UNIVERSIDADES PÚBLICAS DE LA COMUNIDAD DE MADRID PRUEBA DE ACCESO A ESTUDIOS UNIVERSITARIOS (LOGSE) FÍSICA Septiembre 2017 INSTRUCCIONES Y CRITERIOS GENERALES DE CALIFICACIÓN

Después de leer atentamente todas las preguntas, el alumno deberá escoger una de las dos opciones propuestas y responder a las cuestiones de la opción elegida. CALIFICACIÓN: Cada pregunta se valorará sobre 2 puntos (1 punto cada apartado). TIEMPO: 90 minutos.

OPCIÓN A Pregunta 1.a) Aplicando el principio de conservación de la energía mecánica, obtenga una expresión para la velocidad de escape de un cuerpo desde la superficie de un planeta esférico de radio R y masa M. b) Calcule la velocidad de escape desde la superficie de Mercurio sabiendo que posee una masa de 3,30⋅1023 kg y una aceleración de la gravedad en su superficie de 3,70 m·s‒2.

Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2.

Solución. a. Considerando que el campo gravitatorio es conservativo, la energía mecánica en la superficie del planeta será la misma que en el infinito. E Mecánica (Superficie ) = E Mecánica (Infinito ) Teóricamente, se supone que se llega con velocidad nula, y como la distancia es infinita, la energía mecánica en el infinito es nula E c (Superficie ) + E p (Superficie ) = E c (Infinito ) + E p (Infinito ) 14243 14243 0 porque v = 0

0 porque r = ∞

Si se denomina como ve a la velocidad de escape, velocidad que deberá tener el cuerpo en la superficie del planeta: 1 M⋅m  mv e2 +  − G =0 2 R   Expresión que permite despejar la velocidad en función de la masa del asteroide y de su radio.

ve =

2GM R

b. Para calcular la velocidad de escape desde la superficie de Mercurio necesitamos conocer el radio del planeta, el cual se puede calcular a partir de la intensidad de campo gravitatorio en su superficie. El peso de un cuerpo es la fuerza con que el planeta lo atrae, aplicado a la superficie de Mercurio: r r módulo Mm M M FG = P   → G 2 = mg R= G g=G 2 g R R

R = 6,67 ⋅ 10 −11

3,30 ⋅ 1023 = 2,44 ⋅ 106 m 3,70

Conocido el radio se calcula la velocidad de escape:

ve =

2GM = R

2 ⋅ 6,67 ⋅ 10−11 ⋅ 3,30 ⋅ 1023 2,44 ⋅ 106

1

= 4248 m

s

Pregunta 2.- La perturbación asociada a una onda viene descrita por la expresión, ψ(x, t) = 10‒8 sen (2765 t +1,85 x), donde ψ y x se expresan en metros y t en segundos. a) Indique su dirección y sentido de propagación, y calcule su longitud de onda y su frecuencia. b) Obtenga la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de oscilación. Solución. a. La ecuación de una onda armónica unidimensional que se desplaza en el sentido positivo del eje x es: ψ(x, t) = A sen (ωt ‒ Kx + ϕo) Por comparación con la ecuación del enunciado, la onda se desplaza en el eje x en el sentido negativo. La longitud de onda se obtiene del valor de K(número de onda) y la frecuencia de ω(frecuencia angular). 2π 2π 2π K= λ= = = 3,4 m λ K 1,85 ω 2765 f= = = 440 Hz ω = 2π f 2π 2π b.

Velocidad de propagación: v p = λ f = 3,4 ⋅ 440 = 1496 m s −1 La velocidad de vibración se obtiene derivando la ecuación de la onda. dΨ d v= = (A sen (ωt − Kx + ϕo )) = Aω cos(ωt − Kx + ϕo ) dt dt

En este tipo de ecuaciones, la velocidad alcanza su valor máximo cuando la función trigonométrica toma el valor 1.

v max = Aω = 10 −8 ⋅ 2765 = 2,765 ⋅ 10−5 m s −1

Pregunta 3.- Dos cargas de +5 nC están separadas una distancia de 4 cm de acuerdo a la figura adjunta. Calcule: a) El campo eléctrico en el punto A y en el punto B creado por ambas cargas. b) El potencial eléctrico en el punto A y en el punto B, y el trabajo que hay que realizar sobre una carga de +3 nC para desplazarla desde el punto A al punto B. Dato: Constante de la Ley de Coulomb, K = 9·109 N m2 C‒2.

