UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DE CHIAPAS

FACULTAD DE INGENIERÍA CAMPUS I

TESIS Hidráulica a superficie libre: Fundamentos y ejercicios

QUE PARA OBTENER EL TÍTULO DE

INGENIERO CIVIL

PRESENTADO POR LUIS FERNANDO HERNÁNDEZ CARRILLO

DIRECTOR

/8,6 )(51$1'2 +(51È1'( = &$55,//2 Tuxtla Gutiérrez, Chiapas

MAYO 2016

)LUPDGRGLJLWDOPHQWHSRU/8,6 )(51$1'2+(51È1'(= &$55,//2 '1FQ /8,6)(51$1'2 +(51È1'(=&$55,//2 JQ /8,6)(51$1'2 +(51È1'(=&$55,//2 F 0p[LFRO 0; H LQJKHUQDQGH]F#KRWPDLOFRP 0RWLYR6R\HODXWRUGHHVWH GRFXPHQWR 8ELFDFLyQ78;7/$*87,(55(= &+,$3$6 )HFKD

I

ÍNDICE GENERAL

ÍNDICE GENERAL ----------------------------------------------------------------------------------II

Cap.

Pág.

1. INTRODUCCIÓN---------------------------------------------------------------------------------1

1.1. Importancia de las leyes del movimiento en la hidráulica------------------------------1 1.2. La hidráulica de canales a superficie libre------------------------------------------------2 1.2.1. Aplicaciones prácticas de la geometría de un canal------------------------------6 2. ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA---------------------------13 2.1. Ecuación de conservación de la masa----------------------------------------------------13 2.1.1. Versión cinética---------------------------------------------------------------------14 2.1.2. Versión volumétrica----------------------------------------------------------------15 2.2. Ecuación de conservación de la energía-------------------------------------------------17 2.2.1. Ecuación de Bernoulli--------------------------------------------------------------18 2.2.2. Ecuación de la energía--------------------------------------------------------------20 2.2.3. Energía específica y régimen crítico----------------------------------------------21 2.2.3.1. Energía específica del flujo rectilíneo-------------------------------------21 2.2.3.2. Régimen crítico curva Y vsE-----------------------------------------------25 2.2.3.3. Régimen crítico--------------------------------------------------------------27 2.2.3.4. Condición para la energía específica constante (Curva Q vs y)-------34 2.3. Ecuación de impulso y cantidad de movimiento---------------------------------------36 2.4. Aplicaciones prácticas de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica---------38 3. ECUACIÓN DEL RESALTOHIDRÁULICO-----------------------------------------------45 3.1. Fuerza hidrostática--------------------------------------------------------------------------45 3.2. Fuerza dinámica-----------------------------------------------------------------------------48 3.2.1. Cantidad de movimiento------------------------------------------------------------50 3.3. Aplicaciones prácticas de la ecuación del resalto hidráulico-------------------------56 4. ECUACIÓNES SEMIEMPÍRICAS FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA DE CANALES PARA FLUJO UNIFORME------------------------68 4.1. Ecuación de Chezy-------------------------------------------------------------------------68 4.2. Ecuación de Robert Manning-------------------------------------------------------------70 4.3. Aplicaciones prácticas de las ecuaciones de la hidráulica de Canales para flujo uniforme----------------------------------------------------------------76 5. FLUJO GRADUALMENTE VARIADO-----------------------------------------------------92 5.1. Ecuación de la energía para el flujo gradualmente variado--------------------------92 5.2. Solución de problemas de flujo gradualmente variado-------------------------------96 II

Cap.

Pág.

5.2.1. Método estándar por pasos---------------------------------------------------------96 5.2.2. Método estándar directo-----------------------------------------------------------102 5.3. Aplicaciones prácticas del flujo gradualmente variado------------------------------105 Conclusión---------------------------------------------------------------------------------------127 Referencias.--------------------------------------------------------------------------------------128

PRESENTACIÓN Este libro está realizado pensando en todos esos estudiantes que llevan las ciencias de la ingeniería a todos lados y que tienen un especial amor o respeto hacia el agua, también para quien disfrute de las leyes de la física y sus aplicaciones más sorprendentes, dado que no es un libro muy ostentoso su riqueza cultural y matemática es incomparable.

III

En esta bibliografía se encontrará con datos y anécdotas sobre la física y la hidráulica que muy pocos conocen provocando un pequeño viaje a mundos olvidados y que sin duda alguna despertará en los amantes de este tipo de literatura un hambre por conocer más de estos temas, realizada para la correcta comprensión de la hidráulica de canales a superficie libre este libro cuenta con un lenguaje fluido y conciso, en este documento se le da al lector o estudiante de ingeniería la posibilidad de ver y comprender la hidráulica de canales desde el punto de vista de la física clásica o física de Newton al fundamentarse de ella y auxiliándose de las leyes matemáticas, demostrando así varias de sus ecuaciones provocando que el lector se identifique con este tan importante líquido para toda la humanidad. Este libro está diseñado para que el lector se enamore del agua, para que le tome un cariño especial; como aquel niño que por primera vez conoce la inmensidad el mar o descansa en el remanso de un río y se maravilla de tan increíble elemento; así este libro requiere que usted se maraville en cada una de sus páginas y le impulse a continuar nadando en el gran mar de conocimientos que es la hidráulica. Ing. Luis Fernando Hernández Carrillo

IV

CAPITULO 1 INTRODUCCIÓN 1.1. Importancia de las leyes del movimiento en la hidráulica Las leyes del movimiento son la base de la física clásica, con ellas se dan solución a todos los fenómenos ocurridos por acción de fuerzas externas y gravitacionales hacia los objetos. Por este motivo los estudios de las leyes del movimiento son esenciales en el estudio de la hidráulica pues este consiste en el estudio de las acciones y fenómenos ocurridos en el agua por acción de su fuerza y su gravedad. Muchas ecuaciones de la hidráulica tienen su fundamento en las leyes del movimiento, pero llevó mucho tiempo encontrarlas. Fueron varios los científicos los que invirtieron mucho de su tiempo para poder demostrar algún fenómeno que se le haya presentado ya sea por casualidad o para dar solución a algún problema, todos ellos resueltos con varias horas de observación, experimentación y estableciendo modelos matemáticos. Ecuaciones como el de la ley de la conservación de la masa del monje Benedetto Castelli es uno de los varios ejemplos de científicos que buscaron dar solución a un problema basando sus estudios en las leyes de Newton. La primera ley del movimiento señala que todo cuerpo mantiene su estado de reposo o una misma trayectoria a menos que se le aplique una fuerza exterior la cual modifique esta, esta ley conocida como la ley de la inercia toma en cuenta la tendencia de un cuerpo a detenerse por la fricción de su superficie o la acción de una fuerza que detenga su movimiento. Se puede imaginar en este escenario la idea de un río el cual al principio por tener una pendiente grande lleva una velocidad muy acelerada, pero aguas abajo donde la pendiente es menor y a causa de la fricción de su superficie esta reduzca su velocidad. La segunda ley del movimiento o la ley de la fuerza, indica que todo cambio de movimiento sobre un cuerpo es proporcional a la fuerza aplicada sobre este. En hidráulica se puede utilizar esta ley para predecir la fuerza que tendrá un cuerpo de agua sí se conocen su masa y su aceleración el cual se puede aplicar en el caso de las presas hidroeléctricas al producir energía eléctrica a partir de la energía potencial del agua, al hacer girar una turbina la cual produce energía eléctrica por medio de la fuerza que contiene el agua al caer de una considerable altura. La tercera ley del movimiento o la ley de la acción y la reacción, establece que para toda acción sobre un cuerpo ocurre una reacción igual, pero en sentido contrario. En ingeniería

1

la teoría y práctica de esta ley es utilizada en el diseño de canales y cortinas en una presa, ya que si no se diseñaran estos últimos para sostener una fuerza de empuje equivalente a la cantidad de agua que sostendrán; entonces podría fallar, así que se diseñan con una fuerza superior a esta. Como estos hay muchos más ejemplos en los cuales se aplican las leyes más importantes para la ingeniería y la hidráulica, con forme se avance en la bibliografía se encontrarán más aplicaciones para la mejor comprensión de los temas tratados.

