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PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS PERFILES En el cálculo de las tensiones en secciones dadas tienen suma importancia los momentos estáticos y los momentos de inercia de las mismas respecto a un eje de referencia.
Área de una Superficie n
n
A Ai A dA i 1
Momento Estático o de Primer Orden Momento estático de una superficie respecto de un eje: Si consideramos el peso de cada dA, suponiendo que se trate de una chapa infinitamente delgada será: 0 x y dp dA h1
A dp A dA
dA x
p dA
dA
Espesor = 0
A
y
El conjunto de todos los pesos constituye un sistema de fuerzas paralelas cuya resultante será una fuerza p, que será el peso de toda la chapa, que en función de su peso específico será: A
A dA
0
x yG
Por Varignon:
G
A xG dA x xG A A
xG
A x dA : Sy y
Análogamente: yG A
dA p p
A y dA : Sx
Donde Sy y Sx los denominaremos MOMENTOS ESTÁTICOS de una superficie respecto de un eje. Y lo definimos diciendo que: es LA SUMA DE LOS PRODUCTOS DE CADA ÁREA ELEMENTAL dA POR LA DISTANCIA AL EJE DE REFERENCIA. Sus unidades serán se longitud cúbica: []3 [mm3] · [cm3] El Momento Estático puede ser positivo, negativo o nulo
Sy : xG A x dA Si Sy =0 A
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Donde: A (área) es una magnitud positiva y distinta de cero. Para que sea xG · A = 0; debe cumplir que xG ó yG tratándose de Sx, deben ser cero xG = 0 ó yG = 0. Lo que se deduce que el momento estático de una superficie respecto de un dicho de otra forma:
EJE ES
NULO PARA CUALQUIER EJE QUE PASE POR EL BARICENTRO o
LA ANULACIÓN DEL MOMENTO ESTÁTICO RESPECTO DE UN EJE, ES CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA QUE EL EJE A CONSIDERAR SEA BARICÉNTRICO.
Caso I yG
xG=0 -x x
G
y
Caso II
x Sy = 0
x
0 G
Desde el punto de vista infinitesimal a cada elemento dA de coordenadas (x; y) le corresponde otro punto simétrico de coordenadas (-x; y). Debido a ello Sy = 0.
xG=0 yG=0
y
Baricentro: Si la figura plana, admite un eje de simetría sobre él estará su Baricentro (caso 1) También llamado Centro de gravedad y si admite más de uno, en sus intersecciones se ubica el Baricentro (caso 2). 0
x
S XG y y G dA 0 A
y yG
G xG x
XG
y dA y G dA 0 A A Sx
dA
Sx YG A 0
y YG
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YG A
YG
Sx A
Analogamente X G
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Sy A
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EJEMPLOS DE MOMENTOS ESTÁTICOS:
dx x
Sx y dA y b dy A
h
y dy
y2 b y dy b 0 2 0 h
h
x
Sx
y
A
bh 2 2
b
h/4=y0
Dado un perfil rectangular, para calcular el momento estático de la superficie rayada respecto del eje x, se procede:
G1 h
Sx y 0 A
x
G
h/2
b
h G
h h b 4 2
Sx
bh 2 8 h 2 y Sx y0 A Sx y 2
G1
y0 y
Sx
x
h 2 y b
2
h b h Sx y b by 2 2 2 h2 b h h 2 y y 2 by by 2 4 2 2 2
b Sx
h 2b bhy by 2 hby by 2 8 2 2 2 bh 2 1 2 by 8 2
Se deduce que el momento estático varía de acuerdo a la superficie a tomar y al eje a considerar.
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Momento de Inercia o de Segundo Grado A) Axil B) Centrífugo c) Polar
A) AXIL: (JXX; JYY) El momento de inercia axil de una superficie plana respecto de un eje de la misma, es la suma de los productos es cada A en que se quiere subdividir la superficie, por el cuadrado de su distancia al eje. J xx A1 y12 A2 y 22 ... An y n2 0
x i
yi
n
J xx yi2 Ai i 1
xi
J xx y 2 dA
respecto del eje x
J yy x 2 dA
respecto del eje y
A
Análogamente
y
A
Magnitud esencialmente positiva, pues el área es positiva y distinta de cero, la distancia también positiva pues estará elevada al cuadrado.
B) CENTRÍFUGO (JXY) De una superficie plana respecto de dos ejes x e y, que por sencillez consideramos ortogonales, es la suma de los productos de cada A por su distancia a los ejes.
