Introducción al Diseño de Filtros Digitales Diego Milone
Muestreo y Procesamiento Digital Ingeniería Informática FICH-UNL
7 de mayo de 2009
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Organización de la clase
Introducción
Concepto y clasi cación de ltros Filtros ideales y ltros realizables
Diseño de ltros IIR
Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia
Diseño de ltros FIR
Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR
Modulación
Conceptos básicos
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Organización de la clase
Introducción
Concepto y clasi cación de ltros Filtros ideales y ltros realizables
Diseño de ltros IIR
Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia
Diseño de ltros FIR
Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR
Modulación
Conceptos básicos
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Concepto
•
¾Qué es un ltro?
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Concepto
•
¾Qué es un ltro?
•
Filtros vs. Sistemas
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Concepto
•
¾Qué es un ltro?
•
Filtros vs. Sistemas
•
Ejemplos...
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Clasi cación de los ltros •
Respuesta al impulso • •
IIR (recursivos, AR/ARMA) FIR (no-recursivos, MA)
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Clasi cación de los ltros •
Respuesta al impulso • •
•
IIR (recursivos, AR/ARMA) FIR (no-recursivos, MA)
Banda de paso • • • • •
Pasa-Bajos Pasa-Altos Pasa-Banda Rechaza-Banda Multibanda
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Clasi cación de los ltros
Adaptativos vs. estáticos • Filtros de fase lineal • Filtros para compensación de fase •
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Clasi cación de las técnicas de diseño •
Filtros IIR •
Prototipos analógicos
• • • • •
Butterworth Chebyshev I y II Elípticos Bessel
Diseño digital directo (Yule-Walk)
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Clasi cación de las técnicas de diseño •
Filtros IIR •
Prototipos analógicos
• • • • •
•
Butterworth Chebyshev I y II Elípticos Bessel
Diseño digital directo (Yule-Walk)
Filtros FIR • •
Método de Fourier + Ventaneo Otros (mínimos cuadrados, minimax, etc)
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtro pasa bajos ideal
Magnitud • Fase • Frecuencia de corte (-3 dB) •
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros realizables
•
Filtro pasa bajos •
Bandas de paso, rechazo y transición
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros realizables
•
Filtro pasa bajos • •
Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros realizables
•
Filtro pasa bajos • • •
Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros realizables
•
Filtro pasa bajos • • • •
Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros realizables
•
Filtro pasa altos • • • •
Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros realizables
•
Filtro pasa banda • • • •
Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros realizables
•
Filtro rechaza banda • • • •
Bandas de paso, rechazo y transición Tolerancias en las bandas de paso y rechazo Frecuencias de paso, corte y rechazo Fase
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Filtros digitales vs. analógicos
++ Estabilidad (componentes electrónicos) ++ Precisión −− Frecuencia limitada por la conversión A/D (=> costos)
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Organización de la clase
Introducción
Concepto y clasi cación de ltros Filtros ideales y ltros realizables
Diseño de ltros IIR
Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia
Diseño de ltros FIR
Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR
Modulación
Conceptos básicos
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Algoritmos de diseño IIR •
Método 1 • • •
Diseño analógico ( ltro P-Bajos normalizado) Transformación en frecuencia (analógica, en s) Transformación conforme (bilineal)
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Algoritmos de diseño IIR •
Método 1 • • •
•
