lim ln 1 x + lim ln 1 x + lim ln 1 x + lim e

f(x)=1/2 ,. 3 lim. → x f(x) no existe ,. -. → 5 lim x f(x)= -1 y que. +. → 5 lim x f(x) = 2. 2. Calcular los siguientes límites, si existen, utilizando el álgebra de límites. a).
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Trabajo Práctico N° 2: Límites de funciones y Continuidad ASIGNATURA: MATEMÁTICA 1 - LIC. ADMINISTRACIÓN - U.N.R.N. – 2018 A. LÍMITES 1. Graficar una función f con dominio R tal que: a)

lim

lim f(x)=1 , x0

x2



f(x)= -3 y que

lim x  2

f(x)=5

b) Cumpla las condiciones de a) y además f(0)= 2 y f(2)=3 * c)

lim lim f(x) no existe , f(x)= -1 y que x 3 x  5

lim f(x)=1/2 , x 1

lim x  5

f(x) = 2

2. Calcular los siguientes límites, si existen, utilizando el álgebra de límites.



lim a) x2  x  2 x2 * d) f)



lim b) x3

 x2  4  ln  1 c) lim x 2  x 

x  x 1 3

lim 1 1  e x  2 ln( 2 x) x  0 x  3x  2

lim ln  x  1

g)

x 1

* e)

lim ln  x 1

h)

x 1

lim 1 1  e x  2 ln( 2 x) x   x  3x  2

lim ln  x  1

x 

lim e3 x

i)

x 

3. Calcular los siguientes límites (usar límites laterales):

x lim lim lim 1 1 b) * c) 2 x2 x2 x0 x x0 x x 1 lim f ( x) d) , si es: f ( x)  x 2  5 si x  3; f ( x)  4x  2 si x  3 e) lim f ( x), si f ( x)  e x 1 x 3 0 4. Indeterminación 0/0. Calcular los siguientes límites: a)

a)

lim x 2  25 x5 x5

lim (1  x) 2  1 x x0

b)

c)

x 2 lim x4 x4

* d)

x  1 x  1

lim 1 x  1 x x x0

5. Indeterminación ∞/∞. Calcular los siguientes límites: a)

3x 2  8 x  6 lim x2 x  

b)

lim 2x 2  4x  1 2 x   9 x  2

c)

lim 6x  7 3 x   x  1

*6. Indeterminación ∞-∞. Calcular los siguientes límites: a)

lim x  

 1 x  x

 x 3  7. a) Si f ( x)   x k  x b) Dada

b)

 2x2  5  lim   2 x  x    x  3 

si x  1 si - 1  x  1

Hallar

si x  1 si x  1

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lim x  

lim  x 1 3 x   x  x 2  1

x

2

 5x  x



i) f (1) ii) lim f ( x) iii) lim f ( x) iv) lim f ( x) x 1

x  1

x 1

Determinar el valor de k para que el límite en x=1 exista. Graficar la función, considerando dicho valor k.

si x  1

kx-1 f ( x)   2  x +2

c)

*d)

Hallar

i) f (1) ii) lim f ( x) iii) lim f ( x) x 1

x  1

Determinar el valor de k para que el límite en x=1 exista. Graficar la función, considerando dicho valor k. Página - 1 -

8. Calcular los siguientes límites, sabiendo que a)

lim sen(8 x ) x x0

b)

lim sen(2 x) x  0 sen(5 x)

lim senx 1 : x0 x lim 2sen2 ( x / 2) * c) x x0

* d)

lim sen (3x) x  0 x  tgx

x

lim lim  1 1 x1x  e 9. Calcular los siguientes límites, sabiendo que 1    x x  x0 a)

lim  1  x 

1  x

3x

* b)

lim  3 1   x   x

4x

*c)

10. Calcular los siguientes límites: lim lim 6x 3  2 5x  8 a) b) x   2x 2  x  1 x   2x  1

lim ( x  1) 2 e) x   x2 1 *i)

lim x ex x  

c)

lim tg ( x  3) *f) x  3 3x  9

1 lim (1  3 x) x x0

lim 3x 2  4 x  2 x 4x 2

lim *g) x

x 2  2x x

x 1 lim 2 k) x 1 x  1

lim sen( x) 2 j) x  0 x  2x

d)

d)

lim ln( 1  x) x x0

lim 3 x 5 x4 4x x

lim 6 2  *h) 1   x    4x  l)

lim x 2  4 x  21 x2  9 x 3

11. Graficar funciones que cumplan con lo indicado. En c) dar la ecuación de las asíntotas. a) Que las rectas x = 3, x = –1, y = 2x +1 sean asíntotas. b) Que Dom(f)=  y que las rectas y = – x e y = 2x sean asíntotas. lim lim lim c) Que f(x) = +∞ , f(x) = +∞ y f(x) = -∞. x2 x  2  x  2  12. Hallar las asíntotas de las siguientes funciones: a) f ( x ) 

