Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Soluciones Practico N° 1 Números racionales. Ecuaciones e inecuaciones, módulo Prof. Fernando Aso 1) Escribir en forma decimal cada una de las siguientes fracciones.   17 2 11 b) c) a) = 3, 4 = 0, 04 = 0, 73 5 45 15

d)

 32 = 10, 6 3

2) Escriban como fracción irreductible cada una de las siguientes expresiones decimales.  252 − 25 227  8 a) 0,8 = c) 2,52 = = 9 90 90  315 − 3 312 104 524 − 52 472 236 o= = = b) 3,15 d) 5, 24 = = = 99 99 33 90 90 45 3) Calculen las siguientes potencias −2

⎛1⎞ a) ⎜ ⎟ = 9 ⎝3⎠

e)

−3

(

 2 ⎛ 3 ⎞2 ⎛ 1 ⎞2 1 −0,3 = ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ = ⎝ 9⎠ ⎝ 3⎠ 9

)

4

f) ( 0,3)4 = ⎛⎜ 3 ⎞⎟ = 81 ⎝ 10 ⎠ 10000  3 ⎛ 2 ⎞3 8 g) 0, 2 = ⎜ ⎟ = ⎝ 9 ⎠ 729  2 ⎛ 12 − 1 ⎞ 2 ⎛ 11 ⎞2 121 h) −1, 2 = ⎜ − ⎟ = ⎜− ⎟ = 9 ⎠ ⎝ 9⎠ 81 ⎝

8 ⎛ 3⎞ b) ⎜ − ⎟ = − 27 ⎝ 2⎠

( )

2

1 ⎛1⎞ c) 0,12 = ⎜ ⎟ = ⎝ 10 ⎠ 100 3

(

3

1 ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1⎞ d) ( −0, 2 ) = ⎜ − ⎟ = ⎜ − ⎟ = − 125 ⎝ 10 ⎠ ⎝ 5 ⎠ 3

)

4) Calculen las siguientes raíces. a) 3 −

1 1 =− 8 2

c) 0, 09 =

9 3 = 100 10

d) 3 −0, 027 = 3 −

121 11 b) = 100 10

27 3 =− 1000 10

 4 2 = e) 0, 4 = 9 3  17 − 1 16 4 = = f) 1, 7 = 9 9 3

5) Colocá una cruz en la casilla que corresponda

5 N Z Q I R

3

-3,2

X X X

X

X

X

X X

6) Calculá −2

4

−5

⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ a) ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠ ⎝2⎠

 9,6 1,3

−

7 7

9 6

 4,8

-6

X

X

X

X

X

X X

X

X

X

X

X

X

−2 + 4 + ( −5)

−3

8 ⎛3⎞ =⎜ ⎟ = 27 ⎝2⎠

15

7,9

X X X

X

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Soluciones Practico N° 1 Números racionales. Ecuaciones e inecuaciones, módulo Prof. Fernando Aso −4

−4

3

9 ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ ⎛3⎞ b) ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⋅ ( 0, 75 ) = ⎜ ⎟ : ⎜ ⎟ ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝4⎠ ⎝4⎠ −1

−1

3

9

⎛ 75 ⎞ ⎛ 3 ⎞ ⋅⎜ ⎟ =⎜ ⎟ ⎝ 100 ⎠ ⎝ 4 ⎠

−4 − 3 + 9

2

9 ⎛3⎞ =⎜ ⎟ = ⎝ 4 ⎠ 16

−1

0⋅( −1) 0 ⎡⎛ 3 ⎞ −2 ⎛ 3 ⎞2 ⎤ ⎡⎛ 3 ⎞ −2+ 2 ⎤ ⎡⎛ 3 ⎞ 0 ⎤ ⎡3⎤ ⎡3⎤ = ⎢ ⎥ =1 c) ⎢⎜ ⎟ ⋅ ⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢⎜ ⎟ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣2⎦ ⎣2⎦ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢⎝ 2 ⎠ ⎦⎥ 36 ⋅ 28 ⋅ 53 36 ⋅ 28 ⋅ 53 36 ⋅ 28 ⋅ 53 36 ⋅ 28 ⋅ 53 1 1 d) 3 = = = 6 8 4 = 30 ⋅ 20 ⋅ 5−1 = 1⋅1 ⋅ = 3 2 4 2 4 6 4 8 2 2 2 9 ⋅ 25 ⋅ 4 5 5 (3 ) ⋅ (5 ) ⋅ ( 2 ) 3 ⋅ 5 ⋅ 2 3 ⋅ 2 ⋅ 5

