Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Soluciones Practico N° 2 Ecuaciones de 2° grado, ecuaciones e inecuaciones con módulo. Docente responsable: Fernando Aso 1) Resolver las siguientes ecuaciones. x 2 − 49 = 0 x = 49 2

a)

x = ± 49 x = ±7

2 x=0 5 2⎞ ⎛ x⎜ x + ⎟ = 0 5⎠ b) ⎝ 2 x = 0; x + = 0 5 2 x = 0; x = − 5 x2 +

2) Resolver las siguientes ecuaciones.

x − (1 − 3x 2 ) = 2 x 2 − ( − x − 3)

⎛ 2 ⎞ x (5 − 2x ) = 3⎜ − + 2x ⎟ + 2 ⎝ 3 ⎠ 2 5 x − 2 x = −2 + 6 x + 2

x − 1 + 3x 2 = 2 x 2 + x + 3 x − 1 + 3x 2 − 2 x 2 − x − 3 = 0

5x − 2 x2 + 2 − 6 x − 2 = 0

a) x 2 − 4 = 0

x2 = 4 x=± 4 x = ±2 1 1 ( x − 2 ) = 10 + x 2 2 1 1 x + x 2 − x + 1 = 10 + x 2 2 1 1 x + x 2 − x + 1 − 10 − x = 0 2 2 2 b) x − 9 = 0 x (1 + x ) −

c)

−2 x 2 − x = 0 x ( −2 x − 1) = 0 x = 0; x = 0;

− 2x −1 = 0 − 2x = 1 1 x = 0; x = − 2 1 − 4 ( x 2 − x ) = ( 2 x − 1)( x − 1) 1 − 4 x2 + 4 x = 2 x2 − 2 x − x + 1 1 − 4 x2 + 4 x − 2 x2 + 2 x + x − 1 = 0 −6 x 2 + 7 x − 1 = 0

x2 = 9

a = −6; b = 7; c = −1

x=± 9 x = ±3

x1,2 =

−7 ± 7 2 − 4 ⋅ ( −6 ) ⋅ ( −1) 2 ⋅ ( −6 )

−7 ± 49 − 24 −12 −7 ± 25 x1,2 = −12 −7 ± 5 x1,2 = −12 d) −7 + 5 −2 1 x1 = = = −12 −12 6 −7 − 5 −12 = =1 x2 = −12 −12 x1,2 =

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Soluciones Practico N° 2 Ecuaciones de 2° grado, ecuaciones e inecuaciones con módulo. Docente responsable: Fernando Aso 3) Resolver las siguientes ecuaciones. 2 x2 + x − 6 = 0 a = 2; b = 1; c = −6 x1,2 =

a)

−1 ± 12 − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −6 )

2⋅2 −1 ± 1 + 48 x1,2 = 4 −1 ± 49 x1,2 = 4 −1 ± 7 x1,2 = 4 −1 + 7 6 3 = = x1 = 4 4 2 −1 − 7 −8 = = −2 x2 = 4 4

4 x 2 − 11x − 3 = 0 b) a = 4; b = −11; c = −3 1 x1 = 3; x2 = − 4

x2 − 6 x + 9 = 0 c) a = 1; b = −6; c = 9 x1 = 3; x2 = 1 6 x 2 + 17 x + 5 = 0

x ( 2 x + 6) = x2 + x − 4 2 x2 + 6 x = x2 + x − 4

2 2 f) 2 x + 6 x − x − x + 4 = 0 x2 + 5x + 4 = 0 a = 1; b = 5; c = 4 x1 = −1; x2 = −4

d) a = 6; b = 17; c = 5 1 5 x1 = − ; x2 = − 3 2

x 2 + 4 x + 1 = 4 − x 2 + 3x x 2 + 4 x + 1 − 4 + x 2 − 3x = 0

e) 2 x 2 + x − 3 = 0 a = 2; b = 1; c = −3 x1 = 1; x2 = −

3 2

4) Planteen y resuelvan los siguientes problemas. a) ¿Cuál es el número, distinto de cero, que sumado a su cuadrado es igual a su cuádruple? x + x2 = 4x x2 + x − 4x = 0 x 2 − 3x = 0 x ( x − 3) = 0 x = 0; x − 3 = 0 x = 0; x = 3 Sol x = 3

b) El doble del cuadrado de un número entero, sumado a su triplo, es igual a 65. ¿Cuál es el número? 2 x 2 + 3 x = 65 2 x 2 + 3 x − 65 = 0 a = 2; b = 3; c = −65 13 x1 = 5; x2 = − 2 Sol. x = 5

c) Hallar un número, distinto de cero, tal que si se le resta su cuadrado, el resultado es exactamente su cuadrado.

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Soluciones Practico N° 2 Ecuaciones de 2° grado, ecuaciones e inecuaciones con módulo. Docente responsable: Fernando Aso x − x2 = x2 − x2 − x2 + x = 0 −2 x 2 + x = 0 x ( −2 x + 1) = 0 x = 0;

− 2x + 1 = 0

x = 0; x = − Sol x = −

1 2

1 2

5) Calcular el perímetro de las siguientes figuras.

x+7 x+5

x-3

2x-3 x+4

( x + 5)

2

= ( x − 3) + ( x + 4 ) 2

2

x 2 + 10 x + 25 = x 2 − 6 x + 9 + x 2 + 8 x + 16 x 2 + 10 x + 25 − x 2 + 6 x − 9 − x 2 − 8 x − 16 = 0 − x2 + 8x = 0 x ( − x + 8) = 0