1.2. La hidráulica de canales a superficie libre El estudio de la hidráulica de canales se ha vuelto de vital importancia para la solución de problemas relacionados con el almacenamiento, uso y transportación del agua, volviéndose esta una materia obligada en el estudio de la ingeniería en nuestro país; ya que en ella se destacan los comportamientos y características del agua volviéndose un manual para la verdadera comprensión de este líquido tan importante en el país.

Un canal es un cauce por el cual circula agua y se encuentra descubierto a la atmósfera, estos se pueden clasificar de dos maneras de acuerdo a su origen, como naturales o artificiales. Un canal natural como ejemplo un río o arroyo; es aquel en el cual su formación no tuvo que ver el ser humano y transporta el agua proveniente de la lluvia desde lo más alto de una montaña hasta el mar, un lago u otro afluente, se encuentra impulsada por solamente la fuerza de gravedad. Dependiendo de la altura y pendiente de esta, el canal natural tendrá meandros o transporte de sedimentos; por esto último y lo irregular del terreno natural se establece que un canal de este tipo siempre tendrá una sección transversal irregular.

Por otro lado, un canal artificial es aquella estructura construida por el hombre con el fin de transportar agua, ya sea para abastecer una población, para riego de cultivo o como medio de transporte, esta tiene una geometría definida y sí mantiene una pendiente y geometría constante entre determinados puntos se dice que es prismática. Los canales artificiales se pueden clasificar a su vez de acuerdo a su geometría, siendo los más utilizados en todo el mundo dos de ellos; el de sección trapezoidal y el de sección rectangular, de esta manera de acuerdo a su sección cada uno tendrá diferentes propiedades geométricas. 2

T

y

1

k b Figura 2. Elementos geométricos de un canal con sección trapezoidal

Perímetro mojado: Es la línea que rodea el canal y que está en contacto con el agua y la sección. Se calcula para un trapezoide de la siguiente forma.

P = b + 2 1+ k 2 y

(1)

Área hidráulica: Es el área ocupada por el agua dentro del canal.

A =  b + ky  y

(2)

Ancho mayor: Es el ancho superior del canal en el cual mantiene una superficie libre. T = b + 2ky

Dónde: y= Tirante hidráulico (m). T= Ancho mayor de superficie libre (m). b= Ancho menor de superficie (m). k= Talud, indica la inclinación de las paredes del canal. P= Perímetro mojado (m). A= Área hidráulica (m2). 3

(3)

y

b Figura 3. Elementos geométricos de un canal con sección rectangular Perímetro mojado:

P = b + 2y

(4)

A = by

(5)

Área hidráulica: Dónde: P= Perímetro mojado (m). A= Área hidráulica (m2). y= Tirante hidráulico (m). b= Base del canal (m).

Otro tipo de sección muy utilizado en el país es el de sección circular muy característico su uso como en tuberías de drenaje y alcantarillado, tiene las siguientes características. T

D y



Figura 4. Elementos geométricos de un canal con sección circular

4

Tirante:

Angulo:

0

y 1 D

T  θ = 2Cos-1 1- 2  D 

Área hidráulica:

A=

Perímetro mojado:

P=

Radio hidráulico:

Ancho de la superficie libre (T):

πD 2 4 πDθ 360

1  sen2θ  Rh = 1D 4 2θ 

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

T =  Senθ  D

(11)

T = 2 y D - y

(12)

Como ya se mencionó antes se pueden encontrar muchos más tipos de secciones, pero esta bibliografía se enfocará en la rectangular y trapecial por ser las más comunes en todo el mundo y por la facilidad de su análisis.

5

1.4.1 Aplicaciones prácticas de la geometría de un canal Ejemplo 1 Calcular las propiedades geométricas de un canal trapezoidal con las dimensiones siguientes: 9m

3m

1 1 6m

Solución Datos

Fórmulas

Substitución

y = 3m

P = b + 2 1+ k 2 y

P = 6 + 2 1+12  3 

T = 9m

A =  b + ky  y

P = 6+2

 2 3

b = 6m

P =14.48m

k =1

A = 6 + 1 3  3





A = 27m 2

Ejemplo 2 Calcular las propiedades geométricas de un canal rectangular con las siguientes dimensiones. Datos

Formulas

y= 3m

Pm = b + 2y

b= 4m

Ah = by

Solución Pm = 4 + 2(3) = 10m A h = 4(3) = 12m

3m

2

4m

6

Ejemplo 3 Calcular las propiedades geométricas de un canal rectangular con las siguientes dimensiones. Datos

Solución

y=6 m

Pm = b + 2y

y=6 m

Pm = 6 + 2(6)

b=6 m

Pm = 18m b=6 m

A h = by A h = 6(6) A h = 36m 2

Ejemplo 4 Calcular las propiedades geométricas de un canal trapezoidal con las siguientes características. Datos

Solución

y=6 m

Pm = b + 2 1+ k 2 y

b=6 m

Pm = 6 + 2 1+  2  6

k=2

Pm = 32.76m

y=6 m

2

b=6 m

A h =  b + ky  y

Ah =  6 + 2  6   6 A h = 108m2

7

k=2

Ejemplo 5 Calcule las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería que llevará un tirante y=0.20m y un diámetro D= 0.30m

D=0.30 m y=0.20 m

Solución Ancho de la superficie libre (T)

T = 2 y D - y T = 2 0.20  0.30 - 0.20  T = 0.2828m

T  θ = 2Cos -1 1- 2  D  0.2828   Ángulo: θ = 2Cos -1 1- 2  0.30   θ = 304.5851o

πDθ 360 π  0.30  304.5851 Perímetro mojado: P = Radio hidráulico: 360 P = 0.7974m P=

Área:

A=

πD2 4

π  0.30  A= 4 A = 0.0707m 2 2

8

1  Sen2θ  Rh = 1D 4 2θ  1  Sen2 109.47   Rh = 1 0.30 4 2 109.47   Rh = 0.075m

Ejemplo 6 Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas para una tubería de drenaje pluvial con un diámetro de 1.5 m que transportará un tirante de 1.15m.

D= 1.50 m y= 1.15 m

Solución Ancho de la superficie libre (T)

T = 2 y D - y T = 2 1.15 1.50 -1.15  T = 1.2688m

πDθ 360 π 1.50  267.5349  Perímetro mojado: P = 360 P = 3.50m

T  θ = 2Cos -1 1- 2  D  1.2688   Ángulo: θ = 2Cos -1 1- 2  1.50   θ = 267.5349o

P=

Área:

A=

Radio hidráulico:

πD 2 4

π 1.50  A= 4 A = 1.7671m 2 2

9

1  Sen2θ  Rh = 1D 4 2θ  1  Sen2  267.5349   Rh = 11.50 4 2  267.5349   Rh = 0.3749m

Ejemplo 7 Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de un canal de sección rectangular si este tiene un área de 3 m2 y una base de 1.20 m.