−4 4 2 3−4 ⋅16 ⋅ 9−1 3 ⋅ 2 ⋅ ( 3 ) 3−4 ⋅ 24 ⋅ 3−2 24 ⋅ 3−4+( −2) 24 ⋅ 3−6 1 2 −6 − −5 e) 2 −5 −3 = = = 6+( −3) −5 = 3 −5 = 24−3 ⋅ 3 ( ) = 21 ⋅ 3−1 = 2 ⋅ = 2 6 −5 −3 3 − 5 − 3 8 ⋅3 ⋅ 2 3 3 (2 ) ⋅3 ⋅ 2 2 ⋅3 ⋅ 2 2 ⋅3 2 ⋅3 −1

7) Resolver los siguientes ejercicios combinados 

(1,3 − 0,3) : ⎛⎜⎝ − 16 ⎞⎟⎠ − 0, 2 = ⎛ 13 3 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 2 ⎜ − ⎟:⎜− ⎟ − = ⎝ 10 9 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 10 ⎛ 13 1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ − ⎟:⎜− ⎟− = ⎝ 10 3 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 5 ⎛ 39 − 10 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 a) ⎜ ⎟:⎜− ⎟− = ⎝ 30 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 5 ⎛ 29 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟:⎜− ⎟− = ⎝ 30 ⎠ ⎝ 6 ⎠ 5 ⎛ 29 ⎞ ⎛ 1 ⎞ 1 ⎜ ⎟:⎜− ⎟− = ⎝ 5 ⎠ ⎝ 1⎠ 5 30 ⎛ 29 ⎞ 1 ⎜ − ⎟ − = − = −6 5 ⎝ 5 ⎠ 5 81 ⎛  5⎞  = ⎜ 0,3 + ⎟ : 0,1 − 5 6⎠ 16 ⎝ 81 ⎛3 5⎞ 1 = ⎜ + ⎟: −5 16 ⎝9 6⎠ 9 9 ⎛ 6 + 15 ⎞ 1 ⎜ ⎟ : − 5⋅ = 4 b) ⎝ 18 ⎠ 9 ⎛ 21 ⎞ 1 45 = ⎜ ⎟: − ⎝ 18 ⎠ 9 4 ⎛ 21 ⎞ 1 45 = ⎜ ⎟: − ⎝ 2⎠ 1 4 21 45 42 − 45 3 − = =− 2 4 4 4

 ⎛4 ⎞  ⎜ − 1⎟ 0,3 + ( 0,1⋅ 7 − 3,1) 0,16 = ⎝3 ⎠

31 ⎞ 16 − 1 ⎛4 ⎞3 ⎛ 1 = ⎜ − 1⎟ + ⎜ ⋅ 7 − ⎟ ⋅ 10 ⎠ 90 ⎝ 3 ⎠ 9 ⎝ 10 ⎛ 1 ⎞ 3 ⎛ 7 31 ⎞ 15 ⎜ ⎟ + ⎜ − ⎟⋅ = ⎝ 3 ⎠ 9 ⎝ 10 10 ⎠ 90 c)

1 ⎛ 24 ⎞ 1 +⎜− ⎟⋅ = 9 ⎝ 10 ⎠ 6 1 ⎛ 4⎞ 1 + ⎜− ⎟⋅ = 3 ⎝ 10 ⎠ 1 1 ⎛ 2⎞ +⎜− ⎟ = 3 ⎝ 5⎠ 1 2 5−6 1 − = =− 3 5 15 15 7 3 1− + 2 ⋅ 0,3 + 0, 04 8

(

)