J xy A1 x1 y1 A2 x 2 y 2 ... An xn y n n
J xy Ai xi yi i 1
J xy xy dA A
Magnitud positiva, negativa o “Nula”. C) POLAR: (JP)
De una superficie plana respecto de un punto “o” del plano, es la suma del producto de cada área A por el cuadrado de la distancia al punto.
J P A112 A2 22 ... An 2n n
J P Ai i2 i 1
J P 2 dA A
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Magnitud Positiva.
RELACIÓN ENTRE LOS MOMENTOS DE INERCIA: JXX; JYY; JP 2
JP
A dA
JP
A x
JP
A x
2
2
como 2 x 2 y 2
y 2 dA
dA y 2dA A
J P J xx J yy
Las unidades de los Momentos de Inercia son longitud a la cuarta: [4]; [cm4] o [mm4]
Ejemplos de análisis para determinar los momentos de Inercia: J xx y 2 dA dx 0
x
y
dy
h x
A h 2 y b 0
h
dy b y 2 dy 0
3 h
y b h3 b 3 3 0 J yy x 2 dA A
h
x 2 h dx h x 2 dx A
b y
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0
b
x3 h b3 h 3 3 0
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J xx
A y
2
h
dx
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2 h 2
dA
y 2b dy b
h
y 2 dy
2 h 2
h
y3 2 b 3 h
dy (-x;-y) (x;-y)
G
h
y
/2
h
3 h h 3 3 2 2 b h h b 3 3 3 2 2
x (-x;y)
h/ 2
(x;y)
x b
2
3
y
J xx
b h3 h3 b h3 3 8 8 3 4 b h3 12
Análogamente: J yy
hb 3 12
En la figura anterior el momento de Inercia centrífugo será nulo, Jxy = 0 J xy x y dA 0 pues a cada elemento de posición (x; y) se le opone otro de A
coordenadas (-x; -y) debido que x e y son ejes de simetría. Como consecuencia podemos decir que será nulo el momento centrífugo si uno de los ejes de referencia es eje de simetría de la sección, lo que implica que TODO EJE DE SIMETRÍA ES EJE PRINCIPAL DE INERCIA, siendo el otro perpendicular a él. Generalmente en los perfiles utilizados en la flexión, presentan un eje de simetría y los momentos de inercia están referidos a él y a otro perpendicular, con origen en el baricentro del perfil.
Caso I
Caso II x
G G
y
J xx1
x Si hacemos b=1cm y h=10cm 3
bh 1 1000 3 3
J xx1 333,33cm 4 MAYOR
Si hacemos b=10cm y h=1cm
y
J xx2
bh 3 10 1 3 3
J xx2 3,33cm 4 MENOR
Por lo tanto el Jxx1 será máximo y el Jxx2 será mínimo.
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Máximo
Mínimo
EL MOMENTO DE INERCIA DE UNA SECCIÓN DE UNA BARRA RESPECTO DE UN EJE ES UNA PROPIEDAD MECÁNICA DE ESOS ELEMENTOS, DONDE DEMUESTRA LA CAPACIDAD DE RESISTENCIA A LA DEFORMACIÓN O A LA POSIBLE ROTURA, QUE TIENEN ESAS PIEZAS RESPECTO DE UN EJE. Elemento indispensable para el dimensionamiento de perfiles, barras o vigas, de distintos materiales, para darle a estas la fortaleza necesaria para que ello no ocurra.
CÍRCULO LLENO d
o x
2
P
A
0
dA
r 2
r
2 d 2 3 d 0
r
4 r4 2 2 4 4 0 r
r
JP y
Momento de 4 r d 4 o JP 2 32
Inercia
Polar:
RADIO DE GIRO Es otra propiedad mecánica de los perfiles, donde se lo define como una distancia ix, tal que si el área de una sección estuviera concentrada en su centro de gravedad, obtendríamos el mismo valor del momento de inercia que hallamos por definición. Toda la superficie concentrada en el punto A que produce el mismo momento de inercia. El radio de giro o también llamado Radio de Inercia es de mucha utilidad en Ingeniería, para el dimensionamiento estructural de secciones compuestas.
