Centro de Estudios Superiores del Oriente de Michoacán

CENTRO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL ORIENTE DE MICHOACÁN

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OBJETIVO LICENCIATURA: ASIGNATURA: CATEDRÁTICO: TEMÁTICA: NOMBRE DEL ALUMNO:

Resistencia de Materiales

Analizar los elementos estructurales aplicados en el diseño de sistemas arquitectónicos

Arquitectura Resistencia de Materiales Ing. Luis Alberto Resendiz Quintana Teoría de Vigas

CUATR.: 2 SISTEMA: CLAVE DE LA ASIGNATURA: FECHA LÍMITE DE ENTREGA: GUÍA No:

Mixto LARQ-212 2

MATRÍCULA:

I. Instrucciones. La guía didáctica que tienes en tus manos, tiene el objetivo de ser un andamiaje para desarrollar en ti los conocimientos, habilidades y actitudes necesarios para acreditar la asignatura de Resistencia de Materiales. Esto mediante comprensión de lectura y actividades que registrarás al final de este documento. A su vez, es necesario que te apoyes en las sesiones clase, láminas y material adicional disponible en la plataforma educativa. II. Temas y Subtemas. 2. Teoría de Vigas. 2.1 Generalidades. 2.2 Cargas y apoyos. 2.3 Tipos de vigas y perfiles estructurales. 2.4 Vigas isostáticas e hiperestáticas. 2.5 Determinación de reacciones. 2.6 Fuerza cortante y momento flector. 2.7 Centros de gravedad. 2.8 Momentos de inercia. 2.9 Esfuerzo por flexión. 2.10 Cálculo de deformaciones. III. Introducción. El problema fundamental de la resistencia de materiales es la determinación de las relaciones entre los esfuerzos y las deformaciones producidas por las fuerzas que se aplican a un elemento o estructura. En el estudio del esfuerzo axial es más simple que en el estudio de la flexión, esto debido a que los efectos de las fuerzas aplicadas son variables de una a otra sección de una viga. Estos efectos son de dos tipos: la fuerza cortante y el momento flexionante, al que comúnmente solo denominamos momento. Estos efectos producen dos tipos de esfuerzos conocidos como esfuerzo normal o axial el cual es directamente proporcional al esfuerzo flexionante y un esfuerzo cortante que depende lógicamente de la fuerza cortante. Lo anterior tiene que ver directamente con el tipo de carga a la que está sujeta la viga, la sujeción de la misma y su correspondiente perfil.

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IV. Teoría. 2.1 Generalidades. Se denomina viga a un elemento estructural lineal que trabaja principalmente a flexión, los miembros principales que soportan pisos de edificios son vigas, igualmente el eje de un vehículo es también una viga. La teoría de vigas es una parte de la resistencia de materiales que permite el cálculo de esfuerzos y deformaciones en vigas. En la actualidad existen vigas con diferentes longitudes en su claro1 y con diferentes perfiles2.

Figura 2.1: Modelo de una viga (Shanley F. R., 1971).

Por lo general, las vigas son barras prismáticas rectas y largas. El diseño de una viga para que soporte de la manera más efectiva cargas aplicadas es un procedimiento que involucra dos partes: 1) determinar las fuerzas cortantes y los momentos flectores producidos por las cargas, y 2) seleccionar la sección transversal que resista de la mejor forma posible a las fuerzas cortantes y a los momentos flectores que se determinaron en la primera parte. La primera parte pertenece directamente al estudio de la estática y la segunda al estudio de la mecánica de materiales. 2.2 Cargas y apoyos. Una viga puede estar sujeta a varias condiciones de sujeción, la cual puede tener a su vez distintos tipos de apoyos para su análisis, los cuales provocarán reacciones sobre el elemento. Los apoyos comunes en el análisis de la teoría y diseño de vigas son: 1. Móvil o de Rodillo: Permite impedir únicamente el desplazamiento en una determinada dirección, permitiendo el desplazamiento en la dirección perpendicular y la rotación. El esquema que se utiliza para la representación de este tipo de apoyo es como se muestra enseguida, así como el modelo real y la reacción que origina.

Figura 2.2: Representación esquemática de un apoyo simple o de rodillo.

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Medida del largo de una viga. Sección transversal.

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Figura 2.3: Tipos de apoyos simples y la reacción que originan.

2. Fijo o Pasador: Este tipo de apoyo permite el giro de la viga, pero impide el desplazamiento en cualquier dirección mediante una reacción que se puede dividir en una componente a lo largo del eje longitudinal de la viga y otra a lo largo del eje transversal. Para determinar estas dos componentes es necesario hacer uso de dos ecuaciones de la estática.

Figura 2.4: Representación esquemática de un apoyo fijo o pasador.

Figura 2.5: Apoyo fijo y las reacciones que origina.

3. Empotramiento: Su finalidad es asegurar la completa inmovilidad del extremo de la pieza, impidiendo en consecuencia todo posible desplazamiento y rotación. La reacción en este caso se compone de una fuerza R, de componentes Rx y Ry y de un momento M de eje perpendicular al plano XY.

Figura 2.6: Representación esquemática de un empotramiento.

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Figura 2.7: Empotramiento y las reacciones que origina.

Tal y como nos dijo Newton en una de sus leyes, podemos tener cargas o fuerzas a contraparte de las reacciones mencionadas anteriormente. Las fuerzas que actúan sobre una viga suelen clasificarse atendiendo a la zona sobre la cual actúan. Una fuerza aplicada a lo largo de una longitud o sobre una superficie se dice que es una fuerza distribuida.

Figura 2.8: Carga uniformemente distribuida (Sturges, W. F., 2008).