Datos

Solución

A= 3 m2

A = by A y= b 3 y= 1.20 y = 2.5m

b= 1.20 m y=? P=?

P = 2y + b P = 2  2.5  +1.2 P = 6.20m

Ejemplo 8 Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de un canal de sección trapezoidal si este tiene un área de 5 m2, una base de 1.5 m y k= 2. Datos

Solución

A= 5 m2

A =  b + ky  y

b= 1.5 m

5 = 1.5 + 2  y   y

k=2

Para y=1.25m y = 1.25m

5 = 1.5 + 2y  y

5 = 1.5 + 2 1.25   1.25 5=5

y=?

Ahora iteramos dando

P=?

valores al tirante (y) hasta

P = b + 2 1+ k 2 y

encontrar el que satisfaga

P = 1.5 + 2 1+  2  1.25

la ecuación.

P = 7.0902

10

2

Ejemplo 9 Calcular las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería circular si este tiene una T=0.72 m y un diámetro de 1 m. Datos

Solución

T=0.72 m

A= D= 1 m

T  θ = 2Cos -1 1- 2  D  0.72   θ = 2Cos -1 1- 2  1  

πD2 4

π 1 A= 4 A = 0.7854m 2 2

Ángulo=? y=?

θ = 232.2077 o

πDθ 360 π 1 232.2077  P= 360 P = 2.0264m P=

P=? Área=?

Ahora con la fórmula de T iteramos hasta encontrar el valor del tirante que satisfaga la ecuación. T = 2 y D - y 0.72 = 2 y 1- y 

Para y=0.847 m 0.72 = 2 0.847 1- 0.847  0.72 = 0.7199  0.72m

Ejemplo 10 Calcula las propiedades geométricas e hidráulicas de una tubería con diámetro de 0.50 m y un tirante de 0.35 m. Solución

πD2 4

T = 2 y D - y

A=

T = 2 0.35  0.50 - 0.35 

π  0.50  A= 4 A = 0.1963m 2

T = 0.4582m

2

11

1  Sen2θ  Rh = 1D 4 2θ  1  Sen2 113.58   Rh = 1 0.50 4 2 113.58   Rh = 0.1246m

T  θ = 2Cos -1 1- 2  D  0.4582   θ = 2Cos -1 1- 2  0.50   θ = 292.775o

πDθ 360 π  0.50  292.775  P= 360 P = 1.2775m P=

12

CAPÍTULO 2 ECUACIONES FUNDAMENTALES DE LA HIDRÁULICA

2.1. Ecuación de conservación de la masa Son llamadas ecuaciones fundamentales a todas las que por su relación o configuración en su estructura es posible obtener otros datos para resolver un problema sólo con despejar o sustituir algún dato. Las ecuaciones fundamentales de la hidráulica como su nombre lo dicen son las más importantes ya que de ellas se desprenden otras ecuaciones y es posible dar solución a problemas a los que explícitamente no contamos con más información. Antes de comenzar con el estudio de la hidráulica se debe de tener muy claro la amplia relación de las leyes de la mecánica de Newton con el estudio de esta ciencia pues desde el punto de vista de la mecánica clásica el agua es considerada como una masa en movimiento influenciada por la fuerza de gravedad y con masa constante regida por la ley de conservación de la masa. También conocida como “Ecuación de continuidad” o “Ecuación de Castelli” en honor a al monje benedictino y físico Benedetto Castelli (Brescia, Italia1577- Roma, 9 de abril, 1643) quien fuera contemporáneo de Galileo Galilei y quien estableció de manera empírica; mediante la observación y experimentación lo que hoy conocemos como la Ecuación de continuidad. Cuenta una anécdota que, en el año 1598, Roma sufrió una inundación con el desbordamiento del río Tiber; como tales inundaciones se habían venido presentando con cierta frecuencia, se consideró conveniente aumentar el cauce del río. Había que determinar con ese objeto cuanta era el agua que realmente había escurrido (Enzo, Levi, El agua según la ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, México). El arquitecto Giovanni Fontanna (1546- 1614) intentó medir el escurrimiento real, pero no podía hacerlo en el mismo cause porque este había sido insuficiente. Decidió entonces calcular el gasto sumando los aportes en el tramo superior y en todos los afluentes. El resultado fue 500 cañas cuadradas medida de aproximadamente de poco más de 2 metros. El río contaba con aproximadamente un tercio de esa medida por lo que Fontanna decidió construir dos cauces con esas 500 cañas. Sin embargo, toda el agua cupo en un puente de 150 cañas a lo que Fontanna concluyó que el agua debió haberse comprimido.

13

Esta conclusión no convenció al padre Benedetto Castelli “no entiendo como el agua sea como el algodón o la lana, materiales que pueden comprimirse o apretarse” también dice Castelli “Habiendo cabido toda la avenida debajo del puente sería suficiente un solo cauce con la misma capacidad de dicho puente, siempre que el agua escurriera con la misma velocidad que alcanzó debajo de él en ocasión de la inundación” (Enzo, Levi, El agua según la ciencia, 1989, ed.Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, México). Esta ecuación establece que la proporción entre la cantidad de agua que escurre por un río cuando este tiene cierta altura de agua y la que escurre en el mismo río cuando tiene otra altura, está en razón compuesta de la velocidad con la velocidad y de la altura con la altura. A continuación, la demostración de la ecuación de conservación de la masa o ecuación de Castelli.

2.1.1 Versión cinética Sea, un caudal de sección cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en un determinado tiempo.

Figura 5. Sea un caudal de sección cualquiera Se toma una diferencial de superficie

ds :

Figura 6. Profundidad ds de un caudal cualquiera Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial ds se tiene: ˙

*= v .d s *= vector de velocidad asociado a una diferencial de superficie ds 14

(13)

Se integra ˙

*=

v .d s

(14)

˙

*= v

ds

Se acomodan términos y denominando ˙

Entonces

= vs

(15)

Q = vA

(16)

Ecuación de conservación de la masa en su versión cinética Dónde: .

v =Velocidad puntual (m/s) ds

= Diferencial de superficie (m2)

Q= Caudal (m3/s) A= Área hidráulica de la sección (m2) t= Tiempo (s) v =Velocidad promedio (m/s)

2.1.2 Versión volumétrica Sea un caudal de sección cualquiera, a la cual pasa cierta cantidad de masa en un determinado tiempo

Figura 7. Sea un caudal cualquiera 15

Se toma una diferencial de superficie ds:

ds

Figura 8. Profundidad ds de un caudal cualquiera Tiene asociado un vector v , asociado a una superficie diferencial ds se tiene: ˙

*= v .d s

(17) ˙

Integrando

*=

v .d s

(18)

Acomodando términos y denominando ˙

= vs

(19)

Q = vA

(20)

d t

(21)

d A t

(22)

V t

(23)

Entonces Ecuación de conservación de la masa en su versión cinética

Si Entonces

Por lo tanto

V=

Q=

Q=

que es la Ecuación de conservación de la masa en su versión volumétrica

16

Dónde: .

v =Velocidad puntual (m/s) ds

= Diferencial de superficie (m2)

V = volumen (m3) Q= Caudal (m3/s) A= Área hidráulica de la sección (m2) t= Tiempo (s)

d = Distancia (m) v = Velocidad promedio (m/s)

2.2 Ecuación de conservación de la energía Al igual que la masa la energía se conserva, en la ley de conservación de la energía se establece que la energía no se crea ni se destruye sólo se transforma, esta ley también llamada ley de Lomonósov- Lavoisier descubiertas de manera independiente por Mijaíl Lomonósov en 1745 y Antoine Lavoisier en 1785 respectivamente es perfectamente aplicable tanto a canales abiertos como cerrados. El primero en realizar estudios con fluidos para demostrar este argumento fue Daniel Bernoulli en su obra Hidrodinámica (1738) y establece que un fluido ideal (sin viscosidad ni rozamiento) en régimen de circulación por un conducto cerrado, la energía que posee el fluido permanece constante a lo largo de su recorrido en cambio en un conducto abierto como un canal y tomando en cuenta el rozamiento este presentará pérdidas mínimas por el efecto de evaporación por rozamiento al liberar energía en forma de calor sin embargo al final de su recorrido la sumatoria de la energía recorrida al final más la energía perdida deberá ser la misma a la energía al principio del recorrido demostrando de esta forma la ley de conservación de la energía. En la hidráulica se pueden encontrar muchos tipos de energía, pero para uso de este tema se tomará en cuenta dos de ellas la energía cinética y la potencial del agua.

