La familia de Vicky hace deporte ¿Recuerdas el caso de una corredora que tiene una rapidez constante? Vamos a retomar ese ejemplo en el caso de un sábado con la familia de Vicky. Ella está sentada plácidamente en una banca del parque de Chapultepec en la ciudad de México, junto a la orilla de la pista donde muchos deportistas trotan para hacer ejercicio. Entre los deportistas se encuentran Agustín y Alonso, el esposo y uno de los hijos de Vicky. En determinado momento Agustín se encuentra a 12 m de Vicky y trota con rapidez constante de 3 m/s, con lo que se aleja de ella; mientras que Alonso que se encuentra a 36 m de Vicky y trota también con rapidez constante de 3 m/s pero en sentido contrario que su papá, es decir Alonso está acercándose a Vicky. ¿Cómo serán las gráficas de estos movimientos? De entre las siguientes gráficas, donde el origen representa el lugar donde está sentada Vicky, selecciona las que correspondan a Agustín y a Alonso, arrastrando su nombre al espacio de la gráfica correcta:

Observa las gráficas de los movimientos de Agustín y de Alonso. ¿Puedes observar que las rectas cruzan el eje de las distancias (eje de las y´s) en distintos puntos? Ello indica que en el momento en que se inició el conteo del tiempo (0 s) los corredores no estaban en el mismo lugar. Otro hecho importante que puede apreciarse es que las inclinaciones de las rectas- o las pendientes, como ahora sabes que se llaman- son muy diferentes (a pesar de que los corredores tienen la misma rapidez constante de 3 m/s). Pero... ¿por qué son diferentes las pendientes?

Diferencias de las pendientes Las pendientes son diferentes debido a que, mientras Agustín se aleja de Vicky, Alonso se acerca a ella. Como se observa en la gráfica, el hecho de que Agustín se aleje de Vicky a 3 m/s se traduce sobre la gráfica como una recta con pendiente positiva que inicia en 12 m y, después de transcurrir 8 s, Agustín se encuentra en el punto 36 m ( 12 + 8(3) = 36). Por otra parte, el hecho de que Alonso se acerque a Vicky a 3 m/s se traduce sobre la gráfica como una recta con pendiente negativa que inicia en 36 m y, después de transcurrir 12 s, Alonso se encuentra en el punto 0 m (36 + 12(-3) = 0). A partir de los datos presentados y/o de los datos observados en la gráfica, se pueden obtener las ecuaciones de sus movimientos. Estamos seguros que puedes encontrar las ecuaciones que representan los movimientos de Agustín y de Alonso. De entre las siguientes ecuaciones, selecciona las que correspondan a Agustín y a Alonso arrastrando su nombre a la correspondiente:

Una pregunta que se hizo Vicky es la siguiente: ¿en qué momento y en qué lugar se encontrarán Agustín y Alonso? El encuentro de un padre y su hijo Como seguramente ya te imaginas, hay dos maneras de resolver la incógnita de Vicky: una de manera gráfica, y la otra analítica, es decir usando ecuaciones. La manera gráfica se obtiene sobreponiendo las gráficas de los movimientos de Agustín y de Alonso. Observa en la siguiente gráfica cómo es que se cruzan las rectas.

Como puedes ver, para determinar el punto con coordenadas (t, d) tiene uno que dibujar las rectas (líneas punteadas) paralelas a los ejes y después calcular el tiempo y distancia que corresponden al encuentro. Sin embargo, en este caso resulta sencillo ver que el punto donde se cruzan las rectas nos indica que el encuentro de Agustín y su hijo Alonso se da a los 4 s exactos después de haber iniciado el conteo en el reloj y a 24 m también exactos, de donde está sentada Vicky. ¿Pero te imaginas si el resultado no fuera de números enteros, y se tratara de un resultado con decimales?

Un método más poderoso El método más poderoso del que hablamos es el método analítico, y consiste en resolver el sistema de ecuaciones de primer grado. En la asignatura de Física y su Matemática, los sistemas de ecuaciones se resuelven por los métodos de igualación y determinantes. En este, por los métodos de sustitución y, suma y resta que veras más adelante. El ejemplo, lo resolveremos por igualación porque es el más conveniente para este caso. Si ya cursaste Física y su Matemática seguramente lo recuerdas, de lo contrario, como es un ejemplo sencillo lo vas a entender. Solo sigue con detenimiento las explicaciones. d = 3t + 12

(Ecuación del movimiento de Agustín)

d = -3t + 36 (Ecuación del movimiento de Alonso)

En este caso, el sistema está formado por las ecuaciones del movimiento de Agustín y Alonso. Tenemos que:

d = d 3t + 12 3t + 3t 6t t t

= -3t + 36 = 36 – 12 = 24 = 24 / 6 = 4

; de donde ; o sea ; y despejando ; por lo que

Ello significa que el encuentro se realiza al momento en que el reloj marca 4 segundos. En tanto que para determinar la distancia a la que se encuentran, debemos sustituir el valor del tiempo que acabamos de determinar (t = 4 s) en alguna de las ecuaciones de movimiento, como por ejemplo, la ecuación de movimiento de Agustín (d = 3t + 12). Al sustituir el valor del tiempo tendremos: d = 3(4) + 12 por lo que d = 12 + 12 lo que significa que d = 24 Ello implica que el encuentro de un padre y su hijo se realiza a 24 m de donde se encuentra Vicky. Todo lo anterior coincide con lo que ya habíamos determinado al ver las gráficas en el punto en que se cruzan las rectas. Lo poderoso de este método radica en que el resultado se puede obtener con gran precisión, como veremos con otros casos. Por ahora, vamos a ver el caso de un hijo tratando de alcanzar a su padre ¡Vamos a ver si lo alcanza¡ La pista donde la familia de Vicky hace ejercicio tiene un tramo recto y en cierto momento Agustín pasa por enfrente de la banca donde Vicky está sentada, mientras que Alejandro, el otro hijo de Vicky, trota tras de Agustín e intenta alcanzarlo. En ese preciso momento, Agustín se encuentra a 4 m de Vicky alejándose de ella (siempre con rapidez constante de 3 m/s). En ese preciso momento Alejandro pasa por enfrente de ella, trotando con una rapidez de 4 m/s, también constante, y persiguiendo a su papá. ¿Cómo serán ahora las gráficas de estos movimientos? Realiza la siguiente actividad, selecciona las gráficas que corresponden a Agustín y a Alejandro. Tus resultados formarán parte de tu calificación. U2.2 Identifica las gráficas (2)

