JUNIO 2004 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.

OPCIÓN A 1. (puntuación máxima: 3 puntos). Un producto se compone de la mezcla de otros dos A y B. Se tienen 500 kg de A y 500 kg de B. En la mezcla, el peso de B debe ser menor o igual que 1’5 veces el de A. Para satisfacer la demanda, la producción ha de ser mayor o igual que 600 kg. Sabiendo que cada kg de A cuesta 5 euros, y cada kg de B cuesta 4 euros, calcular los kg de A y B que deben emplearse para hacer una mezcla de coste mínimo, que cumpla los requisitos anteriores. Obtener dicho coste mínimo. Solución. Definición de variables: - x ≡ kg de A en la mezcla - y ≡ kg de B en la mezcla Función objetivo. Debe representa el coste de una mezcla de x kg de A e y kg de B. - C (x, y) = 5x + 4y Restricciones. - x ≤ 500 - y ≤ 500 - y ≤ 1’5x - x + y ≥ 600 - x>0 , y>0 Región factible.

Vértices. -

x + y = 600 A: ⇒ A = (240, 360)  y = 1'5x )  y = 1,5x B : ⇒ B = 333'3, 500  y = 500

(

x = 500 C : ⇒ C = (500, 500)  y = 500

)

-

x + y = 600 ⇒ D = (500, 100) D:   x = 500

Optimación

A B C D

x

y

C(x, y) = 5x + 4y

240 333 500 500

360 500 500 100

C(240, 360) = 5·240 + 4·360 = 2690 € C(233, 500) = 5·333 + 4·500 = 3666 € C(500, 500) = 5·500 + 4·500 = 5500 € C(500, 100) = 5·500 + 4·100 = 2900 €

El mínimo coste mezclando ambos productos y cumpliendo las restricciones propuestas se obtiene con 240 kg de A y 360 kg de B, siendo el coste mínimo de 2690 € 2. (puntuación máxima: 3 puntos). Calcular la integral definida

∫ ( x + x + 1)dx 1

−1

Nota.- La notación x representa el valor absoluto de x. Solución. Se pide calcular la integral definida de una función en cuya expresión aparece el valor absoluto de x, siendo necesaria por tanto expresar la función sin el valor absoluto. x Z α ⋅ 2

 σ ⇒ n >  Z α ⋅ E 2 n máx 

σ

   

2

Nivel de confianza: 1 − α =’99 ⇒ α = 0’01  α  0'01  −1 Z α = φ −1 1 −  = φ −1 1 −  = φ (0'995) = 2'57 2  2  2  sustituyendo  σ n >  Z α ⋅  2 E máx

2

2  100   =  2'57 ⋅ = 26'6   50   

n ≥ 27 elementos Si se aumenta el tamaño dela muestra, aumenta el nivel de confianza.