aplicación de la definición que he dado de la expresión “y sigue en la serie de números naturales después de x”, tomando por nuestro concepto F lo afirmado sobre d y a, pero sustituyéndolos por 0 y n. § 83. Para probar la proposición 1 inmediatamente anterior debemos mostrar que a es el número que pertenece al concepto “miembro de la serie de números naturales que termina con a, pero no idéntico a a”. Y para esto es necesario, de nuevo, probar que este concepto tiene una extensión idéntica a la del concepto “miembro de la serie de números naturales que termina con d”. Para esto necesitamos la proposición de que ningún objeto que sea un miembro de la serie de números naturales que comienza con 0 puede seguir en la serie de números naturales después de sí mismo. Y esto, una vez más, debe probarse por medio de nuestra definición de siguiente en una serie sobre las líneas indicadas arriba. 95 Es esto lo que nos obliga a imputar una condición a la proposición de que el número que pertenece al concepto “miembro de la serie de números naturales que termina con n”

95

E. Schröder (op. Cit., p. 63) parece que considera esta proposición como una consecuencia de un sistema de notación que concebiblemente podría ser distinto. También aquí es de notar el inconveniente que vicia todo su tratamiento del tema (de que realmente no sabemos si el número es un símbolo y, si es así, cuál es su significado, o si el propio número es el significado del símbolo). No tiene derecho a inferir, del hecho de que disponemos nuestros símbolos para que difieran, de tal manera que el mismo nunca se repita, que los significados de tales símbolos son por tanto también diferentes.

83

sigue en la serie de números naturales directamente después de n, a saber, la condición de que n debe ser un miembro de la serie de números naturales que comienza con 0. Para esto hay una abreviación que resulta conveniente y que defino como sigue: la proposición “n es un miembro de la serie de números naturales que comienza con 0” es decir lo mismo que “n es un número finito”. De esta manera podemos formular la última proposición como sigue: ningún número finito sigue en la serie de números naturales después de sí mismo.

Números infinitos

§ 84. En contraste con los números finitos están los números infinitos. El número que pertenece al concepto “número finito” es un número infinito. Simbolicémoslo, digamos, con ∞1 . Si fuese un número finito, no podría seguir en la serie de números naturales después de sí mismo. Pero puede mostrarse que esto es lo que hace ∞1 . Sobre el número infinito ∞1 así definido no hay nada misterioso o maravilloso. “El número que pertenece al concepto F es ∞1 ” significa nada más y nada menos que esto: que existe una relación que correlaciona uno a uno los objetos que caen bajo el concepto F con los números finitos. En términos de nuestra definición, esto tiene un sentido perfectamente claro y sin ambigüedades, y eso basta para justificar el uso del símbolo ∞ y para asegurarle un significado. Que no podamos formarnos ninguna idea de un número infinito carece de importancia; lo mismo es igual de cierto para los números finitos. Así considerado, nuestro número ∞1 tiene un carácter tan definido como el de cualquier número finito; puede ser reconocido otra vez como el mismo, y puede ser distinguido de cualquier otro. § 85. Es sólo recientemente que, en una obra notable, Cantor 96 introdujo los números infinitos. De todo corazón comparto su desprecio por la opinión según la cual en principio sólo deben admitirse como reales los números finitos. Perceptibles por los sentidos no son, ni tampoco son espaciales más de lo que lo son las fracciones, o los

96

Op. Cit., Leipzig, 1883.

84

números negativos, o los números irracionales o complejos, y si restringimos lo real a lo que actúa sobre nuestros sentidos o por lo menos produce efectos que pueden causar percepciones

sensoriales

como

consecuencias

cercanas

o

remotas,

entonces

naturalmente ningún número de ninguno de estos tipos es real. Pero igual de cierto es que no tenemos ninguna necesidad de apelar a ningún tipo de percepciones sensoriales al probar nuestros teoremas. Cualquier nombre o símbolo que haya sido introducido de manera irreprochablemente lógica puede emplearse sin indecisión en nuestras investigaciones, y aquí nuestro número ∞1 es tan sólido como 2 o 3. Mientras que en esto concuerdo, creo, con Cantor, mi terminología diverge hasta cierto punto de la suya. Para mi número él utiliza “potencia”, mientras que su concepto 97 de número hace referencia a la disposición en un orden. Los números finitos, ciertamente, emergen como independientes de la secuencia en serie, pero no así los números transfinitos. Pero en el uso ordinario, la palabra “número” y la cuestión “¿cuántos?” no se refieren a la disposición en un orden fijo. El número de Cantor responde más bien la pregunta: “¿qué miembro en la sucesión es el último miembro?” Así, me parece que mi terminología concuerda mejor con el uso ordinario. Si extendemos el significado de una palabra, debemos cuidar que, en la medida de lo posible, no se invalide ninguna proposición general en el proceso, especialmente una tan fundamental como la que del número afirma su independencia de la secuencia en serie. Para nosotros, ya que nuestro concepto de número ha cubierto desde el principio también números infinitos, no ha sido necesaria ninguna extensión de su significado. § 86. Para obtener sus números infinitos Cantor introduce el concepto relacional de seguir en una sucesión, que se aparta de mi “seguir en una serie”. Según él, obtendríamos una sucesión si, por ejemplo, dispusiéramos los números enteros positivos finitos en un orden tal que los números nones se siguiesen entre sí justo como lo hacen en la serie de los números naturales, y similarmente los números pares, pero con la estipulación de que todo número par habría de seguir después de cada número non. En esta sucesión 0, por ejemplo, seguiría después de 13. Pero ningún número vendría directamente antes de 0. Esta situación no puede presentarse en mi definición de siguiente en la serie. Puede probarse estrictamente, sin apelar a ningún axioma tomado de la intuición, que si y sigue en la serie φ después de x, entonces existe un objeto que en tal serie va directamente antes de y. Me parece que, en el sentido de Cantor, faltan 97

Esta expresión parecería entrar en conflicto con mi anterior insistencia sobre la naturaleza objetiva de los conceptos, pero todo lo que quiero decir que es subjetivo aquí es su uso de la palabra.

