JUNIO 1996 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.

OPCIÓN A EJERCICIO 1 Considérese el siguiente sistema de ecuaciones lineales (en él, a, b y c son datos; las incógnitas son x, y, ay + bx = c  z) cx + az = b . Si a, b y c son no nulos, el sistema tiene solución única. Hallar dicha solución. bz + cy = a 

EJERCICIO 2 Sea A una matriz cuadrada y sea A’ la matriz que se obtiene de intercambiar, en A, las filas 1ª y 2ª. Es sabido que, entonces, se verifica que det (A’) = -det (A). Justifíquese este resultado.

EJERCICIO 3 ! ! ! ! ! ! ! ! ! Dados los vectores a , b y c tales que  a  = 3,  b  = 1 y  c  = 4 y a + b + c =0, calcular la ! ! ! ! ! ! siguiente suma de productos escalares:  a · b + b · c + a · c

EJERCICIO 4 Dos hermanos heredan una parcela que han de repartirse en partes iguales. La parcela es la región plana encerrada entre la parábola y = x2 y la recta y = 1. Deciden dividir la parcela mediante una recta y = a paralela a la recta y = 1. Hallar el valor de a.

OPCIÓN B EJERCICIO 1 a)

Hallar razonadamente los valores del parámetro p para los que la matriz A tiene inversa. 0 0  p   A = 1 p +1 1  1 0 p − 1 

b) Hallar la inversa para p = 2

EJERCICIO 2 Señalar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. En caso de ser ciertas, justifíquense; en caso contrario, póngase ejemplos que lo confirmen. a) El producto mixto de tres vectores cualesquiera no nulos es siempre distinto de cero. ! ! ! b) Si a , b y c son tres vectores del espacio tridimensional R3 no nulos que satisfacen la condición ! ! ! ! ! ! c) a · b = a · c , entonces se verifica que b = c .

EJERCICIO 3 Sea ABC un triángulo isósceles, cuyo ángulo desigual es A. Hallar el coseno del ángulo A sabiendo que las medianas trazadas desde los vértices B y C son recíprocamente perpendiculares. (Sugerencias: tomar ejes coordenados XOY haciendo que el eje OX coincida con BC y que el eje OY coincida con la altura desde el vértice A a BC .)

EJERCICIO 4 Un comediante vende un determinado producto. Por cada unidad de producto cobra la cantidad de 5 pesetas. No obstante, si se le encargan más de 10 unidades, decide disminuir el precio por unidad y por cada x unidades cobra la siguiente cantidad:  5x Si 0 < x ≤ 10 c( x ) =   ax² + 500 Si x > 10 Se pide: a) Hallar a para que el precio varíe de forma continua al variar el número de unidades que se compran. b) ¿A cuánto tiende el precio de una unidad cuando se compran “muchísimas” unidades?