Solución. a. Campo eléctrico en A. Aplicando el principio de superposición, el campo eléctrico en el punto A es la suma vectorial de los campos que generan cada una de las cargas. Como puede verse en la figura adjunta, y teniendo en cuenta que las cargas son iguales y están a igual distancia en direcciones simétricas, el campo eléctrico r en el punto A es la suma de las componentes E y de los campos eléctricos que crean cada una de las cargas ya que las componentes r E x se anulan entre ellas. En la figura inicial, puede observarse que las cargas y el punto A forman un triángulo equilátero, por lo que α = 60º. El módulo del campo eléctrico que crea cualquiera de las cargas en el punto A es: r q 5 ⋅ 10−9 E = E = K 2 = 9 ⋅ 109 = 28 125 N C r 0,04 2 En forma vectorial: r r r r r r r E1 = E x 1 + E y1 = E ⋅ cos α i + E ⋅ sen α j = 28125 ⋅ cos 60 i + 28125 ⋅ sen 60 j r r r r r r r E 2 = E x 2 + E y 2 = −E ⋅ cos α i + E ⋅ sen α j = −28125 ⋅ cos 60 i + 28125 ⋅ sen 60 j

2

El campo resultante es la suma vectorial de los campos que crea cada una de las cargas r r r r r E A = E1 + E 2 = 2 ⋅ 28125 ⋅ sen 60 j = 48 714 j N C Campo eléctrico en B. Aplicando el principio de superposición, el campo en el punto B es la suma de los campos que crean cada una de las cargas. Por geometría, los campos se anulan entre si resultando que el campo eléctrico total en B es nulo. No es necesario, pero si se quiere se puede hacer el calculo numérico y de esa forma no tener que dar explicaciones. Módulo del campo eléctrico creado por una cualquiera de las cargas en el punto B: r q 5 ⋅ 10−9 E = E = K 2 = 9 ⋅ 109 = 112 500 N C r 0,022 Vectores:

r r r r r r E1 = E x 1 = E i = 112 500 i  r r r  : E B = E1 + E 2 = 0 r r E 2 = E x 2 = − E i = −112 500 i 

b. Aplicando el principio de superposición y teniendo en cuenta que el potencial (V) es una magnitud escalar:  q = q2 = q  q q q 5 ⋅ 10 −9 VA = V1 + V2 = K ⋅ 1 + K ⋅ 2 =  1 = 2 ⋅ 9 ⋅ 109 = 2250 v  = 2K ⋅ r1A r2 A r1A = r2 A = rA  rA 0,04

VB = V1 + V2 = K ⋅

−9  q = q2 = q  q1 q q 9 5 ⋅ 10 +K⋅ 2 = 1 = 2 K ⋅ = 2 ⋅ 9 ⋅ 10 = 4500 v  r1B r2B r1B = r2 B = rB  rB 0,02

El trabajo para desplazar una carga Q desde A a B es:

WA → B = −Q ⋅ ∆V = −Q ⋅ (VB − VA ) = −3 ⋅ 10 −9 ⋅ (4500 − 2250) = −6,75 ⋅ 10 −6 J El signo negativo indica que el trabajo hay que hacerlo en contra del campo, lo cuál confirma que las cargas positivas tienden a desplazarse hacia regiones de menor potencial, por lo que si queremos desplazarla hacia una zona de mayor potencial deberemos realizar un trabajo en contra del campo

