La solución es entonces:

La cual se puede escribir de la siguiente manera

Esto es, todo vector columna definido por la suma anterior es solución del sistema. Donde los valores de w y u son cualquiera. A menos que hubiera alguna condición sobre ellos desde el planteamiento del sistema. Si hacemos ambos parámetros igual a cero obtenemos:

♦ Por ejemplo obtengamos el espacio de vectores que son solución del sistema:

♦ Obtengamos todas las funciones

que cumplen:

y ♦ Para el siguiente sistema:

En que valores de a hay solución, en cuales, no. Para que valores hay una infinidad de soluciones.

¿Cuantas posibles variables libres tenemos? ¿Si el sistema se resuelve de diferente manera, las variables libres cambian? ¿Podemos siempre parametrizar con el mismo número de variables? La solución del sistema anterior se puede describir de la siguiente manera:

Sol Particular

Sol. Sin restricciones.

Si se puede escribir la solución de un sistema de la forma antes descrita, es decir:

Donde p es una solución particular, entonces tenemos k variables libres, es decir k parámetros. Un sistema homogéneo es uno donde toda la columna de términos independientes es cero.

A partir de un sistema dado, podemos construir uno homogéneo. Haciendo el vector de términos independientes igual a cero. Una observación es que este tiene que ser soluble, porque al menos el caso donde todas las incógnitas presentes en el sistema son iguales a cero es solución. Además los sistemas homogéneos pueden tener más solución que el cero, por ejemplo:

La solución es entonces:

La manera en que el sistema original y el sistema homogéneo están relacionados es la siguiente: Para el sistema original si el vector columna P es una solución particular, entonces el conjunto posible de todas sus soluciones es P+h Donde h es solución del sistema homogéneo.

Algunos ejemplos: El sistema:

Al aplicar método de Gauss

da como solución:

El sistema homogéneo asociado:

Tiene como solución el vector cero. Así que la expresión p + h sigue proporcionando la solución única.

Otro ejemplo: Si resolvemos por método de gauss el sistema siguiente:

Encontramos que no tiene solución. El sistema homogéneo asociado:

Tiene una infinidad de soluciones:

Pero de todos modos p + h nos da todo el conjunto de soluciones, por que no existe p que podamos sumar al conjunto infinito de soluciones del homogéneo, así que el conjunto de soluciones es vació. Así que sigue sin tener solución. El re-expresar de esta manera las soluciones de un sistema, preserva las soluciones del mismo.

Regresando a las matrices: Una matriz cuadrada es no-singular si la matriz de coeficientes del sistema homogéneo tiene una solución única. E singular si la matriz de coeficientes del sistema homogéneo tiene una infinidad de soluciones.

Lo que nos conduce a que si tenemos una matriz no-singular, el sistema asociado a la misma tiene una solución no importando los valore de la columna de términos independientes.

Cual tiene una matriz no-singular asociada?

Tiene solución?

Mientras que:

Puede tener una infinidad de soluciones o carecer de ella.