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J xx y 2 dA
x
A
J xx i x 2 A
ix
iy G
ix
J xx A
iy
J yy A
dA y
Radio de Giro Máximo y Mínimo x e y ejes principales de Inercia J xx
bh 3 maximo 12
J yy
hb 3 minimo 12
ix
J xx bh 3 1 h 0,288h maximo A 12bh 12
dy h/2 G
y x
h/2 b
iy
y
J yy A
b3h 1 b 0,288b minimo 12bh 12
MÓDULO RESISTENTE Se denomina así al cociente entre el momento de inercia respectivo y la distancia h/2 de la fibra más alejada del perfil al eje de momentos, se lo representa como W x; Wy. Los valores Wx para los diferentes perfiles , está tabulados a los valores de su dimensionamiento.
Wx
J xx bh 2 cm3 h 6 2
ídem
Wy
J yy hb 2 b 6 2
MOMENTO RESISTENTE Es el producto del Módulo Resistente por la tensión de trabajo o tensión admisible.
M W x adm adm
M M h W x J xx 2
Las tensiones admisibles se pueden determinar en función de las tensiones elásticas o de rotura dividida por un coeficiente de seguridad que dependerá de las condiciones de trabajo de la pieza.
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TRASLACIÓN DE EJES Veremos la variación del momento de Inercia cuando los ejes de referencia, se desplazan en forma paralela, conociendo uno de ellos. Disponemos del momento de Inercia respecto del eje x (Jxx) y podemos determinarlo respecto de otro eje x’ (Jx’x’) Conociendo: J xx y 2 dA A
x Dy
J x ' x ' y Dy dA 2
x'
A
y
Dx
Desarrollando el cuadrado:
J x ' x ' y 2 dA 2 yDy dA Dy 2 dA
x
y
A
A
A
J x ' x ' J xx 2 Dy Dy dA Dy 2 dA
y'
A
J x ' x ' J xx 2 DySx ADy
A
2
de igual forma J y ' y ' J yy 2 DxSy ADx 2 Si el Jxx es baricentro obtenemos: x Dy G
xG
Dx
J x ' x ' J xG xG ADy 2
Pues el momento estático Sx de la sección respecto de un eje baricéntrico es nulo. Llegamos así a la denominada: FÓRMULA DE STEINER. Estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Steiner:
x
yG
y
TEOREM A DE STEINER El momento de Inercia respecto de un eje cualquiera es igual al momento de Inercia respecto de un eje paralelo al anterior y baricéntrico, más el producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes.
J x' x' J xG xG ADy 2 J y ' y ' J yG yG ADx 2 J x' y ' J xG yG ADxDy
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Sabiendo que: dx y
x
dy h
G
xG
x
y
h/
b/
=Dx
2
J xx
/2=Dy
J yy
hb 3 3
J xy
h 2b 2 4
2
b/
yG 2
J x 'x ' J xG xG ADy
bh 3 3
Trasladamos a los ejes baricéntricos utilizando Steiner: 2
Despejando:
J xG xG J xx ADy 2 J xG xG
bh 3 h b h 3 2
2
bh 3 bh 3 3 4 3 Lo que habíamos demotrado bh 12
anteriormente en forma directa
Ídem: J yG yG J yy ADx 2 2
J yG yG
hb3 hb3 hb3 b bh 3 3 4 2 h b3 12
Centrífugo:
J xG yG J xy ADx Dy J xG yG
h 2b 2 hb b h 4 22 h 2b 2 h 2 b 2 0 4 4
No es casualidad que el momento de Inercia centrífugo respecto de los ejes baricéntricos sea nulo, como hemos visto para el rectángulo o figuras simétricas los ejes xG e yG son ejes principales de Inercia J xG yG 0 ; para los cuales los momentos de Inercia
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axiales son máximos y mínimos. Además debemos tener en cuenta que no siempre todo eje de simetría es eje principal de inercia, hay secciones que no. Todas las formulas de distribución de tensiones en los materiales están desarrolladas para solicitaciones que coincidan con ejes principales de Inercia baricéntricos.