85

definiciones precisas de siguiente en la sucesión y de número. Es así que Cantor apela a la algo misteriosa “intuición interna” donde debería haber intentado encontrar, y en realidad pudo haberlo hecho, una prueba desde las definiciones. Pues creo poder anticipar cómo se habrían hecho precisos sus dos conceptos. En cualquier caso, nada de lo que he dicho pretende cuestionar de ninguna manera su legitimidad o su fertilidad. Por el contrario, encuentro razones especiales para ver en las investigaciones de Cantor una extensión de las fronteras de la ciencia, porque han llevado a la construcción de una ruta puramente aritmética para llegar a números transfinitos (potencias) de orden superior.

V. Conclusión

§ 87. Espero haber hecho verosímil que las leyes de la aritmética son juicios analíticos y, consecuentemente, a priori. De este manera, la aritmética se vuelve simplemente un desarrollo de la lógica, y toda proposición de la aritmética una ley de la lógica, aunque una derivada. Aplicar la aritmética en las ciencias físicas es llevar a la lógica a que se refiera a los hechos observados; 98 el cálculo se vuelve deducción. Las leyes del número no necesitan, como piensa Baumann, 99 resistir pruebas si han de ser aplicables al mundo exterior, porque en éste, en todo el espacio y en todo lo que hay en él, no hay conceptos, ni propiedades de conceptos, ni números. Las leyes del número, por lo tanto, no son realmente aplicables a cosas externas; no son leyes de la naturaleza. Son, sin embargo, aplicables a juicios válidos para las cosas en el mundo exterior: son leyes de las leyes de la naturaleza. No afirman conexiones entre los fenómenos, sino conexiones entre los juicios, y entre éstos están incluidas las leyes de la naturaleza. § 88. Obviamente Kant 100 - sin duda como resultado de definirlos muy estrechamente – subestimó el valor de los juicios analíticos, aunque parece que sí tenía algún atisbo del sentido más amplio en el que yo he utilizado el término. 101 Sobre la base de su definición, la división de juicios entre analíticos y sintéticos no es exhaustiva. En lo que está pensando es en el juicio afirmativo universal; ahí, podemos hablar de un concepto de sujeto y preguntarnos – como requiere su definición – si el 98

La propia observación ya incluye en ella una actividad lógica. Op. Cit., Vol. II, p. 670. 100 Op. Cit., Vol. III, pp. 39 y ss. 101 En la página 43 dice que una proposición sintética sólo se puede ver que es verdad por la ley de contradicción si otra proposición sintética está presupuesta. 99

86

concepto de predicado está o no contenido en él. Pero, ¿cómo podemos hacer esto si el sujeto es un objeto individual? ¿O si el juicio es uno de existencia? En estos casos simplemente no puede haber ninguna cuestión referente al concepto de sujeto en el sentido de Kant. Parece estar pensando en conceptos definidos ofreciendo una simple lista de características sin ningún orden especial, pero de todas las maneras de formar conceptos esa es la menos fructífera. Si examinamos las definiciones ofrecidas en este libro, difícilmente encontraremos una que encaje en esta descripción. Lo mismo es verdad de las definiciones realmente fructíferas en las matemáticas, como la de continuidad de una función. Lo que encontramos en éstas no es una simple lista de características; cada elemento de la definición está íntimamente, casi diría orgánicamente, conectado con los otros. Una ilustración geométrica hará la distinción clara para la intuición. Si representamos los conceptos (o sus extensiones) con figuras o áreas en un plano, entonces el concepto definido por una simple lista de características corresponde al área común a todas las áreas que representan las características definitorias; está encerrada por segmentos de sus líneas límite. Con una definición como esta, por lo tanto, lo que hacemos es – en términos de nuestra ilustración – utilizar las líneas ya dadas de una manera nueva para el propósito de demarcar un área. 102 Sin embargo, no surge nada nuevo en el proceso. Pero el tipo más fructífero de definición es una cuestión de trazar líneas límite que no estaban dadas previamente. Lo que podamos inferir de ella no puede reconocerse por adelantado; aquí, no simplemente estamos sacando de la caja lo que ya habíamos puesto en ella. Las conclusiones que sacamos de ella extienden nuestro conocimiento, y por tanto deben ser, bajo la posición de Kant, reconocidas como sintéticas; y sin embargo pueden ser probadas por medios puramente lógicos, y es así que son analíticas. Lo cierto es que están contenidas en las definiciones, pero como las plantas están contenidas en sus semillas, no como las vigas están contenidas en una casa. A menudo necesitamos varias definiciones para la prueba de alguna proposición que, consecuentemente, no está contenida en ninguna de ellas por sí sola, y sin embargo se sigue lógicamente de todas ellas juntas. § 89. También debo protestar en contra de la generalidad de la sentencia de Kant: sin sensibilidad no nos sería dado ningún objeto. El cero y el uno son objetos que no nos pueden ser dados en la sensación. E incluso aquellos que sostienen que los números más pequeños son intuibles, por lo menos deben conceder que en nuestra

102

Similarmente si las características están unidas por “o”.

