SEGUNDA PARCIAL

LAPSO 2007-2

Universidad Nacional Abierta

Geometría(754)

Vicerrectorado Académico

Fecha: 6-10-2007

Área de Matemática

Licenciatura en Matemática

754-1/3

Educación Matemática

MODELO DE RESPUESTAS

PREGUNTAS Y RESPUESTAS Obj 5 Pta 5 i)¿Es un semiplano un conjunto convexo? Explique su respuesta de manera detallada. Solución: Es una aplicación directa del postulado de separación de los planos de la selección de lecturas. ii) ¿Puede una figura en el plano que contiene un hueco ser un conjunto convexo? Razona tu respuesta.

Figura con hueco Crirerio de corrección: Ambas partes correctas son necesarias para lograr el objetivo Solución: a) b)

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754

Segunda Parcial Geometría

En la figura mostramos 2 puntos del conjunto dado y el segmento que los une( en blanco para poder visualizarlos). Observe que elsegmento no queda contenido en el conjunto. Luego el conjunto no es convexo.

Obj 6 Pta 6 Demostrar que la proposición conocida como pons asinorum, es decir que en un triángulo isósceles los ángulos de la base son iguales.

Triángulo isósceles Solución:

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Trazamos el segmento que une al punto A con el punto medio del segmento BC, es decir M. Observemos que los triángulos
ABM y
AMC son congruentes por tener los tres lados iguales. El estudiante UNA debe explicar por qué. Luego B = C como queríamos demostrar. El origen de la expresión Pons Asinorum La expresión quiere decir en latín, puente del asno. Señalaba el segmento auxiliar que construimos AM que era el puente y solo los más aptos lo superaban y podían continuar avanzando en el estudio de la geometría. Los asnos no lo cruzaban y su estudio quedaba truncado. Al menos esto es la versión más popular de esta expresión.

Obj 7 Pta 7 Se conoce que las longitudes de los lados de un triángulo están en progresión aritmética: a, a+r, a+2r con a,r>0. En particular el lado de menor longitud tiene longitud a. Demuestre que a>r. Solución: Vamos a aplicar la desigualdad triangular, por ella se tiene que a + a + r > a + 2r ⇒ a > r que es lo que queríamos demostrar.

Obj 8 Pta 8 Demostrar que si dos tangentes a un círculo son paralelas entre sí entonces sus puntos de tangencia son los extremos de un diámetro que es perpendicular a ambas tangentes. Solución:

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Supongamos que no tuviésemos un diámetro en la figura mostrada arriba.

Sabemos que el segmento(radio) OA crta a la primera tangente en ángulo recto. Luego por el Teorema 8 de la selección de lecturas su prolongación OM(que junto con OA forman un diametro) debe cortar en ángulo recto a la otra paralela. Pero entonces el triángulo
OAM tendría dos ángulos rectos en la base. Un absurdo que se deriva de suponer que el segmento no era un diámetro.

Fin del modelo