SECCIÓN TRIANGULAR b1
h
2/3
dA g
h
dy g
G
x
h
x
y (variable) 1/3
h
0
b J xx y 2 dA A
h
J xx y 2 b1 dy
como :
0
h b J xx y 2 h y dy 0 h h by J xx b y 2 dy 0 h h b h J xx b y 2 dy y 3 dy 0 h 0 b b 4 h J xx y 3 h0 y 0 3 4h b b 4 J xx h 3 h 3 4h bh 3 bh 3 J xx 3 4
b1 b b b1 h y h h y h
J xx
bh 3 Momento de Inercia de un 12 Triángulo respecto de la Base
Aplicando “Steiner” Para determinar el Jgg
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2
J gg
bh 3 bh 1 bh 3 bh 3 1 1 h bh 3 12 2 3 12 18 12 18
J gg
bh 3 36
Sección triangular b1
2/3
dA
h
y (variable)
g
G 1/3
x
h
dy g
h
x b
J gg b1 dy y 2 como :
b1
h hy 3 2 b h y 3 b1 h 2 b b1 b y 3 h Siendo
b h
b 2 b 2 J gg b1 y 2 dy b y y 2 dy by 2 dy y 3 dy h 3 h 3 Momento de Inercia de la sección dA respecto al eje Barocéntrico g -g
Para determinar el momento de inercia total del triángulo respecto al mismo eje g-g será:
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3h 13 h
J gg
2 b 2 2h b 2h b y 2 dy y 3 dy b 31 y 2 dy 31 y 3 dy 3 h 3 3h h 3h 2
J gg
J gg
J gg
J gg
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h
2 y 3 b 3 31
3h
b y4 h 4
2
3h
13 h
2 3 h 3 2 4 h 4 h h 2 3 3 b 3 3 b 3 3 3 h 4 4
8 3 h3 16 4 h 4 h b h 2 b 27 27 81 81 3 3 3 h 4 4 9 3 15 h b h4 2 27 2bh 3 15bh 3 243bh 3 b 81 3 3 4h 27 324 8748
J gg
bh 3 36
Aplicando “Steiner” para determinar Jxx 2
bh 3 bh h bh 3 36 2 3 12
J xx
J xx
bh 3 12
Sección Circular llena Jo, Momento de inercia respecto de un eje perpendicular a la superficie circular que pasa por su centro.
y
R
r x
x
O dr
D y
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R
J 0 r 2 2r dr 0
R
J 0 2 r 3 dr 2 0
J0
R4 4
4 R 2
En función del Diámetro 4
Reemplazando R
D D 4 J0 D 2 2 2 32
Como: J 0 J xx J yy Por simetría, tenemos:
J 0 2 J xx 2 J yy J xx J yy
J0 1 4 4 R D 2 4 64
Momento de Inercia respecto a dos diámetros perpendiculares xx e yy.
Sección Circular Hueca y
Como J 0
El circular hueco será:
r x
x
J0
R
4 R es para el círculo lleno. 2
4 R r4 D4 d 4 2 32
Momento de Inercia Respecto al eje central perpendicular al plano. d
Como:
D y
J yy J xx
1 R4 r 4 D4 d 4 4 64
Los momento de Inercia de las secciones Normalizadas ha sido calculado por métodos exactos y catálogos que se encuentran tabulados.
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Secciones Combinadas Si los cantos Redondeados están precisados, el momento de Inercia puede ser calculado por descomposición.
40 cm
10cm 10cm 10cm ch1
ch1
ch2
ch3
ch2 x
x
10 cm
x
40 cm x
40 cm 10 cm
ch2
10 cm
40 cm
J xx
30cm· 40cm3 12
J xx 160.000cm 4
J xx
40cm· 60cm 3 2 15cm· 40cm 3 12 12
J xx 560cm 4
Tres chapas de 10 cm x 40 cm colocadas de diferente forma. Importancia de las secciones Doble T, en que se obtendrán momentos de Inercia mayores con el mismo material.