Pregunta 4.- Sea una lente convergente de distancia focal de 5 cm. a) Calcule la distancia entre la lente y la imagen formada para un objeto situado en el infinito, y para un objeto situado a 20 cm de la lente. b) Determine el tamaño de un objeto que está situado a 20 cm de la lente y forma una imagen de 30 mm de altura, y realice el diagrama de rayos correspondiente para la formación de la imagen. Solución. a. Aplicando la ecuación fundamental de las lentes delgadas: 1 1 1  s = −∞ − = s′ = 5 cm Si 1 1 1 ′ s − ∞ 5 − = : f ′ = 5 cm :  1 1 1 20 s′ s f ′ Si s = −20 cm − = s′ = = 6,67 cm s′ − 20 5 3  El primer caso es la definición teórica de foco imagen b. Aplicando la ecuación del aumento lateral y teniendo en cuenta que la imagen de un objeto situado por detrás del foco de una lente delgada es Real, Invertida y Menor: y′ s ′ AL = = y s

y = y′ ⋅

s Imagen INVERTIDA 20 3 = = 90 mm  = −30 ⋅ s′  y′ = −30 mm − 20 

3

Pregunta 5.- Un átomo de 238U se desintegra a través de una cascada radioactiva y da lugar a un átomo de 206Pb, siendo el periodo de semidesintegración del 238U de 4,47·109 años. Una muestra mineral de monacita contiene 2,74 mg de 238U y 1,12 mg de 206Pb procedentes de la desintegración del uranio. a) Obtenga el número de átomos iniciales de 238U en la muestra, a partir del cálculo del número de átomos de uranio y de plomo existentes en ella. b) Calcule la antigüedad del mineral y determine la actividad actual de la muestra.

Datos: Masa atómica del 238U, MU = 238,05 u; Masa atómica del plomo 206Pb, MPb = 205,97 u; Número de Avogadro, NA = 6,02·1023 mol‒1. Solución. a. Cada núcleo de 238U que se desintegra da lugar a un núcleo 206Pb, por lo tanto el número de núcleos iniciales será la suma del número de núcleos de 238U que quedan sin desintegrar con el número de núcleos de 206Pb que se han formado. Si designo por N al número de núcleos que tiene el mineral y No al de núcleos iniciales:

1 mol 238 U 6,02 ⋅ 1023 núcleos 238 U N 238 U = 2,74 ⋅ 10-3 g 238 U ⋅ ⋅ = 6,93 ⋅ 1018 núcleos 238 238 238,05 g U mol U

(

)

1 mol 206 Pb 6,02 ⋅ 1023 núcleos 206Pb N 206 Pb = 1,12 ⋅ 10-3 g 238 U ⋅ ⋅ = 3,27 ⋅ 1018 núcleos 206 206 205,97 g Pb mol Pb

(

)

(

) (

)

N o = N 238 U + N 206 Pb = 6,93 ⋅ 1018 + 3,27 ⋅ 1018 = 1,02 ⋅ 1019 núcleos b.

La antigüedad del mineral se calcula mediante la ecuación fundamental de la radioactividad.

N = N o ⋅ e −λ t Siendo λ la constante de desintegración, que se puede calcular a partir del periodo de semidesintegración (tiempo necesario para que el número de núcleos iniciales se reduzca a la mitad). Prop

No 1 logaritmos − λ T1 2 = No ⋅ e ⇒ −λ T1 2 = Ln    → λ T1 2 = Ln 2 2 2 Ln 2 Ln 2 λ= = = 1,55 ⋅ 10 −10 a −1 T1 2 4,47 ⋅ 109 Si la ecuación fundamental se aplica al número de núcleos actuales, se calcula la edad del mineral.

6,93 ⋅ 1018 = 1,02 ⋅ 1019 ⋅ e −1,55⋅10

−10

t

Tomando logaritmos neperianos se despeja t

 6,93 ⋅ 1018   Ln  1,02 ⋅ 1019    ≈ 2,5 ⋅ 109 a t= −10 − 1,55 ⋅ 10 Aproximadamente 2500 millones de años La actividad de la muestra, es el número de núcleos que se desintegran en la unidad de tiempo, se calcula como el producto del número de núcleos por la constante de desintegración.

A = λ ⋅ N = 1,55 × 10 −10 ⋅ 6,93 ⋅ 1018 = 1,07 ⋅ 109 Desintegraciones

año

En el sistema internacional se expresa en Bq (Becquerel) que equivale a una desintegración por segundo.