−1

3

−1

−

1 ⎛ 3 4 ⎞ 3 + ⎜⎜ 2 ⋅ + ⎟⎟ − = 8 ⎝ 10 100 ⎠ 2 −1

1 ⎛ 3 2⎞ 3 + ⎜1⋅ + ⎟ − = 2 d) 2 ⎝ 5 10 ⎠ −1 1 ⎛3 1⎞ 3 +⎜ + ⎟ − = 2 ⎝5 5⎠ 2 −1

1 ⎛4⎞ 3 +⎜ ⎟ − = 2 ⎝5⎠ 2 1 5 3 2+5−6 1 + − = = 2 4 2 4 4

3 = 2

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Practico N° 1 Números racionales, ecuaciones e inecuaciones, módulo Prof. Fernando Aso 8) Resuelvan las siguientes ecuaciones e inecuaciones, en el caso de las inecuaciones representar la solución como intervalo y en la recta numérica. 3 − 24 x 1 − 2 x 1 3 1 − = − ( 3x − 4 ) x − 2,5 = 5 + x 10 2 10 2 4 3 1 25 3 24 x 1 2 x 3 4 x− x = 5+ − − + =− x+ 2 4 10 10 10 2 2 10 10 6 x − 1x 50 + 25 24 x 2 x 3 4 1 3 − + + x=+ + − = 4 10 10 2 10 10 2 10 −24 x + 10 x + 3x 4 + 5 − 3 5 x 75 c) = a) = 4 10 10 10 −11x 6 75 5 25 1 = x= : = : 10 4 5 2 10 10 5 1 6 ⎛ −11 ⎞ x= : x = :⎜ ⎟ 1 2 10 ⎝ 10 ⎠ x = 10 6 x=− 11 3 1 ( −6 x + 4 ) = ( 2 x + 0,5 ) 10 5 2x − 3 < 5 18 12 2 1 2x < 5 + 3 − x+ = x+ 10 10 5 10 d) 2 x < 8 18 2 1 12 − x− x = − x < 8:2 10 5 10 10 x < 4 ( −∞; 4 ) 9 2 1 6 − x− x = − 5 5 10 5 12 − 3 x ≥ −6 11 1 − 12 − x= −3 x ≥ −6 − 12 5 10 e) x ≤ −18 : ( −3) −11 ⎛ 11 ⎞ x= :⎜− ⎟ x≤6 10 ⎝ 5 ⎠ [ −∞, 6] 1 ⎛ 1⎞ x = − :⎜− ⎟ 2 ⎝ 1⎠ 1 x= 2 b)

2 ( x − 3) ≤ 5 2x − 6 ≤ 5 f) 2 x ≤ 5 + 6

x ≤ 11: 2 x≤

11 2

11 ⎤ ⎡ ⎢⎣ −∞, 2 ⎥⎦

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Practico N° 1 Números racionales, ecuaciones e inecuaciones, módulo Prof. Fernando Aso 4 1, 6 − 2 x > ( 0, 4 − x ) : 0, 2 −2 x + ≤ 0,5 x − 2, 2 5 16 ⎛ 4 ⎞ 2 − 2x > ⎜ − x ⎟ : 1 22 4 10 ⎝ 10 ⎠ 10 −2 x − x ≤ − − 2 10 5 8 ⎛2 ⎞ 1 − 2x > ⎜ − x ⎟ : −4 x − 1x −22 − 8 ≤ 5 ⎝5 ⎠ 5 2 10 g) 8 −5 −30 − 2x > 2 − 5x x≤ 5 2 10 h) 8 −3 ⎛ −5 ⎞ −2 x + 5 x > 2 − x≥ :⎜ ⎟ 5 1 ⎝ 2 ⎠ 10 − 8 3x > 6 ⎡6 ⎤ 5 x≥ ⎢⎣ 5 , ∞ ⎥⎦ 5 2 x > :3 5 2 ⎛ 2 ⎞ x> ⎜ ;∞⎟ 15 ⎝ 15 ⎠ 9) Resolver planteando la ecuación los siguientes problemas. a) ¿Cuál es el número cuyo duplo más su cuarta parte es

