Instituto San Marcos MATEMÁTICA 3° Año Soluciones Practico N° 6.1 Sistemas de Ecuaciones Docente responsable: Fernando Aso

1) Resolver gráficamente cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones. ⎧ x + y = −1 a) ⎨ ⎩− 2 x + y = 5

⎧x + y = 0 b) ⎨ ⎩− 3 x − y = 2

y = −1 − x

y = −x

y = 5 + 2x

y = −2 − 3 x

Sol

x = −2

Sol

⎧x − y = 5 c) ⎨ ⎩3x + 2 y = 5 y = −5 + x 5 3 y= − x 2 2

x = −1

Sol

y =1 y =1 2) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de sustitución. ⎧− 2 x + y = −7 a) ⎨ ⎩3x − 2 y = 9 −2 x + y = −7 y = −7 + 2 x 3x − 2 y = 9 3x − 2 ( −7 + 2 x ) = 9 3x + 14 − 4 x = 9 − x = 9 − 14 x=5 y = −7 + 2 ⋅ 5 y=3

−x + 2 y = 5 −x = 5 − 2 y x = −5 + 2 y 2 x − 3 y = −6 2 ( −5 + 2 y ) − 3 y = −6 −10 + 4 y − 3 y = −6 y = −6 + 10 y=4 x = −5 + 2 ⋅ 4 x=3

⎧− 3x − 5 y = 26 b) ⎨ ⎩5 x + 2 y = −18

2x − 3y = 4

−3 x − 5 y = 26

2x = 4 + 3y

−5 y = 26 + 3 x

4 + 3y 2 −3 x + 2 y = −1 −3x = −1 − 2 y

26 + 3 x −5 5 x + 2 y = −18

x=

x=

−1 − 2 y −3

y=7

⎧− x + 2 y = 5 b) ⎨ ⎩2 x − 3 y = −6

3) Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones por el método de igualación.

⎧2 x − 3 y = 4 a) ⎨ ⎩− 3x + 2 y = −1

x = −3

y=

2 y = −18 − 5 x −18 − 5 x y= 2

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4 + 3 y −1 − 2 y = −3 2 −3 ( 4 + 3 y ) = 2 ( −1 − 2 y )

26 + 3 x −18 − 5 x = 2 −5 2 ( 26 + 3x ) = −5 ( −18 − 5 x )

−12 − 9 y = −2 − 4 y −9 y + 4 y = −2 + 12 −5 y = 10

52 + 6 x = 90 + 25 x 6 x − 25 x = 90 − 52 −19 x = 38

y = 10 : ( −5 )

x = 38 : ( −19 )

y = −2 4 + 3y x= 2 4 + 3 ⋅ ( −2 ) x= 2 4−6 x= 2 −2 x= 2 x = −1

x = −2 26 + 3 x −5 26 + 3 ⋅ ( −2 ) y= −5 26 − 6 y= −5 20 y= −5 y = −4 y=

4) Resolver el siguiente sistema por el método gráfico y por algún método analítico.

⎧x + 2 y = 9 ⎨ ⎩− 3 x + y = 8 9− x 9 x ⇒y= − 2 2 2 y = 8 + 3x y=

Sol

x = −1 y=5

Ya que tenemos despejada “y” de ambas ecuaciones utilizaremos el método de sustitución para resolver el sistema por un método analítico.

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9− x 9 x ⇒y= − 2 2 2 y = 8 + 3x 9− x = 8 + 3x 2 9 − x = 2 (8 + 3x ) y=

9 − x = 16 + 6 x − x − 6 x = 16 − 9 −7 x = 7 x = 7 : ( −7 ) x = −1 y = 8 + 3x y = 8 + 3 ⋅ ( −1) y = 8−3 y =5 5) Inventar un sistema de ecuaciones que tenga por solución x = 2 e y = 3 . Verificarlo resolviendo el sistema encontrado por alguno de los métodos de resolución vistos. 2 ⋅ ( 2 ) − 4 ⋅ ( 3) = −8

−3 ⋅ ( 2 ) + 3 ⋅ ( 3) = 3 ⎧2 x − 4 y = −8 ⎨ ⎩ −3 x + 3 y = 3 2 x − 4 y = −8 2 x = −8 + 4 y −8 + 4 y x= 2 ⎛ −8 + 4 y ⎞ −3 ⎜ ⎟ + 3y = 3 ⎝ 2 ⎠ 24 12 − y + 3y = 3 2 2 12 − 6 y + 3 y = 3 −3 y = 3 − 12 y = −9 : ( −3) y =3 −8 + 4 y x= 2 −8 + 4 ⋅ 3 x= 2 −8 + 12 x= 2 4 x= 2 x=2 6) Resolver los siguientes problemas planteando previamente el sistema. a) La suma de dos número es 13 y su diferencia, 5 ¿Cuáles son los números?

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⎧ x + y = 13 ⎨ ⎩x − y = 5 x = 13 − y x = 5+ y 13 − y = 5 + y 13 − 5 = y + y 8 = 2y 8:2 = y 4= y x = 13 − 4 x=9 b) El triple de un número es igual a la cuarta parte de otro y la suma de ambos es 13 ¿De que número se trata? y ⎧ ⎪3x = 4 ⎨ ⎪⎩ x + y = 13 y 4 4 ⋅ 3x = y 12 x = y 3x =

x + y = 13 x + 12 x = 13 13 x = 13 x = 13 :13 x =1 y = 12 x y = 12 ⋅1 y = 12

c) El perímetro de un rectángulo es 140 cm y la base es 20 cm más larga que la altura. ¿Cuál es la superficie del rectángulo?

y x ⎧2 x + 2 y = 140 ⎨ ⎩ y = 20 + x 2 x + 2 y = 140 2 x + 2 ( 20 + x ) = 140 2 x + 40 + 2 x = 140 4 x = 140 − 40 4 x = 100 x = 100 : 4 x = 25 y = 20 + x y = 20 + 25 y = 45

Area = x ⋅ y A = 25 ⋅ 45 A = 1125

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d) En un corral hay gallinas y chanchos. Si se cuentan 30 cabezas y 94 patas, ¿Cuántas gallinas y chanchos hay en el corral? g = Número de gallinas c = Número de chanchos

g + c = 30 2 g + 4c = 94 g = 30 − c 2 ( 30 − c ) + 4c = 94 60 − 2c + 4c = 94 2c = 94 − 60 2c = 34 c = 34 : 2 c = 17 g = 30 − 17 g = 13