Fisica II Inducción Magnética 8.1 Inductancia Mutua 8.2 Autoinducción 8.3 Ejemplos de autoinducción 8.4 Corrientes inducidas

8.5 Circuitos RL 8.6 Energía del campo magnético

8.7 Circuito LC. Oscilaciones libres 8.8 Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas BIBLIOGRAFÍA - Sears, Semansky, Young, Freedman. "Física Universitaria". Cap. 31 “Inductancia”. Prentice Hall - Serway. "Física". Cap. 32. McGraw-Hill. - Tipler. "Física". Cap. 26. Inducción Magnética. 3era Edicion. Edit. Reverté

Tema VIII

Cuando el flujo magnético a través de un circuito varía con el tiempo debido a corrientes variables en el tiempo en circuitos cercanos, se produce una fem a través de un proceso conocido como INDUCTANCIA MUTUA. Se llama así porque depende de la interacción de dos circuitos. Bobina 2 Bobina 1

Vista transversal de dos bobinas adyacentes. Una corriente en la bobina 1 establece un flujo magnético, parte del cual pasa por la bobina 2.





N2



 

N1 I1

 

I2

Bobina 2

Φ12 flujo magnético causado por la corriente en la bobina 1 y que pasa a través de la bobina 2.

Bobina 1





Φ12=K.i1

N2.Φ12=M12.i1

N 212 M 12  I1

N2



 

N1 I1

 

I2

Si la corriente I1 varía con el tiempo, a partir de la ley de Faraday se ve que, la fem inducida por la bobina 1 en la bobina 2 es:

d 2 d  M 12 I1    2  N2   N 2  dt dt  N 2  dI1  2   M 12 dt

Similarmente: Donde M12 = M21

dI 2 1   M 21 dt

Autoinducción En un circuito existe una corriente que produce un campo magnético ligado al propio circuito y que varía cuando lo hace la intensidad. Por tanto, cualquier circuito en el que exista una corriente variable producirá una fem inducida que denominaremos fuerza electromotriz autoinducida.

Supongamos un solenoide de N espiras, de longitud d y de sección A recorrido por una corriente de intensidad i.

La variación del flujo magnético es producida por la variación de la corriente en el circuito. Esto lo podemos expresar como:

d dI  dt dt Haciendo una igualdad y agregando una constante que la llamaremos L queda:

d dI L dt dt Aplicando la ley de Faraday para N espiras

d dt d dI N L dt dt   N

dI   L dt

Integrando

N  LI N L I Donde: N representa el número de espiras que tenga el circuito. Representa el flujo magnético a través del circuito.



I representa la corriente que circula en el circuito

La constante de proporcionalidad L es conocida con el nombre de inductancia, y representa físicamente la oposición que presenta el circuito a la variación de la corriente, es una propiedad similar a la inercia en los sistemas mecánicos, esto es, de oponerse al cambio en la cantidad de movimiento. De la misma forma en que la resistencia R de un material es una propiedad del tipo de material y de su geometría, así como la capacitancia C de un circuito depende de la geometría , la inductancia L depende de la geometría del dispositivo del circuito

Ejemplo: Un toroide tiene un radio mayor R y un radio menor r y se enrolla con N vueltas de alambre muy próximas entre si. Si R >>r, el campo magnético dentro de la región del toroide de área de sección transversal A =πr2 es esencialmente el de un solenoide largo que se ha doblado como un gran círculo de radio R. Demuestre que la inductancia de dicho toroide es aproximadamente:

0 N 2 A L 2R

N B  0 I 2R NA  B  BA  0 I 2R

 B 0 N 2 A LN  I 2R

El campo magnético en el interior de un solenoide muy largo (ideal) es:

B   0 nI

N n l N n 2R El flujo magnético en el interior del toroide, suponiendo el campo uniforme es:

  BA A  r 2 La inductancia del toroide será :

N NBA NA L   0 nI I I I

N L   0 NA 2R 2 0 N A L 2R Observe que la inductancia depende de la geometría del toroide mas no del flujo magnético o de la corriente.

Sea un solenoide de N espiras, de longitud d, recorrido por una corriente I, cuya sección transversal es A.

B  0 ni

N n d

B

0 Ni d

 m  NBA cos 0 

0 N 2 Ai d

Se denomina coeficiente de autoinducción L al cociente entre el flujo propio m y la intensidad i.

 m 0 N 2 A L  i d Del mismo modo que la capacitancia, el coeficiente de autoinducción solamente depende de la geometría del circuito y de las propiedades magnéticas de la sustancia que se coloque en el interior del solenoide. La unidad de medida de la autoinducción se llama henry, abreviadamente H, en honor a Joseph Henry.

  m  Wb V .s J L     .s  2 i A A A

Corriente autoinducida Cuando la intensidad de la corriente i cambia con el tiempo, se induce una corriente en el propio circuito (flecha de color rojo) que se opone a los cambios de flujo, es decir de intensidad.