La distribución puede ser uniforme o no, como ejemplo de una fuerza distribuida puede ser el piso, de grosor uniforme, de un puente de hormigón3. Toda la fuerza aplicada a un área relativamente pequeña frente al tamaño del miembro cargado puede considerarse fuerza concentrada. Por ejemplo, la fuerza que aplica la rueda de un coche a miembros longitudinales de un puente puede considerarse una carga concentrada.

Figura 2.9: Cargas concentradas (Sturges, W. F., 2008).

Un número cualquier de fuerzas que se traten en conjunto constituye un sistema de fuerzas. Los sistemas de fuerzas pueden ser mono, bi o tridimensionales. Se dice que un sistema de fuerzas es concurrente cuando las rectas soporte de todas las fuerzas se corten en un punto común, y se dice que es coplanario cuando todas 3

Si no es distribuida uniformemente, entonces se puede considerar como parcialmente distribuida, uniformemente o parcialmente variable, si su intensidad crece o decrece en una proporción constante. Un ejemplo de una carga uniformemente variable es la presión del agua contra las paredes de una presa o el empuje del área, debido a que la presión en el fondo es mayor que en la superficie; otro ejemplo puede ser el apilado de sacos.

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las fuerzas estén en un mismo plano. Un sistema de fuerzas paralelas es aquel en el cual las rectas soporte de las fuerzas son paralelas. En un sistema de fuerzas paralelas, los sentidos de las mismas no tienen por qué ser los mismos. Si las fuerzas de un sistema tienen una recta soporte común, se dice que el sistema es colineal.

Figura 2.10: Fuerzas concurrentes (Sturges, W. F., 2008).

Figura 2.11: Fuerzas coplanarias (Sturges, W. F., 2008).

Figura 2.12: Fuerzas paralelas (Sturges, W. F., 2008).

Figura 2.13: Fuerzas colineales (Sturges, W. F., 2008).

2.3 Tipos de vigas y perfiles estructurales. Como bien se mencionó con antelación, una viga puede estar sujeta a ciertas condiciones de sujeción. Una viga simplemente apoyada en sus extremos o viga simple, tiene una articulación de un extremo y un apoyo móvil sobre rodillos en el otro. Una viga en voladizo o ménsula, se sujeta en un solo extremo, en un empotramiento que impide el giro de dicho extremo. Una viga apoyada con voladizos está apoyada mediante una articulación y un apoyo de rodillos, pero uno o los dos extremos sobresalen de los soportes.

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Figura 2.14: Viga simple, viga simple con voladizo y viga en voladizo (Beer, F. P., 2010).

En el diseño y análisis de vigas sometidas a esfuerzo por flexión, es inmensamente necesario conocer el perfil estructural4 que se desea implantar en una obra arquitectónica. La industria de la construcción ha estandarizado ciertos elementos de acero con formas y propiedades conocidas para facilitar a analistas, productores y constructores hablar un lenguaje común. Algunos de los más empleados se aprecian en la tabla 2.1. Tabla 2.1: Perfiles estructurales.

PERFIL

ESQUEMA

PERFIL

WH

WT

Tubo Circular

Z

Tubo Rectangular

C

Ángulo

Omega

Canal

Z

ESQUEMA

Para facilitar el análisis de vigas, existen tablas estandarizadas a modo de catálogo con todos y cada uno de los perfiles estructurales y sus características más importantes. Uno de los más completos es el mencionado en el anexo B-14 (Perfiles H, vigas de ala ancha), B-15 (Vigas normales), B-16 (Canales) y B-17 (Perfiles L, angulares), mencionados en el libro “Resistencia de Materiales” de Pytel A. y Singer F. L., del cual recomiendo se obtengan para trabajar durante toda la asignatura. 2.4 Vigas isostáticas e hiperestáticas. Todas las vigas vistas en el objetivo anterior son estáticamente determinadas o isostáticas, esto indica que pueden resolverse5 por medio de la estática o de las ecuaciones de equilibrio estático ΣFx = 0 → +, ΣFy = 0 ↑ + y ΣM = 0 +. Lo anterior implica que si tenemos menor o igual a tres incógnitas en nuestro sistema estructural o viga, podremos resolverlo, ya que disponemos de tres ecuaciones que nos permitirán hacerlo, algebraicamente el sistema es consistente.

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Sección transversal de una viga. Resolver una viga indica en conocer el valor de sus cargas y sus reacciones.

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Otros tipos de vigas con otras condiciones de sujeción, como son la viga empotrada-apoyada, la viga doblemente empotrada y la viga continua, tienen como mínimo una reacción más de las estrictamente necesarias para su sustentación, es decir, para impedir su movimiento como sólido rígido. Por lo tanto son estáticamente indeterminadas o hiperestáticas. La existencia de un exceso de reacciones hace que las ecuaciones de equilibrio estático no sean las suficientes para determinarlas, y se requiere el empleo de ecuaciones adicionales, estas ecuaciones se obtienen considerando las deformaciones elásticas de la viga.

Figura 2.15: Viga continua, viga empotrada-apoyada y viga en doblemente empotrada (Beer, F. P., 2010).

Algunas veces dos o más vigas están conectadas por medio de articulaciones para formar una sola viga, en la siguiente figura se muestran dos ejemplos de vigas articuladas en un punto H. Se debe señalar que las reacciones en los apoyos involucran cuatro incógnitas, las cuales no pueden determinarse a partir del diagrama de cuerpo libre del sistema constituido por dos vigas. Sin embargo, éstas pueden ser determinadas considerando por separado el diagrama de cuerpo libre para cada una de las vigas; aquí están involucradas seis incógnitas (incluyendo dos componentes de fuerza en la articulación) y están disponibles seis ecuaciones de equilibrio, por lo que el sistema es consistente.

