JUNIO 2005 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.

OPCIÓN A 1. (puntuación máxima: 3 puntos). Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente, del parámetro real k 2 x − 3y + z = 0   x − ky − 3z = 0 5x + 2 y − z = 0  Se pide. (a) Discutir el sistema para los distintos valores de k. Solución 2 −3 1    A =  1 − k − 3  5 2 −1  

Sistema homogéneo, se caracteriza por que la matriz A y la A* son iguales (se diferencian en una columna de ceros) y por tanto también son iguales sus rangos, por lo que siempre son compatibles. Si A ≠ 0 , el sistema es compatible determinado. Teniendo en cuanta lo anterior, el sistema se discute en función de los valores del parámetro que anular el A . 2 −3

1

det A = 1 − k − 3 = 7 k + 56 = 0 : k = −8 5 2 −1

Discusión: i. Si k ≠ 8. A ≠ 0 ⇒ rg A = rg A* = n = 3. Sistema compatible determinado. Solución trivial

ii.

(x = y = z = 0). 2 −3 1    Si k = 8.  1 8 3  A = 0 rg A < 3  5 2 − 1  

2 −3 1

8

= 10 ≠ 0 rg A = rg A* = 2 < n = 3 .

Sistema compatible indeterminado. (b) Resolver el sistema en los casos en los que sea posible. Solución. • Si k ≠ 8, sistema compatible determinado. Solución trivial. x = y = z = 0 • Si k = 8, sistema compatible indeterminado de rango 2, por lo tanto solo hay dos ecuaciones linealmente independientes. Para asegurarse que la ecuaciones elegidas son las linealmente independientes, se escogen la ecuaciones que contienen a los términos del menor de orden 2 distinto de cero. 2 x − 3 y + z = 0   x − 8 y − 3z = 0 Para resolver el sistema se transforma una variable en parámetro (x = λ) y se resuelven en función de λ. − 2λ 1 − 3 − 2λ Ay Az − λ − 3 7λ 8 −λ − 3y + z = −2λ 19λ = = = 7λ z = = = = 19λ : y=  1 1 −3 1 −3 1 A A  8 y − 3z = −λ 8

−3

Solución: (λ, 7λ, 19λ ) ∀ λ ∈ R

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8

−3

2. (puntuación máxima: 3 puntos). La función − x 2 + 9x − 16 x representa, en miles de euros, el beneficio neto de un proceso de venta, siendo x el número de artículos vendidos. Calcular el número de artículos que deben venderse para obtener el beneficio máximo y determinar dicho beneficio máximo. Solución. Los máximos de una función están en aquellos puntos donde la primera derivada es nula y la segunda derivada es menor que cero. B(x ) =

Los posibles puntos de máximos serán las raíces de la derivada primera. (− 2x + 9)⋅ x − − x 2 + 9x − 16 ⋅1 = 16 − x 2 = 0 : 16 − x 2 = 0 : x = −4 B′(x ) =  x2 x2 x=4

(

)

Para saber si son máximo ó mínimos se sustituyen en la segunda derivada. 32 1  = > 0 ⇒ x = −4 ∃ un mínimo B′′(− 4) = − 2 2  3 − 2x ⋅ x − 16 − x ⋅ 2 x 32  (− 4) 2 = − 3 : B′′(x ) = 4 x x  B ′′(4) = − 32 = − 1 < 0 ⇒ x = 4 ∃ un máximo  2 43

(

)

El máximo beneficio se produce cuando se venden 4 artículos, siendo el beneficio máximo: − 4 2 + 9 ⋅ 4 − 16 B(4) = = 1 1000 € 4 3. (puntuación máxima: 2 puntos). Una caja con una docena de huevos contiene dos de ellos rotos. Se extraen al azar sin reemplazamiento (sin devolverlos después y de manera consecutiva) cuatro huevos.