17

2.2.1 Ecuación de Bernoulli Se supone la rasante de un canal cualquiera con longitud d (de cota 1 a cota 2) con una pendiente θ respecto a un nivel horizontal, como se muestra en la figura 8 donde en la cota 1 desde la horizontal hasta la rasante del canal tenemos un punto z 1 del otro lado de igual forma se tiene un

z2

,a continuación se tiene un tirante

con una energía cinética

y1

y un tirante

y2

de igual manera,

v12 desde el punto más alto del tirante hasta la línea de energía, del 2g

v 22 otro lado de la misma forma se tiene a , se considera que desde el primer punto de 2g estudio el canal tiene una pérdida 0 por lo que no se considera en la figura pero en una distancia recorrida d ya es considerable esta se expresa con

h f , la ecuación de la energía

establece que la misma cantidad de energía que se tiene a partir del punto 1 es la que se tendrá al finalizar el punto 2 equilibrándose esta en cualquiera de los datos de este punto. La energía cinética es la siguiente: La ecuación de la energía cinética Ec =

Simplificando

1 mv 2 2

(24)

mv 2 2

(25)

m V

(26)

Ec =

Se sabe que la fórmula de la densidad es: ρ=

Despejando la masa en (26) se tiene m = ρV

(27)

v2 E c = ρV 2

(28)

Sustituyendo (27) en (25) queda

18

Si se sabe que la fórmula del peso específico es

γ = ρg

(29)

Se despeja la densidad de la fórmula anterior (28) y se obtiene

ρ=

γ g

(30)

Se sustituye la fórmula (30) en la (28) y queda

Ec =

γ v2 V g 2

(31)

Si se considera una masa y un volumen unitario la fórmula resulta

v2 Ec = 2g

(32)

Que es la fórmula de la energía cinética Dónde:

γ = Peso específico (N/m3)

ρ = Densidad (kg/m3) V = volumen (m3) v =velocidad

(m2/s)

P.H.C. E1

E2

Figura 9. Representación de un canal con la línea de energía 19

(33)

E1 = E 2

E1 = z1 + y1 +

v12 2g

(34)

v 22 2g

(35)

E2 = z2 + y2 + Ec. de Bernorulli

z1 + y1 +

v12 v2 = z2 + y2 + 2 2g 2g

(36)

Ec. de la energía

z1 + y1 +

v12 v2 = z2 + y2 + 2 + 2g 2g

h f1-2

(37)

Ecuación de la energía. donde: z1 y z 2 y1

y

=es la vertical del canal desde la horizontal hasta el primer punto de esta (m)

y2 =

es el tirante en cada sección del canal (m)

v12 y v 22 = es la velocidad de la energía cinética (m/s) g = la fuerza de gravedad (m/ s 2 ) hf

=es la pérdida de energía por efecto del calor

2.2.2. Ecuación de la energía La energía es definida en física como la disposición de un cuerpo para realizar un trabajo, en hidráulica el agua tiene esa disposición a partir de los diversos componentes de energía. La ecuación de la energía está conformada por la ley de Lomonósov- Lavoisier descubiertas de manera independiente por Mijaíl Lomonósov en 1745 y Antoine Lavoisier en 1785 y que cuenta con diferentes elementos que la constituyen como:

20

E = Energía, capacidad de un cuerpo de realizar un trabajo z=

Es la carga de elevación (m)

y = Es el tirante en cada sección del canal (m) v2 = Es la energía cinética del agua 2g hf

=es la pérdida de energía por efecto de la fricción

Esta ecuación tiene sus restricciones en fluidos como los siguientes:    

Sólo es válida para fluidos incomprensibles Entre las dos secciones de interés no puede haber dispositivos mecánicos como bombas, motores de fluido o turbinas. No puede haber pérdida de energía por la fricción o turbulencia que generen válvulas y accesorios en el sistema de flujo. No puede existir transferencia de calor hacia el sistema o fuera de este.

NOTA: Es casi imposible que se puedan cumplir todas estas restricciones en campo. (Mecánica de fluidos, Robert L Mott; Javier Enriq́ uez Brito; Javier León Cárdenas, 2006, Prentice-Hall: Pearson Educación, México, D.F.). Las aplicaciones de las leyes de la energía se han dado desde la antigüedad, se pueden observar en el uso de molinos hidráulicos para diversos fines o en el diseño de canales para transporte; entre otros ejemplos, hoy en día el uso más importante de esta ley es la generación de energía hidroeléctrica. El conocimiento de la ecuación de la energía permite aparte de aprovechar esa energía, también a controlarla, por ejemplo, en un canal con una pendiente fuerte, poder diseñar algún obstáculo o mecanismo para disipar o reducir esa energía para evitar cualquier problema.

2.2.3. Energía específica y régimen crítico 2.2.3.1. Energía específica del flujo rectilíneo Partiendo desde la definición de que la energía total de cualquier sistema está dada por la energía potencial más la energía cinética aplicado a cualquier masa en reposo con inercia cero o en movimiento rectilíneo uniforme. En el caso del agua al ser un elemento másico dado que está conformado por una masa, esta contiene los dos elementos, la energía 21

potencial y la cinética, los cuales se puede apreciar en su ecuación para la energía total que

v12 + h f t , cuando la pendiente y el tirante en un canal son constantes es E t = z t + y t + 2g es factible usar esta ecuación pero al angostarse un canal y cambiar su tirante la ecuación también cambia y se utilizaría en este caso la ecuación de la energía específica para conocer el régimen hidráulico del canal, de esta manera la ecuación se aplicará a cambios bruscos de una sección, estas pueden ser una ampliación brusca, una reducción brusca, un incremento brusco del fondo o un decremento brusco del fondo de la sección de un canal como se ejemplifica en las siguientes figuras.