Figura 2.16: Viga con articulación (Beer, F. P., 2010).

2.5 Determinación de reacciones. Anteriormente se hizo referencia al concepto de resolver una viga, indicando que es el procedimiento a seguir con el objeto de conocer el valor tanto de sus cargas como de sus reacciones. Para esto tenemos que apoyarnos en el conocido diagrama de cuerpo libre, un concepto que resulta fundamental para la resolución de problemas en arquitectura. Dicho diagrama es una representación gráfica o dibujo cuidadosamente preparado, el cual muestra el “cuerpo de interés” separado de los demás cuerpos que interactúan con él y en el cual figuran todas las fuerzas aplicadas exteriormente a dicho cuerpo. Como una fuerza es la acción de un cuerpo sobre otro, el número de fuerzas de un diagrama de cuerpo libre se determina teniendo en cuenta el número de cuerpos que ejercen fuerzas sobre el “cuerpo de interés”. El procedimiento para el trazado de un diagrama de cuerpo libre consta de dos etapas esenciales:

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1. Decidir qué cuerpo, o que parte de un cuerpo o grupo de cuerpos, se quiere aislar y analizar. Preparar un esquema del contorno exterior del cuerpo seleccionado. 2. Representar todas las fuerzas, conocidas y desconocida, aplicadas por otros cuerpos al cuerpo asilado, mediante vectores en sus posiciones correctas. Cada fuerza de un diagrama de cuerpo libre completo deberá rotularse ya sea con su módulo conocido o con un símbolo que la identifique cuando sea desconocida. Deberá indicarse la pendiente o el ángulo de inclinación de todas las fuerzas. Se puede suponer el sentido de una fuerza desconocida cuando no se conozca aquel. Una vez finalizados los cálculos, un signo positivo en la respuesta indicaría que la fuerza tiene sentido que se le supuso, mientras que un signo negativo indicaría que el sentido de la fuerza es opuesto al que se le supuso. La palabra libre en el nombre “diagrama de cuerpo libre” resalta la idea de que se han suprimido todos los cuerpos que ejercen fuerzas sobre el cuerpo de interés y se han sustituido por las fuerzas que ejercen. Veamos un ejemplo: Encuentre las reacciones de los apoyos de la viga que se muestra en la figura.

Figura 2.17: Viga ejemplo.

Notése que en el extremo izquierdo se encuentra un apoyo fijo, el cual nos generará dos reacciones (vertical y horizontal respectivamente); mientras que en el extremo derecho es un apoyo móvil, que origina una reaccion vertical únicamente. Por lo que la respuesta al problema quedaría como se muestra en la figura 1.17.

Figura 2.18: Viga solución.

Lo que nos resta ahora es conocer el valor de las reacciones HA, VA y VB respectivamente. Debemos notar que se trata de tres incógnitas, teniendo tres ecuaciones ΣFx = 0 → +, ΣFy = 0 ↑ + y ΣM = 0 + el sistema es consistente, es decir que se puede resolver por estática o bien isostático. Al aplicar la primer condición de equilibrio estático podemos demostrar que la reacción HA = 0, esto es lógico debido a que es la única fuerza horizontal. Enseguida, aplicando ΣFy = 0 ↑, obtendremos la expresión VA + VB = 260. Hasta aquí el sistema Ing. Luis Alberto Resendiz Quintana

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parece ser inconsistente al tener dos incógnitas y solamente una ecuación para resolverla, pero podemos apoyarnos de ΣM = 0 +, aplicándolo en el punto A (por ejemplo) y originando la expresión – (100N·0.2m) – (160N·0.3m) + VB(0.4m) = 0, que realizando las operaciones y despejes respectivos da como resultado que VB = 170 N ↑. El lector deberá comprobar el resultado obtenido, nótese a su vez que el sentido de la reacción VB es positivo, lo que indica que la dirección supuesta de la reacción en el diagrama de cuerpo libre es la correcta. Ahora, para finalizar y tomando en cuenta que VB = 170 N, sustituyendo VA + VB = 260 resulta VA = 90 N ↑. Es natural que la reacción del extremo izquierdo sea menor que la del extremo derecho, debido a que las cargas están desplazadas a la derecha del claro de la viga. Es importante recalcar que este ejemplo fue exclusivamente para cargas concentradas, el procedimiento es similar para cargas uniformemente y parcialmente distribuidas, así como parcial y uniformemente variables. Debido a la distribución de espacio de esta guía te aconsejo consultes la plataforma educativa para descargar recursos para dar solución a vigas con las cargas mencionadas. 2.6 Fuerza cortante y momento flector. La flexión es un concepto muy importante empleado en el diseño de muchos componentes estructurales, tales como vigas y trabes. Para efectos de análisis de este bloque, se trabajará con elementos prismáticos sometidos a pares (momentos) iguales y opuestos M y M’ que actúan en el mismo plano longitudinal6.

Figura 2.19: Elemento sujeto a flexión pura (Beer, F. P. et al., 2004).

Un ejemplo de flexión pura es lo que le ocurre a una barra de una pesa de gimnasia como las que sostienen los levantadores de pesas por encima de su cabeza. La barra tiene pesos iguales a distancias iguales de las manos del levantador de pesas. Debido a la simetría del diagrama de cuerpo libre de la barra (figura 1.19), las reacciones de las manos deben ser iguales y opuestas a los pesos. Por lo tanto, en lo que se refiere a la porción central CD de la barra, los pesos y las reacciones pueden reemplazarse por dos pares iguales y opuestos de 900 lb·in, mostrando que la porción central de la barra se encuentra a flexión pura.