Observa las gráficas de los movimientos de Agustín y de Alejandro. ¿Puedes observar que la recta del movimiento de Agustín cruza al eje de las distancias (eje de las y´s) en 4 m? Ello indica que en el momento en que se inició el conteo del tiempo (0 s), Agustín se encontraba a 4 m de distancia de Vicky, en tanto que la recta de Alejandro cruza el eje de las distancias en el origen, ya que se empezó a contar el tiempo justo cuando Alejandro pasaba frente a Vicky (es decir, estaba a cero metros). Otro hecho importante que puede apreciarse es que las pendientes de las rectas son positivas pero la pendiente de la recta de Alejandro es mayor que la de Agustín. Lo anterior se debe a que la rapidez de Alejandro (4 m/s) es mayor que la rapidez de Agustín (3 m/s). Pero... ¿cómo son sus ecuaciones? Ecuaciones de los movimientos A partir de los datos presentados y/o de los datos observados en la gráfica se pueden obtener las ecuaciones de sus movimientos. Estamos seguros que ahora puedes encontrar las ecuaciones que representan los movimientos de Agustín y de Alejandro. Otra pregunta que se hizo Vicky es la siguiente: ¿En qué momento y en qué lugar Alejandro alcanzará a Agustín? Para el método gráfico, sobreponemos las gráficas de los movimientos de Agustín y de Alejandro cuidando que las escalas que hayamos elegido para los ejes sean iguales para cada uno de nuestros personajes. Observa en la siguiente gráfica cómo es que se cruzan las rectas.

Como antes, tanto que, para determinar el punto con coordenadas (t, d) tenemos que dibujar las rectas (líneas punteadas) paralelas a los ejes y después calcular el tiempo y distancia que corresponden al encuentro. En este caso se observa que el punto donde se cruzan las rectas nos indica que el alcance de Agustín y su hijo Alejandro se da en el punto 16 m a los 4 segundos después de haber iniciado el conteo en el reloj. Método analítico Para el método analítico, resolvemos el sistema de ecuaciones de primer grado (puedes repasar el tema) que se conforma con las ecuaciones de movimiento de Agustín y de Alejandro: d = 3t + 4 (Ecuación del movimiento de Agustín)

d = 4t (Ecuación del movimiento de Alejandro) Usaremos el método de IGUALACIÓN para hallar la solución de este sistema de ecuaciones, de modo que al igualar los valores de (d), tendremos que: 3t + 4 = 4t 4 = 4t – 3t 4 = t

de donde

Ello significa que el alcance se realiza al momento en que el reloj marca 4 segundos. Por otra parte para determinar la distancia en la que Alejandro alcanza a su papá, debemos sustituir el valor del tiempo que acabamos de determinar (t = 4 s) en alguna de las ecuaciones de movimiento. Por ejemplo, la ecuación de movimiento de Agustín (d = 3t + 4). Y al sustituir el valor del tiempo tendremos: d = 3(4) + 4 d = 12 + 4 d = 16

por lo que lo que significa que

Ello implica que el alcance se realiza en el punto a 16 m de donde se encuentra Vicky. Todo lo anterior coincide con lo que ya habíamos determinado al ver las gráficas en el punto en que se cruzan las rectas. Consideramos que ahora puedes conocer el resultado de casos similares, para reafirmar tus conocimientos contesta las siguientes preguntas. Evaluación de salto

La importancia de los encuentros En Física es importante estudiar fenómenos sobre alcances y encuentros de móviles para predecir en qué instante y en qué lugar se llevarán a cabo. Por supuesto también importa conocer la fuerza con que un objeto impactará a otro, pero ese

aspecto lo dejaremos para un momento posterior cuando estudiemos de qué manera una fuerza interviene en el movimiento de un móvil.