87

1000

intuición no pueden estar dados ningunos de los números mayores que 10001000

, sobre

los cuales, no obstante, tenemos mucha información. Quizá Kant utilizó la palabra “objeto” en un sentido bastante distinto, pero en ese caso omite por completo la consideración del cero o del uno, o de nuestro ∞1 , porque éstos tampoco son conceptos, e incluso de un concepto Kant requiere que se les atribuya su objeto en la intuición. No tengo ningún deseo de incurrir en el reproche de haber abierto pequeñas disputas con un genio al que todos debemos mirar con asombro agradecido; me siento obligado, por lo tanto, a llamar la atención sobre el alcance de mi acuerdo con él, que excede por mucho cualquier desacuerdo. Para tocar sólo lo inmediatamente relevante, considero que Kant hizo un gran servicio al trazar la distinción entre juicios sintéticos y analíticos. Al llamar sintéticas y a priori a las verdades geométricas, reveló su verdadera naturaleza. Y esto merece ser repetido, porque incluso hoy en día no suele reconocerse. Si Kant se equivocó con respecto a la aritmética, eso no disminuye, en mi opinión, el valor de su trabajo. Su punto fue que hay cosas tales como juicios sintéticos a priori; si sólo se encuentran en la geometría, o también en la aritmética, es de poca importancia. § 90. No pretendo haber hecho del carácter analítico de las proposiciones geométricas algo más que probable, porque todavía puede dudarse si son deducibles exclusivamente de leyes puramente lógicas, o si algún otro tipo de premisa no está involucrado en algún punto en su prueba sin que nosotros lo notemos. Este temor no se disipará por completo ni siquiera por las indicaciones que he ofrecido sobre la prueba de algunas de las proposiciones; sólo puede eliminarse produciendo una cadena de deducciones sin ningún eslabón perdido, tal que no se tome ningún paso en ella que no se ajuste a alguno de un pequeño número de principios de inferencia reconocidos como puramente lógicos. A día de hoy, apenas se ha llevado a cabo una sola prueba sobre estas líneas; el matemático descansa tranquilo si toda transición hacia un juicio nuevo es autoevidentemente correcta, sin investigar la naturaleza de esta autoevidencia, si es lógica o intuitiva. En realidad, uno solo de tales pasos suele ser todo un compendio equivalente a varias inferencias simples, y en él puede arrastrarse algún elemento de la intuición. En las pruebas tal como las conocemos, el progreso se hace por saltos, razón por la cual parece ser excesivamente rica la variedad de tipos de inferencia en las matemáticas; porque entre mayor sea el salto, más diversas son las combinaciones que puede representar de simples inferencias con axiomas derivados de la intuición. A menudo, empero, la exactitud de tal transición nos resulta inmediatamente autoevidente,

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sin que seamos conscientes de los pasos subordinados condensados dentro de ella; con lo cual, ya que obviamente no se ajusta a ninguno de los tipos reconocidos de inferencia lógica, aceptamos su autoevidencia, en el acto, como intuitiva, y a la misma conclusión como una verdad sintética (y esto incluso cuando obviamente es válida para mucho más de lo que meramente puede intuirse). En estas líneas, lo que es sintético y basado sobre la intuición no puede ser claramente separado de lo que es analítico. Tampoco tendremos éxito en compilar con certeza un conjunto completo de axiomas de la intuición tal que de ellos solos podamos derivar, por medio de las leyes de la lógica, toda prueba en las matemáticas. § 91. La demanda no debe ser negada: debe prescribirse todo salto de nuestras deducciones. Que esto sea tan difícil de satisfacer proviene de lo tedioso que es proceder paso por paso. Cualquier prueba que sea un poco complicada amenaza con volverse desmesuradamente larga. Y además, la excesiva variedad de formas lógicas desarrolladas en nuestro lenguaje dificulta el aislamiento de un conjunto de modos de inferencia que sea tanto suficiente para hacer frente a todos los casos como fácil para acoger de un solo vistazo. Para minimizar estos inconvenientes, inventé mi ideografía. Está diseñada para producir expresiones que resultan más cortas y fáciles de acoger, y para ser operada como un cálculo por medio de un pequeño número de movimientos estándar, de tal forma que no se permita ningún paso que no se ajuste a las reglas que son establecidas de una vez por todas. 103 Es imposible, por lo tanto, que alguna premisa se arrastre en una prueba sin que sea notada. De este modo he ofrecido – sin tomar prestado ningún axioma de la intuición – una prueba de una proposición 104 que a primera vista podría tomarse como sintética, y que aquí formularé como sigue: Si la relación de cada miembro de una serie con su sucesor es (uno - o) muchosuno, y si m y y siguen en tal serie después de x, entonces y viene en tal serie antes que m, o coincide con m, o sigue después de m. De esta prueba puede verse que las proposiciones que extienden nuestro conocimiento pueden tener por contenido juicios analíticos. 105 103

Está diseñada, sin embargo, para poder expresar no solamente la forma lógica, como la notación de Boole, sino también el contenido de una proposición. 104 Begriffsschrift, Halle a/S. 1879, p. 86, fórmula 133. 105 Esta prueba, se encontrará, es demasiado larga, desventaja que quizá parezca pesar más que la certeza prácticamente absoluta de que no contiene errores ni brechas. Mi propósito en ese tiempo fue reducir todo al número más pequeño posible de las leyes lógicas más simples posibles. Consecuentemente, hice uso de sólo un principio de deducción. Sin embargo, incluso entonces noté en mi prefacio, p. VII, que para

