Introducci´on a la l´ogica continua para estructuras m´etricas L. Pedro Poitevin

´Indice 1. Preliminares

3

2. Estructuras m´ etricas

6

3. Lenguaje para estructuras m´ etricas

7

4. F´ ormulas y sus interpretaciones

8

5. Pre-estructuras

9

6. Sem´ antica

11

7. Conceptos de teor´ıa de modelos

14

8. Ultraproductos para estructuras m´ etricas

15

9. Ultraproductos de funciones

16

10.Saturaci´ on

17

11.Espacio de tipos

18

12.La topolog´ıa l´ ogica

18

13.Eliminaci´ on de cuantificadores

19

14.Estabilidad

19

15.Estructuras m´ etricas (varias suertes)

19

16.Axiomas para ret´ıculos de Banach

21

17.Ret´ıculos de Banach Lp

23

18.An´ alisis y probabilidades

24

19.Teor´ıa de modelos de los ret´ıculos de Banach Lp

24

1

20.Ret´ıculos de Orlicz

25

21.Axiomas para ret´ıculos de Orlicz con la condici´ on ∆k2

26

2

Introducci´ on Estas son las notas de clase del cursillo del mismo nombre dictado durante la Segunda Escuela de Verano de Matem´aticas en la Universidad Sergio Arboleda, en la magn´ıfica ciudad de Bogot´a, Colombia. La transcripci´on de estas notas ha sido el trabajo de Bibiana Pati˜ no y Paola Lizarralde, para con quienes el autor est´a muy agradecido. El principal prop´osito de estas notas es el proveer una introducci´on cuidadosa a algunos aspectos fundamentales de la l´ogica continua para estructuras m´etricas. En particular, durante el cursillo el autor tom´o la decisi´on de prestar ´enfasis al tema de la axiomatizibilidad de clases de estructuras m´etricas. Hay un resultado profundo de la l´ogica de primer orden que subyace al desarrollo de muchas de las ideas fundamentales de la l´ogica continua. Dicho resultado, el llamado Teorema de Keisler-Shelah, establece que una clase de estructuras es axiomatizable si y s´olo si es cerrada bajo isomorfismos, ultraproductos y ultrarra´ıces. El mismo enunciado resulta ser verdad en el caso de la l´ogica continua, pero las nociones de isomorfismo, ultraproducto y ultrarra´ız cambian sutilmente de significado, para ser adaptadas de manera adecuada al car´acter no discreto de las estructuras a las que se las aplica. La demostraci´on del Teorema de Keisler-Shelah en el contexto de la l´ogica continua aparece por primera vez en el tratado de Ward Henson y Jos´e Iovino [4]. En el curso de estas notas, el lector podr´a constatar que proveer de una lista exhaustiva de axiomas para una clase particular de estructuras m´etricas puede resultar un tanto m´as complicado de lo que suele ser el caso con clases elementales de primer orden. De hecho, el texto concluye con un ejemplo de una clase de estructuras m´etricas—a saber, los espacios de Nakano con rango esencial fijo—cuya axiomatizibilidad en la l´ogica continua fue por primera vez establecida utilizando el criterio de KeislerShelah arriba mencionado. La demostraci´on de la axiomatizabilidad de dicha clase est´a fuera del alcance de estas notas, y al lector interesado se le remite a [5] y a [1]. El lector versado en an´alisis funcional har´ıa bien en leer tambi´en [6]. Si bien ´esta es una invitaci´on detallada a la l´ogica continua, el contenido de estas notas es sumamente incompleto. La esperanza del autor es que los lectores interesados se valgan de los detalles de este cursillo para proceder a la lectura dedicada y cuidadosa de la introducci´on definitiva a la l´ogica continua, el tratado de Ben Yaacov, Berenstein, Henson y Usvyatsov [2].

1.

Preliminares

Asumimos que el lector est´a familiarizado con los fundamentos de los espacios m´etricos. Si (M, d) es un espacio m´etrico, decimos que (M, d) es acotado si existe B ∈ R tal que d(x, y) ≤ B para todo x, y ∈ M . El di´ametro de (M, d) es el m´ınimo B que cumple la condici´on anterior. Pese a que las aplicaciones m´as interesantes de la l´ogica continua para estructuras m´etricas tienen lugar en el contexto de espacios m´etricos no acotados, es conveniente desarrollar dicha l´ogica con la restricci´on de que todos los espacios m´etricos a considerarse son acotados. M´as adelante ilustraremos por qu´e dicha restricci´on no nos impide estudiar estructuras m´etricas no acotadas. Un m´ odulo de continuidad uniforme es simplemente una funci´on ∆ : (0, 1] → (0, 1]. Si (M, d) y (M0 , d0 ) son espacios m´etricos y f : M → M0 es una funci´on arbitraria, decimos que ∆ : (0, 1] → (0, 1] es un m´ odulo de continuidad uniforme para f si para todo ² ∈ (0, 1] y para todo x, y ∈ M tenemos que d(x, y) < ∆(²) =⇒ d0 (f (x), f (y)) ≤ ². 3

(CU)

N´otese que f es uniformemente continua si y s´olo si tiene un m´odulo de continuidad uniforme. Ejercicio 1.1. Sean M y M 0 espacios m´etricos, y sea f : M → M 0 una funci´on uniformemente continua con m´odulo de continuidad uniforme ∆. Si (CU ) es v´alida para un subconjunto de pares (x, y) denso en M × M , entonces (CU ) es v´alida para todo (x, y) ∈ M × M . ¯ yM ¯ 0 las compleciones de M y M 0 , respectiEjercicio 1.2. Sean M y M 0 espacios m´etricos, y sean M 0 vamente. Si f : M → M es una funci´on uniformemente continua con m´odulo de continuidad uniforme ¯ →M ¯ 0 de f que es continua. M´as a´ ∆, entonces existe una u ´nica extensi´on f¯ : M un, dicha extensi´on es uniformemente continua, y ∆ es un m´odulo de continuidad uniforme para dicha extensi´on. Nota. Sean (Mi , di ) espacios m´etricos para i = 1, ..., n, y sea M = M1 × ... × Mn . M estar´a siempre dotado de la m´etrica del m´aximo, definida para x = (x1 , ..., xn ), y = (y1 , ..., yn ) por d(x, y) = max{di (xi , yi )|i = 1, ..., n}. Proposici´ on 1.3. Sean M, M 0 , M 00 espacios m´etricos (con m´etricas d, d0 , d00 , respectivamente) y sean f : M → M 0 y f 0 : M 0 → M 00 funciones uniformemente continuas. Sup´ongase que ∆ es un m´odulo de continuidad uniforme para f y ∆0 es un m´odulo de continuidad uniforme para f 0 . Entonces la composici´ on f 0 ◦ f de f con f 0 es uniformemente continua, con m´odulo de continuidad uniforme ∆(r∆0 ) para r ∈ (0, 1) arbitrario. Demostraci´ on. Sean x, y ∈ M . Entonces d(x, y) < ∆(r∆0 (²)) implica que d0 (f (x), f (y)) ≤ r∆0 (²) < ∆0 (²), y desde luego ello a su vez implica que d00 (f 0 (f (x)), f 0 (f (y))) ≤ ². Definici´ on 1.4. Sean (M, d) y (M 0 , d0 ) espacios m´etricos, y sean f, fn : M → M 0 . Decimos que (fn | u n ≥ 1) converge uniformemente a f , y lo abreviamos fn − → f en M si ∀² > 0 ∃N > 0 ∀n > N ∀x ∈ M (d0 (fn (x), f (x)) ≤ ². Proposici´ on 1.5. Sean (M, d) y (M 0 , d0 ) espacios m´etricos y f, fn : M → M 0 como arriba descritas, u y sup´ongase que fn − → f . Si fn es uniformemente continua para cada n ≥ 1, entonces f tambi´en es uniformemente continua. Demostraci´ on. Sea N : (0, 1] → N definida de forma que; ∀² > 0 ∀n > N (²) ∀x ∈ M (d0 (fn , f (x)) ≤ ²) Para ² > 0, def´ınase ∆ : (0, 1] → (0, 1] por medio de ∆(²) = ∆n ( 3² ), donde n = N ( 3² ) + 1. Sean x, y ∈ M . Si d(x, y) < ∆(²), entonces d0 (f (x), f (y)) ≤ d0 (f (x), fn (x)) + d0 (fn (x), fn (y)) + d0 (f (y), fn (y)) ≤ ². Definici´ on 1.6. Sean (M, d) y (M 0 , d0 ) espacios m´etricos y f : M × M 0 → R una funci´on acotada. Definimos nuevas funciones supy f e ´ınf y f funciones en R con dominio M de la siguiente manera: (sup f )(x) = sup{f (x, y) : y ∈ M 0 } y