En la sección anterior, trabajamos algunos ejemplos de encuentros y alcances de dos móviles, cuando acompañamos a la familia de Vicky al bosque de Chapultepec, mientras su esposo y sus hijos trotaban alegremente en ese hermoso lugar. Supusimos en esas situaciones que los varones de la familia de Vicky trotaban con velocidad constante para aplicar el modelo del movimiento rectilíneo uniforme, que hasta el momento es el que hemos revisado juntos. Recordarás que para hallar el momento en que Agustín se encontraba con Alonso, o bien en cuánto tiempo Alex le daba alcance a su papá, determinamos la expresión que modelaba el movimiento de cada uno de ellos y con ellas planteamos un sistema de ecuaciones que resolvimos de manera gráfica, o igualando las distancias. En esta sección del programa estudiaremos la herramienta matemática que se utiliza en situaciones de encuentros y alcances, lo que nos lleva a revisar qué es un sistema de ecuaciones, cuál es el significado gráfico de la solución y dos métodos algebraicos para resolverlos. Encontrarás algunas sorpresas al conocer situaciones ajenas a la Física, donde también se aplican los sistemas de ecuaciones ¡Adelante! Un inventario de lo aprendido Cuando acompañamos a Vicky y su familia a hacer ejercicio en Chapultepec, aplicamos lo que sabíamos sobre movimiento rectilíneo uniforme para representar el desplazamiento de Agustín, Alonso y Alejandro mientras trotaban alegres por este bello parque de la Ciudad de México. A partir de estos modelos matemáticos pudimos conocer en qué momento y a qué distancia de Vicky se daba el encuentro entre Agustín y alguno de sus dos hijos. En estos ejemplos, necesitábamos calcular tanto el tiempo como la distancia. Por ello, requerimos utilizar dos ecuaciones de movimiento, ya que una sola de ellas, al tener dos variables, no nos permite obtener una única solución. Esa pareja de ecuaciones (cuyas incógnitas eran d y t) asociadas al movimiento de dos de los varones de la familia de Vicky, constituyen un ejemplo de lo que solemos llamar un sistema de ecuaciones lineales. Cuando el sistema de ecuaciones tiene dos ecuaciones y dos incógnitas solemos llamarle sistema 2x2. La primera forma de encontrar la solución consistió en trazar en un mismo sistema de coordenadas la gráfica de cada uno de los modelos de movimiento que estábamos comparando. Las coordenadas del punto donde se cortaban ambas rectas nos daban precisamente los valores buscados. Es decir, resolvimos estos sistemas de ecuaciones 2x2, por el llamado método gráfico.

Comentario [U1]: Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones lineales, consiste en un conjunto de ecuaciones lineales con dos o más variables que están sujetas a las condiciones establecidas en todas y cada una de dichas ecuaciones. Comentario [U2]:

¿Recuerdas lo que hacíamos? Pongámoslo en un resumen: Para observar una de las gráficas a medida que lees el resumen, aprieta ¡Gráfica! ¿Cómo vas a guardar esta información? Si tiendes a acordarte a partir de imágenes, quizás te sea útil recordar esta gráfica asociada a las palabras “método gráfico” y “sistemas de ecuaciones lineales”. De no ser así, toma unos momentos para desarrollar tu propia estrategia. Cuando estés listo, sigue adelante. Aunque el método gráfico puede resultar muy sencillo también tiene limitaciones. ¿Las recuerdas? Limitaciones del método gráfico Aunque las gráficas tienen muchas ventajas para visualizar el comportamiento general de las funciones lineales que conforman el sistema de ecuaciones, encontrar su solución mediante el método gráfico tiene los siguientes inconvenientes: •

•

Si las coordenadas NO son números enteros, es muy factible que nuestra solución tenga imprecisiones que pueden llevar a errores trascendentes dependiendo del problema que estamos resolviendo. Distinguir el valor donde las paralelas cortan a los ejes puede resultar confuso, por ejemplo, ¿te sería fácil distinguir entre 1/8 y 1/9? Aunque sean números enteros, las rectas se pueden cruzar en valores muy grandes, de modo que en la gráfica esto no se vea, (¿te imaginas la gráfica si la solución fuera x=3501, y=4727?). Para remediar esta situación podemos

Síntesis del método gráfico •Trazamos la gráfica de ambas ecuaciones del sistema en un mismo sistema de coordenadas. •Localizamos el punto de intersección de las rectas y a partir de él, trazamos rectas paralelas a los ejes (las líneas punteadas en la figura) para conocer sus coordenadas, es decir, el valor donde estas paralelas cortan a los ejes. •Asignamos a cada variable el valor de la coordenada que le corresponde. En la gráfica que mostramos como ejemplo vemos que: t=4 y d=24. •Interpretamos la solución en el contexto del problema. En el ejemplo, significa que Agustín y Alonso se encontraron a 24 metros de la banca donde estaba Vicky, 4 segundos después de que Agustín pasara frente a ella.

cambiar la escala, por supuesto, pero el espacio para una unidad ya no se distingue a simple vista, por lo que tendríamos la dificultad del caso anterior: ¿podrías distinguir entre 3501 de 3510 cuando la escala la estás considerando de mil en mil? Así, el método gráfico nos proporciona una visión global del comportamiento, y puede sernos útil para encontrar la solución cuando las rectas se cruzan en valores enteros que pueden distinguirse en la gráfica, o bien cuando sólo basta tener una idea aproximada de la solución. Sin embargo, con frecuencia requerimos la solución exacta, por lo que necesitamos otros métodos para resolver un sistema de ecuaciones lineales. ¿Cuáles son esos métodos? Quizás te preguntes por qué tantos métodos si todos llevan a encontrar la misma solución. Bueno, algunos sistemas de ecuaciones son mucho más sencillos de resolver por un método que por otro y queremos que conozcas cada uno de ellos para que puedas elegir cuál te conviene más. Después de todo, ¿utilizas un desarmador plano, cuando tienes un tornillo de cruz? Con los procedimientos matemáticos sucede algo similar. Alejandro y César van al río Balsas ¿Recuerdas cuando César y Alejandro se fueron al río Balsas a remar en kayak? Ya sabes que son dos muchachos muy curiosos y siempre buscan la manera de aplicar lo que ven en la escuela. Cuando no se le ocurre una idea a uno, el otro es el que plantea nuevos retos. Lo que no te comentamos en la ocasión anterior fue que no se conformaron con calcular el tiempo que requerían alquilar el kayak el segundo día, sino que se hicieron dos preguntas más: ¿a qué velocidad estamos remando? y ¿con qué velocidad se desplaza el agua del río Balsas en esta zona?

Comentario [R3]: Existen tres métodos algebraicos y un procedimiento numérico: •Igualación •Suma y resta, también llamado método de reducción •sustitución, y •El método de determinantes (que es el procedimiento numérico) En el curso de La Física y su Matemática se trabajan los métodos de igualación y determinantes. En éste estudiaremos a continuación los métodos de suma y resta y el de sustitución.

