Junio 2014 Opción A Ejercicio 1. Se consideran las matrices

⎛ 1 a ⎞ ⎛ 1/ 2 0 ⎞ y B=⎜ siendo a un número A=⎜ ⎟ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 3 / 4 0 ⎟⎠

real cualquiera. a) Obtenga la matriz A 2014 Para obtener la matriz pedida, comenzamos a calcular las potencias de A:

⎛ 1 a ⎞ ⎛ 1 a ⎞ ⎛ 1 2a ⎞ A 2 = A ⋅ A= ⎜ = ⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎛ 1 2a ⎞ ⎛ 1 a ⎞ ⎛ 1 3a ⎞ A3 = A2 ⋅ A = ⎜ = ⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎛ 1 2014a ⎞ ⎟⎠ 1

2014 Está claro, por tanto, que la matriz A será: ⎜ ⎝ 0

3 b) Para a = 2, resolver la ecuación matricial: A ⋅ X − 4B = 0

En primer lugar despejamos la matriz X de la ecuación matricial dada:

A 3 X − 4B = 0 A 3 X = 4B → ( A 3 ) A 3 X = 4 ( A 3 ) B → X = 4 ( A 3 ) B −1

−1

−1

⎛ 1 2 ⎞ ⎝ 0 1 ⎟⎠

Como se ve, será necesario calcular la inversa de A 3 siendo A = ⎜

⎛ 1 6 ⎞ 1 ⎟⎠

Aplicando el apartado a, se tiene que A 3 = ⎜ ⎝ 0

A continuación, calculamos la matriz inversa de A 3 :

⎧ 3 1 6 =1 ⎪A = 0 1 ⎪ A3 ⎨ ⎛ 1 0 ⎞ ⎪ 3 ⎪adj(A ) = ⎜⎝ −6 1 ⎟⎠ ⎩ ⎛ ⎞ −1 t ( A 3 ) = A13 ( adj(A 3 )) = ⎜⎝ 10 −61 ⎟⎠ Y por tanto, la matriz X queda como:

⎛ 1 −6 ⎞ ⎛ 1 / 2 0 ⎞ ⎛ −4 0 ⎞ ⎛ −16 0 ⎞ X = 4⎜ = 4 ⎜⎝ 3 / 4 0 ⎟⎠ = ⎜⎝ 3 0 ⎟⎠ ⎝ 0 1 ⎟⎠ ⎜⎝ 3 / 4 0 ⎟⎠ Ejercicio 2. La función de beneficios f, en miles de euros, de una empresa de pende de la cantidad invertida x, en miles de euros, en un determinado proyecto de innovación y viene dada por f (x) = −2x 2 + 36x + 138 a) Determine la inversión que maximiza el beneficio de la empresa y calcule dicho beneficio óptimo Para calcular el máximo de la inversión será necesario calcular los vértices de la función empleando para ello la primera derivada:

f '(x) = −4x + 36 A continuación, calculamos los puntos críticos de la función, es decir, los valores de x que anulan la derivada:

f '(x) = 0 → −4x + 36 = 0 → x = 9 Finalmente comprobamos que x=9 es el máximo de la función estudiando el signo de la derivada:

←⎯⎯ → 9 ←⎯⎯⎯ → f '(1)>0 f '(10) 2 Para que la función sea derivable en x = 2

lim f '(x) = lim+ f '(x)

x→2 −

x→2

−4b − 2 = −15 → −4b = −13 → b =

13 4

Conociendo el valor de b calculamos el valor de a para lograr la continuidad y la derivabilidad en x =2

−6b + a = 30 → −6

13 −78 198 99 + a = 30 → + a = 30 → a = = 4 4 4 2

b) Para a = 48 y b = 3, estudie la monotonía de f(x) y calcule sus extremos.

⎧−3x 2 − 3x + 48 si x ≤ 2 ⎪ f (x) = ⎨ 60 ⎪⎩ x si x > 2 Para estudiar la monotonía calculamos la derivada de f.

⎧−6x − 3 si x < 2 ⎪ f '(x) = ⎨ −60 ⎪⎩ x 2 si x > 2 A continuación calculamos los puntos críticos, es decir, los valores de x que anulan la derivada. Para ello, igualamos ambos tramos de la derivada a 0:

−6x − 3 = 0 → x = −

1 2

−60 = 0 → No tiene solución x2 Finalmente, estudiamos el signo de la derivada:

←⎯⎯⎯ → −0.5 ←⎯⎯⎯ → 2 ←⎯⎯⎯ → f '(−2)>0 f '(0)