Derivando respecto al tiempo la expresión del flujo propio:

d m 0 N 2 A di d  0 N 2 Ai          dt dt  d d dt 

di   L dt

La fem autoinducida siempre actúa en el sentido que se opone a la variación de corriente.

Circuitos RL

Vab  Vbc  Vca  0

di iR  L  V0  0 dt t Ldi   dt  0 V0  iR 0 i



V0  RL t i 1 e R



Si R/L es grande, como sucede en la mayor parte de los casos prácticos, la intensidad de la corriente alcanza su valor máximo constante V0/R muy rápidamente.

L  R

Constante de tiempo.

Circuitos RL

Vab  Vba  0 di iR  L  0 dt

di Rt     dt L0 i0 i i

i  i0e

 RL t

La corriente disminuye exponencialmente con el tiempo. En la mayor parte de los casos, R/L es grande, por lo que la corriente desaparece muy rápidamente.

Energía del campo magnético Para mantener una corriente en un circuito es necesario suministrar energía. La energía suministrada por la batería en la unidad de tiempo es V0· i. Esta energía se disipa, en la resistencia por efecto Joule y se acumula en la autoinducción en forma de energía magnética.

di V0  iR  L dt

di P  V0i  i R  Li dt 2

El último término, es la energía por unidad de tiempo que se necesita para establecer la corriente en la autoinducción o su campo magnético asociado.

dU B  PL .dt  L.i.di dU B di  Li dt dt

U B  Li 1 2

2

Esta es la energía acumulada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es i.

Esta expresión representa la energía almacenada en el campo magnético del inductor cuando la corriente es I. También se puede determinar la densidad de energía de un campo magnético.

Se va a considerar un solenoide cuya inductancia está dada por:

B NBA  0nIAN  0nIAnL L    I I I I El campo magnético de un solenoide está por:

L  0 n 2 Al B   0 nI B I 0 n

Sustituyendo L e I en la expresión para la energía:

2

2   1 2 1 B B   U  LI  0 n 2 Al  Al 2 2 20  0 n 

Debido a que Al es el volumen del solenoide, la energía almacenada por unidad de volumen en el campo magnético que rodea al inductor es:

U B2 uB   Al 20 Aunque esta ecuación se dedujo para el caso de un solenoide, es válida para cualquier región del espacio en la cual haya un campo magnético

Una fem autoinducida en un solenoide de inductancia L cambia en el tiempo como:

   0e  kt Encuentre la carga total que pasa por el solenoide, si la carga es finita.

   0e I 

Q

0

dI  L dt

 kt

0 L

kL 

I

 kt e  dt



0

dI  

 kt

e dt 

0  1 

 e kL  k 

Q

0 k 2L

0 kL

e

 kt



 kt 0

0 L

e kt dt

dq  dt

Q

0 k

2

 e L



 e0



Calcule la resistencia en un circuito RL en el cual L = 2.50 H y la corriente aumenta hasta 90.0% de su valor final en 3.00 s.

I

e





1  e R 

3.00R 2.50



Rt L

   

 0.10

2.50 ln 0.10 R 3.00

3.00R      2.50  0.90  1  e  R R 

 3.00 R  ln 0.10 2.50

R  1.92

Un inductor de 2.00 H conduce una corriente estable de 0.500 A. Cuando el interruptor en el circuito se abre, la corriente efectivamente es cero en 10.0 ms. ¿Cuál es la fem inducida promedio en el inductor durante este tiempo?

dI I   L  L dt t

  L

I f  I0 t

0  0.500 A   2.00 H 0.010s Vs 2.00  0.500 AH  x A 0.010 s H

  100V

Considere el circuito de la figura. Tomando ε = 6.00 V, L = 8.00 mH. Y R = 4.00Ω, a) ¿Cuál es la constante de tiempo inductivo del circuito?

L 8.00mH a)    2.00ms R 4.00 b) Calcule la corriente en el circuito 250µs después de que se cierra el interruptor. t    I  1  e  R

   

25010    6.00V  2.00103  I 1 e  4.00   6

I  0.176 A

c) ¿Cuál es el valor de la corriente en el estado estable final?