(´ınf f )(x) = ´ınf{f (x, y) : y ∈ M 0 } y

para todo x ∈ M . 4

Proposici´ on 1.7. Sean M y M 0 espacios m´etricos y f : M × M 0 → R una funci´on acotada y uniformemente continua, sea ∆ un m´odulo de continuidad uniforme para f . Entonces supy f e ´ınf y f son funciones acotadas y uniformemente continuas en R con dominio M y ∆ es un m´odulo de continuidad uniforme para estas funciones. Demostraci´ on. Sea ² > 0, y sean u, v ∈ M tales que d(u, v) < ∆(²). Entonces para todo z ∈ M 0 f (v, z) ≤ f (u, z) + ² ≤ (sup f )(u) + ². z

Tomando el supremo sobre z ∈ M 0 en f (u, z) + ² se obtiene que (sup f )(v) ≤ (sup f )(u) + ². z

z

Intercambiando u y v en el argumento anterior, tenemos que |(sup f )(u) − (sup f )(v)| ≤ ². z

z

De manera an´aloga se obtiene el resultado para el ´ınf z f . Definici´ on 1.8. Sean (M, d) un espacio m´etrico, S un conjunto ´ındice no vac´ıo equipado con la m´etrica discreta y f : M × S → R una funci´on acotada tal que f (x, s) = fs (x), donde fs : M → R. Definimos nuevas funciones sups fs e ´ınf s fs de M a R de manera que (sup fs )(x) = sup{f (x, s) : s ∈ S} s

(´ınf fs )(x) = ´ınf{f (x, s) : s ∈ S} s

para todo x ∈ M . Proposici´ on 1.9. Sea S un conjunto ´ındice no vac´ıo. Sea M un espacio m´etrico y fs : M → [0, 1] una funci´ on uniformemente continua para cada s ∈ S. Sea ∆ un m´odulo de continuidad uniforme para toda fs , s ∈ S. Entonces sups fs e ´ınf s fs son uniformemente continuas de M a [0, 1] y ∆ es un m´odulo de continuidad uniforme para ambas. Demostraci´ on. Consideremos a S como un espacio m´etrico dotado con la m´etrica discreta y f : M ×S → R definida de la siguiente manera: f (x, s) = fs (x). Sea ² > 0 y u, v ∈ M tal que d(u, v) < ∆(²). Entonces para todo s ∈ S ocurre lo siguiente: f (v, s) ≤ f (u, s) + ². Esta u ´ltima desigualdad se puede reescribir de la siguiente manera fs (v) < fs (u) + ². Tomando el supremo sobre s ∈ S tenemos que (sup fs )(v) ≤ (sup fs )(u) + ². s

s

Luego, intercambiando u y v en el argumento anterior, tenemos que |(sup fs )(u) − (sup fs )(v)| ≤ ². z

z

El caso del ´ınf s fs es semejante. 5

Definici´ on 1.10. Decimos que (M0 , d0 ) es un espacio pseudom´etrico si M es un conjunto no vac´ıo y d0 : M0 × M0 → R es una pseudom´etrica, es decir: (i) d0 (x, y) = d0 (y, x) ≥ 0 (ii) d0 (x, x) = 0 (iii) d0 (x, z) ≤ d0 (x, y) + d0 (y, z) ; para todo x, y, z ∈ M0 . on de equivalencia Definici´ on 1.11. Sea (M0 , d0 ) un espacio pseudom´etrico. Podemos definir una relaci´ ∼ de la siguiente manera: x ∼ y ⇔ d0 (x, y) = 0. De la desigualdad triangular se sigue que d0 (x, y) = d0 (x0 , y 0 ) siempre que x ∼ x0 y y ∼ y 0 . Sea M = M0 / ∼ y sea π : M0 → M la funci´on cociente que asigna a x ∈ M0 su clase de equivalencia π(x) ∈ M . Def´ınase d : M × M → R de manera que d(π(x), π(y)) = d0 (x, y) para todo x, y ∈ M0 . Entonces (M, d) es un espacio m´etrico al que llamamos el espacio m´etrico inducido por (M0 , d0 ). Definici´ on 1.12. Sean (M0 , d0 ) y (M00 , d00 ) espacios pseudom´etricos con espacios cociente (M, d), (M 0 , d0 ) y funciones cociente π y π 0 , respectivamente, y sea f0 : M0 → M0 . Decimos que f0 es uniformemente continua con m´odulo de continuidad uniforme ∆ si d0 (x, y) < ∆(²) ⇒ d00 (f0 (x), f0 (y)) ≤ ² para todo x, y ∈ M y todo ² ∈ (0, 1]. Proposici´ on 1.13. Sean (M0 , d0 ) y (M00 , d00 ) espacios pseudom´etricos con espacios cociente (M, d) y (M 0 , d0 ), y funciones cociente π y π 0 , respectivamente, y sea f0 : M0 → M0 uniformemente continua con m´ odulo de continuidad uniforme ∆. Definimos f : M → M 0 de manera que f (π(x)) = π 0 (f0 (x)) para todo x ∈ M0 . Entonces f es uniformemente continua con m´odulo de continuidad uniforme ∆. Demostraci´ on. Sea ∆ un m´odulo de continuidad uniforme para f0 . Como d(π(x), π(y)) = d0 (x, y) < ∆(²), tenemos que d0 (f (π(x)), f (π(y))) = d0 (π 0 (f0 (x)), π 0 (f0 (y))) = d00 (f0 (x), f0 (y)) ≤ ². As´ı, f es uniformemente continua con m´odulo de continuidad uniforme ∆.

2.

Estructuras m´ etricas

Definici´ on 2.1. Sean (M, d) un espacio m´etrico acotado y completo. Entonces (a) Una relaci´ on en M es una funci´on uniformemente continua R : M n → [0, N ] (para alg´ un N ≥ 1). (b) Una operaci´ on (o funci´on) en M es una funci´on f : M n → M uniformemente continua (para alg´ un n ≥ 1). En ambos casos, la aridad de la funci´on y de la relaci´on es n.

6

Definici´ on 2.2. Sea (M, d) un espacio m´etrico acotado y completo. Una estructura m´etrica M basada en (M, d) consiste en una familia (Ri | i ∈ I) de relaciones en M , una familia (fj | j ∈ J) de operaciones en M y una familia (ck | k ∈ K) de elementos distinguidos en M . A una estructura m´etrica se la denota por M = (M, Ri , fj , ck | i ∈ I, j ∈ J, k ∈ K). Ejemplos.

1. Un espacio m´etrico (M, d) acotado y completo sin estructura adicional.

2. Una estructura M en el sentido usual de la l´ogica de primer orden, dotando al dominio de M con la m´etrica discreta. 3. Sea (M, d) un espacio m´etrico completo no acotado con un elemento distinguido a ∈ M . Entonces podemos ver a (M, d) como una estructura multisurtida (polisurtida) con ´ındice de suertes N, donde la n-´esima suerte es Bn (a) := {x ∈ M | d(x, a) ≤ n}. Las funciones inclusi´on Imn : Bm → Bn (m < n) deben ser funciones en M, con el fin de mantener en orden estas suertes. 4. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de probabilidad . Definimos una relaci´on de equivalencia ∼ en Σ de la siguiente manera A ∼ B si y s´olo si µ(A 4 B) = 0. Sea M = Σ ∼ y d : M × M → R definida como d(x, y) = µ(x4y) donde tenemos una operaci´on unaria c , dos operaciones binarias ∪ y ∩, y dos elementos distinguidos 0 y 1, donde 0 = [∅]∼ , 1 = [Ω]∼ .

3.

Lenguaje para estructuras m´ etricas

Definici´ on 3.1. A cada estructura m´etrica M le asociamos un lenguaje L que consiste en: (i) Un s´ımbolo de funci´on f y un entero α(f ), para cada funci´on f M ; a cada f M se le asocia un m´odulo de continuidad uniforme ∆[f ]. (ii) Un s´ımbolo de relaci´on P y un entero α(P ) para cada funci´on P M ; a cada P M asociamos un intervalo cerrado y acotado IP ⊆ R y un m´odulo de continuidad uniforme ∆[P ]. (iii) Un s´ımbolo de constante ca para cada elemento distinguido a en M. (iv) Un n´ umero Di que acota al di´ametro de M. (v) Un s´ımbolo d que denota a la m´etrica asociada a M. Si ´este es el caso, decimos que M es una L-estructura. Convenci´ on: Di =1, IP =[0,1]. Definici´ on 3.2. Sean (M, dM ) = M y (N, dN ) = N dos estructuras m´etricas en un lenguaje com´ un L. Una inmersi´on T : M→N es una isometr´ıa que satisface (i) f M (T (a1 , ..., T (an ))) = T (f M (a1 , ..., an )); (ii) cM = T (cM ); 7

(iii) P M (T (a1 , ..., T (an ))) = P M (a1 , ..., an ) para todo s´ımbolo de n-ario de funci´on f , de relaci´on P , y de constante c, para todo todo a1 , ..., an ∈ M . Definici´ on 3.3. Un isomorfismo es una inmersi´on sobreyectiva entre dos L-estructuras m´etricas. Escribimos M ∼ = N para expresar que existe un isomorfismo entre M y N. Un automorfismo de una estructura m´etrica M es un isomorfismo entre M y N. Definici´ on 3.4. Sea M una L-estructura m´etrica. Si existe una inmersi´on de M a N, entonces M es una subestructura de N, y la escribimos M ⊆ N.