Figura 10. Ampliación brusca de un canal

Figura 11. Reducción brusca de un canal

Figura 12. Incremento brusco del fondo de un canal

Figura 13. Decremento brusco del fondo de un canal 22

Al ocurrir un cambio en la sección como en las anteriores ejemplificadas se debe responder qué ocurre con su tirante y cómo varía este. Por lo tanto, al cambiar el tirante cambia la ecuación de conservación de la energía, esta ecuación es la ecuación de energía específica.

v12 v2 = z2 + y2 + 2 + h f1-2 2g 2g sí se desprecian las pérdidas y el nivel de referencia, nos queda el tirante y la velocidad, entonces se establece que la energía específica por definición hidráulica es la suma del tirante de un canal más la carga de su velocidad al cuadrado (energía cinética). Retomando la ecuación de la energía que es igual a: z1 + y1 +

EE = yt +

v2 2g

(38)

v2 ;( Ec. 38), si se quiere expresar esta 2g misma ecuación para la condición de energía específica para gasto constante se expresa esta La ecuación de la energía específica es E E = y +

Q2 ;(Ec. 38’) sustituyendo como se 2gA 2 puede observar la velocidad al cuadrado por su igualdad que es gasto al cuadrado sobre el área cuadrada. misma ecuación de la siguiente forma E E = y +

Para el caso de pendientes grandes la energía específica es:

v2 E E = ycosθ + 2g

(39)

Y para el caso de la ecuación de la energía para pendientes grandes de igual forma se tiene:

z1 + y1cosθ +

v12 v2 = z 2 + y 2cosθ + 2 + 2g 2g

23

h f1-2

(40)

L.E. Partícula de agua

P.H.C. E1

E2

Figura 14. Diagrama del comportamiento de una partícula de agua en un canal con pendiente grande

En la energía del flujo rectilíneo en un canal, si se toma al tiempo como criterio es considerado que el flujo es permanente siempre y cuando la velocidad promedio de una sección sea la misma, en el caso de que la velocidad cambie en determinada parte de la sección el flujo se considera flujo no permanente. Los casos más comunes donde se presentan los flujos no permanentes es en los ríos, dado sus secciones irregulares, en el otro caso los canales prismáticos son considerados de flujo permanente. Si se quitan el tiempo como criterio de clasificación y se toma al espacio, se considera que un flujo es uniforme cuando la velocidad entre dos secciones es la misma, de lo contrario; si la velocidad entre estas dos secciones cambia se dice que el flujo es variado y a su vez no permanente. Este fenómeno se puede observar por una variación en la sección de un canal o por la presencia de una estructura y se utiliza en los canales para acelerar o desacelerar la velocidad que lleva el agua en un canal sobre todo en los canales de riego o en los sistemas de agua potable. Otra clasificación de los canales que se puede encontrar es de acuerdo con el efecto de su viscosidad o el número de Reynolds ( R e ) y su clasificación puede ser por el flujo laminar o turbulento, así como también por flujo de transición estas tres clasificaciones están regidas de la siguiente manera: 24

Re =

vR h

(41)

Dónde: Re =

Número de Reynolds (adimensional)

v = velocidad (m2/s) Rh =

Radio hidráulico (m)

= viscosidad cinemática del agua (m/s2)

Para canales se establece la clasificación de acuerdo a las siguientes relaciones Se dice que es un flujo laminar cuando 500

Re

12500

y un flujo turbulento

Re

500 ,

un flujo de transición

12500 .

Re

De estas clasificaciones en el agua el más común que se puede observar es el flujo turbulento ya que para tener un flujo laminar, la lámina del agua para esta clasificación sería demasiado delgada; algo casi imposible de obtener.

2.2.3.2. Régimen crítico curva Y vs E

v2 , entonces se puede dar 2g cuenta que esta representa a la ecuación matemática correspondiente a una parábola abierta hacia la derecha y si es una parábola esta debe tener un vértice y este tiene una tangente, o lo que es lo mismo esta tiene una pendiente, esto significa que la ecuación es derivable, Si se sabe que la ecuación de la energía específica es E E = y +

entonces es posible decir que

dE d v2 ,esta ecuación se deriva respecto al tirante = y+ dy dy 2g

porque si el flujo cambia entonces cambia el tirante como se ve en la gráfica de la figura 15. Se puede observar en la gráfica que el vértice representa el punto crítico de la parábola donde la energía es la mínima y respecto al tirante nos arroja un tirante crítico. Al observar de manera de arriba hacia abajo se puede observar como la gráfica al reducir su tirante también reduce su energía hasta llegar al punto crítico en donde la energía es mínima y el tirante crítico ( y c ); considerando en todo momento un caudal constante ( Q ), al continuar el descenso se puede ver como se continúa reduciendo el tirante, pero por el contrario la energía aumenta. 25

Es posible estar seguro que al tener un punto crítico de este sólo existirá un punto de energía asociado a un sólo tirante, pero si se desplaza un delta E ( ΔE ), para los demás puntos se obtiene una sola energía asociada a dos tirantes y1 y y2 los cuales son alternos para la energía mínima ( E min ) y un caudal constante ( Qcte ).

y (m)

tangente Régimen subcrítico 1

ΔE

E (m)

Figura 15. Gráfica de la curva y vs E

Otro elemento que es posible observar en la gráfica es que a partir del punto crítico de manera ascendente a descendente se tiene dos diferentes velocidades una con más fuerza y la otra más débil y estas a su vez están asociadas a diferentes tirantes pero que pueden contener una misma energía, los elementos que son encontrados arriba del punto crítico se conocen como régimen subcrítico, los que se encuentran sobre el punto crítico como régimen crítico y los que se encuentran debajo de este se conocen como régimen supercrítico y son determinados de acuerdo a su tirante crítico. La siguiente ecuación conocida como el número de Froude fue acuñada por el profesor berlinés Moritz Weber y es un parámetro para determinar de qué régimen es un canal, esta depende de la relación de la velocidad del canal respecto a las fuerzas gravitacionales y el tirante del mismo. La naturaleza del movimiento de un canal depende de si el número de Froude es mayor, menor o igual a la unidad. Se determinará su tipo de régimen dependiendo las condiciones que esta cumpla.   

Para régimen subcrítico el número de Froude debe ser menor a la unidad Fr1

26

Número de Froude es igual a:

v

Fr =

gy

(42)

Dónde:

F r= Número de Froude (adimensional) velocidad del canal (m2/s)

v=

g =fuerza de la gravedad (m/s2)

y = tirante del canal (m)

2.2.3.3. Régimen crítico La energía específica es definida de forma taxativa como la suma del nivel de agua más la carga de velocidad y esta ecuación se obtiene de la ecuación de la energía que al eliminar las pérdidas y la cota de referencia surge una ecuación de segundo grado, que al graficarlo sobre un plano cartesiano con el eje de la ordenada referido al tirante y al de las abscisas a la energía, se obtiene una parábola; y al colocarle una secante en el plano a 45° respecto al origen, colocando el nivel de agua referido al eje, se obtiene una gráfica como la de la figura 16 en la cual se puede observar que las asíntotas de la parábola se extienden hacia el infinito y nunca tocan a la secante, esto matemáticamente indica que se encuentra una derivada ahí y esto indica que hay una pendiente; de haberlo entonces también se tiene una tangente y el punto de tangencia será justo en la derivada que corresponde al vértice de la parábola, si esto se ubica en el plano se tendrá una energía mínima asociado a un tirante el cual se llamará tirante crítico. Si se desplaza un ΔE se dará cuenta que se encuentran dos tirantes alternos asociados y2 ,

y1 y

esto significa que para una misma energía puede haber dos tirantes asociados.

Entonces para obtener la ecuación del punto crítico primero se debe tomar la ecuación graficada que es la ecuación de la energía.

