JUNIO 1998 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min. OPCION A 2π

EJERCICIO 1. Calcular

∫π x sen x·dx

EJERCICIO 2. Se considera la ecuación x3+λx2–2x=1. Utilizando el Teorema de Bolzano de los valores intermedios: a) Probar que si λ > 2, la ecuación admite alguna solución menor que 1. b) Probar que si λ < 2, la ecuación admite alguna solución mayor que 1. EJERCICIO 3. a) Determinar el centro y el radio de la circunferencia C ≡ x2 + y2 – 4x + 2y = 0. b) Obtener la ecuación de la recta tangente a C en el punto P(4, 0). c) Encontrar la ecuación de la circunferencia concéntrica con C que es tangente a la recta de ecuación 2x – y + 2 = 0. EJERCICIO 4. Se considera el sistema de ecuaciones en las incógnitas x, y, z, t:  x + 2y + z = 0   y + 2z + t = 0  2 x + 2λ y − t = 0  λ a) Encontrar los valores de para los que el rango de la matriz de coeficientes del sistema es 2. b) Resolver el sistema anterior para λ = 0. OPCION B EJERCICIO 1. ! ! ! Comprobar que los vectores: a = (1,1,3) , b = (− 1,2,0) y c = (1,3,5) son linealmente dependientes ! ! b) Encontrar la ecuación del plano π determinado por el punto Q(-1, 0, 1) y los vectores b y c .

a)

! EJERCICIO 2. Encontrar los vectores unitarios de R3 que son perpendiculares a v = (1,0,1) y !  1 2 1  forman un ángulo de 60° con w =  , , 2 2 2   EJERCICIO 3. Determinar las funciones (definidas sobre toda la recta real y que toman valores reales) que satisfacen la condición de la pendiente de la recta tangente en un punto genérico (x, y) de su gráfica viene dada por la expresión x·ex. b) Hallar los máximos y mínimos locales y los intervalos de crecimiento y decrecimiento de aquella de las funciones del apartado anterior que pasa por el punto (0, 1). a)

EJERCICIO 4. Un almacenista dispone de 3 tipos de café: él A, a 980 Ptas./Kg. ; el B a 875 Ptas./Kg. ; y el C a 950 Ptas./Kg. Desea hacer una mezcla con los tres tipos de café para suministrar un pedido de 1050 Kg a un precio de 940 Ptas./Kg. ¿Cuántos kilogramos de cada tipo de café debe mezclar sabiendo que debe poner del tercer tipo el doble de lo que ponga del primero y del segundo juntos?