(a) Calcular la probabilidad de extraer los cuatro huevos en buen estado. Solución. Ai ≡ el huevo extraído en la posición i está en buen estado. p(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) Sucesos dependientes, ha medida que sacamos un huevo de la caja se varia la proporción entre huevos en buen estado y rotos, por lo que la segunda y sucesivas extracciones se ve condicionada por la anteriores extracciones. A  ⋅ p A 4 =  ⋅ p A 3 p(A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ) = p(A 1 ) ⋅ p 2 A 1 ∩ A 2   A 1 ∩ A 2 ∩ A 3  A 1    10 9 8 7 14 = ⋅ ⋅ ⋅ = 42'42% 12 11 10 9 33 (b) Calcular la probabilidad de extraer de entre los cuatro, exactamente un huevo roto. Solución. p A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∪ A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∪ A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 ∪ A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 =

[( = p(A

1

) (

) (

) (

) (

) (

) (

)]

)

∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 + p A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 + p A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 + p A1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ A 4 =

Resolviendo igual que en el apartado (a) =

10 9 8 2 10 9 2 8 10 2 9 8 2 10 9 8 16 ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = 48'5% 12 11 10 9 12 11 10 9 12 11 10 9 12 11 10 9 33

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4. (puntuación máxima: 2 puntos). En una encuesta se pregunta a 10.000 personas cuántos libros lee al año, obteniéndose una media de 5 libros. Se sabe que la población tiene una distribución normal con desviación típica 2.

(a) Hallar un intervalo de confianza al 80% para la media poblacional. Solución. x ≡ Número de libros que lee al año. Sigue una distribución normal N:(µ, 2). Para muestras de tamaño n = 10 000, las medias de las muestras siguen también una distribución normal:   2  N :  µ,  10 000  

En una muestra se ha obtenido un valor medio x o = 5 . El intervalo de probabilidad a partir de esta muestra viene dado por la expresión:  σ σ    x o − Zα ⋅ , x o + Zα ⋅   2 2 n n  siendo Z α el valor crítico, que se obtiene a partir del nivel de confianza (1 − α = 0’80) mediante la 2

siguiente expresión:  0'2   α −1 Z α = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0'90 ) = 1'28 2  2   2 sustituyendo los valores en el intervalo   2 2  5 − 1'28 ⋅  = (4'97, 5'03) , 5 + 1'28 ⋅   10 000 10 000  

El 80% de las medias de las muestras de 10 000 elementos van a estar comprendidas entre 4’97 y 5’03. (b) Para garantizar un error de estimación de la media poblacional no superior a 0,25 con un nivel de confianza del 95%, ¿a cuántas personas como mínimo sería necesario entrevistar? Solución. El tamaño de muestra se puede obtener a partir del máximo error admitido mediante la expresión: ε máx > Z α ⋅ 2

 σ n >  Z α ⋅  2 ε máx

σ n

   

2

Para un nivel de confianza del 95% el z crítico vales:  0'05   α −1 Z α = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0'9750) = 1'96 2  2   2 sustituyendo  σ n >  Z α ⋅ ε 2 máx 

2

2

 2   = 1'96 ⋅  = 245'8  0 ' 25   

n ≥ 246

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OPCIÓN B 1. (puntuación máxima: 3 puntos). Un mayorista vende productos congelados que presenta en envases de dos tamaños: pequeño y grande. La capacidad de sus congeladores no le permite almacenar más de 1000 envases en total. En función de la demanda sabe que debe mantener un stock mínimo de 100 envases pequeños y 200 envases grandes. La demanda de envases grandes es igual o superior a la de envases pequeños. El coste por almacenaje es de 10 céntimos de euro para cada envase pequeño y de 20 céntimos de euro para cada envase grande. ¿, Qué cantidad de cada tipo de envases proporciona el mínimo gasto de almacenaje? Obtener dicho mínimo. Solución. Variables. • x ≡ Número de envases pequeños • y ≡ Número de envases grades Restricciones. x + y ≤ 1000  x ≥ 100    y ≥ 200  x ≤ y

Función objetivo.

G (x, y ) = 10 x + 20 y

Región factible.