Figura 2.20: Ejemplo de un elemento sujeto a flexión pura (Beer, F. P. et al., 2004). 6

Se dice que tales elementos están sometidos a flexión pura.

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Considerando el elemento prismático AB mostrado en la figura 1.18, con un plano de simetría y sometido a partes iguales y opuestos que actúan en dicho plano. Si efectuamos un corte a través del elemento en algún punto arbitrario C, las condiciones de equilibrio de la porción AC del elemento requieren que las fuerzas internas en la sección sean igual al par M, este momento M de dicho par se conoce como momento flector de la sección. El momento flector o momento flexionante es positivo si la flexión que produce en la viga presenta una concavidad hacia arriba. Un criterio equivalente es que las fuerzas que actúan hacia arriba respecto de cualquier sección producen momentos flexionantes positivos y las fuerzas que actúan hacia abajo dan lugar a momentos flexionantes negativos.

Figura 2.21: Curvaturas correspondientes al signo del momento flector (Beer, F. P. et al., 2004).

Otra conceptualización del momento flector es que es la suma de todas las fuerzas que actúan en una porción de viga ya sea a la izquierda o a la derecha de la misma, respecto al eje perpendicular al plano de las fuerzas y que pasa por el centro de gravedad centroide de la sección considerada. Supongamos que se corta la siguiente viga por una sección a-a a una distancia x de R1, como se muestra en la figura 2.22, quedando la viga dividida en partes. En el diagrama de cuerpo libre de la porción izquierda, figura 2.22b, se observa que la fuerza exterior aplicada es R1. Para mantener el equilibrio, en la sección de corte a-a deben aparecer unas fuerzas resistentes, necesarias para satisfacer las condiciones de la estática, fuerzas que representan la acción de la parte derecha suprimida sobre la porción izquierda considerada. En este caso, y como la fuerza exterior aplicada es vertical, se satisface directamente la condición ΣX = 0, siendo el eje X horizontal.

Figura 2.22: Viga seccionada (Pytel A. y Singer F. L., 1994). Ing. Luis Alberto Resendiz Quintana

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Para satisfacer la condición ΣY = 0, las fuerzas interiores en la sección a-a deben originar una fuerza resistente que se oponga a R1. Esta fuerza es V, de la figura 2.22b, a la que se puede llamar fuerza resistente cortante. En el caso que se considera, V, es numéricamente igual a R1, pero si hubiese otras fuerzas aplicadas entre R1 y la sección, la resultante no equilibrada de todas ellas (que es igual y opuesta a la fuerza resistente cortante), se obtendría como suma de sus componentes verticales. Esta restante no equilibrada de las fuerzas exteriores es la que se define como fuerza cortante de una sección y se representa por V, siendo su valor la suma de las componentes verticales de las exteriores que actúan a uno u otro lado de la sección.

Figura 2.23: Fuerza cortante (Pytel A. y Singer F. L., 1994).

Para completar el equilibrio en el diagrama de cuerpo libre de la figura 2.22b, la suma de momentos también debe ser nula. En este caso, R1 y V, son iguales y de sentido contrario por lo que producen un momento M igual a R1·x denominado momento flexionante, porque tiende a curvar o flexionar la barra. Los esfuerzos interiores en la sección a-a deben originar un momento de diferente sentido e igual magnitud, actuando como se indica en la figura 2.22b. En la mayoría de los casos, el diagrama de cuerpo libre tiene varias fuerzas exteriores aplicadas, por lo que es necesaria una definición más completa del momento flexionante y su determinación. El estudio de estos dos factores, fuerza cortante y momento flector, corresponde al campo de la flexión que sufren los cuerpos a causa de las cargas, como ya se ha mencionado. Por el momento, se desprecia el peso propio de la viga y solamente se tiene en cuenta el efecto de una carga P. Ahora que se han definido claramente la fuerza cortante y el momento flector en lo referente a su magnitud y a su sentido, se pueden registrar sus valores en cualquier punto de una viga graficando dichos valores contra la distancia x medida desde un extremo de la viga. Las gráficas que se obtienen de esta manera reciben el nombre de diagrama de fuerza cortante y diagrama de momento flector. 2.7 Centros de gravedad. Hasta ahora, se ha supuesto que la atracción ejercida sobre la Tierra sobre un cuerpo rígido podría representarse por una sola fuerza W. Esta fuerza, denominada fuerza de gravedad o peso del cuerpo, debía aplicarse en el centro de gravedad del cuerpo. De hecho, la Tierra ejerce una fuerza sobre cada una de las partículas que constituyen al cuerpo. En este sentido, la acción de la Tierra sobre un cuerpo rígido debe representarse por un gran número de pequeñas fuerzas distribuidas sobre todo el cuerpo. El centro de gravedad de un sólido rígido es el punto donde se considera que se encuentra concentrado todo el peso de un cuerpo (resultante). De tal forma, el momento respecto a cualquier punto de esta fuerza resultante aplicada en el centro de gravedad, es el mismo que el producido por los pesos de todas las masas materiales que constituyen el cuerpo. A menudo, podemos usar consideraciones de simetría para encontrar el centro de gravedad de un cuerpo, por ejemplo, el centro de gravedad de una esfera, cubo, disco o placa rectangular está en su centro geométrico. Por otro lado, el centro de gravedad de un cilindro o cono circulares rectos está en su eje de simetría. En los cuerpos de forma más compleja, a veces es posible encontrar el centro de gravedad dividiendo el cuerpo en piezas simétricas. Podríamos aproximar el cuerpo humano, por ejemplo, como un conjunto de cilindros sólidos, con una esfera como cabeza. Luego podríamos calcular las coordenadas del centro de gravedad, no sin antes obtener los centroides de cada una de las figuras de manera independiente. Ing. Luis Alberto Resendiz Quintana

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Cuando un cuerpo sobre el que actúa la gravedad se apoya en un solo punto o se cuelga de éste, el centro de gravedad siempre está directamente arriba o abajo de dicho punto de suspensión. Si estuviera en otro lugar, el peso tendría un momento con respecto al punto de suspensión, y el cuerpo no estaría en equilibrio rotacional. La siguiente figura muestra cómo usar este hecho para determinar experimentalmente la posición del centro de gravedad de un cuerpo irregular.