Para contestar esas preguntas analizaron la situación y llegaron a las siguientes conclusiones: •

En el viaje de ida, la velocidad del kayak va en el mismo sentido que la del río, por lo tanto las sumamos y así obtenemos la velocidad total del viaje de ida.

•

En el viaje de regreso, la velocidad del kayak y la del río van en sentidos opuestos, por lo que debemos restarlas. Esa resta nos da la velocidad con que nos desplazamos al regreso.

Recordemos que la velocidad total de ida era de Vi= 12 km/h, mientras que al regreso, sólo conseguían avanzar VR = 8 km/h. Llama Vk a la velocidad del kayak, VB a la velocidad del río Balsas y escribe el sistema de ecuaciones que permite encontrar Vk y VB, para que te enseñemos un método de precisión para resolverlo.

La suma y la resta nos ayudan

Comentario [R4]: Velocidad Recuerda que la velocidad es una magnitud vectorial, es decir, se le asigna un número junto con sus unidades (que es la rapidez) y una dirección o sentido.

Busca una estrategia para guardar en tu memoria estos hechos, ya que son relevantes para que utilices con soltura el método de suma y resta. ¿Ya lo tienes? Si lo requieres, revisa de nuevo todos los elementos de esta pantalla. Cuando estés listo, continuemos. ¡La práctica hace al maestro! Para consolidar lo que hemos visto sobre el método de suma y resta, te acompañaremos a resolver por este método un sistema de ecuaciones lineales. Te sugerimos que analices primero en cuál de ellas sus coeficientes son simétricos, o bien idénticos. Luego decide si sumas o restas las ecuaciones. Recuerda que en lugar de restar, primero puedes cambiar el signo de todos los elementos de una de las ecuaciones (multiplicándola por –1) y luego procedes a sumar.

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¡Estoy listo para más retos! ¡Ya estás listo para hacerlo tú solo! Recuerda analizar primero, antes de cada paso, lo que vas a hacer: ¿qué incógnita vas a eliminar?, ¿prefieres sumar o restar las ecuaciones?, ¿qué necesitas para ello? Cuando ya tengas la ecuación ¿cómo despejas la incógnita? etcétera. El diálogo interior contigo mismo es lo que hará que tu aprendizaje sea duradero. Debes estar pendiente de guiar adecuadamente estas verbalizaciones en tu mente. Conforme vayas llenando los espacios, podrás verificar tus resultados. Recuerda que tus respuestas deben ser contestadas sin dejar espacios entre los caracteres. ¡Adelante!

Aplica el método de suma y resta para resolver el sistema: ¿Ya decidiste qué y cómo hacerlo?

Alonso construye una caja Un día antes del cumpleaños de Vicky, Alonso que ya ha empezado a trabajar, decidió comprarle a su mamá una blusa de seda. Como salió tarde del trabajo no llegó a tiempo para que se la envolvieran en la papelería y al día siguiente tenía que irse muy temprano. Le comentó a Alejandro su preocupación ya que no quería dársela sin envolver. Alex, recordó que tenía un pliego de cartoncillo azul, así que le propuso a su hermano que con el hicieran una caja con tapa. Para simplificar la tarea decidieron hacerla de base cuadrada. El cartoncillo estaba maltratado de una parte, por lo que el rectángulo de material que podían utilizar medía 35 cm de ancho por 65 cm de largo. Sólo tenían un pliego, así que no era cosa de adivinar cómo harían la caja ni de estar rayando sobre el material a ver cuándo le atinaban a las medidas. ¿Tú qué harías en su caso? Decidieron hacer un croquis a escala en el que dibujaron cómo quedaría la caja desdoblada. Mentalmente imagínatela desarmada. ¿Ya tienes una idea del croquis?, ¿Qué elementos requieren conocer antes de empezar a cortar sobre el material definitivo? Tómate unos momentos y cuando estés listo(a) continúa.

¿Se parece este croquis al que visualizaste? Obsérvalo detenidamente y verás que involucra conocer dos magnitudes que se convertirán, una en el lado de la base de la caja y otra en su altura. Por supuesto se tienen que hacer algunos cortes para que se puedan doblar las orillas y construir la caja. Si llamamos x al tamaño de la altura y y a la longitud del lado de la base (que también será el lado de la tapa), para saber cuánto deben medir podemos construir un sistema de ecuaciones 2x2. ¿Te lo esperabas? Observa el croquis, de él no es difícil obtenerlo. Llena los espacios que faltan para tener completo el sistema de ecuaciones:

Encontraron las dimensiones de la caja

¿Cómo resolvemos ahora el sistema En ambas variables los coeficientes son distintos. ¿Cómo podemos tener en alguna de ellas coeficientes idénticos o simétricos?, es decir ¿cómo convertimos esta nueva situación al tipo de sistema que YA sabes resolver? ¡De nuevo requerimos usar la estrategia! Fíjate en la y de la segunda ecuación. Si su coeficiente fuera –2 ¿podrías resolver el sistema? ¿Cómo podemos hacer para tener –2, sin alterar la igualdad de esa ecuación? ¡Claro! Multiplicando toda la ecuación por –2

Así, el sistema se transforma en:

y si sumamos queda:

Por lo que fácilmente podemos saber cuánto debe medir la altura de la caja: x= 5. ¿Y cuánto debe medir el lado de la base cuadrada? Sustituimos 5 en vez de x en cualquiera de las ecuaciones del sistema (cada una está asociada a un lado del rectángulo en el croquis).