Vértices.  x = 100 A: A = (100, 200 )  y = 200  x = 100 B: B = (100, 900 ) x + y = 1000

 x=y C: A = (500, 500 ) x + y = 1000  y = 200 D: B = (200, 200 )  x=y

Optimación. A B C B

x 100 100 500 200

y 200 900 500 200

G(x, y) = 10x + 20y 5000 19000 15000 6000

El Gasto de almacenaje mínimo cumpliendo las restricciones propuestas es de 50 € y se obtiene manteniendo un stock de 100 envase pequeños y 200 grandes

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2. (puntuación máxima: 3 puntos). (a) Hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) = e2−x en el punto donde ésta corta al eje de ordenadas. Solución. La ecuación de la recta tangente a la función en el punto x = 0 (valor de x en el eje de ordenadas) en forma punto pendiente es: y − f (0) = f ′(0 ) ⋅ (x − 0) f (x ) = e 2 − x ⇒ f (0 ) = e 2− 0 = e 2

Sustituyendo

f ′(x ) = e 2− x ⋅ (− 1) = −e 2 − x ⇒ f ′(0 ) = −e 2− 0 = −e 2

y − e 2 = −e 2 ⋅ (x − 0)

y = −e 2 x + e 2

(b) Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función f(x) = x2 − 4x, el eje OX y las rectas x = −1, x = 4. Solución. La forma más sencilla de resolver el problema es dibujar el área. f(x) = x2 − 4x es una parábola abierta hacia arriba que corta a los ejes en (0, 0) y (4, 0).

Área =

∫ (x 0

−1

2

)

+ 4 x ⋅ dx +

∫( 4

0

0

)

 x 3 4x 2  x + 4x ⋅ dx =  +  + 2   3 −1 2

  03   (− 1)3 = + 2⋅02  −  + 2 ⋅ (− 1)2  +  3   3     

4

 x 3 4x 2    3 + 2  =  0

 43   03  7 32  + 2⋅ 42  −  + 2⋅02  = + − = 13 u 2  3   3  3 3    

3. (puntuación máxima: 2 puntos). En un experimento aleatorio consistente en lanzar simultáneamente tres dados equilibrados de seis caras, se pide calcular la probabilidad de cada uno de los siguientes sucesos: "Obtener tres unos", "Obtener al menos un dos", "Obtener tres números distintos" y "Obtener una suma de 4" . Solución. El resultado de cada dado es independiente a los de los demás dados.

•

•

1 1 1 1 ⋅ ⋅ = 6 6 6 216 "Obtener al menos un dos" ≡ “caso contrario a ningún dos”: 125 91 5 5 5 p 2 ∩ 2 ∩ 2 = 1− p 2 ⋅ p 2 ⋅ p 2 = 1−  ⋅ ⋅  = 1− = 216 216 6 6 6 "Obtener tres unos": p(1 ∩ 1 ∩ 1) = p(1) ⋅ p(1) ⋅ p(1) =

(

•

)

( ( ) ( ) ( ))

"Obtener tres números distintos": p(Cualquier cara) · p(Cualquiera excepto la 1ª) · p(Cualquiera 5 4 5 excepto la 1ª y la 2ª) = 1 ⋅ ⋅ = . También se puede hacer mediante combinatoria y la 6 6 9 definición axiomática de probabilidad. p =

•

V63 VR 36

=

6⋅5⋅ 4 63

1 1 1 1 "Obtener una suma de 4": p = P32 ⋅ p(1 ∩ 1 ∩ 2) = 3 ⋅ ⋅ ⋅ = 6 6 6 72

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4. (puntuación máxima: 2 puntos). Para una población N (µ, σ = 25), ¿qué tamaño muestral mínimo es necesario para estimar µ mediante un intervalo de confianza, con un error menor o igual que 5 unidades, y con una probabilidad mayor o igual que 0,95 ? Solución. El tamaño de muestra se puede obtener a partir del máximo error admitido mediante la expresión: ε máx > Z α ⋅ 2

 σ n >  Z α ⋅  2 ε máx

σ n

   

2

Para un nivel de confianza del 95% el z crítico vales:  α  0'05  −1 Z α = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0'9750 ) = 1'96 2 2 2     sustituyendo  σ n >  Z α ⋅  2 ε máx

2

2

 25  = 1'96 ⋅  = 96'04  5   

n ≥ 97

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