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Otros números

§ 92. Hasta ahora hemos restringido nuestro tratamiento a los números [naturales]. Echemos un vistazo a otros tipos de números, e intentemos hacer algún uso, en este campo más amplio, de lo que hemos aprendido en el [campo] más estrecho. Hankel, 106 en un intento por aclarar el sentido de preguntar si es posible algún tipo particular de número, escribe: “Hoy día el número ya no es una cosa, una sustancia, existiendo por derecho propio independientemente del sujeto pensante y de los objetos a que da lugar, un elemento autosubsistente como lo fue para los pitagóricos. La cuestión de si existe algún número sólo puede entenderse, por tanto, refiriéndose al sujeto pensante o a los objetos sobre los que se piensa, cuyas relaciones representan los números. Como imposible, en sentido estricto, el matemático sólo considera lo que es lógicamente imposible, esto es, lo autocontradictorio. No requiere prueba el que los números imposibles en este sentido no puedan admitirse. Pero si los números en cuestión son lógicamente posibles, si su concepto está clara y completamente definido y por consiguiente libre de contradicción, entonces la cuestión de si existen sólo puede equivaler a esto: ¿Existe en la realidad o en el mundo real un sustrato, dado en nuestra intuición, para estos números, o existen objetos en los que ellos – relaciones para la mente del tipo definido – pueden volverse fenomenales?” § 93. La primera frase de Hankel no deja claro si sostiene que los números existen en el sujeto pensante o en los objetos que dan lugar a ellos, o en ambos. En sentido espacial no están, en cualquier caso, ni dentro ni fuera del sujeto ni de ningún objeto. Aunque, desde luego, están fuera del sujeto en el sentido de que no son subjetivos. Mientras que cada individuo sólo puede sentir su propio dolor o deseo o hambre, y puede experimentar sólo sus propias sensaciones de sonido y color, los números pueden ser objetos en común para muchos individuos, y en realidad son los mismos para todos, no meramente estados mentales más o menos similares en distintas mentes. Al hacer que la cuestión de la existencia de los números se refiera al sujeto pensante, Hankel parece volverla una cuestión psicológica, que de ninguna manera lo es. Las matemáticas no se ocupan de la naturaleza de nuestra mente, y la respuesta a

mayor aplicación sería imperativo admitir más de tales principios. Esto puede hacerse sin soltar ningún eslabón en la cadena de deducción, y de este modo es posible alcanzar un grado notable de compresión. 106 Op. Cit., pp. 6-7.

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cualquier pregunta psicológica debe ser, para el matemático, una cuestión completamente indiferente. § 94. Además, debe hacerse una excepción a la declaración de que el matemático considera como imposible únicamente lo que es autocontradictorio. Un concepto sigue siendo admisible incluso si sus características definitorias contienen una contradicción; lo que nos está prohibido hacer es presuponer que algo cae bajo él. Pero incluso si un concepto no contiene ninguna contradicción, no podemos inferir que por esa razón algo cae bajo él. Si tales conceptos no fuesen admisibles, ¿cómo podríamos siquiera probar que un concepto no contiene ninguna contradicción? No es, de ninguna manera, siempre obvio; no se sigue que, por no haber visto ninguna contradicción, no haya una, ni tampoco una definición clara y completa proporciona garantía alguna en contra de ella. Hankel 107 prueba que cualquier sistema de números complejos cerrado de orden superior al ordinario, si se hace sujeto a todas las leyes de adición y multiplicación, contiene una contradicción. Eso es algo que debe probarse; no se ve inmediatamente. Antes de ofrecer su prueba, cualquiera pudo, utilizando un sistema numérico de ese tipo, haber llegado a resultados notables cuya fundamentación no sería peor que la dada por Hankel 108 de la teoría de determinantes basada en los números alternantes; porque, ¿quién puede asegurarnos que no hay alguna contradicción oculta también en el concepto de estos números? Y más aún, incluso si pudiéramos excluir esta posibilidad para tantas unidades alternantes como queramos, no se seguiría que tales unidades existen. Pero eso es precisamente lo que necesitamos. Tomaremos un ejemplo del libro I, teorema 18, de los Elementos de Euclides: En cualquier triángulo, al lado mayor se opone el ángulo mayor. Para probar esto, Euclides corta del mayor lado AC un segmento AD igual al lado menor AB, haciendo uso, para este propósito, de una construcción previamente dada. La prueba colapsaría si no hubiese un punto como D, y no es suficiente con que no descubramos ninguna contradicción en el concepto “punto sobre AC cuya distancia de A es igual a la de B”. Euclides procede a unir BD. Que tal línea exista es otra proposición sobre la cual depende la prueba.

107 108

Op. Cit., pp. 106-7. Op. Cit., § 35, pp. 121-4.

91

§ 95. Estrictamente hablando, sólo podemos establecer que un concepto está libre de contradicción produciendo primero algo que cae bajo él. La inferencia inversa es una falacia, y una en la que cae Hankel. Refiriéndose a la ecuación x + b = c dice: 109 “Es obvio que, para b > c , no hay ningún número x en la serie 1, 2, 3,… que resuelve nuestro problema; la sustracción es entonces imposible. Sin embargo, nada nos impide en este caso considerar la diferencia (c − b) como un símbolo que resuelve el problema y con el que debe operarse exactamente como si fuera un signo numérico de la serie 1, 2, 3,….” Empero, sí hay algo que nos impide considerar (2 − 3) sin más como un símbolo que resuelve el problema, porque un símbolo vacío no es precisamente una solución; sin algún contenido no es más que tinta sobre papel, y como tal posee propiedades físicas pero no la de dar 2 cuando se le suma 3. Realmente no sería un símbolo en absoluto, y utilizarlo como tal sería un error lógico. Incluso para c > b no es el símbolo (" c − b ") el que resuelve el problema, sino su contenido. § 96. Podríamos decir también esto: entre los números hasta ahora conocidos no hay ninguno que satisfaga las ecuaciones simultáneas: x + 1 =2

x+2= 1,

pero nada nos impide introducir un símbolo que resuelva el problema. Ah, pero sí hay algo, se replicará: satisfacer ambas ecuaciones simultáneamente involucra una contradicción. Ciertamente, si estamos requiriendo un número real o un número complejo ordinario para satisfacerlas; pero entonces todo lo que tenemos que hacer es ampliar nuestro sistema numérico, crear números que cumplan con estos requerimientos. Entonces podemos esperar y ver si alguien consigue producir una contradicción en ellos. ¿Quién puede decir qué no puede ser posible con nuestros nuevos números? Naturalmente (c − b) no puede mantener su univocidad, pero tampoco a si queremos introducir números negativos; y con los números complejos log a se volvería multívoco. ¿Y por qué no crear más números que nos permitan sumar series divergentes? ¡No! El matemático no puede crear cosas a voluntad, no más que el geógrafo; él también sólo puede descubrir lo que está ahí y darle un nombre.