9 ? 5

1 9 x= 4 5 8 x + 1x 9 = 4 5 9 9 x= 4 5 9 9 x= : 5 4 4 x= 5 b) La mitad de un número más la tercera parte de su consecutivo es 7. ¿De qué número se trata? x x +1 + =7 2 3 x x 1 + + =7 2 3 3 1 x x + =7− 2 3 3 3 x + 2 x 21 − 1 = 6 3 5 x 20 = 6 3 20 5 x= : 3 6 4 1 x= : 1 2 x=8 2x +

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Practico N° 1 Números racionales, ecuaciones e inecuaciones, módulo Prof. Fernando Aso c) La cuarta parte de la diferencia entre un número y su mitad es 2. ¿Cuál es le número? x⎞ ⎛ ⎜x− ⎟:4 = 2 2⎠ ⎝ x x − = 2⋅4 2 2x − x =8 2 x =8 2 x = 8⋅ 2 x = 16 d) La quinta parte de un número es igual a la séptima parte de su consecutivo aumentado en 1. ¿Cuál es el número? x x +1 = +1 5 7 x x 1 = + +1 5 7 7 x x 1 − = +1 5 7 7 7 x − 5x 1 + 7 = 35 7 2 8 x= 35 7 8 2 x= : 7 35 4 1 x= : 1 5 x = 20 e) La tercera parte de la suma de dos números consecutivos es igual a la mitad del mayor de ellos. ¿Cuáles son los números? x + ( x + 1) x + 1 = 3 2 x x 1 x 1 + + = + 3 3 3 2 2 1 1 x x x + − =+ − 3 3 2 2 3 2 x + 2 x − 3x 3 − 2 = 6 6 x 1 = 6 6 1 x = ⋅6 6 x =1

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Practico N° 1 Números racionales, ecuaciones e inecuaciones, módulo Prof. Fernando Aso 10) Completen con >, < o = según corresponda en cada caso. a) −6 = 6

d) −11 − 4 > −11 − 4

b) 5 + 7 = 5 + 7

e)

3,5 + ( −2 ) < 3,5 + −2

−3 − ( −10 ) < −3 + −10

c)

11) Escriban el conjunto de valores que verifican las siguientes igualdades. x = 15, 4 sol: x = 15, 4 ∧ −15, 4

a)

c)

x < 3 sol: −3 < x < 3 ó ( −3;3)

d) x ≤ 0,1 sol: −0,1 ≤ x ≤ 0,1 ó [ −0,1;0,1]

b) x = 0 sol: x = 0

12) Grafiquen sobre la recta los conjuntos de números reales que cumplen cada una de las siguientes condiciones. a)

x =

b) x > 6 ∧ x > 0

3 ∧x0 0 x+5= 7 x+5= 7 x = 7−5 x=2 x=2

2x 0 02 x < 0

b)

1 13 x +2= 5 5 1 13 x+2= 5 5 1 13 x = -2 5 5 1 3 x= 5 5 3 1 x= : 5 5 x=3

1 13 x +2= 5 5 1 13 - x+2= 5 5 1 13 - x = −2 5 5 1 3 - x= 5 5 3 ⎛ 1⎞ x = :⎜- ⎟ 5 ⎝ 5⎠ x = −3

Instituto San Marcos MATEMÁTICA 4° Año Practico N° 1 Números racionales, ecuaciones e inecuaciones, módulo Prof. Fernando Aso 1,5 − 3 x = −1,5 0,8 − x = 0,3 x > 0 02 x < 0 c)

0,8 − x = 0,3

0,8 − x = 0,3

0,8 − x = 0,3

0,8 − ( − x ) = 0,3

-x = 0,3 − 0,8 -x = −0,5 x = 0,5

x = 0,3 − 0,8 x = −0,5 x = −0,5

x > 0 02 x < 0

d)

1,5 − 3 x = −1,5

1,5 − 3 x = −1,5

1,5 − 3 x = −1,5

1,5 − ( −3 x ) = −1,5

−3 x = −1,5 − 1,5

− ( −3 x ) = −1,5 − 1,5

−3 x = −3

3x = −3

x = −3 : ( −3)

x = −3 : 3

x =1

x = −1