A = 1,07 ⋅ 109

Desintegraciones 1 año 1 d 1h ⋅ ⋅ ⋅ ≈ 34,1 Bq año 365 d 24 h 3600 s

4

OPCIÓN B Pregunta 1.a) A partir de la ley fundamental de la dinámica, deduzca la expresión de la velocidad orbital de un satélite que gira en una órbita circular de radio R alrededor de un planeta de masa M. b) Si un satélite de 21 kg gira alrededor del planeta Marte, calcule el radio de la órbita circular y la energía mecánica del satélite si su periodo es igual al de rotación del planeta. Datos: Masa de Marte, MMarte = 6,42·1023 kg; Periodo de revolución del planeta, TMarte = 24,62 h; Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10‒11 N m2 kg‒2. Solución. Si el satélite describe una orbita circular con movimiento uniforme, se debe cumplir que la suma a. de fuerzas que actúen sobre él, deberán ser igual a la fuerza centrípeta. r r r F = Fcentripeta = m ⋅ a c

∑

La única fuerza que actúa sobre el satélite es la gravitatoria que genera el planeta, pasando a módulo:

G

M⋅m r

b.

2

= m⋅

v2 r

v2 = G

M r

v= G

M r

De la expresión del apartado anterior se puede despejar el radio: GM v = ω ⋅ r  GM 2π  : r = r = 2 : 2 ω = v   2π  T  ⋅ r    T  GM Ordenando se obtiene la tercera Ley de Kepler: r 3 = T 2 ⋅ 2 4π

r = 3 T2 ⋅

GM 4π 2

= 3 (24,62 ⋅ 3600)2 ⋅

6,67 ⋅ 10 −11 ⋅ 6,42 ⋅ 1023 4π 2

≈ 2,04 ⋅ 107 m = 20 400 Km

La energía mecánica de satélite es la suma de su energía cinética y potencial. 1 Mm   2 M  1 Mm Mm 1 Mm  E M = E c + E p = mv 2 +  − G −G =− G  = v = G  = G 2 r r 2 r r 2 r    

1 6,42 ⋅ 1023 ⋅ 21 E M = − 6,67 ⋅ 10 −11 = −2,2 ⋅ 107 J 2 2,04 ⋅ 107

Pregunta 2.- Una fuente puntual de 3 µW emite una onda sonora. a) ¿Qué magnitud física “oscila” en una onda de sonido? ¿Es una onda longitudinal o transversal? b) Calcule la intensidad sonora y el nivel de intensidad sonora a 5 m de la fuente. Determine a qué distancia del foco emisor se debe situar un observador para dejar de percibir dicho sonido. Dato: Intensidad umbral de audición, Io =10‒12 W m‒2.

Solución. El sonido es una onda que consiste en una sucesión de compresiones y enrarecimientos del a. medio que las propaga, por lo tanto, la magnitud que oscila es la presión. Es una onda mecánica y longitudinal, ya que la magnitud que oscila, la presión, varía en la dirección de propagación. b. La intensidad sonora es el cociente entre la potencia y la superficie de la onda, supuesto que el sonido son ondas esféricas:

I=

P P 3 ⋅ 10 −6 = = = 9,55 ⋅ 10 − 9 w 2 m S 4πr 2 4π ⋅ 52

El nivel de intensidad sonora es una magnitud que se utiliza para comparar las intensidades de I diferente sonidos, es una escala logarítmica que viene expresada por β = 10 log siendo Io la intensidad Io umbral de audición humana.

5

 9,55 ⋅ 10 −9   = 39,8 β = 10 log  10−12    Para que un observador deje de percibir el sonido se deberá situar en un punto donde la intensidad del sonido sea igual o menor que la intensidad umbral.