6.00V I   1.50 A R 4.00 d) ¿Cuánto tarda la corriente en alcanzar el 80% de su valor máximo? t   I  I max 1  e  

0.80 I max

  I max 1  e   3

    t  2.00103

   

t  2.00 10 ln 0.20

0.20  e



t 2.00103

3

t  3.22 10 s

Circuito LC. Oscilaciones libres

El equivalente mecánico del circuito LC son las oscilaciones de un sistema formado por una masa puntual unida a un resorte perfectamente elástico. El equivalente hidráulico es un sistema formado por dos vasos comunicantes.

Circuito LC. Oscilaciones libres

Vab  Vba  0 dI q L  0 dt C

d  dq  q L    0 dt  dt  C

2

d q q L 2  0 dt C

0 

1 LC

Circuito LC. Oscilaciones libres La solución de la ecuación diferencial es

q  Q cos(0t   ) La intensidad i es:

dq i  Q0 sen(0t   ) dt La energía del circuito en el instante t es la suma de la energía del campo eléctrico en el condensador y la energía del campo magnético en la bobina.

2

q 2 1 U  UE UB   2 Li C 1 2

En la figura el capacitor está inicialmente cargado cuando el interruptor S1 está abierto y S2 está cerrado. Luego, el interruptor S1 se cierra en el mismo instante en que se abre S2, de modo que el capacitor está conectado directamente a través del inductor. a)

Encuentre la frecuencia de oscilación del circuito.

 1 f   2 2 LC f 

1 2 2.81103 H 9 1012 F 

f  1.00 106 Hz

b) ¿Cuáles son los valores máximos de carga sobre el capacitor y la corriente en el circuito?

C



Q





Qmax  C  9.00 1012 F 12.0V  Qmax  1.08 1010 C

Q  Qmax cos(t   )

La corriente máxima está relacionada con la carga máxima:

dQ I   Qmax sen(t   ) dt



1  6288.2 rad s LC

I  2 106 s 1 1.08 1010 C  6.79 104 A

c) Determine la carga y la corriente como funciones del tiempo. Suponga

 0

Q  Qmax cos(t   ) Q  1.08 1010 cos 6288.2t

I  Qmax sen(t   ) I  6288.2 1.08 1010 sen6288.2t  I  6.79 107 sen6288.2t 

Circuito LCR. Oscilaciones amortiguadas. Las oscilaciones libres no se producen en un circuito real ya que todo circuito presenta una resistencia.

Circuito LCR conectado a un fem alterna. Oscilaciones forzadas Las oscilaciones amortiguadas desaparecen al cabo de cierto tiempo, para mantener la oscilación en el circuito podemos conectarla a una fem alterna de frecuencia .

La energía total ya no es constante como lo fue en el circuito LC porque el resistor causa transformación a energía interna. La rapidez de transformación de energía interna en el interior de un resistor es I2R.

dU  I 2 R dt

El signo negativo significa que la energía U del circuito disminuye con el tiempo.

Q2 1 2 U  LI 2C 2

dU Q dQ dI   LI dt C dt dt dI Q dQ LI   I 2 R dt C dt

d  dQ  Q 2 LI   I  I R  0 dt  dt  C

LI

d  dQ  Q 2   I  I R  0 dt  dt  C

d 2Q Q LI 2  I  I 2 R  0 dt C Ahora divida en I y llego a la siguiente expresión: 2

d Q dQ Q L 2 R  0 dt dt C

  ` 0

1  R    LC  2 L 

2

Que es análogo a la ecuación del oscilador mecánico amortiguado 2

d x dx m 2  b  kx  0 dt dt

Q  A.e



R .t 2L

 1  R 2  . cos    .t     LC  2 L    

7.- (5 puntos) Una bobina plana de 40 espiras y superficie 0,04 m2 está dentro de un campo magnético uniforme de intensidad B=0,1 T y perpendicular al eje de la bobina. Si en 0,2 segundos gira hasta que el campo está paralelo al eje de la bobina, ¿Cuál es la f.e.m. inducida?

 BA  0 0.1x0.04  N N  40  0.4V t 0.2 0.2

El campo magnético dentro de un solenoide superconductor es de 4.50 T. El solenoide tiene un diámetro interno de 6.20 cm y una longitud de 26.0 cm. determine: a) La densidad de energía magnética en el campo.

B2 u 20

u

4.50T 2 2  4 10 Tm

 8.06 106 J

7

A

m3

b) La energía almacenada en el campo magnético dentro del solenoide.

J d2 U  uV  8.06 3  l m 4 2   J  0 . 062 m  0.26m U  8.06 106 3  m 4 2

U  6327 J