4.

F´ ormulas y sus interpretaciones

Sea L un lenguaje fijo para estructuras m´etricas, con Di = 1 e IP = [0, 1] para todo s´ımbolo de relaci´on P en L. Los s´ımbolos l´ogicos de L consisten en 1. El s´ımbolo distinguido d, que formalmente equivale a un s´ımbolo de relaci´on binaria. 2. VL , un conjunto infinito de variables. 3. Conectivos n-arios. Un conectivo n-ario se define como una funci´on continua de [0, 1]n → [0,1]. 4. Dos cuantificadores sup e ´ınf. Los s´ımbolos no l´ogicos de L consisten en 1. Los s´ımbolos de constante en L. 2. Los s´ımbolos de funci´on en L. 3. Los s´ımbolos de relaci´on en L. Definici´ on 4.1. Dado un lenguage L, se define el conjunto de los L-t´erminos de forma inductiva: (i) Una variable vi es un L-t´ermino. (ii) Una constante ci es un L-t´ermino. (iii) Si f es un s´ımbolo de operaci´on n-ario y t1 , ..., tn son L-t´erminos, f (t1 , ..., tn ) es un L-t´ermino. Definici´ on 4.2. Dado un lenguaje L se define el conjunto de L-f´ ormulas inductivamente de la siguiente manera: (i) Si t1 y t2 son L-t´erminos, la expresi´on d(t1 , t2 ) es una L-f´ormula. (ii) Si t1 , ..., tn son L-t´erminos y P un s´ımbolo de relaci´on de aridad n, la expresi´on P (t1 , ..., tn ) es una L-f´ormula. (iii) Si u : [0, 1]n → [0, 1] es un conectivo n-ario y ϕ1 , ..., ϕn son L-f´ormulas , la expresi´on u(ϕ1 , ..., ϕn ) es una L-f´ormula. 8

(iv) Si ϕ es una L-f´ormula y x ∈ VL , las expresiones supx ϕ e ´ınf x ϕ son L-f´ormulas. Notaci´ on. La notaci´on t(x1 , ..., xn ) indica que las variables con ocurrencias libres en t est´an contenidas en el conjunto {x1 , ..., xn }. De igual manera ocurre con la notaci´on ϕ(x1 , ..., xn ). Definici´ on 4.3. Dado un lenguage L, se define el conjunto de los L-t´erminos de forma inductiva: (i) Una variable vi es un L-t´ermino. (ii) Una constante ci es un L-t´ermino. (iii) Si f es un s´ımbolo de operaci´on n-ario y t1 , ..., tn son L-t´erminos, f (t1 , ..., tn ) es un L-t´ermino. ormulas inductivamente de la siguiente Definici´ on 4.4. Dado un lenguaje L se define el conjunto de L-f´ manera: (i) Si t1 y t2 son L-t´erminos, la expresi´on d(t1 , t2 ) es una L-f´ormula. (ii) Si t1 , ..., tn son L-t´erminos y P un s´ımbolo de relaci´on de aridad n, la expresi´on P (t1 , ..., tn ) es una L-f´ormula. (iii) Si u : [0, 1]n → [0, 1] es un conectivo n-ario y ϕ1 , ..., ϕn son L-f´ormulas , la expresi´on u(ϕ1 , ..., ϕn ) es una L-f´ormula. (iv) Si ϕ es una L-f´ormula y x ∈ VL , las expresiones supx ϕ e ´ınf x ϕ son L-f´ormulas.

5.

Pre-estructuras

Definici´ on 5.1. Sea (M0 , d0 ) un espacio pseudom´etrico con di´ametro ≤ DL . Una pre-estructura en L consiste en lo siguiente: (i) Para cada s´ımbolo de relaci´on P n-ario de L, una funci´on P M : M0n → IP tal que ∆P es un m´odulo de continuidad uniforme para P M . (ii) Para cada s´ımbolo de funci´on f n-ario de L, una funci´on f M : M0n → IP tal que ∆f es un m´odulo de continuidad uniforme para f M . (iii) Para cada s´ımbolo de constante c de L, un elemento cM ∈ M0 . Definici´ on 5.2. Dada una L-pre-estructura M0 podemos formar su pre-estructura cociente M de la siguiente manera: Sea (M, d) el espacio m´etrico cociente asociado a (M0 , d0 ) y sea π : M0 → M la funci´on cociente. Entonces (i) Para cada s´ımbolo de relaci´on P n-ario de L, P M (π(x1 ), ..., π(xn )) = P M0 (x1 , ..., xn ) para cada x1 , . . . , xn ∈ M0 . (ii) Para cada s´ımbolo de funci´on f n-ario de L, f M (π(x1 ), ..., π(xn )) = π(f M0 (x1 , ..., xn )) para cada x1 , . . . , xn ∈ M0 . (iii) Para cada s´ımbolo de constante c de L, cM = π(cM0 ). 9

Proposici´ on 5.3. Sean ∆P y ∆f m´odulos de continuidad uniforme para P M0 y f M0 respectivamente, entonces ∆P y ∆f son m´odulos de continuidad uniforme para P M y f M . Demostraci´ on. ∆P es un m´ odulo de continuidad uniforme para P M0 : Sea ² ∈ (0, 1]. Como d(π(xi ), π(yi )) = d0 (xi , yi ) para todo i = 1, ..., n, tenemos que d((π(x1 ), ..., π(xn )), (π(y1 ), ..., π(yn ))) = d0 ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) < ∆P (²). Luego, como ∆P es un m´odulo de continuidad uniforme para P M0 , entonces |P M (π(x1 ), ..., π(xn )) − P M (π(y1 ), ..., π(yn ))| = |P M0 (x1 , ..., xn ) − P M0 (y1 , ..., yn )| ≤ ² As´ı, ∆P es un m´odulo de continuidad uniforme para P M . ∆f es un m´ odulo de continuidad uniforme para f M0 : Sea ² ∈ (0, 1]. Como d(π(xi ), π(yi )) = d0 (xi , yi ) para todo i = 1, ..., n, entonces d((π(x1 ), ..., π(xn )), (π(y1 ), ..., π(yn ))) = d0 ((x1 , ..., xn ), (y1 , ..., yn )) < ∆f (²). Luego, como ∆f es un m´odulo de continuidad uniforme para f M , entonces d(f M (π(x1 ), ..., π(xn )), f M (π(y1 ), ..., π(yn ))) = d(π(f M0 (x1 , ..., xn )), π(f M0 (y1 , ..., yn ))) = d0 (f M0 (x1 , ..., xn ), f M0 (y1 , ..., yn )) ≤ ². As´ı, ∆f es un m´odulo de continuidad uniforme para f M . Nota. N´otese que P M , f M , cM est´an bien definidas. Finalmente, producimos una L-estructura N al completar a M. Dicha L-estructura est´a basada en la compleci´on (N, d) de (M, d) y la estructura adicional se define de la manera natural: (i) P N : N n → IP es la u ´nica funci´on continua que extiende a P M : M n → IP . (ii) f N : N n → N es la u ´nica funci´on continua que extiende a f M : M n → M . (iii) cN = cM .

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6.

Sem´ antica

Definici´ on 6.1. Sea M0 una L-pre-estructura basada en un espacio pseudom´etrico (M0 , d0 ), y sea A ⊆ M0 . Extendemos L a un nuevo lenguaje L(A) al a˜ nadirle un nuevo s´ımbolo de constante c(a) para cada a ∈ A. La interpretaci´on de c(a) en M0 ser´a simplemente a. Definici´ on 6.2. Sea M una L-estructura. Dado un L(M )-t´ermino t = t(x1 , ..., xn ), definimos la interpretaci´ on de t en M, denotada tM , inductivamente de la siguiente manera: (i) Si t(x1 , ..., xn ) = c entonces tM : M n → M est´a definido por tM (x1 , ..., xn ) = cM . (ii) Si t(x1 , ..., xn ) = xj entonces tM : M n → M est´a definido por tM (x1 , ..., xn ) = xj . (iii) Si t(x1 , ..., xn ) = f (t1 , ..., tm ), entonces tM : M n → M est´a definido por M tM (x1 , ..., xn ) = f M (tM 1 (x1 , ..., xn ), ..., tm (x1 , ..., xn )).