Figura 2.24: Ubicación del centro de gravedad de un objeto con forma irregular, en este caso, una taza de café (Young, H. D., 2009).

Siguiendo el mismo razonamiento, es evidente que un cuerpo apoyado en varios puntos debe tener su centro de gravedad en algún lugar dentro del área delimitada por los apoyos. Esto explica por qué un automóvil puede viajar por un camino recto pero inclinado, si el ángulo de inclinación es relativamente pequeño (figura 5.2a), pero se vuelca si el ángulo es excesivo (figura 5.2b). El camión de la figura 5.2c tiene un centro de gravedad más alto que el automóvil y se volcará en una pendiente menos inclinada.

Figura 2.25: En a), el centro de gravedad está dentro del área delimitada por los soportes y el automóvil está en equilibrio. El automóvil b) y el camión en c) se volcarán debido a que sus centros de gravedad están fuera del área de soporte (Young, H. D., 2009).

Cuando un camión se vuelca en una autopista y bloquea el tráfico durante horas, la culpa es de su centro de gravedad tan alto. Cuanto más bajo esté el centro de gravedad y mayor sea el área de apoyo, más difícil será Ing. Luis Alberto Resendiz Quintana

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volcar un cuerpo. Los cuadrúpedos como los venados y los caballos tienen un área de apoyo grande delimitada por sus patas; por lo tanto, son estables por naturaleza y sólo necesitan pies pequeños o cascos. Los animales que caminan erguidos en dos piernas, como el ser humano y las aves, necesitan pies relativamente grandes para tener un área de apoyo razonable. Si un bípedo sostiene su cuerpo aproximadamente horizontal, como un pollo o un tyrannosaurus rex, deberá equilibrarse con gran precisión al caminar para mantener su centro de gravedad arriba de la pata que está en el suelo. El pollo lo hace moviendo la cabeza; el T. rex probablemente lo hacía moviendo la enorme cola. En las siguientes tablas, se muestran los centroides de formas comunes de áreas y de líneas. Tabla 2.2: Centro de gravedad de formas comunes (Beer, F. P., 2010).

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En muchos casos, una placa plana puede dividirse en rectángulos, triángulos u otras de las formas  es el centro de gravedad G puede determinarse a comunes mostradas en la figura siguiente. La abscisa de X partir de las abscisas x , x , … , x de los centros de gravedad de las diferentes partes que constituyen la placa (centroides), expresando que el momento del peso de toda la placa con respecto al eje vertical es igual a la  del suma de los momentos de los pesos de las diferentes partes con respecto a ese mismo eje. La ordenada Y centro de gravedad se encuentra de forma similar, igualando momentos con respecto al eje x.

Figura 2.26: Centro de gravedad de una placa compuesta (Beer, F. P., 2010).

yY  del centro de gravedad de la placa, deberemos emplear las Por lo que obteniendo las coordenadas X expresiones 2.1 mencionadas en la sección fórmulas de esta guía. Los factores Qx y Qy son conocidos como Ing. Luis Alberto Resendiz Quintana

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primeros momentos de área. Se debe tener cuidado de asignar el signo apropiado al momento de cada área, ya que estos pueden ser tanto positivos como negativos. Por ejemplo, un área cuyo centroide esta localizado a la izquierda del eje vertical, tendrá un primer momento negativo con respecto a dicho eje. Ademas al área de un agujero se le debe asignar un signo negativo.

Figura 2.27: Distribución de signos en el centro de gravedad de una placa compuesta (Beer, F. P., 2010).

2.8 Momentos de inercia. ¿Qué tienen en común los movimientos de un disco compacto, una rueda de la fortuna, una sierra circular y un ventilador de techo? Ninguno puede representarse adecuadamente como un punto en movimiento; todos implican un cuerpo que gira sobre un eje que está fijo en algún marco de referencia inercial. La rotación se da en todos los niveles, desde el movimiento de los electrones en los átomos hasta los movimientos de las galaxias enteras. Necesitamos desarrollar métodos generales para analizar el movimiento de un cuerpo en rotación. Debe considerarse que los cuerpos con tamaño y forma definidos pueden tener movimiento rotacional además de traslacional. Los cuerpos reales llegan a ser muy complejos; las fuerzas que actúan sobre ellos pueden deformarlos: estirarlos, torcerlos y aplastarlos. Por el momento en esta asignatura, ignoraremos tales deformaciones y supondremos que el cuerpo tiene forma y tamaño perfectamente definidos e inmutables. Llamamos a este modelo idealizado cuerpo rígido, como ya se ha mencionado con antelación. Un cuerpo rígido en rotación es una masa en movimiento, así que tiene energía cinética que podemos expresar en términos de la rapidez angular del cuerpo y una nueva cantidad llamada momento de inercia (I) o bien segundo momento de área, que depende de la masa del cuerpo y de la forma en que se distribuye tal masa. La palabra “momento” implica que I depende de la distribución espacial de la masa del cuerpo. Para un cuerpo con un eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que Ing. Luis Alberto Resendiz Quintana

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constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia. El momento de inercia aritméticamente se define como la sumatoria del producto de la masa y la distancia al cuadrado de dicha masa al eje de rotación (ver ecuación 2.2). Cuanto mayor sea el momento de inercia de un cuerpo, más difícil será ponerlo a girar si está en reposo, y más difícil será detener su rotación si ya está girando. Por esta razón, I también se denomina inercia rotacional. El siguiente ejemplo muestra cómo el cambio del eje de rotación afecta el valor de I.