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Momento de Inercia Centrífugo PRODUCTO DE INERCIA y
x
dJ xyy d A x· y
dA
J xy x· y dA A
A y x
y b 2
dA b · dy hb J xy y dA 02 hb J xy yb dy 02
dx dy
h
y h 2 x
0
x
J xy
b2 2
h
0
y dy J xy
b2h2 4
b
y
h
dA h dx bh J xy x dA 02 bh J xy x h dx 02
yg
b 2
J xy
G
b
0
x dx J xy
b2h2 4
El Teorema de Steiner aplicado a los momentos de Inercia Centrífugos:
xg h 2 x
b
h2 2
J xy J xg y g A Dy Dx J xy J xg y g bh
hb 22
h 2b 2 b2h2 J xg y g 4 4 J xg y g 0
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Momento de Inercia “Centrífugo” de un triángulo RESPECTO DE LOS EJES X E Y y
yg
b1
h-y
h
dy b1 2
y
xg Dx= h 3
b
x
Dy= b 3 h b b1 1 h dA y 1 b1 dy b12 y dy 0 2 2 2 0 b b b como : 1 b1 h y h h y h
J xy dJ xy y A
A
2
J xy
1 h b 1 hb 2 2 h y y dy h 2hy y 2 y dy 2 0 0 2 h 2 h
J xy
h h b2 h 2 2 h y dy 2 h y 2 dy y 3 dy 0 0 0 2h
J xy
b 2 2 h 2 h 3 h 4 b 2 h 4 1 2 1 2 h 2h 2 3 4 2h 2 2 3 4 2h
J xy
b2h2 2
1 12
J xy
b2 h2 24
RESPECTO DE LOS EJES BARICÉNTRICOS: J xy J xg y g A Dx Dy
Por Steiner:
b2h2 bh h b J xg yg 24 2 33 J xg y g
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b2h2 b2h2 24 18
J xg yg
b2h2 78
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Es negativo porque las áreas respecto del eje Baricéntrico, su definición es negativa. yg
-
+
+
xg
-
y
y1
A
dA
x
x1
x1
a y1
y
b
sentido de rotación
e c x
d
Si ab ac bc
x1 oe eb
;
ac ad bc sen od cos
; ;
oe od eb sen ad cos
ab ad cos od sen y1 y cos x sen x1 od cos ad sen x1 x cos y sen
Si J xx y 2 dA A
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;
J yy x 2 dA A
;
J xy x y dA A
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dJ x1x1 dA y12 J x1x1 y12 dA y cos x sen 2 dA A
A
2
2
J x1x1 y cos dA 2 xy cos sen dA x 2 sen 2 dA A
A
A
2
2
1
J x1x1 J xx cos 2 J xy cos sen J yy sen
dJ y1 y1 dA x12 J y1 y1 ) x12 dA y sen x cos 2 dA A
A
J y1 y1 y 2 sen 2 dA 2 xy sen cos dA x 2 cos 2 dA A
A
A
J y1 y1 J xx sen 2 2 J xy sen cos J yy cos 2
2
J y1x1 y1 x1 dA y cos x sen · y sen x cos dA A
A
J y1x1 y 2 cos sen dA yx cos 2 dA xy sen 2 dA x 2 sen cos dA A
A 2
A
A
2
J y1x1 J xx sen cos J xy cos J xy sen J yy sen cos
J y1x1 J xx J yy sen cos J xy cos 2 sen 2
3
MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A UN EJE ROTADO Si aplicamos a las ecuaciones (1); (2) y (3) las siguientes relaciones trigonométricas:
1 1 cos 2 2 1 sen 2 1 cos 2 2 sen 2 2 sen cos cos 2
cos 2 cos 2 sen 2
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sen 2 2 1 cos 2 sen 2 2 1 cos 2 cos 2 2 sen cos
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De (1) 1 cos 2 sen 2 1 cos 2 J x1x1 J xx 2 J xy J yy 2 2 2
J xx J yy J xx J yy cos 2 J xy sen 2 J x1x1 2 2 Análogamente : J xx J yy J xx J yy cos 2 J xy sen 2 J y1 y1 2 2 J xx J yy sen 2 J xy cos 2 J x1 y1 2
1 2 3
Expresiones que nos dan el valor de los momentos de Inercia de los ejes girados en relación con los ejes originales. Existen valores del ángulo para los cuales los momentos de inercia son MÁXIMOS Y MÍNIMOS. Esto se deduce anulando la derivada primera de la ecuación (1). Verificando que J x1x1 J y1 y1 J xx J yy 0 (Polar) dJ x1x1
J xx J yy
2 sen 2 2 J xy cos 2 0 d 2 J yy J xx sen 2 2 J xy cos 2
J yy J xx sen 2 J yy
2 J xy cos 2 J xx tg 2 2 J xy
tg 2
2 J xy J yy J xx
tg 2
2 J xy J xx J yy
Expresión que nos dará el valor del ángulo , para que los momentos de Inercia Axiles sean máximo o mínimo. Sabemos que existe eje principal de Inercia cuando el momento centrífugo equivale a cero J xy xy dA 0
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J xx J yy 2 J xy 2
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sen 2 2Jxy
cos 2
2 Jxx-Jyy
2 J xy
J xx J yy 2 2 J xy 2 J xx J yy
J xx J yy 2 2 J xy 2
Recordando la ecuación (3) y reemplazando:
J x1 y1 J x1 y1
J xx J yy J xx
2 J yy 2
sen 2 J xy cos 2 2 J xy
J xx J yy 2 2 J xy 2
J xx J yy
J xy
J xx J yy 2 2 J xy 2
0
Cuando x1 e y1 son ejes principales de Inercia, el momento centrífugo es nulo: Entonces: J x1 y1 0 Resulta: J x1x1 J máx . J y1 y1 J mín .
