JUNIO 95 OPCIÓN A CUESTIÓN 1 En un vértice de un cubo se aplican tres fuerzas dirigidas según los diagonales de las tres caras que pasan por dichos vértices. Los módulos o magnitudes de estas fuerzas son 1, 2 y 3. Hallar el módulo de la fuerza resultante de aquellas tres. Solución Se pide calcular la resultante de tres fuerzas conocidos sus módulos y sus direcciones. Para ello ! ! ! se buscan tres vectores u 1 , u 2 , u 3 en sus direcciones, bisectrices de los planos OYX, OYZ, OXZ.

Una vez definidos estos vectores se normalizan dividiéndolos por su módulo, para que tengan módulo unidad, y así, poderlos convertir a los módulos que interesen 1, 2 y 3 exactamente. ! ! ! u u u ! ! ! (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) u N1 = ! 1 = , u N2 = ! 2 = , u3 = ! 3 = u1 u2 u3 2 2 2 ! La solución al problema es el módulo del vector R ! ! ! ! ! ! ! R = U 1 + U 2 + U 3 = 1 ⋅ u N1 + 2 ⋅ u N 2 + 3 ⋅ u N 3 ! (1,1,0) (1,0,1) (0,1,1) (3,4,5) R= + 2⋅ + 3⋅ = 2 2 2 2 2 2 2 !  5   4   3        R =   =  +  +  2  2  2

50 =5 2

CUESTIÓN 2 Estudiar la derivabilidad en x = 0 de ƒ(x) = x3 Solución f (x ) − f (x o ) x − xo x→x 0 Para resolver el problema hay que definir la función f(x) sin el valor absoluto, y para eso se usan las funciones por intervalos. − x ³ Sí x < 0 f ( x) =   x ³ Sí x ≥ 0 f ( x ) − f (0) f ( x ) − f (0)  , ∃ lím− ∃ lím f ( x ) − f (0)  x →0 + x−0 x −0 x →0 Si ∃ lím ⇔ f ( x ) − f (0) f ( x ) − f (0) x −0 x →0  lím lím = x−0 x−0 x →0 −  x →0 + f ( x ) − f (0) x³ − 0 lím = lím = lím x ² = 0 x −0 x →0 x − 0 x →0 x →0 + f ( x ) − f (0) −x³ − 0 lím = lím = lím − x ² = 0 x−0 x →0 x − 0 x →0 x →0 − Por lo tanto: x³ − 0 lím =0 x →0 x − 0 Luego f(x) es derivable en el punto cero. Para que una función f(x9 sea derivable en un punto xo debe existir él lím

CUESTIÓN 3 Pruébese que la función ƒ(x) = 1/x es continua en el punto x = 2; esto es, muéstrese que es: lim

x→2

1 1 = x 2

Solución Una función es continua en un punto si en dicho punto existe y coincide con el valor del límite de la función en ese punto. lím f ( x ) = f ( x o ) x→x 0

1 1 Se pide demostrar que lím = y para ello habrá que acudir a la definición de límite en un 2 x →2 x punto. lím f ( x ) = L ⇔ ∃ δ, ε > 0 todo lo pequeño que queramos / Si x − a ≤ δ ⇒ f ( x ) − L ≤ ε x →a

o lo que es lo mismo, se tiene que demostrar que sí δ tiende a cero, ε también tiende a cero Aplicado al caso que se propone, sí δ tiende a cero, x tiende a dos y por tanto ε se convierte en: 1 1 lím  −  x → 2 x 2  calculando el límite 1 1 lím  −  = 0 x → 2 x 2  1 1 = 2 x →2 x

por lo que queda demostrado que lím PROBLEMA

Dos líneas férreas se cortan perpendicularmente. Por cada línea avanza una locomotora (de longitud despreciable), dirigiéndose ambas al punto de corte; sus velocidades son 60 y 120 Km/h han salido simultáneamente de estaciones situadas, respectivamente, a 40 y 30 Km del punto de corte. 1. Hallar la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en función del tiempo que pasa desde que inician su recorrido. 2. Hallar el valor mínimo de dicha distancia. Solución 1.- Se pide calcular una expresión para la distancia de separación de dos puntos móviles que se desplazan perpendicularmente y con velocidades constantes en función del tiempo. Tomando un sistema de referencia como el de la figura

y considerando el desplazamiento positivo, el ejercicio se reduce a calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que la longitud de los catetos será función del tiempo. Transcurrido un tiempo t, la posición de los móviles vendrá dada por

 s I = 60 t − 40  s II = 120 t − 30

por lo que la distancia de separación entre los móviles será s( t ) = (60 t − 40) 2 + (120 t − 30) 2 = 18000 t ² − 12000 t + 2500 = 10 ⋅ 180 t ² − 120 t + 25 2.- Se pide calcular el mínimo de la función s(t). 360 t − 120 s' ( t ) = 10 ⋅ 2 ⋅ 180 t ² − 120 t + 25 igualando a cero la derivada: 120 1 S' ( t ) = 0 ⇒ 360 t − 120 = 0 ; t = = h. 360 3

