Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Expresiones algebraicas, polinomios, operaciones Docente responsable: Fernando Aso Expresiones algebraicas enteras Una expresión algebraica es una combinación cualquiera de números, de letras o de números y letras, unidos entre sí por las operaciones de suma, resta, multiplicación, división, potencia y raíz. En una expresión algebraica a los números se los denomina coeficientes y a las letras, variables o indeterminadas. 3 + 2 ⋅8 x− y 2 + y3 3 x + 43 Si las variables no están afectadas por una raíz o actuando como divisor, las expresiones algebraicas 2 son enteras y se denominan polinomios; o 3 x no son polinomios. x Un polinomio puede tener una o varias variables. 3xy + 5m + 8 z 4 (varias variables) 2 x3 − 4 x + 5 x 2 + 1 (una sola variable) Si un polinomio tiene un solo término se llama monomio 6x 2 3x + 2 Si tiene 2 términos se llama binomio Si tiene 3 términos se llama trinomio 4 x2 − 5x + 1 Y si tiene 4 términos se llama cuadrinomio 7 − 4 x 2 − 2 x + x3

El mayor exponente con el que aparece la variable en los términos, con coeficiente distinto de cero, determina el grado de un polinomio. P ( x ) = 2 x 2 − 5 x + 4 x 4 − 1 ; polinomio de 4° grado.

Q ( x ) = x − 2 ; polinomio de primer grado.

El coeficiente que multiplica a la variable de mayor exponente en un polinomio es el coeficiente principal. R ( x ) = 2 x − 3 x 2 + 5 ; el coeficiente principal es -3 T ( x ) = x 5 + 7 x + 9 ; el coeficiente principal es 1.

Un polinomio está ordenado si sus términos están ordenados en forma creciente o decreciente respecto de los exponentes de las variables.

M ( x ) = 2 x3 + 4 x + 3

Un polinomio está completo si tiene todas las potencias decrecientes del grado

H ( x ) = 2 x + 5 x3 − x 2 + 4

Para completar un polinomio se agregan los términos que faltan con coeficiente cero.

N ( x ) = 5 x 4 + 0 x3 − 2 x 2 + x + 0

El término de grado cero es aquel que no tiene variable.

3 = 3x 0 ; −8 = −8x 0

Suma y resta de polinomios

El día lunes, un fabricante de juguetes compró 2m3 de gomaespuma, 10m 2 de tela y 20 m de cinta. El viernes hizo otra compra de 4m3 de gomaespuma, 5m 2 de tela y 8 m de cinta. ¿Cuál fue la compra total que hizo? Para resolver el problema se debe sumar la compra del día lunes y la del día viernes.

Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Expresiones algebraicas, polinomios, operaciones Docente responsable: Fernando Aso 3 2m + 10m 2 + 20m + 4m3 + 5m 2 + 8m =

( 2m

3

+ 4m3 ) + (10m 2 + 5m 2 ) + ( 20m + 8m ) =

( 2 + 4 ) m3 + (10 + 5) m2 + ( 20 + 8) m = 6m3 + 15m 2 + 28m En total compró 6m3 de gomaespuma, 15m 2 de tela y 28 m de cinta.

No se puede sumar cantidades de distintas magnitudes como volumen ( m3 ), superficie ( m 2 ) y longitud (m). La expresión de la compra realizada en cada uno de los días y el total, son polinomios cuya variable e m. Los términos que tienen la misma variable y exponente se llaman términos semejantes. En el ejemplo anterior, 2m3 y 4m3 son términos semejantes; también lo son 10m 2 y 5m 2 , y 20m y 8m. Sólo se pueden sumar o restar entre sí términos semejantes. Reducir un polinomio es sumar y/o restar los términos semejantes del mismo. a) 3x + 2 − 7 x + 2 x 2 + 3 = 2 x 2 − 4 x + 5 b) x3 + 4 x − 7 x 3 + 9 x + 2 x 3 + 7 x = −4 x 3 + 2 x Para sumar o restar polinomios, se deben sumar o restar los términos semejantes entre sí. Sean los polinomios P ( x ) = 2 x 3 + x 2 − 2; Q ( x ) = 3 x − x 3 + 4 x 2 a) Hallar P ( x ) + Q ( x ) Se completan y ordenan polinomios, se encolumnan términos semejantes y se suma.

2 x3 + x 2 + 0 x − 2 +

los los

− x3 + 4 x 2 + 3x + 0 x3 + 5 x 2 + 3x − 2

b) Hallar P ( x ) − Q ( x )

2 x3 + x 2 + 0 x − 2

+

Restar dos polinomios es equivalente a sumar el opuesto del sustraendo. P ( x ) − Q ( x ) = P ( x ) + ⎡⎣ −Q ( x ) ⎤⎦

x3 − 4 x 2 − 3x − 0 3x 3 − 3 x 2 − 3 x − 2

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos monomios deben multiplicarse los coeficientes y las variables entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación. a) b)

2 x ⋅ 5 x = 10 x 2 −5 x 2 ⋅ 4 x = −20 x 3

c) d)

xn ⋅ xm = xn+m

(x )

n m

= x n⋅m

−3x 2 ⋅ ( −4 x 2 ) = 12 x 4

6 x ⋅ ( − x 4 ) = −6 x 7

Para multiplicar dos polinomios se aplica la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma o resta, efectuando luego la multiplicación de monomios y reduciendo si es posible el polinomio. Dados: P ( x ) = 2 x 2 + 3 x y Q ( x ) = −5 x 3 + x 2 ; hallar P ( x ) ⋅ Q ( x )