Figura 2.28: Aparato que gira libremente en torno a un eje vertical. El momento de inercia se puede variar fijando los dos cilindros de igual masa en diferentes posiciones en la varilla horizontal (Young, H. D., 2009).

La inercia es la propiedad de la materia de resistir a cualquier cambio en su movimiento, ya sea en dirección o velocidad. Cualquier cuerpo que efectúa un giro alrededor de un eje, desarrolla inercia a la rotación, es decir, una resistencia a cambiar su velocidad de rotación y la dirección de su eje de giro. Formalmente, el momento de inercia se define como la resistencia que un cuerpo en rotación opone al cambio de su velocidad de giro. Como ejemplo podemos tomar una honda y lanzar una piedra pequeña y una grande, aplicando la misma fuerza a cada una, la piedra pequeña se acelerará mucho más que la grande. El momento de inercia se relaciona con las tensiones y deformaciones máximas producidas por los esfuerzos de flexión en un elemento estructural, por lo cual este valor determina la resistencia máxima de un elemento estructural bajo flexión junto con las propiedades de dicho material. Cabe mencionar que un cuerpo no tiene un solo momento de inercia. De hecho, tiene un número infinito, porque el número de ejes sobre los que podría girar es infinito. No obstante, hay una relación simple entre el momento de inercia I de un cuerpo de masa M alrededor de un eje que pasa por el centro de masa y el momento de inercia I alrededor de cualquier otro eje paralelo al original pero desplazado una distancia d. Esta relación, llamada teorema de los ejes paralelos o teorema de Steiner (ecuación 2.3). Para demostrarlo, consideremos el momento de inercia I de un área A con respecto a un eje AA’, si se representa con “y” la distancia desde un elemento de área dA hasta AA’ y se dibuja a través del centroide C del área un eje BB’ que es paralelo al eje AA’, dicho eje es llamado eje centroidal. Representado con y’ la distancia desde el elemento dA hasta BB’. Por lo que generando una serie de ecuaciones se obtiene la fórmula que expresa el momento I de un área con respecto a cualquier eje dado AA’. Cabe mencionar que el momento de inercia de una sección de una viga con respecto a su eje neutro está relacionado con el cálculo del momento flector en una sección de una viga, mismo que se verá más adelante. Por lo tanto, la determinación de los momentos de inercia es un prerrequisito para el análisis y el diseño de elementos estructurales, tal y como se ha mencionado anteriormente. A su vez, las tablas de perfiles estructurales, se menciona el momento de inercia necesario para realizar el análisis de vigas correspondiente. Ing. Luis Alberto Resendiz Quintana

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Figura 2.29: Esquematización del Teorema de Steiner (Beer, F. P., 2010). Tabla 2.3: Momentos de inercia de formas comunes (Beer, F. P., 2010).

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2.9 Esfuerzo por flexión. Los esfuerzos normales producidos por el momento flexionante se llaman esfuerzos por flexión y las relaciones entre estos esfuerzos y el momento flexionante se expresan mediante la fórmula de flexión. Para su deducción las deformaciones elásticas junto con la Ley de Hooke determinan la forma de la distribución de esfuerzos, y mediante las condiciones de equilibrio se establece la relación entre los esfuerzos y las cargas. Es importante mencionar que para obtener las relaciones entre el momento flexionante y esfuerzos normales por flexión que se producen, y entre la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes, se deben considerar las siguientes hipótesis: a. Las secciones planas de la viga, inicialmente planas, permanecen planas. b. El material es homogéneo y obedece a la Ley de Hooke. c. El módulo elástico es igual a tensión que a compresión. d. La viga es inicialmente recta y de sección constante. e. El plano en el que actúan las fuerzas contiene a uno de los dos ejes principales de la sección recta de la viga y las cargas actúan perpendicularmente al eje longitudinal de aquella. La siguiente figura muestra dos secciones adyacentes ab y cd separadas a una distancia dx. Debido a la flexión producida por la carga P, las secciones ab y cd giran una con respecto de la otra un pequeño ángulo dθ, como se ve en la figura 2.30b, pero permanecen planas y sin distorsión de acuerdo con la primera hipótesis mencionada anteriormente. La fibra ac de la parte superior se acorta y la fibra bd se alarga. En algun punto entre ellas existe una fibra, tal como ef, cuya longitud no varía. Trazando la línea c’d’ por f, paralela a ab, se observa que la fibra ac se ha acortado una longitud cc’ y está comprimida, mientras que la fibra bd se ha alargado la longitud d’d y está sometida a tensión. El plano que contiene todas las fibras como la ef se llama superficie neutra, ya que tales fibras no varían de longitud y, por lo tanto, no están sujetas a esfuerzo alguno.

Figura 2.30: Deformaciones (Pytel A. y Singer F. L., 1994).

