Existen dos tipos de haz de planos: • Haz de planos de arista común, muy útil cuando nos piden calcular una plano que contiene una recta que nos la dan como intersección de planos, y que pasa por un punto. Ejemplo. x − y − 3 = 0 y pasa por el  x + 2y − z + 1 = 0

Calcular el plano que contiene a la recta r ≡ 

punto A (1, − 1, − 2 ) . Solución. El plano que se pide, pertenece al haz de planos de arista r: x − y − 3 + k (x + 2 y − z + 1) = 0 ∀ k ∈ R

Para determinar K, se tiene en cuenta que el plano buscado contiene al punto A, y por tanto las coordenadas de A deben cumplir la ecuación del plano buscado. 1 − (− 1) − 3 + k (1 + 2(− 1) − (− 2 ) + 1) = 0 1 − 1 + 2k = 0 ; k = 2 1 El plano es: x − y − 3 + (x + 2 y − z + 1) = 0 2

Para simplificar la ecuación se multiplica por el denominador de la constante (2). 1   2 ⋅  x − y − 3 + (x + 2 y − z + 1) = 0 2   2x − 2 y − 6 + x + 2 y − z + 1 = 0 3x − z − 5 = 0

Para determinar el valor del parámetro k, también se puede dar algún dato del tipo métrico, como por ejemplo, la distancia a un punto, el ángulo con otro plano, … etc •

Haz de planos paralelos, como su nombre indica buscamos un plano paralelo a uno conocido. Ejemplo. Calcular el plano paralelo a x − 2 y + 2z − 3 = 0 que diste tres unidades del punto A (1, 2, − 1)

Solución. El plano que nos piden es paralelo a x − 2 y + 2z − 3 = 0 , por lo tanto pertenece al su haz de planos paralelos: x − 2 y + 2z + k = 0 ∀ k ∈ R

Para determinar k, se utiliza el dato de la distancia del plano que se pide al punto A que nos dan. d =3=

1 − 2 ⋅ 2 + 2 ⋅ (− 1) + k 12 + (− 2)2 + 2 2

=

−5+k 3

−5+k =9

Para quitar el valor absoluto, se pone un doble signo en el segundo miembro.  − 5 + k = 9 : k = 14 ⇒ π ≡ x − 2 y + 2z + 14 = 0 − 5 + k = ±9 ;  − 5 + k = −9 : k = −4 ⇒ π ' ≡ x − 2 y + 2z − 4 = 0