Diseño analógico ( ltro P-Bajos normalizado) Transformación en frecuencia (analógica, en s) Transformación conforme (bilineal)
Método 2 • • •
Diseño analógico ( ltro P-Bajos normalizado) Transformación conforme (bilineal) Transformación en frecuencia (digital, en z)
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Diseño analógico: Butterworth
Función de transferencia • Tolerancias en la banda de paso y rechazo • Forma de la respuesta en frecuencia • Diseño: •
• •
Especi caciones típicas (wp ,
A
y
K0 )
Fórmula para la estimación del orden (N )
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtro de Butterworth
|H(jω)|2 = 2
1+
1
ω ωP
2N
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtro de Butterworth
|H(jω)|2 = 2
1+
1
ω ωP
2N
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtro de Butterworth
|H(jω)|2 = 2
1+
1
ω ωP
2N
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtro de Butterworth
|H(jω)|2 = 2
1+
1
ω ωP
2N
si |ω| ≤ ωP ⇒ |H(jω)|2 > si |ω| ≥ ωR ⇒ |H(jω)|2 < si N → ∞ ωR → ωP →0 λ→∞
1 1+2 1 1+λ2
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Características del ltro de Butterworth
Respuesta monotónicamente decreciente • Respuesta máximamente plana cerca de ω = 0 • Fase tendiendo a −N π/2 para ω → ∞ •
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Diseño Butterworth •
Dados • ωp : frecuencia de corte • A : relación de atenuación máxima • K0 : relación de ancho de transición
•
Se requiere • N
: orden del ltro
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Ecuación de diseño Butterworth
Se debe cumplir: N>
siendo: q A = λ = K0 = ωωPR
100,1AR −1 100,1AP −1
log A log K10
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Diseño analógico: Chebyshev
Función de transferencia tipo I y tipo II • Forma de la respuesta en frecuencia • Tolerancias en la banda de paso y rechazo • Fórmula para la estimación del orden (N ) •
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtro de Chebyshev tipo I
|H(jω)|2 =
1“ ” 1+2 VN2 ωω P
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtro de Chebyshev tipo I
|H(jω)|2 =
1“ ” 1+2 VN2 ωω P
Polinomio de Chebyshev: VN (x) = 2xVN −1 (x) − VN −2 (x) V0 = 1 V1 = x
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtro de Chebyshev tipo I
|H(jω)|2 =
1“ ” 1+2 VN2 ωω P
Polinomio de Chebyshev: VN (x) = 2xVN −1 (x) − VN −2 (x) V0 = 1 V1 = x
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtro de Chebyshev tipo I
|H(jω)|2 =
1“ ” 1+2 VN2 ωω P
Polinomio de Chebyshev: VN (x) = 2xVN −1 (x) − VN −2 (x) V0 = 1 V1 = x
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Caracte¯isticas de los ltros de Chebyshev
Tipo I: ondulaciones en la banda de paso y monotónico decreciente en la banda de rechazo • Tipo II: ondulaciones en la banda de rechazo y monotónico decreciente en la banda de paso • Diferentes formas para orden par o impar •
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Ecuación de diseño Chebyshev (tipos I y II)
Se debe cumplir:
siendo: q A = λ = K0 = ωωPR
100,1AR −1 100,1AP −1
cosh−1 A N> −1 1 cosh K0
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Diseño analógico: ltros elípticos
Función de transferencia • Forma de la respuesta en frecuencia • Tolerancias en la banda de paso y rechazo • Fórmula para la estimación del orden (N ) •
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros elípticos
1
|H(jω)|2 = 1+
2 FN2
ω ωP
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros elípticos
1
|H(jω)|2 = 1+ FN (x): función elíptica Jacobiana
2 FN2
ω ωP
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros elípticos
1
|H(jω)|2 = 1+ FN (x): función elíptica Jacobiana
2 FN2
ω ωP
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Características de los ltros elípticos
Ondulaciones en las bandas de paso y rechazo • Corte más abrupto que los anteriores (para igual orden) • Diferentes formas para orden par o impar •
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Ecuación de diseño para ltros elípticos
Se debe cumplir: N>
siendo:
q = q0 + 2q05 + 15q09 + 150q013 0,25 1−(1−K02 ) i q0 = h 0,25 2 1+(1−K02 )
log(16A) log 1q