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J xx J yy 2 J xx J yy 2
1 2 1 2
J xx J yy 2 4 J xy2 J xx J yy 2 4 J xy2
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INERCIA r 18cm; UPN 18b 7cm; A 28cm;
e 11mm J xx J yy 114cm 4 J yy J hh 1550cm 4
CÁLCULO DE LA POSICIÓN DEL BARICENTRO DEL CONJUNTO S x A1d 3 A2 d1 28cm2 21,92cm 33,5cm 2 10cm 948,76cm3 S y A1d 4 A2d 2 28cm2 13,5cm 33,5cm 2 4,5cm 528,75cm3
YE
Sx 15,42cm A1 A2
X Er
Sy A1 A2
8,59cm
CÁLCULO DE LOS MOMENTOS DE INERCIA RESPECTO DEL BARICENTRO DEL CONJUNTO J Hh I HH 2 A2 D2 J HH1 A1 D3 2140cm 4 33,5cm2 5,42cm 117cm 4 28cm 2 6,5 2
2
2
2
J HH 4424,11cm 4 2
2
2
2
JVV I vv 2 A2 D1 J vv1 A1 D4 117cm 4 33,5cm 4,02 1350cm 28cm4,91 JVV 2702,42cm 4
J HV J HV2 A2 D2 D1 J HV1 A1 D3 D4 33,5cm4 6,2cm 4cm 28cm2 5,725
centrifugo
0
0
J HV 1636,24cm4
Nota: JHV2 y J HV1 son cero por ser momentos de inercia centrífugos respecto a los ejes principales de inercia.
CÁLCULO DE JMÁX. Y JMÍN. 2
J max
J HH JVV J JVV 2 HH J HV 2 2
J min
J HH JVV J JVV 2 HH J HV 2 2
2
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2
J max
4421,42 2702,42 4421,42 2707,42 2 1636,24 2 2
J max 5409,94cm4 2
J min
4421,42 2702,42 4421,42 2707,42 2 1636,24 2 2
J max 1713,59cm 4
tg 2
2 J HV 2 1636,24cm 4 1,904 J HH JVV 4421,11cm4 2702,42cm4
2 arctg 1,904 62,291 31,1458 0º 32"
Es respecto al momento de inercia máximo
Vemos que al variar el ángulo de giro de los ejes (ver esquema) cada una de las magnitudes JHH y JVV varía mientras que su suma permanece constante. Es decir que existe un ángulo (el hallado) tal que uno de los momentos de inercia alcanza su máximo valor mientras que el otro alcanza su mínimo valor. Al mismo tiempo el producto de inercia JHV (centrífugo) correspondiente a ese ángulo será cero. Los ejes respecto a los cuales el JHV = 0 y JHH; JVV son máximos y mínimos se los denomina ejes principales de inercia. Los momentos axiales de inercia respecto a los ejes principales se denominan momentos principales de inercia.
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GUÍA DE TRABAJO PRÁCTICO Nº 6 Inercia Hallar los ejes principales de inercia baricéntricos, gráfica y analíticamente del siguiente esquema de perfiles conformados.
Como vemos en la figura tomamos un sistema de ejes cualesquiera x e y y referimos todos nuestros cálculos a dichos ejes (momentos estáticos y coordenadas del baricentro del conjunto).
DATOS DE LOS PERFILES h 20cm; e 11,3mm IPN 20b 9cm; J xx J HH 2140cm 4 2 4 A2 33,5cm ; J yy J VV 117cm Reemplazamos en 7
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J J xx J J yy J x ' x ' yy J x2' y ' xx 2 2
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2
J xy2 k 2
Salvo los dignos
tg 2
2 J xy J xx J yy
Nota: veamos como varían los valores de las tensiones principales en función del ángulo. Analizando la fórmula 5 vemos que si aumenta, Jxx’ disminuye, por lo tanto podemos determinar que será positivo en el sentido antihorario. J 11
J 22
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J xx J yy 2 J xx J yy
J xx J xy 2
2
J xy2 A k 2
J xx J xy J xy2 A k 2 2 J 11 J 22 J xx J yy
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ROTACIÓN DE LOS EJES DE REFERENCIA Veremos la variación de los Momentos de Inercia cuando los ejes rotan un ángulo respecto de los originales.