OPCIÓN B CUESTIÓN 1 ¿Cuántos puntos hay en la función ƒ(x) = x2 + 6x + 8 que no tengan derivada?. Justificar la respuesta. Solución Se pide estudiar la derivabilidad de una función en valor absoluto. El primer paso debe ser expresar la función por intervalos, cambiándole el signo a la expresión en los intervalos en los que sea negativa. Signo de f(x) = (x+4)·(x+2). De (−∞,−4)∪(-2,+∞) positiva, de (−4,−2) negativa.  x ² + 6 x + 8 Sí x ∉ (−4,−2) f (x ) =  − x ² − 6x − 8 Sí x ∈ ( −4,−2)

f(x) está definida en todo R por expresiones polinómicas y además, en los puntos donde cambia de expresión, existen los limites laterales y coinciden con el valor de la función en el punto, por lo tanto la función es continua en todo R f(x) es derivable en todo R−{−4,−2} por estar definida por expresiones polinómicas. En –4 y −2, habrá que comprobar si lo son también. La condición para que una función sea derivable en un punto xo, es que exista el f (x ) − f (x o ) lím , y para que existan este deben de existir sus laterales y ser iguales. x − xo x →x 0 Para x = −2

f (x ) − f (− 2 ) x →−2 x − (− 2) lím

(

)

 − ( x + 2) ⋅ ( x + 4) f (x ) − f (− 2 ) − x 2 − 6 x − 8 − − (− 2)2 − 6 ⋅ (− 2 ) − 8 = −2 = lím = lím  lím −  x →−2 x+2 x+2 x+2 x →−2 x →−2  ( x + 2) ⋅ ( x + 4) f (x ) − f (− 2 ) x 2 + 6x + 8 − 2 2 − 6 ⋅ 2 − 8  =2 lím = lím = lím  + x+2 x+2 x+2 x →−2 x → −2 x →−2 f (x ) − f (−2) al ser distintos los límites laterales, no existe el lím , por lo que la función no es derivable x →−2 x − (− 2 ) en x = −2

(

)

Aplicando el mismo desarrollo en x = −4, se demuestra que la función tampoco es derivable. Por lo tanto la función solo presenta dos puntos donde no es derivable.

CUESTIÓN 2 Encontrar las transformaciones de filas o columnas que hay que hacer con el determinante adjunto para probar la igualdad. Justifica la respuesta. a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1

= (a + 3)(a − 1)³

1 1 1 a Solución a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a

= {F4 = F4 + F3 + F2 + F1 } =

a

1

1

1

1

a

1

1

1

1

a

1

a 1 1 1 = (a + 3) ⋅

a +3 a +3 a +3 a +3

a −1 0 0  C1 = C1 − C 4  0 a −1 0 1 a 1 1   = (a + 3) ⋅ = C 2 = C 2 − C 4  = (a + 3) ⋅ 0 0 a −1 1 1 a 1  C 3 = C 3 − C 4  0 0 0 1 1 1 1  a 1 1 1

1 a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 1

=

1 1 1 1

= (a + 3) ⋅ (a − 1) 3

CUESTIÓN 3 Identificar, indicando algunas de sus características, las formas geométricas de las siguientes expresiones algebraicas: x ² y² z ² + + =1 a ² b² c² x2 + y2 + z2 + 5x – 8y + z = 3  x = cos t siendo t un parámetro que indica el tiempo   y = sen t Solución. La primera ecuación corresponde a un elipsoide centrado en el origen de coordenadas de vértices: A = (a, 0, 0), A’= (−a, 0, 0), B = (0, b, 0), B’= (0, −b, 0), C = (0, 0, c), C’= (0, 0 , −c) y ejes 2a, 2b, 2c.