Definici´ on 6.3. Para cada L(M )-sentencia σ, definimos el valor de σ en M inductivamente de la siguiente manera: M (i) (d(t1 , t2 ))M = dM (tM 1 , t2 ). M (ii) (P (t1 , ..., tn ))M = P M (tM 1 , ..., tn ).

(iii) (u(σ1 , ..., σn ))M = u(σ1M , ..., σnM ), donde u : [0, 1] → [0, 1] es continua. (iv) (supx ϕ(x))M = sup{ϕ(a)M | a ∈ M } ⊆ [0, 1] (v) (´ınf x ϕ(x))M = ´ınf{ϕ(a)M | a ∈ M } ⊆ [0, 1] Definici´ on 6.4. Dada una f´ormula ϕ(x1 , ..., xn ) en L(M ). Definimos ϕM : M n → [0, 1] de la siguiente manera: ϕM (a1 , ..., an ) = (ϕ(a1 , ..., an ))M = (ϕ(c(a1 ), ..., c(an )))M . Teorema 6.5. Para cada L-t´ermino t(x1 , ..., xn ) y cada L-f´ ormula ϕ(x1 , ..., xn ), hay funciones ∆t , ∆ϕ : (0, 1] → (0, 1] tales que d((a1 , ..., an ), (a01 , ..., a0n )) < ∆t ⇒ d(tM (a1 , ..., an ), tM (a01 , ..., a0n )) ≤ ² y d((a1 , ..., an ), (a01 , ..., a0n )) < ∆ϕ ⇒ d(ϕM (a1 , ..., an ), ϕM (a01 , ..., a0n )) ≤ ² Demostraci´ on. Por inducci´on sobre los t´erminos: Si t(x1 , ..., xn ) = xi definimos ∆t (²) = ² luego: d((a1 , ..., an ), (a01 , ..., a0n )) < ∆t (²) ⇒ d(xi , x0i ) ≤ ² ⇒ d(tM (a01 , ..., a0n ), tM (a01 , ..., a0n )) ≤ ²

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t(x1 , ..., xn ) = c definimos ∆t (²) = 1 luego: d((a1 , ..., an ), (a01 , ..., a0n )) < ∆t (²) = 1 ⇒ d(cM , cM ) ≤ ² ⇒ d(tM (a01 , ..., a0n ), tM (a01 , ..., a0n )) ≤ ²

Si t = f (t1 , ..., tm ) y sean ∆f , ∆t1 , ..., ∆tm m´odulos de continuidad uniforme para f, t1 , ..., tm respectivamente. Sea r ∈ (0, 1) y ∆t (²) := m´ın ∆ti (r∆f (²)). 1≤i≤m

M 0 0 d((a1 , ..., an ), (a01 , ..., a0n )) < ∆t (²) ⇒ d(tM i (a1 , ..., an ), ti (a1 , ..., an )) ≤ r∆f (²) < ∆f (²) 0 0 M 0 M M M 0 ⇒ d(f M (tM 1 (a1 , ..., an ), ..., tm (a1 , ..., an )), f (t1 (a1 , ..., an ), ..., tm (a1 , ..., an ))) < ²

La segunda parte la probamos por inducci´on sobre las f´ormulas: Supongamos que ϕ(x1 , ..., xn ) = d(t1 , t2 ). Sean ∆d , ∆t1 y ∆t2 m´odulos de continuidad uniforme para d, t1 , t2 respectivamente. Sea r ∈ (0, 1) y ∆ϕ (²) := m´ın ∆ti (r∆d (²)). 1≤i≤2

M 0 0 d((a1 , ..., an ), (a01 , ..., a0n )) < ∆ϕ (²) ⇒ d(tM i (a1 , ..., an ), ti (a1 , ..., an )) ≤ r∆d (²) < ∆d (²) M M M 0 0 M 0 0 ⇒| dM (tM 1 (a1 , ..., an ), t2 (a1 , ..., an )) − d (t1 (a1 , ..., an ), t2 (a1 , ..., an )) |< ²

Supongamos que ϕ(x1 , ..., xn ) = P (t1 , ..., tm ). Sean ∆P , ∆t1 , ..., ∆tm m´odulos de continuidad uniforme para P, t1 , ..., tm respectivamente. Sea r ∈ (0, 1) y ∆ϕ (²) := m´ın ∆ti (r∆d (²)). Si 1≤i≤m

d((a1 , ..., an ), (a01 , ..., a0n )) < ∆ϕ (²), entonces M 0 0 d(tM i (a1 , ..., an ), ti (a1 , ..., an )) ≤ r∆d (²) < ∆d (²),

para todo i = 1, ..., m. Como ∆P (²) es un m´odulo de continuidad uniforme para P , entonces M M M 0 0 M 0 0 |dM (tM 1 (a1 , ..., an ), t2 (a1 , ..., an )) − d (t1 (a1 , ..., an ), t2 (a1 , ..., an ))| < ²

Supongamos que ϕ(x1 , ..., xn ) = u(σ1 , ..., σm ) donde u : [0, 1] → [0, 1] es uniformemente continua. Por hip´otesis de inducci´on, a cada σi con i = 1, ..., m se le asocia un m´odulo de continuidad uniforme ∆σi . Sean r ∈ (0, 1) y ∆ϕ (²) := m´ın ∆σi (r∆u (²)). Si 1≤i≤m

d((a1 , ..., an ), (a01 , ..., a0n )) < ∆ϕ (²) 12

entonces, |σiM (a1 , ..., an ) − σiM (a01 , ..., a0n )| ≤ r∆u (²) < ∆u (²). Luego, como u es uniformemente continua tenemos que M M 0 |u(σ1M (a1 , ..., an ), ..., σm (a1 , ..., an )) − u(σ1M (a01 , ..., a0n ), ..., σm (a1 , ..., a0n ))| ≤ ².

Supongamos que ϕ(x1 , ..., xn ) = supx σ(x). Por hip´otesis de inducci´on, para σ hay una funci´on ∆σ : [0, 1] → [0, 1] tal que si d((a1 , ..., an ), (a01 , ..., a0n )) < ∆σ (²), entonces, | σ M (a1 , ..., an ) − σ M (a01 , ..., a0n ) |≤ ². Por la proposici´on 1.4, sabemos que el m´odulo de continuidad uniforme para σ M es el mismo que para (supx σ(x))M . Sea ∆ϕ (²) = ∆σ (²). Entonces | sup{σ M (a1 , ..., an ) | (a1 , ..., an ) ∈ M n } − sup{σ M (a01 , ..., a0n )|(a01 , ..., a0n ) ∈ M n } |≤ ² El caso ϕ(x1 , ..., xn ) = ´ınf x σ(x) es an´alogo al anterior.

Definici´ on 6.6. Sean ϕ(x1 , ..., xn ) y ψ(x1 , ..., xn ) L-f´ormulas. Decimos que son l´ ogicamente equivalentes si ϕM (a1 , ..., an ) = ψ M (a1 , ..., an ) para toda L-estructura M y para todo a1 , ..., an ∈ M . Podemos extender esta definici´on de la siguiente manera: d(ϕ, ψ) := sup{| ϕM (a1 , ..., an ) − ψ M (a1 , ..., an ) | M es una L-estructura y a1 , ..., an ∈ M }. Esto define una pseudom´etrica en la colecci´on de L-f´ormulas con variables libres entre x1 , ..., xn . Entonces dos f´ormulas son equivalentes si y s´olo si d(ϕ, ψ) = 0. Definici´ on 6.7. Una L-condici´ on E es una expresi´on del tipo ϕ = 0 donde ϕ es una L-f´ormula. Decimos que E es cerrada si ϕ es una L-sentencia. Si x1 , ..., xn son variables distintas, escribimos E(x1 , ..., xn ) para indicar que las variables libres de E se encuentran entre x1 , ..., xn . Si E es una L(M )-condici´on de la forma ϕ(x1 , ..., xn ) = 0 y a1 , ..., an ∈ M decimos que E es verdad para a1 , ..., an si ϕ(a1 , ..., an ) = 0 y lo denotamos por M ² E[a1 , ..., an ]. ogicamente equivalentes si M ² E1 [a1 , ..., an ] si y s´olo si Definici´ on 6.8. Decimos que E1 y E2 son l´ M ² E2 [a1 , ..., an ] para todo a1 , ..., an ∈ M . 13

Notaci´ on. ϕ = ψ significa | ϕ − ψ |= 0. Observaci´ on.

1. La funci´on u : [0, 1]2 → [0, 1] definida por u(t1 , t2 ) =| t1 − t2 | es un conectivo.

2. Para cada r ∈ [0, 1], r se puede ver como un conectivo y las expresiones de la forma ϕ = r son condiciones para cualquier L-f´ormula ϕ. Afirmaci´ on. La interpretaci´on de la condici´on ϕ = ψ es sem´anticamente correcta. Demostraci´ on. Demostraci´on Para toda estructura M y a1 , ..., an ∈ M tenemos lo siguiente: | ϕ − ψ |= 0 ⇔| ϕ − ψ |M (a1 , ..., an ) = 0 ⇔| ϕM (a1 , ..., an ) − ψ M (a1 , ..., an ) |= 0 ⇔ ϕM (a1 , ..., an ) = ψ M (a1 , ..., an ).