Lo anterior conduce directamente a la fórmula de la flexión, tambien llamada fórmula de la escuadría (ver formula 2.4). Esta expresión indica que el esfuerzo debido a la flexión en cualquier sección es directamente proporcional a la distancia del punto considerado a la línea neutra. Una forma más común de la fórmula de la flexión se obtiene sustituyendo “y” por la distancia “c” del elemento más alejado de la línea neutra, con esto

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se obtiene el esfuerzo máximo (ecuación 2.5). Esta fórmula es muy empleada en vigas de sección constante y muestra como el esfuerzo máximo se produce en la sección de momento flexionante máximo. El cociente I/c se denomina módulo de resistencia de la sección y se designa por la letra S, por lo que la ecuación 2.5 se transforma en la expresión 2.6. En una viga de sección rectangular o circular, las fibras situadas en la proximidad del eje neutro7 están sometidas a un esfuerzo muy pequeño comparado con el esfuerzo en la parte superior o en la inferior. El hecho de que una gran parte de la sección esté poco aprovechada las hace poco aproximadas para trabajar a flexión. La fórmula de la flexión M = σI/c muestra que si el área de la sección rectangular (figura 2.31a) pudiera distribuirse de manera que la viga siguiera teniendo la misma altura, pero con la forma indicada en la figura 2.31b, el momento de inercia aumentaría muchísimo, por lo que el momento flexionante que podría soportar sería mucho mayor. Físicamente, el incremento de momento resistente es debido a que hay muchas más fibras a mayor distancia del eje neutro, fibras que soportarían un esfuerzo mayor, y con un brazo de momento también mayor respecto del eje neutro. La figura 2.31c representa una sección I de ala ancha (que suele llamarse H), es uno de los perfiles más eficientes, ya que no sólo tiene gran resistencia trabajando a la flexión como viga, sino también como columna. Otro tipo de perfil laminado es el I normal (perfil S), figura 2.31d, más antiguo que el de ala ancha y que al no ser tan eficiente tiende a ser sustituto por el H.

Figura 2.31: Pefiles H y S (Pytel A. y Singer F. L., 1994).

En el caso de acero estructural, las vigas estándares estadounidenses (vigas S) y las vigas de aleta ancha (vigas W) son preferibles a otros perfiles ya que una gran porción de sus sección transversal se coloca lejos del eje neutro, como bien se mencionó en el párrafo anterior. Al escoger una determinada sección para aplicarla como viga en una construcción, es innecesario decir que el momento que puede resistir, Mr = σI/c, debe de ser igual o mayor que el momento flexionante máximo aplicado M. Esta solución puede expresarse por la desigualdad 2.6, que indica que la sección debe elegirse de manera que su módulo resistente sea igual o mayor que la relación del momento flexionante al esfuerzo admisible. Debe tenerse precaución al momento de escoger el perfil estructural que soportará el esfuerzo admisible, esto debido a que pueden existir tantos perfiles diferentes con módulos de sección aproximadamente iguales. Aunque la viga más ligera es la más económica sobre la base de peso únicamente, a menudo el espacio disponible exige una viga menos peraltada que la más ligera. La elección del perfil no estará completa hasta que se incluya el peso de la viga. El momento que puede resistir la viga MR debe ser igual o mayor que la suma del momento MV producido por la carga útil y el momento Mpp producido por su peso propio (fórmula 2.8). la tabla 2.4 muestra los módulos de resistencia de algunas formas de sección transversal. 7

Véase la sección centros de gravedad.

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Tabla 2.4: Módulos de resistencia de formas comunes de sección transversal (Pytel A. y Singer F. L., 1994).

2.10 Cálculo de deformaciones. Se ha probado que la sección transversal de un elemento sometido a flexión pura permanece plana, aunque no se excluye la posibilidad de que se presenten deformaciones dentro del plano de la sección. La deformación del elemento causada por el momento flector M se mide por la curvatura de la superficie neutra. La curvatura se define como el inverso del radio de la curvatura ρ (rho) y puede obtenerse mediante las expresiones 2.9 y 2.10. El inverso del radio de una curvatura ρ es la curvatura de la sección transversal y se denomina curvatura antielástica.

Figura 2.32: Radio de la curvatura de una sección transversal (Pytel A. y Singer F. L., 1994). Ing. Luis Alberto Resendiz Quintana

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V. Fórmulas y expresiones. 2.1 Primeros momentos de área. Q =  X  A =  xA   A =  yA Q = Y Donde: Qx = Primer momento de área en el eje horizontal en m3 o in3. Qy = Primer momento de área en el eje vertical en m3 o in3.  = Centro de gravedad en el eje horizontal en m o in. X Y = Centro de gravedad en el eje vertical en m o in. A = Área del elemento en m2 o in2. 2.2 Demostración del momento de inercia. I =    

Donde: I = Momento de inercia en m4 o in4. m = Masa del elemento en kg o lb. r = Distancia de la masa del elemento al eje de rotación en m o in. 2.3 Teorema de Steiner. I = I̅ + Ad Donde: I = Momento de inercia del objeto total en m4 o in4. I̅ = Momento de inercia de cada elemento del objeto total en m4 o in4. A = Área del elemento en m2 o in2. d = Distancia del centroide de cada elemento de la figura total y el eje neutro de la figura en m o in. 2.5 Fórmula de la flexión. σ=

My I

Donde: σ = Esfuerzo por flexión en Pa o psi. M = Momento flector en N·m o lb·in. y = Distancia del eje horizontal al eje neutro del elemento en m o in, I = Momento de inercia del objeto total en m4 o in4.