(2x

2

+ 3 x ) ⋅ ( −5 x 3 + x 2 ) = 2 x 2 ⋅ ( −5 x3 ) + 2 x 2 ⋅ x 2 + 3x ⋅ ( −5 x3 ) + 3x ⋅ x 2 = −10 x 5 + 2 x 4 − 15 x 4 + 3 x 3 = −10 x 5 − 13 x 4 + 3 x 3

Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Expresiones algebraicas, polinomios, operaciones Docente responsable: Fernando Aso Forma práctica 2 x 2 + 3x × − 5 x3 + x 2 2 x 4 + 3x3 −10 x 5 − 15 x 4 −10 x 5 − 13x 4 + 3x3 Producto de la suma de dos términos por su diferencia

Si lo que se desea calcular es el área de un rectángulo de base a + b y de altura a − b , se procede de la siguiente manera:

( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a 2 − a ⋅ b + b ⋅ a − b2 = a 2 − b2 ( a + b ) ⋅ ( a − b ) = a 2 − b2

b)

( x + 3) ⋅ ( x − 3) = x 2 − 32 = x 2 − 9 2 2 ( 2 x − 5) ⋅ ( 2 x + 5) = ( 2 x ) − ( −5 ) = 4 x 2 − 25

c)

(4x

a)

3

+ x 2 ) ⋅ ( 4 x 3 − x 2 ) = ( 4 x 3 ) − ( x 2 ) = 16 x 6 − x 4 2

2

Potenciación de polinomios

( a ⋅ b)

Para resolver la potencia de un monomio se deben aplicar las propiedades de la potenciación. a)

( 3x )

2 2

= 32 x 2 = 9 x 2

b)

( −2 x ) = ( −2 ) ⋅ ( x ) 2 3

3

2 3

= −8 x 6

c)

( 3x )

3 4

( a + b ) = ( a + b ) ⋅ ( a + b ) = a 2 + a ⋅ b + b ⋅ a + b2 2 ( a + b ) = a 2 + 2ab + b2 2

b)

( x + 2 ) = x 2 + 2 x ⋅ 2 + 22 = x 2 + 4 x + 4 2 2 2 ( 3x − 5) = ( 3x ) + 2 ⋅ 3x ⋅ ( −5) + ( −5) = 9 x 2 − 30 x + 25

c)

( −2 x

2

2

+ x ) = ( −2 x 2 ) + 2 ⋅ ( −2 x 2 ) ⋅ x + x 2 = 4 x 4 − 4 x3 + x 2 2

= a n ⋅ bn

= 34 ⋅ ( x3 ) = 81x12

Cuadrado de un binomio El cuadrado de un binomio es un trinomio que se llama trinomio cuadrado perfecto.

a)

n

2

Cubo de un binomio

El cubo de un binomio es un cuatrinomio que se llama cuatrinomio cubo perfecto. El desarrollo del volumen de un cubo de arista a + b es el siguiente:

4

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( a + b ) = a3 + 3a 2b + 3ab2 + b3 3 ( 5 + x ) = 53 + 3 ⋅ 5 ⋅ x 2 + 3 ⋅ 5 ⋅ x 2 + x3 = 125 + 75 x + 15 x 2 + x3 3

División de polinomios

Para dividir dos monomios deben dividirse los coeficientes y las x n : x m = x n−m variables entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades de la potenciación a) 4 x3 : ( −2 x ) = 4 : ( −2 ) ⋅ ( x3 : x ) = −2 x 2 c) 12 x 7 : ( −3x 4 ) = 12 : ( −3) ⋅ ( x 7 : x 4 ) = −4 x3 3 b) −3x 4 : 2 x 2 = −3 : 2 ⋅ ( x 4 : x 2 ) = − x 2 2

1 d) − x 9 : ( −3x 5 ) = −1: ( −3) ⋅ ( x 9 : x5 ) = x 4 3

Para dividir un polinomio por un monomio se aplica la (a + b − c) : d = a : d + b : d − c : d propiedad distributiva de la división respecto de la suma y resta; luego se dividen lo monomios en cada uno de los términos. (15 x4 − 12 x3 + 6 x2 − 9 x ) : ( −3x ) = 15x 4 : ( −3x ) − 12 x3 : ( −3x ) + 6 x2 : ( −3x ) − 9 x : ( −3x )

= −5 x3 + 4 x 2 − 2 x + 3 Para dividir dos polinomios: El polinomio dividendo debe tener mayor o igual grado que el divisor. El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado. El polinomio divisor debe estar ordenado.

Instituto San Marcos MATEMATICA 4° Año Expresiones algebraicas, polinomios, operaciones Docente responsable: Fernando Aso Regla de Ruffini. Teorema del resto La Regla de Ruffini es un método práctico para dividir un polinomio P ( x ) por otro cuya forma sea x±a Dados: P ( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 − x − 5 y Q ( x ) = x + 2

Hallar P ( x ) : Q ( x ) , aplicando la regla de Ruffini.

Teorema del resto

El resto de la división de un polinomio por otro de la forma x ± a , es el valor que resulta de reemplazar la variable del dividendo por el valor opuesto al término independiente del divisor. a) Dados: P ( x ) = 2 x 3 + 5 x 2 − x − 5 y

b) Dados: P ( x ) = x 2 − 2 x − 3 y Q ( x ) = x − 3

Q ( x) = x + 2

El resto de la división P ( x ) : Q ( x ) , es:

El resto de la división P ( x ) : Q ( x ) , se

P ( 3) = 32 − 2 ⋅ 3 − 3

obtiene: 3 2 P ( −2 ) = 2 ( −2 ) + 5 ( −2 ) − ( −2 ) − 5

P ( 3) = 9 − 6 − 3 = 0

P ( −2 ) = −16 + 20 + 2 − 5 = 1 El resto de la división es 1

Si el resto es 0 (cero): P ( x ) es divisible por Q ( x )