JUNIO 1994 INSTRUCCIONES: El examen presenta dos opciones A y B; el alumno deberá elegir una de ellas y contestar razonadamente a los cuatro ejercicios de que consta dicha opción en 1 h. 30 min.

OPCIÓN A 1° ((Puntuación máxima: 2 puntos) Se sabe que y = f(x) e y = g(x) son dos curvas crecientes en x=a. Analícese si la curva y = f(x)–g(x) ha de ser, entonces, creciente en x=a. (sí la respuesta es afirmativa, justifíquese; en caso contrario, desé un contraejemplo que lo confirme) 2° (Puntuación máxima: 2 puntos) Calcular la integral

1

∫ x+

dx x

3° (Puntuación máxima: 2 puntos) Sean A y B dos matrices de igual tamaño y sea λ un número. Se sabe que λ (A + B) = λA + λB. Justifíquese este resultado. 4º PROBLEMA (Puntuación máxima: 4 puntos) En la figura adjunta se representan dos varillas, AB y; la varilla AB tiene un orificio en el punto C, en el que se articula un extremo de la varilla. Se sabe que

OC = AC =2 CB = a, dado. El extremo O de la segunda varilla permanece fijo; el extremo A de la otra se

mueve recorriendo una recta fija (el eje de abscisas), que pasa por O. a) En función del ángulo α, hallar las coordenadas de A, de C y de B. b) Hallar el lugar geométrico que describe el punto B, indicando el tipo de curva de que se trata. OPCIÓN B 1° ((Puntuación máxima: 2 puntos) Hallar la posición relativa de las rectas (2 puntos) x + y = 0 r: , s: x−1=y−1=z−1  z=0 ! 2° (Puntuación máxima: 2 puntos) Sean, a , b y c tres vectores linealmente independientes. Indicar cual o cuales de los siguientes productos mixtos valen 0 En cada uno de estos casos, ha de razonarse la contestación. (2 puntos) ( a + c , a − c , a + b + c ), ( a + c , b , a + b ), ( a − c , b − c , c − a ) 3° (Puntuación máxima: 2 puntos) a) Defina derivada de una función f en el punto a. b) Aplicando la definición de derivada, demostrar que si f es derivable y periódica, de periodo T, entonces su derivada f’ también es periódica de periodo T. 4º PROBLEMA (Puntuación máxima: 4 puntos) Una fábrica de electrodomésticos tiene una producción semanal fija de 42 unidades. La fábrica abastece a 3 establecimientos que demandan toda la producción. En una determinada semana, el primer establecimiento solicitó tantas unidades como el segundo y tercero juntos, mientras que el segundo establecimiento pidió un 20 % mas que la suma de la mitad de lo pedido por el primero mas la tercera parte de lo pedido por el tercero. ¿Cuáles fueron las cantidades solicitadas por los tres establecimientos?