La segunda ecuación corresponde a una esfera, ya que los coeficientes de x2, y2, y z2, son iguales en valor y signo. Como al menos uno de los coeficientes de x, y ó z no es nulo, la esfera está desplazada del origen de coordenadas. Para identificar el centro de la esfera y el radio, identificamos la ecuación implícita de la esfera con la de definición Ecc. de definición de esfera de centro (a, b, c) y radio R:

(x − a )2 + (x − b )2 + (x − c )2 = R 2

desarrollando x2 + y2 + z2 − 2a − 2b − 2c + a2 + b2 + c2 − R2 =0 identificando con la ecuación: x2 + y2 + z2 + 5x – 8y + z − 3 = 0

 − 2a = 5   − 2 b = −8 se obtiene las siguientes igualdades:   − 2c = 1  a 2 + b 2 + c 2 − R 2 = −3 5 a=−  2 51 resolviendo: b = 4  ⇒ R = 2 1 c = −  2 La ecuación de la esfera queda: 2 2  51  5 1  2    x +  + (x − 4 ) +  x +  =   2 2 2    

2

 1  5 Centro :  − ,4,−  2  2 Elementos de la esfera:  51  R= 2  La tercera ecuación corresponden a las paramétricas de una cónica. Para identificar la cónica se elimina el parámetro. Elevando la ecuaciones al cuadrado y sumándolas, se elimina el parámetro. x 2 = cos 2 t Sumando : x 2 + y 2 = cos 2 t + sen 2 t  2  y = sen 2 t teniendo en cuenta cos 2 t + sen 2 t = 1 se obtiene la ecuación de una circunferencia centrada en el origen de radio 1. x2 + y2 = 1 PROBLEMA Cierta empresa periodística tiene 650 millones de entradas al año entre ventas, publicidad y subvenciones. Si aumenta el 50% en la publicidad, esto le ocasiona un incremento del 10% en las ventas y una cierta disminución de la subvención, con lo cual las entradas disminuyen en 45 millones. A fin de mantenerse en los 650 millones de entradas, el director piensa tomar una de las dos decisiones siguientes: a) Reducir la publicidad inicial al 30%, con lo cual disminuiría la subvención en un 10% y las ventas se mantendrían. b) Reducir la publicidad inicial en un 40%, con lo cual las ventas se mantendrían y la subvención aumentaría en un 20 %. ¿Cuál de las dos decisiones es la correcta? Justifíquese cada una de las afirmaciones que se hagan. Solución. Los resultados de la empresa, pueden expresarse mediante las siguientes ecuaciones. V ≡ Ventas  V + P + S = 650   P ≡ Publicidad  :  1'1·V + 1'5·P + α·S = 605 S ≡ Subvenciones Las previsiones pueden expresarse: a) V + 0’3·P + 0’9·s = 650 b) V + 0’6·P + 1’2·S = 650 La opción “a”, no es posible, ya que no se pueden mantener los ingresos disminuyendo la publicidad y las subvenciones y manteniendo las ventas constantes

La opción “b” es posible, ya que manteniendo las ventas, disminuye la publicidad pero aumenta la subvención. Con los datos propuestos se estudia el sistema:  V + P + S = 650 V + P + S = 650    1 ' 1 · V + 1 ' 5 · P + α · S = 605 : 11 · V + 15·P + 10α·S = 6050    V + 0'6P + 1,2S = 650  10V + 6P + 12S = 6500   definido por las matrices

1  1 650  1 1 1 1     A =  11 15 10α  : A' =  11 15 10α 6050  10 6 12  10 6 12 6500      El rango de la matriz A’ es tres independientemente del valor que tome α, ya que existe un menor de orden tres que no depende de α y es distinto de cero. 1 1 650 11 15 6050 = −4400 10 6 6500 El rango de A depende de α

1 1 1 11 15 10α = 4 ⋅ (10α − 9 ) 10 6 12 Sí α = 0’9 el sistema es incompatible. rg A ≠ rg A’ Sí α ≠ 0’9 el sistema es compatible determinado. rg A = rg A’ = n = 3

i. ii.

Aplicando la discusión del sistema al enunciado del problema, la propuesta “b” solo será admisible cuando la rebaja en la subvención propuesta en la segunda ecuación sea distinta al 10%. Sí la rebaja es diferente al 10%, las distintas partidas de ventas, publicidad y subvenciones vendrán expresadas el función de α según: AV AP AS V= :P = :S = A A A 650 1 1 6050 15 10α V=

6500

6

12

4 ⋅ (10α − 9 )

1 650 1 11 6050 10α :P =

10 6500

12

4 ⋅ (10α − 9 )

1 1 650 11 15 6050 :S =

 400·(65α − 42 ) >0 V = 4 ⋅ (10α − 9 )  − 2200  >0  P= 4 ⋅ (10α − 9 )   S = − 4400 > 0  4 ⋅ (10α − 9 ) 

10

6

6500

4 ⋅ (10α − 9)

Resolviendo las inecuaciones: 42 i. Para que V > 0: α < ≈ 0'64 ó α > 0’90 65 ii. Para que P y S > 0: α < 0’90 Para que los tres valores V, P, y S sean positivos y la propuesta “b” sea aceptable, la disminución en la subvención correspondiente a la segunda ecuación, debe ser suprior al 36%.