Lógica Proposicional

Cátedra de Matemática

Abril 2017

¿Qué es la lógica proposicional?

• Es la disciplina que estudia métodos de análisis y razonamiento;

utilizando el lenguaje de las matemáticas como un lenguaje analítico.  La lógica proposicional es el estudio del razonamiento a través de

mecanismos que primero evalúa sentencias(o enunciados) simples y luego sentencias complejas. Este mecanismo determina la veracidad de una sentencia compleja, analizando los valores de veracidad asignados a las sentencias simples.

Definiciones  Una proposición es una sentencia simple que tiene un valor

asociado, ya sea verdadero o falso.  La lógica proposicional permiten asignar un valor verdadero o

falso a cada uno de estos enunciados. Notación: se denotan con letras minúsculas p, q, r, s ó p1, p2,..  Una forma proposicional es una expresión que contiene una

variable y puede transformarse en proposición si se sustituye dicha variable por un elemento del conjunto de referencia. Ejemplo: p(x): x es un estudiante de la FAZ

Definiciones  Una proposición simple es un enunciado que se refiere a un

hecho único. Ejemplos: p: hoy es lunes q: 3 es un número par r: la soja es el principal cultivo en argentina

 Una proposición compuesta es la combinación de enunciados

simples mediante el uso de símbolos llamados conectivos lógicos.  Ejemplos: Dos es un número par y primo Si no llueve entonces voy a ir al cine

Conectivos lógico Nombre

Símbolo

Proposición

Se lee:

Conjunción



pq

…y… … pero … … aunque …

Disyunción



pq

… o… … y/o …

Implicación



pq

Si … entonces …

Doble implicación



pq

… sí y solo sí …

Negación



p

No … No es cierto que …

Tablas de Verdad  Una tabla de verdad, o tabla de valores de verdad, es una tabla

que muestra el valor de verdad de una proposición compuesta, para cada combinación de valores de verdad que se pueda asignar a sus componentes.  El número de combinaciones posibles es igual a 2n, siendo n el número de proposiciones simples intervinientes.  Si n = 2, tendremos 4 combinaciones.

p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

 Si n = 3, tendremos 8 combinaciones. p

q

r

V

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

F

F

F

V

F

F

F

Conjunción  Dadas dos proposiciones simples p y q, se define la conjunción

p  q como la proposición compuesta que es verdadera solo si lo son las dos proposiciones componentes.

p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Disyunción  Dadas dos proposiciones simples p y q, se define la disyunción

p  q como la proposición compuesta que es verdadera si lo es al menos una de las proposiciones componentes.

p

q

pq

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Condicional o implicación  Dadas

dos proposiciones simples p (antecedente) y q (consecuente), se define la implicación p  q como la proposición compuesta que es falsa solo cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso. p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Bicondicional o doble implicación  Dadas dos proposiciones simples p y q, se define la doble implicación p  q como la proposición compuesta que es

verdadera si las proposiciones componentes son ambas verdaderas o ambas falsas. p

q

pq

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Negación  Dada una proposición simples p, se define la negación de p (p)

como la proposición verdadera si p es falsa y falsa si p es verdadera. p

p

V

F

F

V

Proposiciones compuestas  Para resumir, dadas dos proposiciones simples p y q, se

pueden definir las siguientes proposiciones compuestas. p

q

pq

pq

pq

pq

V

V

V

V

V

V

V

F

F

V

F

F

F

V

F

V

V

F

F

F

F

F

V

V

Definiciones  Las proposiciones compuestas se clasifican en:  a)Tautología: es una proposición compuesta que es

verdadera independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.  b) Contradicción: es una proposición compuesta que es

falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen.  c) Contingencia: es un proposición compuesta que no es

tautología ni contradicción

 Argumento: un argumento es una sucesión de proposiciones

llamadas premisas cuyo propósito es la inferencia o deducción de otra proposición llamada conclusión.  Un Argumento es válido si y sólo si la conjunción de las

premisas implica la conclusión y dicha implicación es siempre verdadera.  Ejemplo: Analice si es válido el siguiente argumento:

Si gano las elecciones bajaré los precios de los combustibles. Bajaré el precio de los combustibles si los electores votan por mi. Los electores no votaron por mi por lo tanto no bajaré los precios de los combustibles.

 Consideremos:

p: gano las elecciones q: bajaré el precio de los combustibles r: los electores votan por mi.  Podemos escribir las premisas y la conclusión de la siguiente manera: p1: p  q p2: r  q p3:  r

C:  q

El argumento lógico quedará [(p  q) (r  q)  (r)]  q Realicemos la tabla de verdad de la implicación, y observemos :

si es una tautología el argumento será válido y si se obtiene una contingencia o contradicción el argumento no es válido.

 Proposiciones lógicamente equivalentes: dos o más

proposiciones son lógicamente equivalentes si tienen los mismos valores de verdad bajo iguales condiciones de verdad.  Ejemplo:

Analice si

p  ( p)  q es equivalente a  q  p  ( p)

Leyes de la lógica  Ley del medio excluyente:  Ley de contradicción:

p  ( p)  [p  ( p)]

 Ley de involución:

 ( p)  p

 Ley de idempotencia:

(p  p)  p (p  p)  p

 Ley conmutativa:

(p  q)  (q  p) (p  q)  (q  p)

 Ley asociativa:

(p  q)  r  p  (q  r) (p  q)  r  p  (q  r)

 Ley distributiva:

(p  q)  r  (p  r)  (q  r) (p  q)  r  (p  r)  (q  r)

Fórmula que niegan proposiciones binarias  Negación de la conjunción:

 (p  q)  ( p)  ( q)  Negación de la disyunción:

 (p  q)  ( p)  ( q)  Negación de la implicación:

 (p  q)  p  ( q)  Negación de la equivalencia:

 (p  q)  ( p)  q  p  ( q)