Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Factorización de polinomios Docente responsable: Fernando Aso Factor común y por grupos Factorizar un polinomio de una cierta cantidad de términos, es expresarlo como un producto de polinomios primos. Factor común Para factorizar un polinomio a través del factor común, se debe recordar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o resta. a (b ± c ) = a ⋅ b ± a ⋅ c (el factor a se repite en ambos términos) Pata extraer el factor común, se debe proceder de manera inversa: a ⋅ b ± a ⋅ c = a (b ± c ) Primero se debe reconocer cuál es el factor que se encuentra repetido en cada término y luego, para encontrar el factor que va entre paréntesis, se divide cada término por el factor común. El factor común puede ser la variable del polinomio, elevado a la menor potencia, y/o el divisor común mayor de todos los coeficientes del mismo. Factorizar los siguientes polinomios: a) P( x ) = 2 x 2 − 4 x P( x ) = 2 x ⋅ x − 2 ⋅ 2 x → 2 x es el factor común de los dos términos. P ( x ) = 2 x( x − 2 ) → Expresión factoreada de P ( x ) a través del factor común. ↓ ↓ 2x2 4x → Dentro del paréntesis va lo que resulta de dividir a cada término por 2 x 2x 2x b) P( x ) = −12 x 6 + 6 x 5 − 15 x 3 = −4 ⋅ 3 x 3 ⋅ x 3 + 2 ⋅ 3 x 3 ⋅ x 2 − 5 ⋅ 3 x 3 = 3 x 3 − 4 x 3 + 2 x 2 − 5

(

)

Factor común por grupos

Se aplica el factor común por grupos a polinomios que no tiene un factor común en todos sus términos. Factorizar los siguientes polinomios: a) P( x ) = x 5 − 2 x 4 − 3x + 6 P ( x ) = (x 5 −2 x 4 ) + (− 3 x + 6 ) → Se forman grupos de igual cantidad de términos, de forma tal que en 1 424 3 1424 3 −3

x4

cada uno de ellos haya un factor común. P( x ) = x 4 ( x − 2 ) − 3( x − 2 ) → En cada término debe aparecer el mismo factor para poder extraerlo nuevamente como factor común. P( x ) = ( x − 2) x 4 − 3 → Al sacar nuevamente factor común, la expresión queda factorizada a través del factor común por grupos.

(

)

(

)

b) Q(x ) = 3x 3 + 3x 2 + 2 x + 2 = 3x 3 + 3 x 2 + (2 x + 2 ) = 3 x 2 ( x + 1) + 2(x + 1) Q( x ) = ( x + 1) 3 x 2 + 2

(

)

Suma y resta de potencias de igual exponente

Para un polinomio de la forma P( x ) = x n ± a n existen cuatro posibilidades: P( x ) = x n ± a n si n es par P( x ) = x n ± a n si n es impar

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1) P( x ) = x 4 − 16 = x 4 − 24 Se buscan los valores de “ x ” para los cuales P ( x ) se hace cero (raíces de P( x ) ); estos valores son x1 = 2 y x2 = −2 Por el teorema del resto: P(2 ) = 0 ⇒ ( x − 2 ) es divisor de P ( x ) P (− 2 ) = 0 ⇒ ( x − (− 2 )) = ( x + 2 ) es divisor de P ( x ) Se aplica la regla de Ruffini x 4 − 16 : ( x − 2) x 3 + 2 x 2 + 4 x + 8 : (x + 2)

(

)

(

(

)

(

)

)