˙ : [0, 1]2 → [0, 1] definida de la siguiente manera: Definici´ on 6.9. Sea − ( t − t2 , si t1 > t2 ˙ 2 := −(t ˙ 1 , t2 ) = m´ax(t1 − t2 , 0) = 1 t1 −t 0, si t1 ≤ t2 Observaciones.

˙ =0 1. ϕ ≤ ψ y ψ ≥ ϕ son abreviaciones de la condici´on ϕ−ψ

2. La condici´on ϕ ≤ ψ puede ser vista como una colecci´on de implicaciones: ψ ≤ r ⇒ ϕ ≤ r para r ∈ [0, 1]

7.

Conceptos de teor´ıa de modelos

Definici´ on 7.1. Una teor´ıa en un lenguaje L es un conjunto de L-condiciones cerradas. Si T es una teor´ıa en L y M es una L-estructura, decimos que M es un modelo de T y escribimos M ² T si M ² E para toda E en T . M odL (T ) := {M : M ²L T } , T hL (M) := {E : M ²L E} Definici´ on 7.2. Si T es una teor´ıa de la forma T = T hL (M) para alguna L-estructura M entonces decimos que T es completa. Definici´ on 7.3. Si T es una L-teor´ıa y E es una condici´on cerrada en L, entonces decimos que E es una consecuencia l´ogica de T y escribimos T ² E si M ² E para todo M ² T . Definici´ on 7.4. Sean M, N L-estructuras: (i) Se dice que M es elementalmente equivalente a N (M ≡ N) si σ M = σ M para toda L-sentencia (si y s´olo si T h(M) = T h(N)). (ii) Si M ⊆ N y para toda L-f´ormula ϕ(x1 , ..., xn ), para todo a1 , ..., a2 ∈ M , ϕM (a1 , ..., an ) = ϕN (a1 , ..., an ), entonces decimos que M es una subestructura elemental de N y que N es una extensi´ on natural de M. 14

(iii) Una funci´on F de un subconjunto de M a N es una funci´on elemental si ϕM (a1 , ..., an ) = ϕN (F (a1 ), ..., F (an )), para toda L-f´ormula ϕ(x1 , ..., xn ) y para todo a1 , ..., an ∈ dom(F ). (iv) Una inmersi´on elemental de M a N es una funci´on elemental de M a N con dominio M . Observaciones.

1. Toda funci´on elemental preserva distancias.

2. La colecci´on de funciones elementales es cerrada bajo composici´on y formaci´on de inversos. 3. Todo isomorfismo es una inmersi´on elemental. Definici´ on 7.5. Sea S un conjunto de L-f´ormulas, decimos que S es denso con respecto a la distancia l´ogica si satisface la siguiente propiedad: Para toda L-f´ormula ϕ(x1 , ..., xn ) y para todo ²>0, existe ψ(x1 , ..., xn ) en S tal que para cualquier L-estructura M y cualesquiera (a1 , ..., an ) ∈ M se tiene que |ϕM (a1 , ..., an ) − ψ M (a1 , ..., an ) |≤ ² La siguiente proposici´on es el an´alogo del criterio de Tarski-Vaught para inmersiones elementales. La demostraci´on es una adaptaci´on rutinaria de la demostraci´on cl´asica de dicho criterio. Proposici´ on 7.6 (Tarski-Vaught). Sea S un conjunto de L-f´ormulas denso con respecto a la distancia l´ogica. Sean M y N L-estructuras, con M⊆N. Los siguientes enunciados son equivalentes: 1. M¹N 2. Para cada L-f´ormula ϕ(x1 , ..., xn ) en S y para todo a1 , ..., an ∈ M se tiene lo siguiente: ´ınf{ϕM (a1 , ..., an , b) | b ∈ N } = ´ınf{ϕN (a1 , ..., an , c) | c ∈ N }

8.

Ultraproductos para estructuras m´ etricas

Definici´ on 8.1. Sea X un espacio topol´ogico y (xi | i ∈ I) ⊆ X. Sea U ⊆ P (I) un ultrafiltro. Escribimos l´ım xi = x i,U

y decimos que x es el U-l´ımite de (Xi | i ∈ I) si para toda vecindad abierta V de x, {i ∈ I | xi ∈ V } ∈ U . Lema 8.2. Sea X espacio topol´ ogico. Entonces X es Hausdorf y compacto si y s´olo si para todo (xi | i ∈ I) y para todo ultrafiltro U en I, el U-l´ımite de (xi | i ∈ I) existe y es u ´nico. Definici´ on 8.3. Sea {Mi , di | i ∈ I} una colecci´on de espacios m´etricos con di´ametro menor que k, para alg´ un k fijo. Sea U un ultrafiltro en I, definimos d de la siguiente manera: Y Y d: Mi × Mi → [0, k] i∈I

i∈I

(x, y) 7→ d(x, y) = l´ım di (x(i), y(i)) i,U

15

Luego podemos identificar dos sucesiones x ∼U y ⇐⇒ l´ım d(x(i), y(i)) = 0 i,U

Q Sea M = i∈I Mi / ∼U . Entonces la psudom´etrica d induce una m´etrica en M, a la que denotamos d. El espacio m´etrico (M, d) as´ı definido es el U-ultraproducto de (Mi , di | i ∈ I)U Cuando todo (Mi , di ) = (M, d) para alg´ un (M, d), entonces ((Mi , di ) | i ∈ I)U := (M, d)U es una ultrapotencia de espacios m´etricos.

9.

Ultraproductos de funciones

Proposici´ on 9.1. Sean (Mi , di | i ∈ I) y (Mi0 , d0i | i ∈ I) familias de espacios m´etricos uniformemente acotados. Sea (fi | i ∈ I) una familia de funciones n-arias con fi : Min → Mi uniformemente continua con m´odulo de continuidad uniforme ∆ para todo i ∈ I. Sea U un ultrafiltro sobre I. La funci´on ultraproducto es: à ! Ãà ! !n à ! Y Y Y fi : Mi → Mi0 i,U

i∈I

U

i∈I

U

U

definida de la siguiente manera: Ã ! Y (1) (n) (1) (n) fi ((xi | i ∈ I)U , ..., (xi | i ∈ I)U ) = (fi (xi , ..., xi ))U . i,U

U

Esto define una funci´on uniformemente continua con m´odulo de continuidad uniforme ∆. Demostraci´ on. Sup´ongase que (1)

(n)

d(((xi | i ∈ I)U , ..., (xi

(1)

| i ∈ I)U ), ((yi

(n)

| i ∈ I)U , ..., (yi

| i ∈ I)U )) < ∆(²).

Entonces para todo j ∈ {1, . . . , n}, d((xji | i ∈ I)U , (yij | i ∈ I)U ) < ∆(²). Luego para todo j ∈ {1, . . . , n}, (j) (j) l´ım di (xji , yij ) < ∆(²). Esto a su vez implica que para todo j ∈ {1, . . . , n}, {i ∈ I | di (xi , yi ) < ∆(²)} ∈ i,U

U . Luego tenemos que (1)

(n)

(1)

(n)

{i ∈ I | di ((xi , ..., xi ), (yi , ..., yi )) < ∆(²)} ∈ U , de donde se sigue que (1)

(n)

(1)

(n)

{i ∈ I | d0i (fi (xi , ..., xi ), fi (yi , ..., yi )) ≤ ²} ∈ U . Finalmente, concluimos que ! Ã ! ÃÃ ! Y Y (n) (1) (n) (1) fi ((yi , ..., yi )U ) ≤ ². d fi ((xi , ..., xi )U ), i,U

i,U

16

Ejercicio 9.2. Sea (Mi | i ∈ I) una familia de estructuras m´etricas. Sea U un ultrafiltro en I. Sea M = (Mi | i ∈ I)U y sea ϕ(x1 , ..., xn ) una L-f´ ormula. Sean a1 , ..., an ∈ M . Si ak = (aki | i ∈ I)U son elementos de M para k = 1, ..., n, entonces (1)

(n)

ϕM (x1 , ..., xn ) = l´ım ϕMi (ai , ..., ai ). i,U

Definici´ on 9.3. Sea Σ un conjunto de L-condiciones. Sea Σ+ = {ϕ ≤ 1/n | ”ϕ = 0” ∈ Σ, n ≥ 1}. Ejercicio 9.4. Sea T una L-teor´ıa y C una claseQde L-estructuras m´etricas tal que T + es finitamente satisfactible en C. Entonces T es satisfactible en C la clase de todos los ultraproductos de familias en C. Definici´ on 9.5. El car´ acter de densidad de un espacio topol´ ogico X es la cardinalidad m´ınima de un subconjunto denso de X. Convenci´ on. De ahora en adelante κ ≥ card(L). El siguiente es la versi´on continua del Teorema Descendente de Lowenheim-Skolem. Teorema 9.6. (Teorema Descendente de Lowenhein-Skolem) Sea M una L-estructura m´etrica basada en (M, d). Sea A ⊆ M con densidad(A) ≤ κ. Entonces existe N ⊆ M tal que 1. N ¹ M 2. A ⊆ N ⊆ M 3. densidad(N ) ≤ κ

10.

