JUNIO 1997 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.
OPCIÓN A EJERCICIO 1 Señalar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas razonando las respuestas. Si los puntos A, B, C, y D pertenecen a un mismo plano, entonces los vectores AB , AC y AD son linealmente independientes ! ! ! ! b) Sean (A, v ) y (A’, v ’ ) las determinaciones lineales de dos rectas r y r’. Si los vectores AA , v y v ’ son linealmente dependientes, entonces las rectas r y r’ son coplanarias. a)
EJERCICIO 2. Obtener el determinante ∆ en función de ∆1 , siendo: a +b b+c c+a ∆ = a '+ b ' b '+ c ' c '+ a ' a"+ b" b"+c" c"+a"
a
b
c
∆1 = a '
b'
c'
a" b" c"
EJERCICIO 3. En la perforación de un cierto pozo, se sabe que el coste de la extracción del metro cuadrado de tierra a una profundidad de x metros es proporcional a xa, para un cierto número a > 1. Llamaremos C(x) al coste de la extracción de tierra del pozo, desde la superficie hasta la profundidad de x metros. Sabiendo que C(2) = 8 2 ·C(1) , se pide: a) Hallar a. b) Hallar la profundidad h para la que C(h) = 128 C (1).
EJERCICIO 4. Se consideran dos varillas AB y MN rígidamente unidas perpendicularmente en M, que es el punto medio de AB . Las longitudes de las varillas son AB =2a y MN =a. Se dibujan dos rectas perpendiculares en el suelo (plano) y se desplazan las varillas sobre él de modo que A recorra una de dichas rectas, B recorra la otra y el extremo N quede a distinto lado de AB que el punto donde se cortan las rectas. Hallar el lugar geométrico que describe el extremo N.
OPCIÓN B EJERCICIO 1. De las siguientes propiedades de la dependencia lineal, decir cuál o cuáles son ciertas, justificando la respuesta: 1. Un conjunto de vectores con dos o más vectores iguales no es linealmente dependiente. 2. En R3, si tres vectores son linealmente dependientes, entonces son coplanarios. 3. Si en un conjunto de vectores está el vector 0, entonces el conjunto es linealmente dependiente.
EJERCICIO 2. a b 0 − 1 , M = Sean A y M las siguientes matrices: A = c d 1 1 Determinar las relaciones entre a, b, c y d para que se cumpla que AM = MA.
EJERCICIO 3. Sea ƒ: R → R una función derivable en R; sea a y b dos raíces de la derivada ƒ’(x) tales que entre ellas no hay ninguna otra raíz de ƒ’(x). Razonar debidamente si puede ocurrir cada una de las siguientes posibilidades: a) Entre a y b no existe ninguna raíz de ƒ(x). b) Entre a y b existe una sola raíz de ƒ(x). c) Entre a y b existen dos o más raíces de ƒ(x).
EJERCICIO 4. Dos varillas fijas AA’ y BB’ , de espesor despreciable, están entrelazadas por una goma elástica (del modo que se indica en la figura adjunta). La goma, que está tensa, puede deslizar libremente por las varillas (sin rozamiento). Se sabe que las varillas ocupan las posiciones (en ejes cartesianos rectangulares xyz): x − y = 3 x −2 y−4 z−5 = = ; BB' : 1 2 2 z=4 a) ¿Qué posiciones relativas tienen las rectas AA’ y BB’? b) Hallar la longitud total de la goma elástica en su posición de equilibrio. AA' :