109

Op. Cit., p. 5. Similarmente E. Kossak, op. Cit., p. 17, ad fin.

92

Este es el error que infecta la teoría formalista de las fracciones y de los números negativos y complejos. 110 Se ha hecho un postulado que las reglas familiares del cálculo deban seguir valiendo, cuando sea posible, para los números recientemente introducidos, y de esto se deducen sus propiedades y relaciones generales. Si en ningún lado se encuentra una contradicción, la introducción de los nuevos números se toma por justificada, como si fuera imposible que alguna contradicción esté acechando por ahí, y como si la libertad de contradicción equivaliera directamente a la existencia. § 97. Que tan fácilmente se cometa este error se debe, desde luego, al fracaso en distinguir claramente entre conceptos y objetos. Nada nos impide utilizar el concepto “raíz cuadrada de −1 ”, pero no tenemos derecho a poner el artículo definido al frente de él sin más y tomar la expresión “la raíz cuadrada de −1 ” como teniendo un sentido. Dado que i 2 = −1 , podemos ofrecer una prueba de la fórmula expresando el seno de cualquier múltiplo del ángulo α en términos de sen α y cos α , pero no debemos olvidar que esta proposición continúa implicando la condición de que i 2 = −1 , que no tenemos derecho a dejar sin observación. Si no existiese nada cuyo cuadrado fuera −1 , entonces, para todo lo que valdría nuestra prueba, la fórmula podría no ser correcta, 111 ya que la condición i 2 = −1 , sobre la cual depende patentemente su validez, nunca estaría satisfecha. Sería como si, en una prueba geométrica, hubiésemos hecho uso de una línea auxiliar que es imposible construir. § 98. Hankel 112 introduce dos tipos de operación, que llama lítica y tética, y que define por medio de ciertas propiedades que poseen. No hay nada en contra de esto en tanto que no se presuponga que las operaciones de estos tipos y los objetos que son sus resultados existen. 113 Más tarde 114 simboliza una operación que es tética, unívoca, y asociativa, con (a + b) , y la correspondiente operación lítica, igualmente unívoca, con (a − b) . ¿Una operación que…? ¿Pero cuál? ¿La que queramos? Entonces eso no es una

definición de (a + b) ; y además, ¿qué si ninguna existe? Si la palabra “adición” todavía no tuviera ningún significado, sería lógicamente admisible decir: proponemos llamar a una operación de este tipo una adición; pero lo que no podemos decir es: proponemos llamar a una operación de este tipo la operación de adición, y simbolizarla con (a + b) .

110

Los números infinitos de Cantor están en la misma situación. Siempre podría ser posible probarla estrictamente de alguna otra manera. 112 Op. Cit., p. 18. 113 Esto realmente ya lo hace Hankel al utilizar la identidad Θ(c, b) = a. 114 Op. Cit., p. 29. 111

93

Pues aún no se ha establecido que hay una y sólo una operación así. No podemos definir poniendo a un lado de nuestra identidad el artículo indefinido y en el otro lado el definido. Hankel, sin embargo, pasa a hablar sin más de “el módulo de la operación”, sin haber probado que hay uno y sólo un módulo. § 99. En pocas palabras, esta teoría puramente formalista no es suficiente. Lo que hay de valor en ella es simplemente que podemos probar que, si cualquier operación posee ciertas propiedades, como la de ser asociativa o conmutativa, entonces son válidas ciertas proposiciones para ella. Así que si pasamos a mostrar que la adición y la multiplicación, que ya nos son conocidas, poseen estas propiedades, entonces podemos inmediatamente proceder a afirmar nuestras proposiciones de adición y multiplicación sin repetir toda la prueba para cada caso individual. Así, sólo después de haber aplicado nuestra teoría formal a operaciones dadas desde otro lugar podemos llegar a las proposiciones familiares de la aritmética. Pero no tenemos el menor derecho para suponer que podemos utilizarla como un método para introducir la adición y la multiplicación. No da sus definiciones reales, sino que sólo establece las líneas para ellas. Podríamos decir: el nombre “adición” sólo ha de darse a una operación que sea tética, unívoca, y asociativa, pero no hay nada en esto que nos indique cuál es la operación que debe ser llamada así. Según esto, no hay nada que nos impida llamar adición a la multiplicación y simbolizarla con (a + b) , ni nadie podría decir definitivamente si 2 + 3 son 5 o 6. § 100. Si abandonamos este método puramente formal, podemos fijarnos en la circunstancia de que, simultáneamente con la introducción de nuevos números, se extienden los significados de las palabras “suma” y “producto”. Tomamos algún objeto, digamos la Luna, y procedemos por definición: la Luna multiplicada por sí misma es −1 . Esto nos da una raíz cuadrada de −1 en la forma de la Luna. No parece haber nada

malo con esta definición, ya que el significado asignado hasta ahora a la multiplicación no dice nada en cuanto al sentido de un producto como la Luna en la Luna, así que éste puede establecerse arbitrariamente como ampliación de aquel significado. Pero también necesitamos el producto de un número real en la raíz cuadrada de −1 . Así pues, en lugar de nuestra raíz cuadrada de −1 , elijamos el intervalo de tiempo de un segundo, y simbolicémoslo con i. Así, 3i significará el intervalo de tiempo de 3 segundos, y así