Saturaci´ on

Definici´ on 10.1. Sea Γ(x1 , ..., xn ) una colecci´on de L-condiciones y sea M una L-estructura m´etrica. Decimos que Γ(x1 , ..., xn ) es satisfactible en M si existen a1 , ..., an ∈ M tales que M |= Γ(a1 , ..., an ). Definici´ on 10.2. Sea M una L-estructura m´etrica. Decimos que M es κ-saturada si siempre que A ⊆ M es de densidad(A) ≤ κ y Γ(x1 , ..., xn ) es un conjunto de L(A)-condiciones si Γ(x1 , ..., xn ) es finitamente satisfactible en (M.a)a∈A , entonces Γ(x1 , ..., xn ) es satisfactible en (M.a)a∈A . Tal y como es el caso en el contexto de la l´ogica cl´asica de primer orden, en la l´ogica continua para estructuras m´etricas se satisface la siguiente proposici´on. Proposici´ on 10.3. Sea M una L-estructura. Entonces M tiene una extensi´on elemental N que es κ − saturada. Definici´ on 10.4. Sea M una L-estructura. Decimos que M es fuertemente κ-homog´enea si cuando L(C) es una extensi´on de L con card(C) < κ y f, g : C → M son tal que (M, f (c))c∈C ≡ (M, g(c))c∈C se tiene que (M, f (c))c∈C ∼ = (M, g(c))c∈C . Una vez m´as, no es dif´ıcil demostrar que en el caso de la l´ogica continua para estructuras m´etricas persiste la veracidad de la siguiente proposici´on cl´asica. Proposici´ on 10.5. Sea M una L-estructura. M tiene una extensi´on elemental N que es κ − saturada tal que todo reducto de N a un sublenguaje de L es fuertemente κ-homog´enea. 17

11.

Espacio de tipos

Consideremos L un lenguaje fijo, T una L-teor´ıa completa y M un modelo T . Notaci´ on.

1. MA := (M, a)a∈A

2. TA := T hL(A) (MA ) Observaci´ on. Si NA |= TA , entonces NA ∼ un N |= T . = (N, a)a∈A para alg´ Definici´ on 11.1. Sean x1 , ..., xn ∈ VL (distintas). Un conjunto p de L(A)-condiciones cuyas variables libres est´an entre x1 , ..., xn es un n-tipo sobre A si existe un modelo (M, a)a∈A |= TA y existen e1 , ..., en ∈ M tal que p es el conjunto de las L(A)-condiciones E(x1 , ..., xn ) para las cuales MA |= E[e1 , ..., en ]. En este caso escribimos p = tpM ((e1 , ..., en )/A) y decimos que (e1 , ..., en ) realiza a p en M. S(TA ) = Sn (A) := {p | p es un n − tipo sobreA}. Observaciones.

1. tpM ((e1 , ..., en )/A) = tpM ((e01 , ..., e0n )/A) si y s´olo si (MA , e1 , ..., en ) ≡ (MA , e01 , ..., e0 n).

2. Si M ¹ N, entonces tpM ((e1 , ..., en )/A) = tpN ((e1 , ..., en )/A); donde e1 , ..., en ∈ M y A ⊆ M .

12.

La topolog´ıa l´ ogica

Definici´ on 12.1. Sea ϕ(x1 , ..., xn ) una L-f´ormula. Sea ² > 0. Entonces [ϕ < ²] = {q ∈ Sn (A) | existe 0 ≤ δ ≤ ² tal que ”ϕ ≤ δ” ∈ q}. Si p ∈ Sn (A), una base de vecindades abiertas de p consiste en [ϕ < ²] para ”ϕ = 0 ∈ p”; y para ² > 0. La siguiente proposici´on ilustra la utilidad e importancia de la topolog´ıa l´ogica. Proposici´ on 12.2. Sn (TA ) es compacto con respecto a la topolog´ıa l´ogica. Definici´ on 12.3. Definimos la d-m´etrica en Sn (A) de la siguiente manera: d(p, q) = ´ınf{ m´ax dMA (bj , cj ) | MA |= TA , MA |= p[b1 , ..., bn ] y MA |= q[c1 , ..., cn ]} 1≤j≤n

Proposici´ on 12.4. (Sn (A), d) es un espacio m´etrico completo. Demostraci´ on. Sea (pk )k≥1 una sucesi´on de Cauchy en (Sn (A), d). Sin p´erdida de generalidad sea d(pk , pk+1 ) ≤ 21k para todo k ≥ 1. Sea N un modelo ω-saturado y fuertemente ω-homog´eneo de TA , es decir N = (M, a)a∈A para alg´ un modelo M |= T . Sea a ¯ ∈ M n una realizaci´on de pk , entonces existe ¯b ∈ M n realizaci´on de pk+1 tal que 1 d(¯ a, ¯b) = d(pk , pk+1 ) ≤ k . 2 n ¯ Inductivamente definimos una sucesi´on (bk )k≥1 en M tal que 1 d(¯bk , ¯bk+1 ) = d(pk , pk+1 ) ≤ k 2 para todo k. 18

13.

Eliminaci´ on de cuantificadores

Definici´ on 13.1. Decimos que ϕ(x1 , ..., xn ) es aproximable en T por f´ormulas libres de cuantificadores si para todo ² > 0 existe una f´ormula libre de cuantificadores ψ(x1 , ..., xn ) tal que para todo M |= T y para todo a1 , ..., an ∈ M se tiene que |ϕM (a1 , ..., an ) − ψ M (a1 , ..., an )| ≤ ². El siguiente criterio para eliminaci´on de cuantificadores es sumamente u ´til en la pr´actica. La demostraci´on es una adaptaci´on cuidadosa de la demostraci´on cl´asica. Proposici´ on 13.2. Sea T una L-teor´ıa, los siguientes resultados se satisfacen: 1. T admite eliminaci´on de cuantificadores 2. Si M |= T entonces toda inmersi´on de una subestructura de M a N puede ser extendido a una inmersi´on de una extensi´on elemental de N.

14.

Estabilidad

Definici´ on 14.1. Decimos que una teor´ıa T es λ-estable con respecto a la m´etrica d si para todo M |= T y A ⊆ M con cardinalidad menor que λ, el conjunto S1 (A) tiene car´acter de densidad contenido en A con respecto a la m´etrica d. Y decimos que T es estable si T es λ-estable para alg´ un λ infinito.

15.

Estructuras m´ etricas (varias suertes)

Definici´ on 15.1. Una estructura m´etrica en varias suertes consiste en: i. ((M (s) , d(s) ) | s ∈ S) familia de espacios m´etricos completos ii. Una familia de funciones F : M (s1 ) × ... × M (sn ) → M (s0 ) uniformemente continua con respecto a la m´etrica can´onica en F : M (s1 ) × ...×M (sn ) una familia de funciones P : M (s1 ) ×...× M (sn ) → [0, N ] uniformemente continua. Nota. Las operaciones cuyo dominio contiene u ´nicamente de la tupla vac´ıa son constantes. Ejemplos. i. Sea (M, d) un espacio m´etrico completo y acotado con di´ametro 1, entonces hay una suerte en la estructura m´etrica, la suerte de M , y adicionalmente tenemos el predicado d. ii. Sea (X, k.k) un espacio de Banach, con suertes Bn := {x ∈ X | kxk ≤ n}, n ∈ N, y equipado con: (a) Elementos distinguidos O(n) ∈ Bn (b) Operaciones +(n) : Bn × Bn → B2n −(n) : Bn → Bn fr(n) : Bn → B([r]+1)n +(n) : Bn → [0, 2n] 19

Definici´ on 15.2. El lenguaje L de una estructura m´etrica (s)