La superficie del rectángulo es 84 cm2 ( x + 7 ) ⋅ ( 2 x − 3) = 84 2 x 2 − 3 x + 14 x − 21 = 84 2 x 2 + 11x − 21 − 84 = 0 2 x 2 + 11x − 105 = 0 a = 2; b = 11; c = −105 21 2 P = 2 ( 5 + 7 ) + 2 ( 2 ⋅ 5 − 3) x1 = 5; x2 = −

x = 0; − x + 8 = 0 x = 0; x = 8 P = ( 8 − 3) + ( 8 + 4 ) + ( 8 + 5 ) P = 5 + 12 + 13 P = 30

P = 2 ⋅12 + 2 ⋅ 7 P = 24 + 14 P = 38

6) Encontrar el conjunto solución. 3− x = 5

3− x ≤ 5 02

02

a) − ( 3 − x ) = 5 −3 + x = 5 x = 5+3 x =8

3− x = 5 − x = 5−3 x = −2 x = −2

− (3 − x ) ≤ 5

b) −3 + x ≤ 5 x ≤ 5+3 x≤8

[ −2;8] 7) Resuelvan las siguientes ecuaciones.

3− x ≤ 5 − x ≤ 5−3 x ≥ −2 x ≥ −2

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Soluciones Practico N° 2 Ecuaciones de 2° grado, ecuaciones e inecuaciones con módulo. Docente responsable: Fernando Aso 3 x −1 + 2 = 5 − x 02 −3 ( x − 1) +2=5 − x

3 ( x − 1) +2=5 − x

−3 x + 3+2=5 − x

3 x − 3+2=5 − x

a) −3 x + x =5 − 3 − 2 −2 x =0

3 x + x =5+3 − 2 4x = 6 6 4 3 x= 2

x = 0 : ( −2 )

x=

x=0

2 x + 1 = 5 4 − 2 x − 10 02 2 x + 1 = −5 ( 4 − 2 x ) − 10

2 x + 1 = 5 ( 4 − 2 x ) − 10

2 x + 1 = −20 + 10 x − 10 b) 2 x − 10 x = −20 − 10 − 1 −8 x = −31 −31 x= −8 31 x= 8

2 x + 1 = 20 − 10 x − 10 2 x + 10 x = 20 − 10 − 1 12x = 9 9 x= 12 3 x= 4

5 2x −1 + 1 = 6 02 −5 ( 2 x − 1) + 1 = 6 c)

−10 x + 5 + 1 = 6 −10 x = 6 − 5 − 1 −10 x = 0 0 x= −10 x=0

5 ( 2 x − 1) + 1 = 6 10x − 5 + 1 = 6 10x = 6 + 5 − 1 10x = 10 10 x= 10 x =1

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Soluciones Practico N° 2 Ecuaciones de 2° grado, ecuaciones e inecuaciones con módulo. Docente responsable: Fernando Aso 2 − 3 x +1 = 4x + 5 02 2 − ( −3 ( x + 1) ) = 4 x + 5

2 − 3 ( x + 1) = 4 x + 5

2 + 3 ( x + 1) = 4 x + 5

2 − 3x − 3 = 4 x + 5

d) 2 + 3 x + 3 = 4 x + 5 3 x − 4 x = +5 − 3 − 2

− 3x − 4 x = 5 − 2 + 3 − 7x = 6 6 −7 6 x=− 7

−x = 0

x=

x=0

8) Resuelvan las siguientes inecuaciones. 2 − x + 4 > 7 + 2x 02 2 − ( x + 4) > 7 + 2x

2 − ( − ( x + 4)) > 7 + 2x

2 − x − 4 > 7 + 2x

2 + ( x + 4) > 7 + 2x

a) − x − 2 x > 7 + 4 − 2 −3 x > 9 9 x< −3 x < −3

2 + x + 4 > 7 + 2x x − 2x > 7 − 2 − 4 − x >1 x < −1

( −∞; −3) 2 − 3( 2x − 4) ≤ 3 − 2x + 1 02

b)

2 − 3 ( 2 x − 4 ) ≤ 3 − ( − ( 2 x + 1) )

2 − 3 ( 2 x − 4 ) ≤ 3 − ( 2 x + 1)

2 − 3( 2 x − 4) ≤ 3 + 2x + 1

2 − 6 x + 12 ≤ 3 − 2 x − 1

2 − 6 x + 12 ≤ 3 + 2 x + 1 −6 x − 2 x ≤ 3 + 1 − 2 − 12

− 6 x + 2 x ≤ 3 − 1 − 2 − 12 − 4 x ≤ −12 −12 x≥ −4

−8 x ≤ −10 −10 −8 5 x≥ 4 x≥

x≥3

[3; ∞ ]

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Soluciones Practico N° 2 Ecuaciones de 2° grado, ecuaciones e inecuaciones con módulo. Docente responsable: Fernando Aso 2 x +1 < 6 02 2 ( x + 1) < 6

− 2 ( x + 1) < 6

2x + 2 < 6

− 2x −1 < 6 − 2x < 6 +1

c) 2 x < 6 − 2 2x < 4 x
−2 7 x>− 2

4 2

x 2x − 3 02 5 (1 − x ) > 2 x − 3

− 5 (1 − x ) > 2 x − 3

− 5 + 5x > 2 x − 3 5 − 5x > 2 x − 3 5 x − 2 x > −3 + 5 e) −5 x − 2 x > −3 − 5 −7 x > −8 3x > 2 −8 2 x< x> −7 3 8 x< 7 ⎛2 8⎞ ⎜ ; ⎟ ⎝3 7⎠