94

sucesivamente. 115 ¿Entonces qué objeto simbolizaremos con, digamos, 2 + 3i ? ¿Qué significado debe asignarse al símbolo de más en este caso? Esto debe establecerse de manera general para todos los casos, lo que claramente no será fácil. Sin embargo, simplemente asumamos que hemos conseguido asegurar un sentido para todos los símbolos de la forma a + bi , y un sentido tal que son válidas las leyes familiares de la adición. Lo que entonces tendríamos que hacer es establecer que generalmente (a + bi )(c + di ) = ac − bd + i (ad + bc) ,

definiendo así el significado extendido de la multiplicación. § 101. Ahora podríamos probar la fórmula para cos (nα ) si supiésemos que desde la identidad de los números complejos puede inferirse la identidad de sus partes reales. Eso tendría que resultar del sentido de a + bi , que aquí estamos admitiendo como existente. Así, nuestra prueba de la fórmula sería válida sólo para números complejos y sus sumas y productos en el sentido fijado por nosotros. Ahora, ya que para un entero real n y para un real α i desaparece por completo de la identidad en la fórmula, estamos tentados a concluir que es inmaterial si i significa un segundo o un milímetro o cualquier otra cosa, siempre y cuando nuestras leyes de adición y multiplicación sean válidas; todo depende de eso, y sobre lo demás no necesitamos molestarnos. Bueno, quizá es en realidad posible asignar toda una variedad de distintos significados a a + bi y a la suma y al producto, todos ellos tales que sigan siendo válidas esas leyes; pero no es inmaterial si podemos o no encontrar algún sentido tal para esas expresiones. § 102. Es común proceder como si una mera postulación fuera equivalente a su propia realización. Postulamos que en todos los casos debe ser posible llevar a cabo la operación de sustracción, 116 o la de división, o la de extracción de una raíz, y suponemos que con eso hemos hecho suficiente. Pero, ¿por qué no postulamos que por cualesquiera tres puntos debe ser posible trazar una línea recta? ¿Por qué no postulamos que todas las leyes de la adición y multiplicación deben seguir valiendo para un sistema numérico complejo tridimensional justo como valen para los números reales? Porque este postulado contiene una contradicción. Muy bien, entonces lo que tenemos que hacer primero es probar que estos otros postulados nuestros no contienen ninguna Deberíamos tener igualmente derecho a elegir, como otras raíces cuadradas de −1 , un cierto cuanto de electricidad, una cierta área, y así sucesivamente; pero entonces naturalmente tendríamos que utilizar distintos símbolos para significar estas distintas raíces. Que seamos capaces, aparentemente, de crear de este modo tantas raíces de −1 como nos plazca no es tan sorprendente cuando reflexionamos que el significado de la raíz cuadrada de −1 no es algo que estuviera inalterablemente fijado antes de hacer estas elecciones, sino que se decide por primera vez junto con ellas. 116 Cf. Kossak, op. Cit., p. 17. 115

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contradicción. Hasta haber hecho eso, todos los esfuerzos por ser rigurosos son pantomimas. En un teorema geométrico donde se utiliza una línea construida para la prueba, la línea auxiliar no ocurre en el teorema. Quizá es posible más de una línea así, como por ejemplo cuando elegimos un punto a voluntad. Pero por mucho que pueda prescindirse de cada una de ellas individualmente, la contundencia de nuestra prueba depende de que sea posible trazar alguna línea del carácter requerido. Postularla no es suficiente. También en nuestro caso no es inmaterial para la contundencia de nuestra prueba si “ a + bi ” tiene un sentido o no es nada más que tinta sobre papel. No nos llevará a ningún lado simplemente requerir que tenga un sentido, o decir que ha de tener el sentido de la suma de a y bi, sin antes haber definido qué significa “suma” en este caso y haber justificado el uso del artículo definido. § 103. En contra del sentido particular que hemos propuesto asignar a “i” pueden lanzarse muchas objeciones. Con él, estamos importando en la aritmética algo muy ajeno a ella: el tiempo. El segundo no tiene ninguna relación intrínseca con los números reales. Las proposiciones probadas con la ayuda de números complejos se volverían juicios a posteriori, o mejor dicho y en cualquier caso, sintéticos, a menos que pudiéramos encontrar algún otro tipo de prueba para ellas o algún otro sentido para i. Por lo menos debemos intentar mostrar primero que todas las proposiciones de la aritmética son analíticas. La consideración de número complejo de Kossak 117, “la idea compuesta de grupos heterogéneos de elementos idénticos”, 118 parece evitar la importación de cualquier cosa ajena, pero esta apariencia obedece a la vaguedad de su terminología. No nos está ofreciendo ninguna respuesta a la pregunta ¿qué significa realmente 1 + i ? ¿Es la idea de una manzana y una pera, o la idea del dolor de muelas y la gota? En cualquier caso, no ambas a la vez, porque entonces 1 + i no sería siempre idéntico a 1 + i . La tentación es decir: depende del significado especial que le asignemos. Muy bien, pero entonces la declaración de Kossak, una vez más, no nos da ninguna definición de número complejo, sino que sólo establece las líneas generales para proceder. Pero necesitamos más; debemos saber definitivamente qué significa “i”, y si procedemos en

117

Op. Cit., p. 17. Cf. Para el término “idea” compárese lo dicho en § 27, para “grupo” lo que se dice sobre “aglomeración” en § 23 y § 25, y para la identidad de los elementos, §§ 34-39. 118