La posición de d A referida al sistema móvil x’; y’ está dada: x x cos y sen y y cos x sen a) JP = Jxx +Jyy al girar los ejes la suma es independiente de la dirección de los ejes y solo cambia con la posición de “o”. b) J x ' x ' y 2 dA y cos x sen 2 dA A
A
desarrollando queda:
J x ' x ' y 2 cos 2 dA 2 y cos x sen dA x 2 sen 2 A
a
2
A
2
cos y dA 2 cos sen yx dA sen 2 x 2 dA J x ' x ' J xx cos 2 J xy cos sen J yy sen 2
Reemplazando trigonométricamente: sen 2 2 1 cos 2 sen 2 2 1 cos 2 cos 2 2
sen cos
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1 cos 2 sen 2 1 cos 2 J x ' x J xx 2 J xy J yy 2 2 2 Aplicando distributiva. J xx J xx cos 2 2 J xy sen 2 J yy J yy cos 2 2 2 2 2 2 J xy J xy J xx J yy cos 2 j xy sen 2 2 2
J x'x' J x'x'
1
Análogamente: J y'y' J x' y '
J yy J xx J xx
2 J yy 2
J xy J yy 2
2
cos 2 J xy sen 2
3
sen 2 J xy cos 2
estas ecuaciones nos dan los momentos de Inercia con respecto a los ejes girados en relación a los momentos de Inercia con respecto a los ejes originales. Pueden existir valores de que originen valores máximos o mínimos en el valor de Jxx, para averiguarlo resulta anular la derivada de la ecuación (1). dJ x ' x ' J xx J yy sen 2 2 2 J xy cos 2 0 d 2 J yy J xx sen 2 2 J xy cos 2 0
J J sen 2 2 J J J sen 2 2 J cos 2 J J tg 2 2 J yy
xx
xy
yy
xx
xy
yy
xx
tg 2
cos 2
xy
2 J xy J yy J xx
4
Expresión que nos da el ángulo para el cual los momentos de Inercia Axiles son máximos o mínimos; hay dos posibilidades que difieren 90º o sea que Jmax y J min son perpendiculares entre sí. Si hacemos la derivada de Jx’y’ respecto de e igualamos a cero se llega a la misma fórmula (4).
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J x' y ' J x' y ' J x' y ' J x' y '
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J xx J yy
sen 2 J xy cos 2 2 J xx J yy sen 2 J xy cos 2 2 cos 2 J xx J yy 2 J xy cos 2 J xy J J 2 yy xx J xy J xy cos 2
J x' y ' 0 Esto significa que para el valor del ángulo donde Jx’x’ y Jy’y’ son máximos o mínimos obtendremos un valor de Jx’y’ = 0. Por lo tanto podemos definir como EJES PRINCIPALES DE INERCIA a aquellos en donde el momento centrífugo se anula y los momentos de inercia axiles son máximos.
CÍRCULO DE MOHR Es un método gráfico, el cual nos determina los momentos de inercia principales y la ubicación de sus respectivos ejes. Partiendo de las formulas de Jx’x’ y Jy’y’ dadas las ecuaciones (1) y (2) vemos: Realizando el siguiente cambio de variables: J x'x ' x
J x'y' y
J yy J xx J xx
2 J xy
A'
B 2 J xy C
Reemplazamos los valores en (1) y (3) X = A + B cos 2 - C sen 2 Y = B sen 2 + C cos 2
(5) (6)
Realizando un pasaje de términos y elevando ambos miembros al cuadrado en la ecuación (5) resulta:
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x A2 B cos 2 C sen 2 2 2 y 2 B sen 2 C cos 2
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S .m.am.