E = y+

v2 2g

27

(43)

tangente

y(m)

Régimen subcrítico 1

y1 E min ΔE

E (m)

Figura 16. Gráfica de la curva y vs E del régimen crítico

Se sustituye la velocidad al cuadrado por su igualdad del gasto cuadrado con respecto del área cuadrada de la siguiente forma:

E = y+

Q2 2gA 2

(38’)

A esta ecuación se le aplica una derivada respecto al tirante, porque el tirante es el que cambia en nuestra gráfica dE dy d Q 2 = + dy dy dy 2gA 2

(44)

De la derivada queda, el tirante. Como la unidad, el gasto y la gravedad son constantes entonces que no se derivan.

dE Q2 d 1 = 1+ dy 2g dy A 2

(45)

A continuación se auxilia de la gráfica del régimen crítico y se coloca un canal de sección rectangular representando los diferentes niveles de tirante que contiene el canal, de este canal se toma un área que se sabe está asociada a un tirante y este a su vez está asociado a una energía total pero como se está derivando se toma una pequeña diferencial de área así como una diferencial de altura mismo asociado a la base del canal en este caso un canal 28

rectangular de base B , entonces se puede decir que la diferencial de área ( dA ) será igual a la base ( B ) por la diferencial de altura ( dy ). (46)

dA = Bdy

En el caso de querer encontrar una ecuación para una sección de canal diferente a la rectangular entonces se sustituye su correspondiente área hidráulica en donde en este ejemplo se substituye el área hidráulica del canal rectangular.

y (m) Tangente Qcte

dA y2

T=B

yc y1

dy y2 yc y1

E

ΔE E min

Figura 17. Gráfica del régimen crítico respecto a la sección de un canal

La igualdad de la ecuación 46 se sustituye en (45) y se deriva, queda de la siguiente forma

d 1 1 d 1 = 2 2 2 dy B y B dy y2 Ahora se deriva

d 1 dy y2

(47)

y se obtiene 0

d d y ( 1 )− 1 dy dy 2

d = dy

2 2

(y )

29

( y2 )

(48)

Al derivar la ecuación anterior se tiene −1( 2y ) d = dy y4

(49)

Y al simplificar se tiene

-2 y3

(50)

El resultado obtenido en la ecuación 50 se substituye en (47) y queda de la siguiente forma

dE Q2 2 = 1+ - 3 2 dy 2gB y

(51)

dE 2Q2 = 1dy 2gB2 y3

(52)

Al simplificar la ecuación desaparecen los números dos, se sustituye la base y el tirante cuadrado por el área cuadrada y queda de la siguiente forma

dE Q2 = 1- 2 dy gA y

(53)

Si se substituye la igualdad del gasto sobre el área al cuadrado queda la velocidad al cuadrado en la ecuación de la siguiente forma

dE v2 =+1 dy gy

(54)

dE v2 = 1dy gy

(55)

Escrita de otra forma

Sí la ecuación anterior es la derivada de la energía, entonces significa que la energía como tal no es cero, es mínima. Esto significa que la derivada de energía es

s0 =

y2 - y1 0 = =0 E 2 - E1 0

30

(56)

Al ser su derivada cero está marcando una función ilegal, entonces para usos matemáticos se establece un límite y se tiene s0

y E

lim

E2

E1

(57)

0

Esto se da porque justo ahí la función es crítica. Entonces se tiene que en el límite

0 = 1-

v2 2g

(58)

Al derivar la ecuación anterior se obtiene el número de froude que establece: < 1 subcrítico

v

Fr =

gy

(59)

=1 crítico >1 supercrítico

  

Para régimen subcrítico el número de Froude debe ser menor a la unidad Fr1

Al auxiliarse de la gráfica se observa que si el tirante de un canal

y 2 es

mayor al tirante

crítico ( y c ) entonces el flujo del canal es subcrítico. De la misma forma si el tirante

y1

es

menor que el tirante crítico ( y c ) entonces se está hablando de un flujo supercrítico, esto para todo canal de sección rectangular. Para conocer la ecuación del tirante crítico en canales rectangulares se parte de la ecuación 59 que es la ecuación para el flujo en régimen crítico

v

Fr =

gy

(59)

De esta manera al ser el flujo crítico igual a 1 se hace esta igualación en la ecuación 59 de la siguiente forma

v gy

=1

31

(60)

Ahora se despeja la velocidad

v = gy c

(61)

Se tiene una velocidad al cuadrado al despejar la gravedad por el tirante crítico

vc2 = gyc

(62)

Como interesa encontrar el tirante crítico entonces este se despeja de la ecuación 62.

yc =

vc2 g

(63)

Ahora se substituye la velocidad por su igualdad que es el caudal sobre el área los dos al cuadrado por que la velocidad estaba al cuadrado y se tiene

Q2 2 yc = A g

(64)

Acomodando términos se obtiene

yc =

Q2 gA 2

(65)

Por definición, el gasto unitario ( q ) es la cantidad de agua que pasa por unidad de ancho de un canal, como lo expresa la siguiente ecuación q=

Q b

(66)

Entonces se puede substituir la ecuación (66) en la ecuación (65)

Q2 2 yc = b 2 gA Al recordar la igualdad de A 2 es

b2 y2

(67)

esta se puede substituir en la ecuación 67.

Q2 2 yc = b2 2 gb y

32

(68)

Al reducir términos queda

q2 gy 2

(69)

q c2 gyc2

(70)

yc = Esto se puede escribir de la siguiente forma

yc =

Como se está buscando un tirante crítico se despeja la

y3c =

y c de

la ecuación 70.

q c2 g

(71)

Por último, se despeja el exponente del tirante para tener una raíz cúbica, de esta manera se deduce una ecuación para determinar el tirante crítico de un canal de sección rectangular. yc =

3

q2 g

De esta manera se puede establecer que el tirante crítico

(72) y c sólo

depende del caudal que

pase por el canal. De esto se puede agregar que el número de Froude es válido para cualquier tipo de canal pues este depende de la velocidad y el tirante de este, no así la ecuación del tirante crítico pues este se dedujo con las propiedades geométricas de un canal de sección rectangular en caso de buscar una ecuación para el tirante crítico de una sección diferente se deduce desde el principio, pero con las propiedades geométricas correspondientes para la sección deseada.

2.2.3.4. Condición para la energía específica constante (curva q-y, Q-y) Para hablar de la condición de energía específica es inevitable auxiliarse de un plano cartesiano, así que se toma como y referencia el de la figura 18, en el cual se puede observar en el eje de la ordenada el tirante ( y ) y al de la abscisa a el caudal ( Q, q ), así como la energía constante ( E cte ) para esta tema. Como se puede dar cuenta la función cambia por completo al cambiar las variables.

33

Subcrítico Crítico

E cte

Supercrítico

Q ,q

Figura 18. Gráfica de la condición para la energía específica constante Como se sabe la ecuación (38’) es la expresión de la energía donde el tirante y la energía son variables y el caudal es constante.

Q2 E = y+ 2gA 2

(38’)

Se despeja la variable de la energía cinética para el gasto y se iguala a la energía menos el tirante

Q2 = E - y 2gA 2

(73)

Como se quiere conocer el caudal entonces se despeja

Q2 =  E - y 2gA2

(74)

Como la ecuación anterior está asociada a un canal rectangular es válido decir que al área cuadrada ( A 2 ) es igual a su base ( B ) por su tirante ( y ) al cuadrado respectivamente. Todo sobre raíz cuadrada Q=

E - y 2gB2 y2

(75)

Entonces se establecen las siguientes relaciones con ayuda de la ecuación (74) y la gráfica

34

Relaciones E - y - Q Si se tiene un tirante con valor a cero implica que el gasto será igual a cero, esto se puede demostrar en la ecuación ya que no arroja ningún valor incluso al observar la gráfica se puede notar que no tiene ningún valor. Sí y = 0  Q = 0

De la misma manera sí el tirante toma el valor de la energía o un valor máximo implica que el gasto también valdrá cero. Esto se puede observar gráficamente y por medio de la ecuación. Sí E = y  Q = 0

Por otro lado, sí el tirante llega a ser el tirante del canal sobre dos entonces el gasto será máximo. Sí y =

y 2

Q = Q max

Esto significa que cuando se tenga la energía específica constante se tendrá el caudal

y 2

máximo en el tirante sobre dos   , en este caso los tirantes que estén por debajo del tirante sobre dos o debajo del caudal máximo serán supercrítico y los que estén por encima de este serán tirantes subcríticos.