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sus líneas y decimos que significa la idea de una pera, otra vez estaremos introduciendo algo ajeno en la aritmética. Lo que suele llamarse la representación geométrica de números complejos tiene por lo menos la ventaja, sobre las propuestas hasta aquí consideradas, de que en ella 1 y i no aparecen completamente desconectados y distintos en especie: el segmento tomado para representar i guarda una relación regular con el segmento que representa 1. Aunque yo añadiría que, estrictamente hablando, no es correcto decir que 1 aquí significa un cierto segmento y i un segmento de la misma longitud perpendicular a él; por el contrario, en todos los contextos “1” significa lo mismo. En esta interpretación, un número complejo muestra cómo se alcanza el segmento tomado como su representación, comenzando desde un segmento dado (el segmento unidad), por medio de operaciones de multiplicación, división, y rotación. 119 Sin embargo, incluso esta consideración parece hacer a cada teorema cuya prueba ha de basarse sobre la existencia de un número complejo dependiente de la intuición geométrica, y de esta forma sintético. § 104. ¿Cómo entonces nos son dados los números complejos, y las fracciones y los números irracionales? Si pedimos asistencia de la intuición, importamos algo ajeno a la aritmética; pero si sólo definimos el concepto de tal número dando sus características, si simplemente requerimos que el número tenga ciertas propiedades, entonces no hay garantía de que cualquier cosa caiga bajo el concepto y que responda nuestros requerimientos, y con todo, es precisamente sobre esto que deben basarse las pruebas. Y bien, ¿cómo están las cosas con los números [naturales]? ¿Realmente no 1000

tenemos derecho a hablar de 10001000

hasta el tiempo en que tantos objetos nos hayan

sido dados en la intuición? ¿Es un símbolo vacío hasta entonces? De ninguna manera. Tiene un sentido perfectamente definido, incluso cuando, psicológicamente hablando y habiendo considerado la brevedad de la vida humana, nos sea imposible volvernos 1000

conscientes de tantos objetos; 120 a pesar de esto, 10001000

sigue siendo un objeto cuyas

propiedades podemos llegar a conocer, aunque no sea intuible. Para convencernos de esto, sólo tenemos que mostrar que, introduciendo el símbolo a n para la enésima potencia de a, para el entero positivo a y n esta expresión siempre se refiere a uno y sólo un número entero positivo. Ofrecer una prueba detallada de esto nos llevaría muy lejos

119 120

Por razones de simplicidad omito aquí los inconmensurables. Un simple cálculo muestra que ni siquiera millones de años serían suficientes para eso.

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de nuestros propósitos presentes. Una idea general de cómo va puede reunirse del método utilizado para definir al cero en §74, al uno en §77, y al número infinito ∞1 en §84, así como del esbozo de la prueba de que después de cada número finito en la serie de números naturales sigue directamente un número (§§82-3). Del mismo modo que con las definiciones de fracciones, números complejos y el resto, al final todo se reduce a la búsqueda de un juicio-contenido que pueda transformarse en una identidad cuyos lados sean precisamente los nuevos números. En otras palabras, lo que debemos hacer es fijar el sentido de un juicio de reconocimiento para el caso de estos números. Al hacerlo, no debemos olvidar las dudas que surgieron por tales transformaciones, discutidas en §§63-68. Si seguimos el mismo procedimiento como lo hicimos ahí, entonces los nuevos números nos son dados como extensiones de conceptos. § 105. Con esta perspectiva de los números 121 me parece que se explica fácilmente el atractivo que ejerce el trabajo sobre la aritmética y el análisis. Podríamos decir, parafraseando palabras conocidas: el estudio propio de la razón es ella misma. En la aritmética no nos ocupamos de los objetos que llegamos a conocer como algo ajeno desde fuera por medio de los sentidos, sino de los objetos dados directamente a nuestra razón y, como su piel más cercana, totalmente transparentes a ella. 122 Y sin embargo, o mejor dicho por esa precisa razón, estos objetos no son fantasías subjetivas. No hay nada más objetivo que las leyes de la aritmética. § 106. Echemos un breve vistazo final al curso de nuestra investigación. Después de establecer que el número no es ni una colección de cosas ni una propiedad de las mismas, y que tampoco es un producto subjetivo de procesos mentales, concluimos que una declaración de número afirma algo objetivo de un concepto. Después intentamos definir los números individuales 0, 1, etc., y el paso de un número al siguiente en la serie numérica. Nuestro primer intento fracasó porque habíamos definido sólo al predicado que dijimos era afirmado del concepto, pero no habíamos ofrecido definiciones separadas de 0 o 1, que son solamente elementos en tales predicados. Esto resultó en que no podíamos probar la identidad de los números. Se

121

Que también podría llamarse formalista. Sin embargo, es completamente distinta de la perspectiva con el mismo nombre criticada antes. 122 Con esto no pretendo negar, en lo más mínimo, que sin impresiones sensoriales seríamos tan estúpidos como las piedras, y no sabríamos ni de números ni de ninguna otra cosa; pero esta proposición psicológica no nos ocupa aquí. Debido al peligro siempre presente de confundir dos cuestiones fundamentalmente distintas, hago esta observación una vez más.