Io =

P

ro =

4π ro2

P = 4π I o

1 ⋅ 10 − 6 4π ⋅ 10−12

= 489 m

Pregunta 3.- Una partícula alfa (núcleo de helio) inicialmente en reposo se acelera a través de una diferencia de potencial de 5 kV, y entra en una región con un campo magnético de 0,3 T perpendicular a su velocidad, como muestra la figura. Determine al penetrar en el campo magnético: a) La energía cinética adquirida por la partícula y el módulo de su velocidad. b) La fuerza magnética que experimenta la partícula y el radio de curvatura de la trayectoria. Datos: Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,60·10‒19 C; Masa de la partícula alfa, mα = 6,68·10‒27 kg.

Solución. a. Teniendo en cuenta que el campo eléctrico es conservativo: ∆E c + ∆E p = 0 ∆E c = −∆E p Por otro lado, el trabajo de las fuerzas conservativas, es igual a la variación de energía potencial cambiada de signo: W = − ∆E p Por lo tanto:

∆E c = −∆E p  : ∆E c = W W = −∆E p 

El trabajo realizado en un campo eléctrico viene expresado por W = −q ⋅ ∆V , sustituyendo en la igualdad anterior se obtiene: ∆E c = −q ⋅ ∆V Si se tiene en cuenta que la partícula α tiene carga positiva (+2qe), el campo eléctrico acelerará a la partícula alfa en la dirección y sentido en la que disminuya el potencial del campo (las cargas positivas se desplazan espontáneamente hacia zonas de menor potencial), por lo tanto ∆V = −5000 v , sustituyendo en la expresión anterior, se obtiene la energía cinética que adquiere la partícula α debido a la presencia del campo eléctrico

∆E c = −2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ (− 5000) = 1,6 ⋅ 10−15 J b. La fuerza magnética es un vector, cuya dirección y sentido viene dado por la ley de Lorentz: r r r F = q⋅ v×B

(

)

Si se considera el sistema de ejes del gráfico adjunto: r r r r r v=vi B = −B k = −0,5 k T El módulo de la velocidad se obtiene de la energía cinética:

Ec =

1 mv 2 2

v=

2E c = m

2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−15 6,68 ⋅ 10

− 27

= 6,92 ⋅ 105 m

La fuerza a la se verá sometida la partícula es:

6

s

r r v = 6,92 ⋅ 105 i m

s

r i

r F = 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 ⋅ 6,92 ⋅ 105 0

r j

r k r 0 0 = +6,64 ⋅ 10−14 j N 0 − 0,3

Para calcular el radio de curvatura habrá que tener en cuenta que por ser la fuerza perpendicular a la velocidad (trayectoria), será una fuerza centrípeta, igualando los módulos, se calcula el radio de curvatura.

r v2 F =m r

r=

(

mv 2 6,68 ⋅ 10 − 27 ⋅ 6,92 ⋅ 105 r = F 6,64 ⋅ 10 −14

)

2

= 0,048 m = 4,8 cm

Pregunta 4.- Una fibra óptica de vidrio posee un núcleo con un índice de refracción de 1,55, rodeado por un recubrimiento de índice de refracción de 1,45. Determine: a) El ángulo mínimo β que debe tener un rayo que viaja por la fibra óptica a partir del cual se produce reflexión total interna entre el núcleo y el recubrimiento. b) El ángulo máximo de entrada α a la fibra para que un rayo viaje confinado en la región del núcleo. Dato: Índice de refracción del aire, naire = 1.

Solución. a. El fenómeno de reflexión total ocurre cuando no se produce refracción y toda la luz se refleja, siendo el ángulo de refracción de 90º, esto puede suceder solo cuando la luz pasa de un medio más refringente a otro menor refringente (n1 > n2). Al ángulo a partir del cual se empieza a producir la reflexión total se le denomina ángulo límite (β), se calcula aplicado la segunda Ley de Snell en la superficie de separación de los dos medios y teniendo en cuenta que el ángulo refractado es de 90º. 1,45 n núcleo ⋅ sen β = n recubr. ⋅ sen 90º 1,55 ⋅ sen β = 1,45 ⋅ 1 β = arcsen = 69,3º 1,55 b. Si se observa la figura adjunta, el ángulo límite entre el núcleo y el recubrimiento (β) es complementario con el ángulo de ) refracción de la luz en la cara de entrada al núcleo (r ) . ) ) r + β = 90º r = 90º −β = 90º −69,3 = 20,7º Conocido el ángulo de refracción sobre la superficie de entrada, mediante la segunda Ley de Snell, se calcula en ángulo de incidencia (α). )  n núcleo ⋅ sen r  1,55 ⋅ sen 20,7º  )   = arcsen n aire ⋅ sen α = n núcleo ⋅ sen r α = arcsen  = 33,2º n aire 1    