Tomemos, por ejemplo 2x+y=35. Al sustituir y resolver queda: Así la solución al problema de Alonso es: x=5, y=25. ¿Qué significa respecto a la situación que enfrentaba Alonso? Bueno, va a construir una caja cuadrada de lado y= 25 y altura x= 5, en la que cabe esa bonita blusa de seda que le dará a Vicky al día siguiente. La importancia de la simultaneidad ¿Qué pasaría si se equivocaron al resolver el sistema de ecuaciones? Siempre es conveniente verificar lo que se ha hecho antes de proceder a cortar el único material con que se cuenta. Así que pongamos sobre el croquis los valores encontrados.

Es fácil ver que si sustituimos las medidas obtenidas para la altura (x= 5) y el lado del cuadrado (y= 25) sobre el croquis, obtenemos el ancho y el largo del rectángulo (caja desdoblada). Lo que equivale a sustituir los valores en ambas ecuaciones. Largo: 3(5)+2(25)=15+50=65 cm Ancho: 2(5)+25= 10+25=35 cm Así que Alonso y Alejandro lo hicieron correctamente y sin ningún problema pudieron medir, cortar lo pertinente y armar la caja. Observa la importancia de que la solución del sistema cumpla con las condiciones de todas y cada una de las ecuaciones que lo conforman. En este ejemplo, es muy claro que es imprescindible que así sea, de lo contrario, no alcanzaría el material ya sea sobre el ancho o el largo del cartoncillo, o bien, la caja quedaría asimétrica. Por ello, es muy importante que cuando verifiques si el resultado que has obtenido es correcto, debes comprobar que se cumple en todas las ecuaciones. Por este hecho, a los sistemas de ecuaciones con frecuencia se les llama sistemas de ecuaciones SIMULTÁNEAS, es decir, las ecuaciones son condiciones que la solución debe satisfacer todas a la vez (simultáneamente). El último obstáculo Hasta este momento, hemos sorteado todos los obstáculos para aplicar el método de suma y resta en los sistemas estudiados, pero veamos un caso más que puede presentarse en los sistemas de ecuaciones. Observa atentamente el siguiente sistema e identifica el inconveniente para aplicar el método que estamos estudiando. 3x+4y=2 2x-3y=7 ¿Cuál de las dos incógnitas eliminamos? De nuevo, ninguna tiene coeficientes idénticos o simétricos y no basta multiplicar una de las dos ecuaciones por un número para tener esta situación. Bueno, al menos la y aparece con signos contrarios. Fijémonos en ella. ¿Qué debemos hacer para que, al margen del signo, los coeficientes tengan el mismo valor?, ¿cómo transformamos el sistema en otro equivalente que tenga el esquema que ya sabemos manejar? Lo que se acostumbra hacer, aunque no es el único camino, consiste en obtener un múltiplo de los coeficientes que tiene la variable que queremos eliminar. En este caso buscamos un múltiplo de 3 y de 4. El más sencillo de ellos es su producto, o sea 12. Eso lo logramos fácilmente multiplicando a la primera ecuación por 3 y a la segunda por 4. Así transformamos el sistema en el siguiente:

¡Y ya tenemos para y coeficientes simétricos! Sumemos las ecuaciones.

Resolviendo esta ecuación, tenemos que

Ya conocemos el camino que sigue. Sustituimos 2 en vez de x en

cualquiera de las ecuaciones para obtener el valor de y. Si lo hacemos en la primera ecuación queda:

Comentario [R5]: Equivalente Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes, cuando tienen la misma solución. Los obtenemos aplicando operaciones que no alteren lo que se establece en el sistema del que partimos. Estas operaciones son: multiplicar una o varias de las ecuaciones por una constante, intercambiarlas de orden, o bien, sumar dos de ellas y sustituir la ecuación resultante por alguna de las que sumamos.

Así la solución del sistema es: x=2, y= –1 ¡Compruébalo! Un método que llega a ser general Si has reflexionado en cada detalle que te hemos solicitado, seguramente ya manejas los aspectos esenciales del método de suma y resta. Este método algebraico puede aplicarse, con ventajas sobre otros, en sistemas con muchas ecuaciones e incógnitas (sistemas 3x3, 4x4, 5x5, 20x20, etcétera). Los procedimientos que se utilizan, como el método de Gauss o el de Gauss-Jordan, son una generalización del método de suma y resta y a partir de ellos, pueden diseñarse programas para aprovechar el excelente recurso que representan las computadoras cuando el número de ecuaciones es muy grande. Es importante que retengas las ideas principales del método de suma y resta. Ya sabes que la estrategia de éste y los demás métodos algebraicos para resolver un sistema de ecuaciones 2x2, radica en simplificar la situación al obtener una ecuación con una incógnita. Las siguientes preguntas te pueden servir como guía para hacerlo. Toma unos momentos para reflexionar la respuesta a cada una de ellas, de tal forma que aumentes las posibilidades de recordar la respuesta en el futuro: • • • •

¿Por qué deben ser simétricos o idénticos los coeficientes de una de las variables para que ésta se elimine al sumar o restar las ecuaciones? ¿Qué paso previo (a sumar o restar las ecuaciones) tienes que realizar cuando ninguna de las dos variables tiene coeficientes simétricos o idénticos? Cuándo ya tienes una ecuación con una incógnita y la resuelves, ¿qué haces con ese resultado? ¿Por qué una solución de un sistema 2x2 está formada por dos valores?, ¿Cómo compruebas que efectivamente esa es la solución?

Una vez que hayas reflexionado al respecto, si deseas practicar la aplicación del método, puedes consultar el ejercitador elaborado por el Dr. Carlos Hernández García Diego y sus colegas. Por lo pronto, te proporcionamos los siguientes sistemas de ecuaciones. Resuélvelos y cuando termines compara tus resultados.

a).

b).

c).