M = ((M (s),d )s∈S , (ci )i∈I , (Fj )j∈I , (Rk )k∈K ) consiste en: i. Un indice de suertes no vac´ıo S. ii. Simbolos de constante ci con aridad α(ci ) = s0 , para elementos distinguidos en M (s0 ) . iii. S´ımbolos de funci´on fi con aridad α(fi ) = (s1 , ..., sn , so ), para operaciones distinguidas Fj : M s1 × ... × M sn → M (s0 ) . iv. S´ımbolos de relaci´on Pk con aridad α(Pk ) = (s1 , ..., sn ) y rango IPk = [0, N ] para Pk : M s1 × ... × M sn → [0, N ]. v. Para cada s ∈ S, una constante N(s) ∈ N indicando una cota superior para el di´ametro de d(s) . vi. Para cada simbolo de funci´on fj , un m´odulo de continuidad uniforme ∆[fi ]. vii. Para cada simbolo de relaci´on Pk con rango en [0,M], con un m´odulo de continuidad uniforme ∆(Pk ]. viii. Un conjunto infinito fijo Vi de variables sorteadas. ix. Para cada s ∈ S, un s´ımbolo l´ogico d(s) para la m´etrica de suerte s. Ejemplo. El lenguaje de los reticulos de Banach: 1. Una suerte sn corresponde a la bola cerrada Bn de di´ametro n centrada en d, para cada n ∈ N. 2. Simbolos de constante On con aridad α(O) = sn para cada n ∈ N. 3. Simbolos funcionales: Para cada mn ∈ N con m < n, un simbolo Imn con aridad α(Imn ) = (sm , sn ), y m´odulo de continuidad uniforme ∆[Imn ](²) = ². W V W V odulo de continuidad uniforme ∆[ n ](²) = ∆[ n ](²) = 2² . n , n con aridad (sn , sn , s2n ) y m´ +n , −n con aridad α(+n ) = (sn , sn , s2n ) y α(−n ) = (sn , sn ) y m´odulo de continuidad uniforme ∆[+n ](²) = 2² y ∆[−n ](²) = ². Para n ∈ N y dado k < λ < k + 1 para alg´ un k ∈ N, λn con aridad α(λn ) = (sn , s(k+1)n ) y ² ∆[λn ](²) = k+1 . Para cada n ∈ N,un s´ımbolo relacional k.k(n) con aridad (sn ) y ∆[k.k(n) ](²) = ². d(n) : Bn × Bn → [0, 2n] s´ımbolo l´ogico con dn (f, g) = kf − gk.

20

16.

Axiomas para ret´ıculos de Banach

Nota. Los axiomas ecuacionales de la forma ∀x...(t = s), donde t y s on t´erminos y x es una n-tupla que contiene todas las variables libres que aparecen en t o s, en l´ogica continua se expresan de la siguiente forma: supx d(t, s) = 0 Notaci´ on. kxkn denota al t´ermino (x ∨n On ) +2n ((−1)n x ∨n On ) 1. Para cada m, n, p ∈ N con m < n < p el axioma supx d(p) (Im,p (x), In,p (Im,n (x))) = 0 (donde x es una variable de suerte m), que garantiza una compatibilidad fundamental entre las funciones inclusi´on Im,n . 2. Para cada m, n ∈ N con m < n, el axioma d(n) (0(n) , Im,n (0(m) )) = 0. 3. Para cada m, n ∈ N con m < n, el axioma ¯ ¯ supx ¯ d(m) (x, 0(m) ) − d(n) (Im,n (x), 0(n) ) ¯= 0 (donde x es una variable de suerte m). 4. Para cada m, n ∈ N con m < n, el axioma supx supy |d(m) (x, y) − d(n) (Im,n (x), Im,n (y))| = 0 (donde x and y son variables de suerte m). 5. Para cada m, n ∈ N con m < n, el axioma supx d(n) (Im,n (−m x), +n (−1)n (Im,n (x))) = 0 (donde x es una variable de suerte m). 6. Para cada λ con k − 1 < λ ≤ k para alg´ un k ≥ 1, y para cada m, n ∈ N con m < n, el axioma supx d(kn) (Ikm,kn (λm x), λn Im,n (x)) = 0 (donde x es una variable de suerte m). 7. Para cada m, n ∈ N con m < n, el axioma supx supy d(2n) (Im,n (x) +n Im,n (x), I2m,2n (x +m y)) = 0 (donde x and y son variables de suerte m).

21

8. Para cada m, n ∈ N con m < n, el axioma supx supy d(2n) (Im,n (x) ∨n Im,n (x), I2m,2n (x ∨m y)) = 0 (donde x and y son variables de suerte m). 9. Para cada m, n ∈ N con m < n, el axioma supx supy d(2n) (Im,n (x) ∧n Im,n (x), I2m,2n (x ∧m y)) = 0 (donde x and y son variables de suerte m). 10. Axiomas de espacios vectoriales: Para una lista completa de axiomas para espacios vectoriales se dirige al lector a [3, p´ag. 49]. Todos los aximoas de primer orden de espacios vectoriales son axiomas ecuacionales1 . 11. Axiomas de ret´ıculos vectoriales: De nuevo, los axiomas de primer orden de ret´ıculos vectoriales son axiomas ecuacionales. He aqu´ı una lista exhaustiva: a) x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z; b) x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z; c) x ∧ y = y ∧ x; d ) x ∨ y = y ∨ x; e) x ∧ x = x; f ) x ∨ x = x; g) (x ∧ y) ∨ z = (x ∨ z) ∧ (y ∨ z); h) (x ∨ y) ∧ z = (x ∧ z) ∨ (y ∧ z); i ) (x ∧ y) ∨ y = y; j ) (x ∧ y) + z = ((x ∧ y) + z) ∧ (y + z); k ) (λ(x ∧ y) ∧ λx = λ(x ∧ y)) para cada λ > 0. Como cada uno de estos axiomas es un axioma ecuacional, es f´acil expresarlos en la l´ogica continua para estructuras m´etricas. 12. Axiomas que garantizan que k · k(n) es la restricci´on de una seminorma a la suerte Bn compatible con las operaciones +n , −n , yu λn para toda λ ∈ R. N´otese que no se puede expresar, en la l´ogica continua, la implicaci´on kxk = 0 =⇒ x = 0. Sin embargo, la condici´on kxk = d(x, 0), junto con el requerimiento metal´ogico de que that d sea una m´etrica, garantiza que la seminorma k · k es en efecto una norma. 1

A manera de ilustraci´on, consid´erese el axioma ∀x∀y

x + y = y + x.

En la l´ogica continua, este axioma se lo puede expresar por medio de una familia infinita de axiomas supx supy d(2n) (x +n y, y +n x) = 0 indizada por n ∈ N.

22

13. Para cada m ∈ N, los axiomas ¯ ¯ supx supy ¯d(m) (x, y) − kx −m yk(2m) ¯ = 0 (donde x and y son variables de suerte m). 14. Para cada n ∈ N, los axiomas ¯ ¯ supx ¯ k|x|n k(4n) − kxk(n) ¯= 0 y

¯ ¯ supx supy ¯ m´ın(k|x|n ∧4n |y|n k(8n) , kxk(n) ) − k|x|n ∧4n |y|n k(8n) ¯= 0

(donde x and y son variables de suerte n). La colecci´on de todos estos axiomas (para n ∈ N) garantiza que k · k es una norma compatible con la estructura reticular.

17.

Ret´ıculos de Banach Lp

Definici´ on 17.1. Sea Ω un conjunto, Σ una σ-´algebra de subconjuntos de Ω y µ una medida σ-aditiva en Σ, sea p ∈ [1, ∞), definimos µZ p

|f (w)| dµ(w)

Lp (Ω, Σ, µ) = {[f ] | f : Ω → R medible con kf k :=

¶ p1

< ∞}

Ω

donde [f ] = [g] ⇐⇒µ ({w ∈ Ω | f (w) 6= g(w)}) = 0. Nota. Consideremos a Lp (Ω, Σ, µ) como un ret´ıculo de Banach sobre R de la forma usual, en particular, las operaciones de ret´ıculo ∧, ∨ est´an dados por el m´aximo y m´ınimo punto a punto. Consideremos estructuras de la forma ((Bn | n ≥ 1), On , {Imn }m 0 y no existe S 0 ⊆ S, S 0 ∈ Σ y 0 < µ(S 0 ) < µ(S).

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El siguiente axioma adicional dice que no hay ´atomos: sup(´ınf (m´ax(|kyk − kx+ − yk|, ky ∧ (x+ − y)k))) = 0. y

x

Definici´ on 19.3. Si x ∈ X (ret´ıculo de Banach), una componente de x es y ∈ X tal que |y|∧|x−y| = 0. Sean Cp := {X | X es un ret´ıculo de Banach y existe (Ω, Σ, µ) tal que X ∼ = Lp (Ω, Σ, µ)} y AC p := {X | X ∈ Cp tal que X no tiene ´atomos} Proposici´ on 19.4.

AC p admite eliminaci´on de cuantificadores.

AC p es ω-estable.

20.