x A2 y 2 B 2 cos 2 2 C 2 sen 2 2 2BC cos 2 sen 2 B 2 sen 2 2 C 2 cos 2 2 2 BC sen 2 cos 2
x A2 y 2 B 2 cos 2 2 b 2 sen 2 2 C 2 sen 2 2 C 2 cos 2 2 x A2 y 2 B 2 cos 2 2 sen 2 2 C 2 sen 2 2 cos 2 2 1
1
x A 2 y 2 B 2 C 2 k
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TRASLACIÓN DE EJES Veremos la variación del momento de Inercia cuando los ejes de referencia, se desplazan en forma paralela, conociendo uno de ellos. Disponemos del momento de Inercia respecto del eje x (Jxx) y podemos determinarlo respecto de otro eje x’ (Jx’x’) x Dy
Conociendo: J xx y 2 dA A
x' y
Dx
J x ' x ' y Dy dA 2
A
x
y
Desarrollando el cuadrado:
y'
J x ' x ' y 2 dA 2 yDy dA Dy 2 dA A
A
A
J x ' x ' J xx 2 Dy Dy dA Dy 2 dA A
A
J x ' x ' J xx 2 DySx ADy
2
de igual forma J y ' y ' J yy 2 DxSy ADx 2 Si el Jxx es baricentro obtenemos: x
J x ' x ' J xG xG ADy 2
Dy G
xG
Dx x
yG
y
Pues el momento estático Sx de la sección respecto de un eje baricéntrico es nulo: llegamos así a la denominada: FÓRMULA DE STEINER. Estamos en condiciones de enunciar el Teorema de Steiner:
TEOREM A DE STEINER El momento de Inercia respecto de un eje cualquiera es igual al momento de Inercia respecto de un eje paralelo al anterior y baricéntrico, más el producto del área de la sección por el cuadrado de la distancia que separa ambos ejes.
J x' x' J xG xG ADy 2 J y ' y ' J yG yG ADx 2 J x' y ' J xG yG ADxDy
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Ejemplos de análisis para determinar los momentos de Inercia: J xx y 2 dA
dx 0
x
y
dy
A h 2 y b 0
h
dy b y 2 dy 0
3 h
y b h3 b 3 3 0
h x
J yy x 2 dA A
h
x 2 h dx h x 2 dx
b
A
y
0
b
x3 h b3 h 3 3 0
J xx y 2 dA A h
2 h 2
dx dy
y 2 b dy b
h
2 h 2
y 2 dy
h
(-x;-y) (x;-y)
G
h/
y
2
y3 2 b 3 h
h x
h/ (-x;y)
(x;y)
x b
y
2
2
3
3 h 3 3 h b h h 2 2 b 3 3 3 2 2 b h3 h3 b h3 3 8 8 3 4
J xx
b h3 12
Análogamente: J yy
hb 3 12
En la figura anterior el momento de Inercia centrífugo será nulo, Jxy = 0 J xy x y dA 0 pues a cada elemento de posición (x; y) se le opone otro de A
coordenadas (-x; -y) debido que x e y son ejes de simetría. Como consecuencia podemos decir que será nulo el momento centrífugo si uno de los ejes de referencia es eje de simetría de la sección, lo que implica que TODO EJE DE SIMETRÍA ES EJE PRINCIPAL DE INERCIA, siendo el otro perpendicular a él. 15/03/13
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Generalmente en los perfiles utilizados en la flexión, presentan un eje de simetría y los momentos de inercia están referidos a él y a otro perpendicular, con origen en el baricentro del perfil. Sabiendo que: dx y
x
dy
J xx
bh 3 3
J yy
hb 3 3
J xy
h 2b 2 4
h
/2=Dy
G
xG
x
y
h
/2
b/
=Dx
2
Trasladamos a los ejes baricéntricos utilizando Steiner: J x ' x' J xG xG ADy 2
b/
yG 2
Despejando:
J xG xG J xx ADy 2 bh 3 h b h 3 2 J xG xG
2
bh 3 bh 3 3 4 3 Lo que habíamos demotrado bh 12
anteriormente en forma directa
Ídem: J yG yG J yy ADx 2 hb 3 b bh 3 2 J yG yG
2
h b3 12
Centrífugo: J xG yG J xy ADx Dy J xG yG
h 2b 2 hb b h 4 22 h 2b 2 h 2 b 2 0 4 4
No es casualidad que el momento de Inercia centrífugo respecto de los ejes baricéntricos sea nulo, como hemos visto para el rectángulo o figuras simétricas los ejes xG e 15/03/13
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yG son ejes principales de Inercia J xG yG 0 ; para los cuales los momentos de Inercia axiales son máximos y mínimos. Además debemos tener en cuenta que no siempre todo eje de simetría es eje principal de inercia, hay secciones que no. Todas las formulas de distribución de tensiones en los materiales están desarrolladas para solicitaciones que coincidan con ejes principales de Inercia baricéntricos.
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