Comentario [R6]: Johann Carl Friedrich Gauss (17771855) Es uno de los más ilustres y prolíficos matemáticos. Hijo de un jornalero, nace en Brunswick, Alemania. Hizo contribuciones importantes en aritmética, teoría de números, geometría, trigonometría, geodesia y álgebra, en particular en la resolución de ecuaciones algebraicas. Además, la distribución normal utilizada en estadística, se conoce con el nombre de campana de Gauss. Incursionó también en diversos campos de la Física en donde destacan sus aportaciones sobre el magnetismo terrestre. Su trabajo, sobre el cálculo de órbitas planetarias entre otros, modifican sustancialmente la Astronomía matemática, por lo que como un homenaje a su labor, el planetoide 101 lleva el nombre de Gaussia. Su obra fue reconocida como una de las mayores contribuciones al campo de la ciencia de los siglos XVIII y XIX. A Gauss se le conoce como El Príncipe de las Matemáticas. Comentario [R7]:

d).

¡Muy bien! Ahora estás listo para resolver el siguiente reto. Asegura tus respuestas antes de contestar ya que esta actividad forma parte de tu calificación.

U2.3 Practica con el método de suma y resta Viajando en avión ¿Te has subido a un avión? Si no se presentan bolsas de aire, tenemos la sensación de que el avión no se mueve, sin embargo, se desplaza a velocidades impresionantes. De manera similar a lo que ocurre en un río, el tiempo de ida y de regreso de un vuelo entre una ciudad y otra se ve afectado, entre otros factores, por la velocidad del viento. ¡Acompáñanos a resolver el siguiente problema!

Al volar con el viento a favor un avión se desplaza a una velocidad de 990 k/h. Sin embargo, la velocidad del avión es catorce veces la del viento. ¿Cuál es la velocidad del avión y cuál la del viento? Como tenemos dos incógnitas, recurramos a nuestros amigos los sistemas de ecuaciones.

http://132.248.17.238:8080/ejercici os/jsp/paginaInicial.jsp

Empecemos por utilizar símbolos para representar las incógnitas, y usémoslos para plantear las ecuaciones a partir de la información que nos dan: llamamos Va a la velocidad del avión y Vv a la velocidad del viento. ¿Qué nos dicen de ellas? 1. Cuando se vuela a favor del viento, la suma de las velocidades en la misma dirección es la velocidad de desplazamiento, en este caso, 990 km/h. Por ello, la primera ecuación es: Va+Vv=990 km/h. 2. La otra información que nos dan es que la velocidad del avión (Va) es catorce veces la del viento (Vv ). Esto lo escribimos como Vakm/h=14Vv km/h. Como las condiciones que acabas de ver deben cumplirse a la vez (simultáneamente) formamos el siguiente sistema de ecuaciones 2x2, en el que estamos omitiendo las unidades (km/h) para centrar la atención en la resolución matemática:

Podemos resolverlo por el método gráfico, pero ya sabes que no es muy preciso cuando se trata de valores grandes y 990 lo es. El método de suma y resta también funciona, pero ya que Va está despejada, ¿no habrá una forma más fácil de hacerlo? Tómate unos momentos para pensarlo. Volando resolvemos el sistema La estrategia en los métodos algebraicos, como ya te comentamos, es quedarnos con una ecuación en una incógnita. En este caso, como Va está despejada, es más sencillo conseguirlo sustituyéndola en la primera ecuación por 14Vv que es el “valor” que nos dan en la segunda.

¿Coincide con lo que habías pensado? Escribamos de nuevo el sistema y exploremos esta idea:

km/h.

Al sustituir tenemos: 14 Vv+Vv=990 km/h. ¡Nos quedamos de nuevo con una ecuación en una sola incógnita!

Al resolverla tenemos: ¿Qué hacemos cuando ya conocemos el valor de una de las incógnitas? Por supuesto, sustituir ese valor en cualquiera de las ecuaciones. ¿En este caso, en cuál te conviene más? ¡Vamos por la otra incógnita! En la segunda ecuación Va está despejada, por lo que ya no tendremos que hacerlo. Hagamos la sustitución en esta ecuación: Va=14Vv=14(66)=924. Como ya tenemos ambos valores, La solución del sistema es: Velocidad del avión: Va=924 km/h Velocidad del viento: Vv=66 km/h Es fácil comprobar que la suma de las velocidades nos da 990 km/h, que es la velocidad con la que se desplaza el avión con el viento a favor. La otra ecuación por supuesto que también se cumple, ya que al multiplicar 14 por 66 obtenemos Va. Ahora, reflexionemos un momento sobre lo que hicimos: • • •

¿Por qué crees que se llama método de sustitución? ¿Qué pasos seguimos para resolver el sistema? ¿Por qué resultó más fácil resolverlo de este modo?

¡El secreto es despejar! Cuando una de las variables está despejada en una ecuación de un sistema, el método de sustitución simplifica mucho las operaciones. ¡Prácticamente es una invitación a usarlo! También es de gran utilidad cuando alguna de las ecuaciones NO es lineal, aunque no tengas ninguna variable despejada, como verás en el curso de Geometría Analítica. Por ello, veamos algunos ejemplos más con sistemas lineales 2x2. Trabajemos con uno de los sistemas que resolviste por suma y resta. El sistema era:

El secreto del método de sustitución radica en tener una variable despejada en una de las ecuaciones. Si no es así, ¡despejemos una de ellas! Siempre es más sencillo despejar aquella cuyo coeficiente sea uno (aunque no esté escrito) para evitar una división. En este ejemplo puede ser la y en la primera ecuación o bien la x en la segunda. Nosotros elegimos despejar y de la primera ecuación y tenemos: y=5-2x. Hagamos la sustitución de y en la segunda ecuación y obtengamos su solución:

Sustituimos ahora x=2 en y=5-2x y tenemos Así la solución del sistema es: x=2, y=1. Puedes comprobarlo incluso mentalmente. Repasa los dos ejemplos para que estés seguro de recordar el procedimiento en el futuro. Sintetizar es útil Un elemento importante para que el aprendizaje perdure, consiste en revisar las ideas centrales que se han manejado. Hagamos una síntesis del algoritmo utilizado en el método de sustitución en sistemas lineales 2x2 siguiendo estos pasos. Te recomendamos imprimir los siguientes pasos, para ello selecciónalos y oprime Control + P y en el cuadro de diálogo elige la opción de Selección y después aceptar. Pasos del método: • • • • • •

Si ninguna de las variables aparece despejada en una ecuación procedemos a despejar alguna de ellas. Conviene elegir, si es el caso, la que nos evite una división (es decir, que su coeficiente sea 1). Sustituimos la expresión que obtenemos del despeje en la otra ecuación. Con ello logramos tener una ecuación con una incógnita. Despejamos la incógnita de la ecuación que obtuvimos en el paso anterior, y ya tenemos uno de los valores requeridos. Sustituimos el valor que acabamos de encontrar en vez de la incógnita correspondiente en cualquiera de las ecuaciones. Es más sencillo hacerlo en la expresión donde aparece despejada para ahorrarnos su despeje. La solución consta de los dos valores encontrados. Si se trata de un problema, es indispensable interpretar la solución en el contexto del mismo. Recuerda que es conveniente comprobar que la solución es correcta. Esto lo hacemos sustituyendo los valores encontrados en la variable que les corresponda, en AMBAS ecuaciones para corroborar que efectivamente satisfacen la igualdad establecida.

Comentario [R8]: Algoritmo (Del árabe Al Jwarismi) Conjunto finito de pasos a seguir que permite obtener un resultado.

Los sistemas patológicos Todos los sistemas de ecuaciones lineales 2x2 que hemos visto son muy “decentes” y tienen una única solución (gráficamente representa las coordenadas del punto de intersección de las rectas asociadas al sistema, como ya sabes). Sin embargo, existen sistemas que llamaremos “patológicos” pues se comportan de una manera “extravagante”. Fíjate, algunos NO tienen solución y otros tienen UNA INFINIDAD de ellas. ¡Vaya descaro! ¿A qué se deberá tan inusual comportamiento? Veamos primero los sistemas que no tienen solución. Piensa en la representación gráfica de un sistema de ecuaciones. Cierra los ojos un momento y trata de visualizar cómo serán las rectas de un sistema que no tiene solución. ¿Todavía no lo tienes? Habíamos comentado que la solución es el punto donde se cruzan ambas rectas, así que si no hay solución del sistema, ¿cómo son las rectas? Por supuesto, al no haber solución las rectas no se cortan en ningún punto, y por lo tanto ¡son paralelas! Es decir, las dos tienen la misma pendiente. Un ejemplo de este sistema de ecuaciones sería Te presentamos las ecuaciones de esta forma (con la y despejada en ambas) para facilitarte que verifiques que las pendientes son iguales (¿te acuerdas? En la forma y=mx+b, la m representa la pendiente y la b la ordenada al origen). En este caso, la pendiente de ambas rectas es 2.

Pero, ¿qué sucede si lo queremos resolver de manera algebraica? Usemos el método de sustitución. Como la y está despejada en ambas, si sustituimos por ejemplo, 2x+6 (en vez de y) en la primera ecuación tenemos:

Si al resolver un sistema de ecuaciones por algún método algebraico obtienes que cero es igual a un número diferente de cero ¡no te asustes! Por supuesto que NO es cierto. Esa es una situación inexistente. Constituye una manera de avisarte que el sistema NO tiene solución. Gráficamente ya sabes que las rectas al ser paralelas JAMÁS se cortan. La misma gata revolcada ¿Cómo es posible que existan sistemas de ecuaciones lineales 2x2 con una INFINIDAD de soluciones? Parece increíble. Si recurrimos a su representación gráfica, todos sabemos que dos rectas o son paralelas o se cortan en un solo punto. ¡NO es posible que tengan una infinidad de puntos en común!, a menos que…

¿Qué te dice la gráfica?, ¿qué pasa con las dos rectas?, ¿cómo son las ecuaciones del sistema?, ¿qué pasará si se resuelve algebraicamente antes de graficarlo? Tómate unos momentos. Es importante que pienses sobre esto. ¿Listo?

Lo que la gráfica nos dice es que las dos rectas del sistema ¡están encimadas! Por eso tienen tantos puntos en común. O en otras palabras las dos rectas son la MISMA, aunque quizás escritas de manera “disfrazada”. ¿Cómo es eso? Muy sencillo: sólo multiplica una ecuación por una constante y no se altera, ¿recuerdas? Veamos un ejemplo y observemos qué sucede al resolverlo algebraicamente: ¿Qué sucede algebraicamente?

En el siguiente sistema la segunda ecuación es tres veces la primera: Apliquemos el método de sustitución (para practicarlo un poco). Despejemos y de la primera ecuación: y = 4 - 2x. Hagamos la sustitución en la segunda ecuación: 6x + 3(4 - 2x) = 12.