2.3. Ecuación de impulso y cantidad de movimiento El impulso se considera como el cambio de velocidad de una partícula respecto a una distancia y un tiempo determinado, este se encuentra regido por la segunda ley de Newton ya que este depende de la fuerza con la que es impulsada, así también depende de la masa de la partícula. En cuestiones de hidráulica el impulso puede servir para conocer la fuerza con que se impulsa un río o un canal y a partir de este conocimiento diseñar el canal o incluso diseñar las pilas de un puente para que este no falle por socavación producido por este fenómeno.

35

Para obtener la ecuación del impulso primero se debe auxiliar de una ecuación fundamental de la física como la ecuación de la fuerza y a partir de esta encontrar una ecuación para la hidráulica que obedezca esta ley. Se trabaja con la ecuación de la fuerza.

F = ma

(76)

Se sabe que la densidad del agua es ρ=

Por lo tanto Por otro lado tiene

m V

(77)

m = ρV

a=

(78)

v t

(79)

Ahora se substituye (78) y (79) en (76) y se tiene

F = ρV

v t

Ahora es bien sabido que la ecuación del caudal es Q =

(80) V , si se despeja el volumen se t

tiene V = Qt este se sustituye en la ecuación (80) y se obtiene

F = ρQt

v t

(81)

Se eliminan las unidades de tiempo ( t ), y la ecuación queda de la siguiente forma

F = ρQv

(82)

Se sabe que la densidad es igual al peso específico sobre la aceleración de la gravedad

ρ=

γ g

Esto se substituye en la ecuación 82 y se tiene

36

(83)

F=

γ Qv g

(84)

Esto es la ecuación del impulso en una sección arbitraria. Ahora la ecuación del impulso respecto a dos secciones de un canal

F = ρQ v 2 - v1 1-2

(85)

F = ρ 2 Q2 v 2 - ρ1Q1v1

(86)

o escrito de otra manera

Ecuación del impulso respecto a dos secciones

dónde:

F = La fuerza o el impulso ( N ) ρ =La densidad del agua ( kg/m3 ) Q =El caudal ( m3 /s ) v =La

velocidad de la partícula en ese canal ( m/s )

= peso específico del agua ( N/m3 )

g = gravedad ( m/s 2 )

37

2.4 Aplicaciones prácticas de las ecuaciones fundamentales de la hidráulica. Este subcapítulo está integrado para poner en práctica lo aprendido en la sección teórica del capítulo anterior.

Ejemplo 1 Calcular el caudal de un canal de sección trapezoidal con una base de 6 m, un tirante de 3 m, k= 1 y una velocidad de 3 m/s Datos

Solución

b= 6 m

A =  b + ky  y

y= 3 m

A = 6 +1 3  3

k= 1

A = 27m 2

v= 3 m/s

Q = Av

Q=?

Q = 27  3 m3 Q = 81 s

Ejemplo 2 Calcular el caudal de un canal de sección rectangular con base de 4 m, tirante de 3 m y velocidad constante de 2 m/s. Datos

Solución

b= 4 m

A = by

y= 3 m

A = 4  3 A = 12m 2

v= 2 m/s Q=?

Q = vA Q = 2 12  Q = 24

m s

38

Ejemplo 3 Calcular el caudal que puede transportar una tubería de 0.30 m de diámetro a una velocidad de 0.45 m/s. Datos

A=

D= 0.30 m

πD2 4

Q = vA Q = 0.45  0.0707 

π  0.30  A= 4 A = 0.0707m 2 2

v=0.45 m/s Q=?

Q = 0.0318

m3 s

Ejemplo 4 Calcular el caudal que puede transportar una tubería de 0.15 m de diámetro a una velocidad de 0.20 m/s. Datos

πD2 A= 4

D= 0.15 m

Q = vA Q = 0.20  0.0177 

π  0.15  4 A = 0.0177m 2 2

v= 0.20 m/s

A=

Q=?

Q = 0.00354

m3 s

Ejemplo 5 Calcular el caudal que pasa en un canal que tiene un ancho de 2m, un tirante de 1m y la aceleración del flujo es unitario; suponiendo que el canal es rectangular. Datos Solución

y= 1m

A h = 2 1

b= 2m

y=1m

A h = 2m2

a=1 m/s2 b=2m Sí se supone que la aceleración del flujo es unitaria entonces la velocidad también lo será; porque para obtener una aceleración de uno se debe multiplicar por el mismo número v =1

m s

39

Q = vA Q = 1 2  Q=2

m3 s

Ejemplo 6 Calcule la energía del canal rectangular con una velocidad de 45 m/s y con las siguientes características. Datos

Solución

y=3

v2 E = y+ 2g

b=5

y=3

 45 E = 3+ 2  9.81 2

v=45 m/s

b=5 m

E = 106.21m

Ejemplo 7 El canal de la figura es de sección rectangular de ancho constante y tiene un gasto unitario (q) de 3m3/s/m determine h2 si las pérdidas y la pendiente son cero. Datos

1

q=3 m /s/m

S0=0

h1=3 m

Δ z = 0.26m

3

h

2 h1=3m

h2 z

f

=0

40

Solución 0

0

v2 v2 z1 + y1 + 1 = z 2 + y 2 + 2 +  h f 2g 2g 3+

Si se considera la misma energía cinética

 3.08 3+

v12 v 22 = 0.26 + y 2 + 2  9.81 2  9.81

2

 3.08 +

2

= 0.26 + y 2 19.62 19.62 3 + 0.48 = 0.26 + y 2 + 0.48

q 2 3  3 R1 = yc = = = 0.972m g 9.81 2

3

3 - 0.26 = y 2 y 2 = 2.74m

v = gy v = 9.81 0.972  v = 3.088

m s

Ejemplo 8 En un canal rectangular se tienen mediciones en las secciones 1 y 2. Si los datos son los indicados, calcule el gasto. PERFIL

Datos h1=3.80 m

B=b=12.5 m

 z1= 5 m

h2=1.25 m h1=3.8 m

h f1-2 =0 m

Δz1 = 5m

Solución

h2=1.25 m

Para usar la fórmula de la continuidad es necesario saber la velocidad del canal B=12.5 m

por esa razón despejamos la velocidad de la fórmula

h1v1 = h 2 v 2

y la sustituimos en b=12.5 m

la energía cinética de la siguiente fórmula

Sección 2

z1 + h1 +

2

v v = z 2 + h 2 + + h f1-2 , como se muestra a continuación: 2g 2g 41

(1)

h1v1 = h 2 v 2

v2 =

z1 + h1 +

h1v1 h2

(2)

v12 v2 = h2 + 2 + hf 2g 2g

(3)

v12 v22 - = h 2 - z - h1 + h f 2g 2g

(4)

v12 - v22 = 2g  h 2 - z - h1 + h f 

(5)

2

vh  v -  1 1  = 2g  h 2 - z - h1 + h f   h2 

(6)

v12 h12 = 2g  h 2 - z - h1 + h f  h 22

(7)