Ret´ıculos de Orlicz

Definici´ on 20.1. Sea E un ret´ıculo de Banach y Θ : E → [0, ∞). Se dice que Θ es un funcional modular convexo si (M1) Θ(f ) = 0 si y s´olo si f = 0 (M2) |f | ≤ |g| entonces Θ(f ) ≤ Θ(g) (CM) (αf + (−α)g) ≤ αΘ(f ) + (−α)Θ(g) (DA) |f | ∧ |g| = 0 entonces Θ(f + g) = Θ(f ) + Θ(g) Para todo f, g ∈ E, α ∈ [0, 1]. Lema 20.2. Para todo f, g ∈ E, a ∈ (0, 1], a Θ(f ) ≤ Θ(g) + 2

µ

µ Θ(2g) + Θ

¶¶ 2 (f − g) . a

Demostraci´ on. N´otese que a 2 Θ(f ) = Θ(((1 − a)g) + (2g + (f − g))) 2 a 1 1 2 ≤ (1 − a)Θ(g) + aΘ( (2g) + ( (f − g))) 2µ a ¶¶ µ2 a 2 ≤ (1 − a)Θ(g) + (f − g) . Θ(2g) + Θ 2 a

Nota. En consecuencia |Θ(f ) − Θ(g)| ≤ a2 (m´ax(Θ(2f ), Θ(2g)) + Θ( a2 (f − g))). Proposici´ on 20.3. t 7−→ Θ(tf ) : R → [0, ∞) es continua para toda f ∈ E. 25

Definici´ on 20.4. kf kΘ := ´ınf{t ∈ (0, ∞)|Θ( ft ) ≤ 1} Definici´ on 20.5. Sea (E, k · k) un ret´ıculo de Orlicz. Si Θ es un modular convexo en E, decimos que (E, Θ) es un ret´ıculo modulado de Banach si Θ induce la norma k · k en E, es decir si x kxk = ´ınf{² > 0|Θ( ) ≤ 1} ² para todo x ∈ E. Si X es completo, (X, Θ) es un ret´ıculo de Orlicz. Ejemplos.

En l´ogica de primer orden para todo xΘ(x) < ∆(²), entonces kxk ≤ ².

˙ ˙ En l´ogica continua (supx m´ın(∆(²)−Θ(x), kxk−²)) =0 p 0 p q Rϕ(t) = |t| ; ϕ (t) = α|t| + (1 − α)|t| con α ∈ [0, 1]. Lϕ (Ω, Σ, µ) := {f |f esΣ − medible y Φ(f ) := ϕ(f (ω))dµ(ω) < ∞}. Este es un espacio de Orlicz. Ω

Observaciones. Para k ≥ 2 el modular convexo Θ en E satisface la condici´on ∆k2 si Θ(2f ) ≤ un k ≥ 2, decimos que Θ satisface kΘ(f ) para todo f ∈ E. Si Θ satisface la condici´on ∆k2 para alg´ la condici´on ∆2 Sea n ≥ 1 y sea Bn = {f ∈ E | kf k ≤ n}. Sea ² > 0 para cualquier g ∈ Bn tenemos que Θ(g) = Θ(

ng g ) ≤ k [lg2 (n)]+1 Θ( ) ≤ k [lg2 (n)]+1 . n n

Esc´ojase a ∈ (0, 1) lo suficientemente peque˜ no para que ak (fk [lg(n)] + 1) ≤ ² 2 (n)

(n)

Sea ∆k (²) = a. Entonces kf − gkΘ < ∆k (²), y luego |Θ(f ) − Θ(g)| ≤

ak [lg(n)]+1 ak f − g + Θ( )≤² 2 2 2

y ∆nk : (0, 1] → (0, 1] es un m´odulo de continuidad uniforme para Θ en Bn . Lo anterior demuestra que si Lmod = L ∪ {Θn | n ≥ 1} entonces los ret´ıculos de Orlicz son Lmod -estructutras.

21.

Axiomas para ret´ıculos de Orlicz con la condici´ on ∆k2 Axiomas de Ret´ıculos de Banach. Axiomas que capturen las condiciones (M1), (M2), (CM), y (DA) (ver definici´on de un modular convexo)

Ejemplo.

(n)

Para todo xΘ(n) (x) < ∆k (²), entonces kxk(n) ≤ ². 26

(n)

˙ (n) (x), kxk(n) −²)) ˙ (supx m´ın(∆k (²)−Θ = 0. Definici´ on 21.1. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida. Una funci´on ϕ : [0, ∞) → [0, ∞) es una funci´on de Orlicz si ϕ(0) = 0, ϕ(1) = 1 y ϕ es convexa y continua. Dado k ≥ 2, si ϕ(2t) ≤ kϕ(2t) para todo t ∈ [0, ∞), decimos que ϕ satisface la condici´on ∆k2 . Definici´ on 21.2. Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida. Una funci´on de Musielar-Orlicz en (Ω, Σ, µ) es una funci´on ψ : [0, ∞) × Ω → [0, ∞) tal que (i) ψ(t, ·) es medible en Σ para todo t. (ii) ψ(·, ω) es una funci´on de Orlicz para todo ω ∈ Ω. Def´ınase, adicionalmente, los siguientes objetos: R Ψ(f ) = Ω Ψ(|f (ω)|, ω)dµ(ω) kf kΨ := ´ınf{² ∈ [0, ∞) | Ψ( f² ) ≤ 1} LΨ (Ω, Σ, µ) := {f ∈ L0 (Ω, Σ, µ) | kf kΨ < ∞} LΨ (Ω, Σ, µ) equipado con la estructura de ret´ıculo es un ret´ıculo de Banach modulado con m´odulo Ψ, es decir es un ret´ıculo de Orlicz. Nota. k ≥ 2 fijo. Todos los espacios de Musielar-Orlicz satisfacen en adelante la condici´on ∆k2 . Ejemplos.

1. ψ(t, ω) := |t|p para todo t y todo ω con p ≥ 1

2. ψ(t, ω) := ϕ(t) para todo t y todo ω, donde ϕ es una funci´on de Orlicz. 3. ψ(t, ω) := α|t|p χA (ω) + β|t|q χAc (ω) α + β = 1 y para todo α, β ∈ [0, 1] 4. ψ(t, ω) :=

n P i=1

5. ψ(t, ω) :=

αi |t|pi χAi (ω), donde

P n∈N

n P

αi = 1; pi ≥ 1 para todo i y

P

Ai = Ω

i=1

i=1

αn |t|pn χAn (ω), donde

n S

αn = 1; pn ≥ 1 y

n∈N

∞ S n=1

An = Ω

6. ψ(t, ω) := |t|p(ω) donde p(·) : Ω → [0, ∞) satisface ´ınf{p(ω) | ω ∈ Ω} ≥ 1 y sup{p(ω) | ω ∈ Ω} ≤ B≤∞ En el caso [(vi)] decimos que Lψ es un espacio de Nakano, y escribimos Lp(·) en lugar de Lψ . Definici´ on 21.3. El rango esencial de un espacio de Nakano con exponente aleatorio p(·) est´a dado por Rp(·) := {p ∈ [1, ∞) | para todo² > 0µ({ω ∈ Ω | p(ω) ∈ (p − ², p + ²)}) > 0}. Nota. El rango esencial de un espacio de Nakano es invariante bajo isometr´ıa. Para un subconjunto compacto (es decir, cerrado y acotado) K de R, def´ınase NK := {Lp(·) (Ω, Σ, µ) | rango esencial de p(·) = K}. Concluimos estas notas enunciando dos resultados recientes sobre algunas de las clases arriba descritas. 27

NK es axiomatizable en la l´ogica continua para estructuras m´etricas. (Es interesante notar aqu´ı que la demostraci´on original de este resultado es indirecta: se demostr´o que la clase es cerrada bajo isometr´ıa, ultraproductos y ultrarra´ıces. M´as adelante, se ha logrado encontrar una lista exhaustiva de los axiomas de dicha clase.) Si se admiten s´ımbolos unarios de relaci´on cuyas interpretaciones son restricciones (a las suertes can´onicas) del modular Θp(·) , entonces la clase AN K admite eliminaci´on de cuantificadores y es estable.

Referencias [1] I. Ben Yaacov. Modular Functionals and Perturbations of Nakano Spaces, submitted; available at http://math.univ-lyon1.fr/∼begnac/papers.html. [2] I. Ben-Yaacov, A. Berenstein, C. W. Henson, and A. Usvyatsov. Model theory for metric structures, submitted; available at http://www.math.uiuc.edu/∼henson. [3] H. D Ebbinghaus, J. Flum, and W. Thomas. Mathematical Logic. Springer, 1996. [4] C. W. Henson and J. Iovino. Ultraproducts in analysis. In Analysis and Logic, number 262 in London Mathematical Society Lecture Notes Series, pages 1–113. Cambridge University Press, 2003. [5] L. P. Poitevin. Model Theory of Nakano Spaces. PhD thesis, University of Illinois at UrbanaChampaign, 2006. [6] L. P. Poitevin and Y. Raynaud. Positive contractive projections in Nakano spaces, submitted; available online at http://salemstate.edu/∼lpoitevin/interests.html.

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