1 x2

e) f ( x)  e

x

* b) f ( x) 

1 x3

x2 f) f ( x)  2 x 4

c) f ( x)  x 

1 x

x2 1 g) f ( x)  x 1

* d) f ( x) 

4x  3 2x  2

* h) f ( x)  tg ( x)

13. Escribir las ecuaciones de las asíntotas de las siguientes funciones:

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kx  1 ? 3x 15. Para producir un artículo una empresa tiene un costo fijo de 5000$, mientras que el costo variable es de 6$ por unidad producida. i) Determine la función de costo total C(x) para producir x unidades y la función costo medio (o costo total por unidad producida: C(x)/x). ii) Demuestre que el costo medio se aproxima a un nivel de estabilidad (y determine cuál es), si la empresa lim C ( x) aumenta continuamente su producción (para ello, tome el ). x   x * 14. ¿Qué valor debe tomar la constante k para que y=1 sea asíntota de la función f ( x) 

B. CONTINUIDAD 16. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en los puntos especificados: a) f ( x)  x 2  1 en

* b) f ( x) | x |

x2

en

c) f ( x )  1

x0

x0

en

x

2 1 x 1 en x  1; x  1 * e) f ( x)  f) f ( x)  x  16 en x  4 en x  0 x 1 |x| x4 17. Estudiar la continuidad de las siguientes funciones en todo su dominio y clasificar sus discontinuidades. De ser posible redefinirlas para que sean continuas. x 3  1 si x  3  2 2 x  1 si x  2    a) f ( x )   b) c) f ( x)   2 x  5 si x  5  f ( x )  40 si x  3   2 si x  2  3 7 x  4 si x  5 

d) f ( x) 



2 x 2  10 si x  3  

*d) f ( x)  7  x  3 2

e) f ( x) 

x 4

ln( x  1)

si x  0  si x  0   5 x si x  0   

g) f ( x)  1 

h)



1  x

2x  2 x  3x  4

f) f ( x)    1 x

2

si

e x 1 

sen x  cos x  g ( x)   8 3  5  8  x  1

x  0  si x  0   si x  0  si

e  f ( x)   x 2  3 e ( 2 x  4 ) 

si

(  x2)

*i)

  si  20  x  2   x2 

si si

 x  1  x 1   x  20

18. Hallar el valor de “m” para que las siguientes funciones resulten continuas:  2  x 2  5x  6  e x  1 si x  3    x  3 si x  2 a) f ( x)   x  3 *b) c) f ( x )  f ( x )     3x  2  m m   2 si x  3    x  m si x  2 19. Dar ejemplos y graficar funciones que cumplan las siguientes condiciones: a) Con dominio en (–2,6) y discontinua en x=0 b) Con dominio en R e imagen en  , 0  , y continua.

x0 x0

c) Con dominio en 0 ;  e imagen en R y con una discontinuidad evitable. d) Dominio= R, y una discontinuidad esencial y dos evitables.

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x 3  3x  1 *20. Determinar si es posible aplicar el teorema de Bolzano a la función f ( x)  x

en los

intervalos [-2,1] y [1,2]. En caso afirmativo, decir qué conclusión podemos sacar.

*21. Demostrar que los siguientes polinomios tienen una raíz real en el intervalo indicado (usar Teorema de Bolzano): 3 a) P( x)  x  3x  1 entre 1 y 2 b) 3x 4  5x3  2 x  3  0 entre 0 y 1 *22. La función f ( x ) 

1 definida en el (0,2] es continua en este intervalo, posee un mínimo en x=2, pero x

a medida que se acerca al cero crece infinitamente. ¿Por qué no se cumple entonces el teorema de Weierstrass?

*23. i) Determinar los ceros de f ( x)  x ( x  4)  x  2 x . ii) Usar el teorema de conservación del signo para funciones continuas y determinar los intervalos de positividad y negatividad de f(x). 2

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