Al resolver la ecuación en x queda: Eso siempre es cierto, aunque no nos da el valor de x. Es la manera en que el sistema de ecuaciones nos avisa que al tratarse de la misma recta, aunque esté disfrazada, todos sus puntos son soluciones. Olvidándonos de patologías, para terminar este tema, contesta las siguientes preguntas:

Un mejor modelo para Ana En la primera unidad, cuando iniciábamos el estudio del movimiento rectilíneo uniforme, para llamar tu atención presentamos una hipotética carrera de nuestra querida Ana Gabriela Guevara, en la que corría muy lentamente (como niña). ¿Te acuerdas? En ella plantemos que se tardaba 5 segundos en recorrer sólo 25 metros. Por supuesto que Ana es nuestro orgullo y sabemos que en promedio utiliza 50 segundos para correr 400 metros planos. Al margen de que la rapidez de Ana estaba sensiblemente disminuida, el modelo anterior tenía otros defectos, ya que todos sabemos que no corre los 400 metros con la misma rapidez. De hecho, encontrar situaciones donde eso se presente en tramos largos es muy difícil. Por ello, como ahora posees mayores conocimientos de Física y de Matemáticas, vamos a modelar con más elementos de la realidad una carrera de Ana. Queremos advertirte que sigue siendo un modelo muy idealizado. Cuando conozcas en la tercera unidad el movimiento uniformemente acelerado, modelaremos la carrera de Ana con mayor veracidad. ¿Qué debe cuidar Ana Gabriela en una carrera? El arranque y el cierre son básicos para ganarla, pero también debe dosificar su energía para poderla terminar. Así que supondremos que podemos dividir la carrera de los 400 metros en tres tramos, haz clic en los diferentes botones:

Para poder utilizar la fórmula del movimiento rectilíneo uniforme, supondremos que corre en línea recta. Supongamos, además, que la velocidad promedio de Ana en cada una de las tres fases es, respectivamente, 9 m/s, 7 m/s y 10 m/s. Si la tercera fase consta de los últimos 100 metros, ¿cuánto tiempo destina y cuál es la distancia que recorre en cada una de las dos primeras fases? En la resolución de un problema, siempre es conveniente tratar un diagrama o una gráfica que nos ayude a entender la situación. Vuelve a leerlo, y visualiza una gráfica que lo describa. Una gráfica para la carrera de Ana Veamos un bosquejo de la gráfica que puede representar la carrera de Ana Gabriela. En éste, hemos considerado que en la fase intermedia, la distancia recorrida debe ser mayor. Analicemos la información del problema.

Siempre que te atores en un problema, revisa los datos que aún no has usado. En este caso, no hemos utilizado las velocidades de las dos primeras etapas (9m/s, y 7m/s respectivamente). Como d= vt, expresamos d1 y d2 como sigue: d1 = 9 t1 y d2 = 7t2. Con esto formamos el siguiente sistema 2x2:

Comentario [R9]: Bosquejo Trazo inicial de una gráfica que da una idea de su forma sin incorporar precisiones o detalles.

¿Cuál es su solución? Resuélvelo y cuando estés listo verifica tu solución. Como tenemos el tiempo y la velocidad para cada fase, encontramos la distancia recorrida: d1 = V1 • t1 = 9 •10 = 90 m; d2 = V2 • t2 = 7 •30 = 210 m. Aunque el esquema de tres fases de una carrera de Ana Gabriela es más cercano a la realidad que el de una sola fase, sigue siendo un modelo muy simplificado. Realmente, nadie alcanza súbitamente una velocidad de 9 m/s, ni cambia la velocidad tan bruscamente de una fase a otra. Podríamos poner muchas más fases, en las que la velocidad promedio de una a otra tuviera cambios menos drásticos, o bien, abandonar el modelo de movimiento rectilíneo uniforme para dar paso a otro que incorpore los cambios de la velocidad. En la siguiente unidad trabajaremos con el movimiento uniformemente acelerado, que nos permite modelar situaciones donde se dan variaciones en la velocidad. Por lo pronto te preguntarás… Carreras patológicas Los sistemas que bautizamos como “patológicos” (recuerda que son los que no tienen solución o tienen una infinidad de ellas) también nos pueden representar situaciones asociadas a una carrera. Aunque la situación puede estar muy idealizada, utilizar los sistemas de ecuaciones lineales vinculados con el movimiento rectilíneo uniforme nos proporciona una primera información valiosa sobre problemas de encuentros y alcances, por ejemplo: •

Si en una primera carrera, Ana y Tonique Williams salen al mismo tiempo y corren a la misma velocidad, ¿quién ganará la carrera? Es fácil deducir que habrá un empate, pues irán al parejo toda la carrera. Si representamos el movimiento de cada una por una recta, es claro que ambas rectas son la MISMA. Ya vimos que ese sistema de ecuaciones tiene muchas soluciones, ya que en cada instante la posición de las dos atletas es la misma, por lo que en todo momento se realiza un “encuentro” entre ambas corredoras. Su gráfica corresponde a dos rectas que se enciman, como lo habíamos visto previamente. •

Si ahora en una segunda carrera, Ana le da a Kathy Freeman dos metros de ventaja, pero ambas corren a la misma velocidad, ¿En qué momento alcanzará Ana a Kathy? ¿qué gráfica representará esta situación?, ¿qué información proporciona el sistema de ecuaciones? Reflexiona unos momentos al respecto y cuando estés listo, verifica:

La gráfica sería similar a esta, en la que vemos que las rectas son paralelas, ya que tienen la misma pendiente (recuerda que en la gráfica de MRU, la velocidad es la pendiente de la recta asociada). Como una de las corredoras inicia dos metros adelante y ambas van a la misma velocidad, siempre se mantendrá esa distancia, por lo tanto Ana no alcanzará a Kathy. Cuando el sistema no tiene solución, lo que significa en un problema de alcances es que un móvil nunca alcanza a otro. Como puedes darte cuenta, las funciones lineales, las ecuaciones de primer grado y los sistemas lineales 2x2 nos han sido muy útiles en el estudio del movimiento rectilíneo uniforme. Con ellas hemos profundizado en el estudio de este importante concepto de la Física. En la siguiente unidad te esperan situaciones muy interesantes y más sorpresas.

¿Qué aprendimos en la unidad 2?