P( x ) = x 4 − 16 = x 3 + 2 x 2 + 4 x + 8 ( x − 2 ) = x 2 + 4 ( x + 2)(x − 2) 2) P( x ) = x 4 + 81 , en este caso no hay valores reales de x que hagan que este polinomio tome valor cero, por lo tanto decimos que este polinomio no tiene raíces reales. 3) P( x ) = x 3 − 27 = x 3 − 33 Buscamos las raíces de P ( x ) :

x 3 − 27 = 0 ⇒ x = 3 Por el teorema el resto: P (3) = 0 ⇒ ( x − 3) es divisor de P( x ) Se resuelve por la Regla de Ruffini P ( x ) : ( x − 3) P( x ) = x 3 − 27 = ( x − 3)(x 2 + 3x + 9) 4) P( x ) = x 5 + 32 = x 5 + 25 Se buscan las raíces de P ( x ) : x 5 +32 = 0 ⇒ x = −2 Por el teorema del resto: P (− 2 ) = 0 ⇒ ( x + 2 ) es divisor de P ( x ) Se resuelve por la Regla de Ruffini P ( x ) : ( x + 2 ) P( x ) = (x 4 − 2 x 3 + 4 x 2 − 8 x + 16)( x + 2) Resumiendo P(x ) = x n ± a n

Divisor/es

x +a n

n impar

(x + a ) (x − a ) (x + a ) ∧ (x − a )

n

xn − an xn − an

n par

No tiene divisores de la forma ( x ± a )

xn + an

Diferencia de cuadrados a) P( x ) = x 2 − 9 = x 2 − 32 = (x − 3)( x + 3)

( )

(

)(

b) P( x ) = x 4 − 25 = x 2 − 52 = x 2 − 5 x 2 + 5 c) P( x ) = x 2 − 49 = x 2 − 7 2 = ( x + 7 )( x − 7 ) 2

)

Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Factorización de polinomios Docente responsable: Fernando Aso En general:

P( x ) = x 2 − a 2 = ( x − a )( x + a )

Trinomio cuadrado perfecto 2 x2 4 ±4 2 ⋅2 a ⋅4 x+ a 2 = ( x ± a ) → Cuadrado de un binomio: expresión factorizada del trinomio 1 43 ↓

cuadrado Trinomio cuadrado perfecto: Desarrollo del cuadrado del binomio.

perfecto

x 2 ± 2ax + a 2 = (x ± a )( x ± a ) = ( x ± a )

2

a) P( x ) = x 2 + 6 x + 9 = {x + 2 ⋅ 3 x + 3{ = ( x + 3) 2

2

↓

2

↓

x 3 2 2 2 2 b) Q(x ) = x − 4 x + 4 = {x − 2 ⋅ 2 x + 2{ = ( x − 2 ) ↓

↓

x 2 2 2 c) R( x ) = x + 8 x + 9 = {x + 2 ⋅ 4 x + 3{ 2

↓

No es trinomio cuadrado perfecto

↓

3≠4

x

3

Cuatrinomio cubo perfecto 2 2 x3 4 + 34 ax4 + 34 a4 x4 +3 a 3 = (x + a ) → Cubo de un binomio: expresión factorizada del cuatrinomio cubo 1 2 3

↓

perfecto

Cuatrinomio cubo perfecto: es el desarrollo del cubo de binomio.

x3 ± 3ax 2 + 3a 2 x ± a 3 = ( x ± a )( x ± a )( x ± a ) = (x ± a ) → Expresión factorizada 3

(x + a )3 = (x + a )(x + a )(x + a ) = (x 2 + 2ax + a 2 )( x + a )

(x − a )3 = (x − a )(x − a )(x − a ) = (x 2 − 2ax + a 2 )( x − a )

= x 3 + 3ax 2 + 3a 2 x + a 3

= x 3 − 3ax 2 + 3a 2 x − a 3

a) T ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 12 x + 18 = {x + 3 ⋅ 2 ⋅ x 2 + 3 ⋅ 2 2 ⋅ x + 2{ = ( x + 2 ) 3

3

3

↓

↓

x 2 3 3 3 3 2 2 2 b) K ( x ) = x − 3 x + 3 x − 1 = {x − 3 ⋅1 ⋅ x + 3 ⋅1 ⋅ x − 1{ = ( x − 1) ↓

↓

x 1 3 3 2 2 c) M ( x ) = x − 4 x + 8 x − 8 ≠ {x − 3 ⋅ 2 ⋅ x + 3 ⋅ 2 ⋅ x − 2{ → No es cuatrinomio cubo perfecto 3

2

↓

↓

x

6≠4

12 ≠ 8

2