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Algoritmos de diseño IIR •
Método 1 • • •
•
Diseño analógico ( ltro P-Bajos normalizado) Transformación en frecuencia (analógica, en
s) ⇐
Transformación conforme (bilineal)
Método 2 • • •
Diseño analógico ( ltro P-Bajos normalizado) Transformación conforme (bilineal) Transformación en frecuencia (digital, en
z) ⇐
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Transformaciones en frecuencia analógica •
Pasa-bajos → Pasa-bajos s →
s ωP
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Transformaciones en frecuencia analógica
Pasa-bajos → Pasa-bajos s → ωsP • Pasa-bajos → Pasa-altos s → ωsP •
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Transformaciones en frecuencia analógica
Pasa-bajos → Pasa-bajos s → ωsP • Pasa-bajos → Pasa-altos s → ωsP •
•
Pasa-bajos → Pasa-banda s →
s2 +ωP 1 ωP 2 s(ωP 2 −ωP 1 )
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Transformaciones en frecuencia analógica
Pasa-bajos → Pasa-bajos s → ωsP • Pasa-bajos → Pasa-altos s → ωsP •
s2 +ωP 1 ωP 2 s(ωP 2 −ωP 1 )
•
Pasa-bajos → Pasa-banda s →
•
Pasa-bajos → Rechaza-banda s →
s(ωP 2 −ωP 1 ) s2 +ωP 1 ωP 2
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Transformaciones en frecuencia digital •
Pasa-bajos → Pasa-bajos z −1 → α=
sin((ωN −ωP )/2) sin((ωN +ωP )/2)
z −1 −α 1−αz −1
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Transformaciones en frecuencia digital •
Pasa-bajos → Pasa-bajos z −1 →
•
Pasa-bajos → Pasa-altos z −1 → cos((ωN +ωP )/2) α = − cos((ω N −ωP )/2)
z −1 −α 1−αz −1 z −1 +α − 1+αz −1
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Transformaciones en frecuencia digital z −1 −α 1−αz −1 z −1 +α − 1+αz −1
•
Pasa-bajos → Pasa-bajos z −1 →
•
Pasa-bajos → Pasa-altos z −1 →
•
Pasa-bajos → Pasa-banda z −1 →
2αk −1 k−1 z −2 − k+1 z + k+1 k−1 −2 2αk −1 z − k+1 z +1 k+1
cos ((ωP 2 + ωP 1 )/2) cos ((ωP 2 − ωP 1 )/2) k = cos ((ωP 2 − ωP 1 )/2) tan (ωN /2)
α =
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Transformaciones en frecuencia digital z −1 −α 1−αz −1 z −1 +α − 1+αz −1
•
Pasa-bajos → Pasa-bajos z −1 →
•
Pasa-bajos → Pasa-altos z −1 →
•
Pasa-bajos → Pasa-banda z −1 →
•
Pasa-bajos → Rechaza-banda z −1 →
2αk −1 k−1 z −2 − k+1 z + k+1 k−1 −2 2αk −1 z − k+1 z +1 k+1 2α −1 1−k z −2 − 1+k z + 1+k 1−k −2 2α −1 z − k+1 z +1 1+k
cos ((ωP 2 + ωP 1 )/2) cos ((ωP 2 − ωP 1 )/2) k = tan ((ωP 2 − ωP 1 )/2) tan (ωN /2)
α =
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Organización de la clase
Introducción
Concepto y clasi cación de ltros Filtros ideales y ltros realizables
Diseño de ltros IIR
Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia
Diseño de ltros FIR
Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR
Modulación
Conceptos básicos
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros FIR: ventajas y desventajas
++ Se puede lograr fase lineal ++ Presentan mayor estabilidad ++ Diseño hardware e ciente ++ Frecuencias de corte abruptas ++ Cortos transitorios de inicialización −− Requieren más cálculos
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Filtros FIR: relaciones importantes
Coe cientes FIR • Respuesta al impulso • Convolución • Sistemas MA •
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Fase lineal: interpretación grá ca •
Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Fase lineal: interpretación grá ca
Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales • Aplicación de un ltro de fase constante a ambas componentes por superposición
•
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Fase lineal: interpretación grá ca
Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales • Aplicación de un ltro de fase constante a ambas componentes por superposición • Aplicación de un ltro de fase lineal a ambas componentes por superposición •
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Fase lineal: interpretación grá ca
Descomposición de una onda cuadrada en dos componentes senoidales • Aplicación de un ltro de fase constante a ambas componentes por superposición • Aplicación de un ltro de fase lineal a ambas componentes por superposición • Filtro sin fase lineal (y con magnitud constante) deforma la onda en el tiempo •