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2.6 Esfuerzo máximo. σá =

Mc I

Donde: σ = Esfuerzo máximo por flexión en Pa o psi. M = Momento flector en N·m o lb·in. c = Distancia del eje horizontal al eje neutro del elemento en m o in, I = Momento de inercia del objeto total en m4 o in4. 2.7 Módulo de resistencia. S ≥ Donde:

M σ

S = Módulo de resistencia en m3 o in3. σ = Esfuerzo por flexión en Pa o psi. M = Momento flector en N·m o lb·in. 2.8 Momento que puede resistir una viga. M! ≥ M" + M## Donde: MR = Momento que puede resistir una viga en N·m o lb·in. Mu = Momento producido por una carga útil en N·m o lb·in. Mpp = Momento producido por el peso propio de la viga en N·m o lb·in. 2.9 Módulo resistente de una viga. S! ≥ S" + S## Donde: SR = MR/σ = Módulo de resistencia de una viga en m3 o in3. Su = Mu/σ = Módulo de resistencia producido por una carga útil en m3 o in3. Spp = Mpp/σ = Módulo de resistencia producido por el peso propio de una viga en m3 o in3. 2.10 Deformación del elemento causada por el momento flector M. 1 M = ρ EI Donde: 1/ρ = Deformación del elemento causada por el momento flector, en m-1 o in-1. ρ = Radio de la curvatura del elemento en m o in. E = Módulo de elasticidad del material en Pa o psi.

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2.11 Esfuerzo admisible por una viga con un factor se seguridad. σ#'( =

σ" F. S.

Donde: σperm = Esfuerzo admisible por una viga en Pa o psi. σu = Esfuerzo último en Pa o psi. F.S. =Factor de seguridad, adimensional. VI. Conceptos y Palabras Clave. Los conceptos que se enlistan enseguida te ayudarán a identificar aspectos específicos de la lectura anterior, por ello, es importante que investigues el significado de cada uno de ellos en el contexto estricto de la asignatura, anotando dichas definiciones en una hoja independiente, indicando a su vez la(s) fuente(s) bibliográfica(s) en donde consultaste la información preferentemente en formato APA. - Fuerza cortante - Momento flector. - Viga. - Estructura. - Fuerza Normal. - Gravedad. - Centroide. - Masa. - Flexión. - Inercia. VII. Preguntas de Repaso. Las preguntas que se formulan enseguida te ayudarán a comprender de mejor manera la temática del bloque, por ello, es importante que respondas a cada una de ellas con tus propias palabras. Si lo requieres, puedes apoyarte en la tercera y cuarta sección de tu guía. Anota tus respuestas en una hoja independiente. 1. ¿Cuáles los tipos de cargas y de apoyos que podemos encontrar al momento de analizar una viga? 2. ¿Al analizar una viga, cómo podemos saber si es o no estáticamente indeterminada? 3. ¿Cuál consideras que es la importancia del conocimiento del centro de gravedad en arquitectura? 4. Investiga en cualquier fuente de consulta la diferencia existente entre el centro de masa y el centro de gravedad. 5. El diseño de una viga para que soporte de la manera más efectiva cargas aplicadas es un procedimiento que involucra dos partes ¿Cuáles son? 6. Menciona y describe las distintas condiciones de sujeción a las que puede ser sometida una viga. 7. ¿En qué consisten los primeros momentos de área? 8. Describe el teorema de Steiner y su aplicación en arquitectura. 9. Es importante mencionar que para obtener las relaciones entre el momento flexionante y esfuerzos normales por flexión que se producen, y entre la fuerza cortante vertical y los esfuerzos cortantes, se deben considerar cinco hipótesis ¿Cuáles son? 10. Describe la fórmula de la escuadría e indica su aplicación en el campo de la arquitectura. 11. ¿Qué es la inercia rotacional?

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VIII. Actividades. Las actividades mencionadas a continuación te serán de ayuda para asentar los conocimientos adquiridos durante el segundo bloque de la asignatura, por esta razón es importante que completes cada una de ellas con la información y datos que se te piden. 1. Investiga en cualquier fuente de información, por lo menos dos aplicaciones de cada uno de los perfiles mostrados en la siguiente tabla. PERFIL

NOMBRE

APLICACIÓN

WH

Tubo Circular

Tubo Rectangular

Ángulo

Canal

WT

Z

C

Omega

Z

IX. Problemas de Aplicación. Los siguientes problemas de aplicación reforzarán las actividades teóricas vistas hasta el momento, por ello es necesario resolver todos y cada uno de ellos empleando tu ingenio y lo aprendido durante las sesiones clase.

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1. Localiza el centro de gravedad del área plana de cada una de las siguientes figuras, así como su momento de inercia.

a.

b.

c.

d.

d.

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e.

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2. Para las siguientes vigas, obtén el máximo momento flexionante y la máxima fuerza cortante, así como la ubicación de ambos a lo largo del claro.

a.

b.

c.

d.

e.

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f.

g. 3. Una sección de una viga de hierro colado se somete a un par de 3 kN·m tal como se muestra en la figura. Si E = 165 GPa y se desprecia el efecto del filete, determina los esfuerzos máximos de tensión y compresión en el elemento fundido, así como su radio de curvatura.

4. Dos fuerzas verticales se aplican a una viga con la sección transversal mostrada en las figuras. Determina los esfuerzos máximos de tensión y de compresión de la viga.

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5. Determina el máximo valor de W que pueda resistir la viga de la siguientes figura si σt ≤ 20 MPa y σc ≤ 60 MPa.

X. Referencias Bibliográficas. - Beer, F. P. et al. (2004). Mecánica de Materiales. México: McGraw-Hill Interamericana. - Beer, F. P. (2010). Mecánica Vectorial para Ingenieros: Estática. China: McGraw Hill. - Pytel A. y Singer F. L. (1994). Resistencia de Materiales. México: Harla. - Shanley F. R. (1971). Mecánica de Materiales. México: McGraw Hill. - Sturges, W. F. (2008). Ingeniería Mecánica: Estática. México: Reverté. - Young, H. D. (2009). Física Universitaria Volumen 1. México: Addison-Wesley.

Firma del Alumno

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