Pregunta 5.- Para observar el efecto fotoeléctrico sobre un metal que posee una función de trabajo de 2,1 eV se utiliza una lámpara de Cd que emite en cuatro líneas espectrales de distinta longitud de onda: línea roja a 643,8 nm; línea verde a 538,2 nm; línea azul a 480,0 nm y línea violeta a 372,9 nm. a) ¿Qué líneas espectrales provocarán efecto fotoeléctrico en ese material? Justifique la respuesta. Calcule la energía cinética máxima de los fotoelectrones si se utiliza la línea espectral azul. b) Determine la longitud de onda de De Broglie asociada a los fotoelectrones con energía cinética máxima utilizando la línea azul. ¿Podrían ser considerados esos electrones como relativistas? Justifique la respuesta. Datos: Velocidad de la luz en el vacío, c = 3·108 m s‒1; Constante de Planck, h = 6,63·10‒34 J s; Valor absoluto de la carga del electrón, e = 1,6·10‒19 C; Masa en reposo del electrón, me = 9,1·10‒31 kg.

Solución. a. Para que una radiación electromagnética produzca efecto fotoeléctrico en un material la energía asociada a la radiación deberá ser mayor que el trabajo de extracción del material.

7

Teniendo en cuenta que la energía de una radiación es inversamente proporcional a su longitud de onda, empezamos calculando en electrón voltios la energía de la radiación de mayor frecuencia, mediante la ecuación de Planck. c E = h⋅ν = h⋅ c λ ν= λ

3 ⋅ 108

•

Línea roja: E = 6,63 ⋅ 10− 34 ⋅

•

Línea verde: E = 6,63 ⋅ 10 − 34 ⋅

643,8 ⋅ 10

−9

= 3,09 ⋅ 10−19 J ⋅

3 ⋅ 108

1 eV 1,6 ⋅ 10 −19

= 3,70 ⋅ 10−19 J ⋅

= 1,93 eV < Wext

1 eV

= 2,3 eV > Wext 538,2 ⋅ 10 1,6 ⋅ 10−19 A partir de la línea verde (verde, azul y violeta), se produce efecto fotoeléctrico en el cadmio. −9

La energía asociada a la línea azul es:

E = 6,63 ⋅ 10− 34 ⋅

3 ⋅ 108 480 ⋅ 10

−9

1 eV

= 4,14 ⋅ 10−19 J ⋅

1,6 ⋅ 10−19

= 2,59 eV

La energía cinética máxima de los electrones fotoemitidos por la línea azul es:

E c = E(Radiación ) − Wext = 2,59 − 2,1 = 0,49 eV ⋅ b.

1,6 ⋅ 10 −19 J = 7,84 ⋅ 10 − 20 J 1 eV

La longitud de onda de De Broglie viene expresada por: h λ DB = mv La cantidad de movimiento (mv) se puede expresar en función de la energía cinética

mv = 2mE c λ DB =

h 2mE c

=

6,63 ⋅ 10−34 2 ⋅ 9,1 ⋅ 10

− 31

⋅ 7,84 ⋅ 10

− 20

= 1,76 ⋅ 10 −9 m

Se consideran partículas relativistas aquellas cuya velocidad sea superior a un 20% de la velocidad de la luz. La velocidad de los electrones emitidos se calcula a partir de su energía cinética.

Ec =

1 mv 2 2

v= %=

2 ⋅ 7,84 ⋅ 10 − 20

2E c = m

9,1 ⋅ 10 −31

= 4,15 ⋅ 105 m

v 4,15 ⋅ 105 ⋅ 100 = = 0,1% < 20% c 3 ⋅ 108

El electrón es No relativista

8

s