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hizo evidente que el número estudiado por la aritmética no debe concebirse como un atributo dependiente, sino sustantivamente. 123 De esta manera el número surgió como un objeto que puede ser reconocido de nuevo, aunque no como un objeto espacial o físico, ni tampoco como uno sobre el que podamos formarnos una imagen por medio de nuestra imaginación. Después establecimos el principio fundamental de que nunca debemos definir el significado de una palabra aislada, sino sólo como es empleada en el contexto de una proposición: únicamente adhiriéndonos a esto podemos, creo, eludir una perspectiva física del número sin caer en una perspectiva psicológica. Ahora, para cada objeto hay un tipo de proposición que debe tener un sentido, a saber, la declaración de reconocimiento, que en el caso de los números es la identidad. También, como vimos, las declaraciones de número deben reconocerse como identidades. El problema, pues, era este: fijar el sentido de una identidad numérica, es decir, expresar tal sentido sin hacer uso de numerales o de la palabra “número”. Encontramos que el contenido de un juicio de reconocimiento relativo a los números era que es posible correlacionar uno a uno los objetos cayendo bajo un concepto F con aquellos cayendo bajo un concepto G. En consecuencia, nuestra definición tuvo que establecer que una declaración de esta posibilidad significa lo mismo que una identidad numérica. Recordamos casos similares: la definición de dirección derivada del paralelismo de líneas, la de forma derivada de la similitud de figuras, etcétera. § 107. Entonces surgió la cuestión: ¿cuándo tenemos derecho a considerar un contenido como el de un juicio de reconocimiento? Para esto tenía que satisfacerse una cierta condición, a saber, que en cada juicio debe ser posible sustituir sin pérdida de verdad el lado derecho de nuestra identidad putativa por su lado izquierdo. Ahora, desde el principio y hasta que no añadamos nuevas definiciones, no conocemos ninguna otra afirmación relativa a cualquier lado de tal identidad excepto que son idénticos. Por lo tanto, sólo teníamos que mostrar que la sustitución es posible en una identidad. Sin embargo, quedaba una duda. Una declaración de reconocimiento siempre debe tener un sentido. Pero si tratamos la posibilidad de correlacionar uno a uno los objetos cayendo bajo el concepto F con los objetos cayendo bajo el concepto G como una identidad, poniendo por ella: “el número que pertenece al concepto F es idéntico al número que pertenece al concepto G”, introduciendo así la expresión “el número que pertenece al concepto F”, obtenemos un sentido para la identidad sólo si ambos de sus

123

La distinción corresponde a la que existe entre “azul” y “el color del cielo”.

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lados son de la forma recién mencionada. Una definición como esta no basta para permitirnos decidir si una identidad es verdadera o falsa si sólo un lado de ella es de esta forma. Esto nos llevó a ofrecer la definición: El número que pertenece al concepto F es la extensión del concepto “concepto igual al concepto F”, donde un concepto F es llamado igual a un concepto G si existe la posibilidad de correlación uno-uno referida arriba. En esta definición, se asume el sentido de la expresión “extensión de un concepto” como conocido. Este modo de superar la dificultad puede no tener una aprobación universal, y muchos preferirán otros métodos para eliminar la duda en cuestión. Tampoco atribuyo una importancia decisiva a la utilización de la extensión de un concepto. § 108. Ahora quedaba por definir la correlación uno-uno, y ésta la reducimos a relaciones puramente lógicas. Después, ofrecimos primero un esbozo de la prueba de la proposición: el número que pertenece al concepto F es idéntico al número que pertenece al concepto G si el concepto F es igual al concepto G, y después ofrecimos definiciones del cero, de la expresión “n sigue en la serie de números naturales directamente después de m”, y del número 1, mostrando que 1 sigue en la serie de números naturales directamente después de 0. Después de aducir un número de proposiciones fácilmente demostrables en esta etapa, pasamos a considerar con más atención la siguiente proposición, de la cual aprendimos que la serie numérica es infinita: Después de cada número sigue en la serie de números naturales un número. Esto nos llevó al concepto “miembro de la serie de números naturales que termina en n”, con el objetivo de mostrar que el número perteneciente a este concepto sigue en la serie de números naturales directamente después de n. Comenzamos por definir esto en términos de seguir un objeto y a un objeto x en una serie φ en general. El sentido de esta expresión también fue reducido a relaciones puramente lógicas. Y por este medio conseguimos mostrar que la inferencia desde n hasta (n + 1) , que suele considerarse peculiar de las matemáticas, en realidad está basada sobre los principios universales de la inferencia lógica. Para probar que la serie numérica es infinita, necesitábamos hacer uso de la proposición de que ningún número finito sigue en la serie de números naturales después de sí mismo. Y así llegamos a los conceptos de número finito e infinito. Mostramos que, en lo fundamental, el último no está menos lógicamente justificado que el primero. En

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aras de la comparación, nos referimos a los números infinitos y al “siguiente en la sucesión” de Cantor, y al mismo tiempo señalamos la divergencia con su terminología. § 109. De todo lo anterior surgió la muy probable conclusión de que las verdades de la aritmética son analíticas y a priori, y conseguimos mejorar la posición de Kant. Vimos además qué se necesitaba todavía para elevar esta probabilidad a una certeza, e indicamos el camino que debe seguir tal meta. Finalmente, utilizamos nuestros resultados para criticar la teoría formalista de los números negativos, fraccionales, irracionales, y complejos, que evidenciaron la insuficiencia de la teoría. Vimos que su error yace en tomar como probado que un concepto está libre de contradicción si no se ha revelado ninguna contradicción, y en considerar la libertad de contradicción en un concepto como garantía suficiente de que algo cae bajo él. Esta teoría imagina que todo lo que necesitamos es hacer postulados; que éstos estén satisfechos le es evidente. [La teoría] se conduce como un dios, que con su sola palabra puede crear lo que quiera. También debía censurarse que hace pasar por definición lo que es solamente una guía hacia una definición, y además una que, si se siguiese, llevaría a la introducción de elementos ajenos en la aritmética; es cierto que éstos no se entrometen en las palabras de la “definición”, pero sólo porque sigue siendo una mera guía. Así, los formalistas están en peligro de recaer en una teoría a posteriori o en cualquier caso sintética, por mucho que den la impresión de flotar en las cimas de la abstracción. Pero nosotros hemos visto, por nuestro tratamiento previo de los números enteros positivos, que es posible evitar toda importación de cosas externas e intuiciones geométricas en la aritmética, sin por ello caer en el error de los formalistas. Aquí, como allá, es una cuestión de fijar el contenido de un juicio de reconocimiento. Si suponemos satisfecho esto en todas partes, los números de todo tipo, ya sean negativos, fraccionales, irracionales, o complejos, ya no son más misteriosos que los números enteros positivos, que a su vez no son más reales o más presentes o más palpables que aquellos.

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