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Fase lineal: de niciones
De niciones de módulo y fase • De nición de retardo de fase: τφ (ω) = − φ(ω) ω •
De nición de retardo de grupo τγ (ω) = − dφ(ω) dω • Fase lineal: φ(ω) = τ ω (... τφ y τγ constantes ...) •
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Diseño FIR por Fourier y ventaneo
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Especi cación de los requerimientos (mód. y fase) Muestreo de la respuesta en frecuencia Aplicación de la TDF inversa Truncado temporal (ventanas temporales) Corrección de amplitud Corrección para obtener la causalidad
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Truncado y ventaneo temporal
Objetivos: • Reducción del orden del ltro resultante • Reducción de los artefactos del truncado • •
reducción de los lóbulos laterales reducción del ancho en el lóbulo central
Interpretación grá ca
Modulación
Introducción
Diseño IIR Ventanas
•
Ventana rectangular: ωR [n] = 1
Diseño FIR
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Ventanas
Ventana rectangular: ωR [n] = 1 • Ventana de Hanning: ωh [n] = 12 − 12 cos(2πn/N ) •
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Ventanas
Ventana rectangular: ωR [n] = 1 • Ventana de Hanning: ωh [n] = 12 − 12 cos(2πn/N ) 27 • Ventana de Hamming: ωH [n] = 50 − 23 50 cos(2πn/N ) •
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Ventanas
Ventana rectangular: ωR [n] = 1 • Ventana de Hanning: ωh [n] = 12 − 12 cos(2πn/N ) 27 • Ventana de Hamming: ωH [n] = 50 − 23 50 cos(2πn/N ) • Ventana de Bartlett: •
ωB [n] =
2n/N 2 − 2n/N
si 0 < n ≤ N/2 si N/2 < n ≤ N
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Ventanas
Ventana rectangular: ωR [n] = 1 • Ventana de Hanning: ωh [n] = 12 − 12 cos(2πn/N ) 27 • Ventana de Hamming: ωH [n] = 50 − 23 50 cos(2πn/N ) • Ventana de Bartlett: •
ωB [n] = •
2n/N 2 − 2n/N
si 0 < n ≤ N/2 si N/2 < n ≤ N
Ventana de Blackman: ωK [n] =
2 21 1 − cos(2πn/N ) + cos(4πn/N ) 50 2 25
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Ventanas Ventana cuadrada
1
Ventana de Hamming 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.6 0
0.5 0 −0.6 0
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
−20
−20
−40
−40
−60
−60
−80 0.2
Ventana de Bartlett
−0.4
−0.2
0
0.2
−0.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.6 0
0.4
−20
−20
−40
−40
−60
−60
−80 −0.2
−0.2
0
0.2
0.4
−80
−0.2 0.8 0.6 0.4 0.2 0 −0.6 0
−0.4
0.2
Ventana de Blackman
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
−80 0
0.2
−0.2
0
0.2
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Ventanas: ancho del lóbulo central • • • • •
Rectangular: 4π/N Bartlet: 8π/N Hanning: 8π/N Hamming: 8π/N Blackman: 12π/N
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Ventanas: relación de energía entre lóbulos laterales y central • • • • •
Rectangular: -13 dB Bartlet: -25 dB Hanning: -31 dB Hamming: -41 dB Blackman: -57 dB
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Organización de la clase
Introducción
Concepto y clasi cación de ltros Filtros ideales y ltros realizables
Diseño de ltros IIR
Algoritmos de diseño IIR Diseños analógicos básicos Transformaciones en frecuencia
Diseño de ltros FIR
Propiedades de los ltros FIR Filtros de fase lineal Métodos de diseño FIR
Modulación
Conceptos básicos
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación: conceptos básicos
Modulación en amplitud (sinusoidal) • Demodulación sincrónica y asincrónica • Multiplexado en frecuencia • Modulación en frecuencia •
Modulación
Introducción
Diseño IIR
Diseño FIR
Modulación
Bibliografía básica
D.J. DeFatta, J.J. Lucas, W.S. Hodgkiss, Digital Signal Processing: A System Design Approach (Capítulos 4 y 5), John Wiley, 1988. • R. Kuc, Introduction to Digital Signal Processing (Capítulos 6, 7, 8 y 9), Mcgraw-Hill, 1988. • A.V. Oppenheim, A.S. Willsky, Signals and Systems (modulación en amplitud y en frecuencia, Secciones 7.1,7.2,7.3,7.5,7.6), Prentice-Hall, 1999. •
