JUNIO 1995 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.

OPCIÓN A CUESTIÓN 1 En un vértice de un cubo se aplican tres fuerzas dirigidas según los diagonales de las tres caras que pasan por dichos vértices. Los módulos o magnitudes de estas fuerzas son 1, 2 y 3. Hallar el módulo de la fuerza resultante de aquellas tres.

CUESTIÓN 2 Estudiar la derivabilidad en x = 0 de ƒ(x) = x3

CUESTIÓN 3 Pruébese que la función ƒ(x) = 1/x es continua en el punto x = 2; esto es, muéstrese que es: 1 1 lim = x →2 x 2

PROBLEMA Dos líneas férreas se cortan perpendicularmente. Por cada línea avanza una locomotora (de longitud despreciable), dirigiéndose ambas al punto de corte; sus velocidades son 60 km/h y han salido simultáneamente de estaciones situadas, respectivamente, a 40 y 30 km del punto de corte. 1. 2.

Hallar la distancia a la que se encuentran las locomotoras, en función del tiempo que pasa desde que inician su recorrido. Hallar el valor mínimo de dicha distancia.

OPCIÓN B CUESTIÓN 1 ¿Cuántos puntos hay en la función ƒ(x) = x2 + 6x + 8 que no tengan derivada?. Justificar la respuesta.

CUESTIÓN 2 Encontrar las transformaciones de filas o columnas que hay que hacer con el determinante adjunto para probar la igualdad. Justifica la respuesta. a 1 1 1 1 a 1 1 1 1 a 1

= (a + 3)(a − 1)³

1 1 1 a

CUESTIÓN 3 Identificar, indicando algunas de sus características, las formas geométricas de las siguientes expresiones algebraicas: x ² y² z² + + =1 a ² b² c² x2 + y2 + z2 + 5x – 8y + z = 3  x = cos t siendo t un parámetro que indica el tiempo   y = sen t

PROBLEMA Cierta empresa periodística tiene 650 millones de entradas al año entre ventas, publicidad y subvenciones. Si aumenta el 50% en la publicidad, esto le ocasiona un incremento del 10% en las ventas y una cierta disminución de la subvención, con lo cual las entradas disminuyen en 45 millones. A fin de mantenerse en los 650 millones de entradas, el director piensa tomar una de las dos decisiones siguientes: a) Reducir la publicidad inicial al 30%, con lo cual disminuiría la subvención en un 10% y las ventas se mantendrían. b) Reducir la publicidad inicial en un 40%, con lo cual las ventas se mantendrían y la subvención aumentaría en un 20 %. c) ¿Cuál de las dos decisiones es la correcta? Justifíquese cada una de las afirmaciones que se hagan.