2 1

v12 -

 h12 1- 2  h2

 2  v1 = 2g  h 2 - z - h1 + h f  

v12 =

2g  h 2 - z - h1 + h f  h2 1- 12 h2

   2g v1 =    

v1 =

(8)

(9)

1

h

2

- z - h1 + h f1-2

 h  1-  1    h2  

2

   



2      

2  9.811.25 - 5 - 3.8 + 0    3.8 2  1-      1.25   v1 = 4.24

42

m s

(10)

(11)

Ahora que tenemos la velocidad podemos calcular el caudal con la fórmula de la continuidad. A=h1(b) A=3.8(12.5) A=47.50 m2

Q=vA Q=4.24(47.50) Q=201.4 m3/s

Ejemplo 9 Sí en un canal se tienen los siguientes datos a qué tipo de régimen corresponden. Datos S0=0.020

B=b=6 m

h0=1.20 m

n=0.014

Solución A=1.2(6) A=7.2 m2 Pm=2h0+b Pm=2(1.2)+6 Pm=8.4 m

A Rh = h Pm 7.2 8.4 Rh = 0.857m Rh =

 A  23 12    Rh S0  n  q=  B 2 1  7.2  3 0.857  0.020  2     0.014   q=  6 m3 q = 10.9347 s m

43

1

 q2 3 hc =    g  hc =

3

10.9347 

9.81 h c = 2.30m

2

h0=1.20 m< hc= 2.30 m

Por ser h0 h c = 1.4898 , luego Sc = 0.00238 > S0 = 0.000121 ; Fr S0=0.000121, hc= 1.49 m< h= 3 m< h0= 3.77m y

h=3 m

Fr S0=0.000121 y Fr>1 (zona supercrítica); por lo tanto, en la ecuación dinámica

h= 0.4 m

dy   , dx 

por lo tanto, el perfil corresponde a la S0 zona 3 del perfil M3.

Ejemplo 8 Sea un canal de sección trapecial donde: b= 5 m

S0= 0.1759

Q= 10.60 m3/s

n= 0.015

k= m= 1

Calcule la longitud de L desde h= 0.95hc hasta 1.05h0, utilizando el método de los incrementos finitos. Solución

Q b 10.60 q= 5 m3 q = 2.12 s m q=

h

S0

L

1

 q2  3 hc =   g hc =

3

 2.12 

2

9.81 h c = 0.7709m

122

Calculo del tirante h= 0.95hc= 0.73236 m Cálculo del tirante normal

Q yb + ky = n S0

2

 yb + ky     b + 2 1+ k 2 y 

y  5  +1 y  10.60 = 0.015 0.1759

2

2 3

2

2

 y  5  +1 y 2  3    5 + 2 1+12  y  

A continuación, se itera hasta encontrar el valor del tirante (y) que satisfaga con la división del gasto entre la raíz de la pendiente. h0= 0.21356 m 0.21356  5  +1 0.21356  10.60 = 0.015 0.1759

2

2

 0.21356  5  +1 0.21356 2  3    5 + 2 1+12  0.21356  

25.2739  25.2736

1.05h0=1.05 (0.21356) 1.05h0=0.22 m Al hacer el cálculo colocando como el tirante de control h=0.73236 y realizarlo por el método estándar directo en una hoja de cálculo, buscando el tirante h= 0.22 nos arroja una longitud L= 36.98 m respecto a la sección de control.

Ejemplo 9 En un canal muy largo se establece un flujo permanente. El canal termina en caída libre. En una cierta sección del canal, alejada de sus extremos, se coloca una compuerta, tal como se aprecia en la figura. Se debe determinar los diferentes perfiles de la superficie libre considerando dos situaciones diferentes en el canal: a) flujo subcrítica; b) flujo supercrítico.

123

yn

a) Flujo subcrítico RESALTO

yn M3 yc y

Torrente deprimido en pendiente suave yn> yc> y

M1

yc

y

yn

Río peraltado en pendiente suave y>yn>yc 124

b) Flujo supercrítico

S3

yc

yn y

Torrente deprimido en pendiente fuerte yc> yn> y

S1 y

yc

yn

Río peraltado en pendiente fuerte y>yc>yn

Ejemplo 10 Se tiene un canal trapecial de concreto (n= 0.014). La pendiente es 0.001. El ancho en el fondo es de 1.5 m. El talud es de 45°. El caudal es de 10 m3/s. En cierta sección el tirante corresponde al movimiento gradualmente variado es de 3 m. Calcular el tirante en una sección ubicada 40 m aguas debajo de la sección mencionada.

125

Solución Se realizó el ejercicio en una hoja de cálculo programando lo correspondiente al método directo y después se iteró con varios valores del tirante hasta encontrar la distancia correspondiente. Sección de control GASTO S0 10 0.001 Rh VEL.

MANNING 0.014 CAB. V.

BASE 1.5 ENER.

y1 3 n2

M 1 VEL2

1.35199 0.0740

0.0279662

3.028

1.96E-4 0.5487

ÁREA 13.5 3

Rh 4

1.495

PERÍMETRO 9.98529 Sf 7.19E-5

Después de probar con varios tirantes Para un tirante y2=-40m = 3.038362m de altura Con el mismo gasto (Q) por la ley de la continuidad, mismo coeficiente de rugosidad (n) y misma pendiente normal (S0) en un canal trapezoidal prismático. ÁREA

P.

Rh

VEL.

13.7891 10.0938 1.3661 0.7252 ΔxLongitud Sf ΔE S

CAB.V E. 0.0268

3.0652 1.96E-4

f

6.8E-5

6.99E-5 -0.037

-40m

Por lo tanto, el tirante buscado es 3.038362 m de altura.

126

n2

V2 0.5259

4

Rh 3

1.5158

Conclusión Este proyecto fue realizado con el objetivo de brindar al alumno un material en el cual se pueda apoyar y complementar su formación hacía esta materia; con información puntual y completa, así como con ejercicios reales y que hacen reflexionar a los alumnos acerca de la comprensión del tema. Este material está basado de obras de la hidráulica muy importantes como El agua según la ciencia de Enzo Levi o Hidráulica de canales de Gilberto Sotelo, así como de apuntes de clases en el cual se brinda material a los alumnos que no encontrarán en ninguna otra obra, como las deducciones de algunas de las fórmulas más importantes de la hidráulica y como se mencionó al ser parte de los apuntes de clases esta obra se apoya del plan de estudios de la carrera, el cual hace que el alumno siga un mismo camino con el maestro y esta obra. En conclusión, el estudio de la hidráulica desde sus fundamentos es muy importante pues conocer el origen de sus fórmulas y conceptos a partir de leyes matemáticas y de la física ayudará al alumno a comprender de mejor forma el tema, así entonces dejar un material con tanta importancia para los alumnos y con tantas herramientas como lo son ejercicios de formación, orígenes de conceptos y fundamentos de las fórmulas es muy importante como retribución a todo lo aprendido.

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Referencias Arturo, Rocha Felices, Hidráulica de tuberías y canales, 1999. 3ª edición, Editorial Universidad nacional de ingeniería, Perú, Lima. Número de ejercicio en el libro/Número de ejemplo en la tesis (página); 1/E.9 (pág. 121); 3/ E. 10(pág. 122). Enzo, Levi, El agua según la ciencia, 1989, ed. Conacyt-Ediciones Castell mexicana, Morelos, México. Humberto, Gardea Villegas, Hidráulica de canales, 1999, 3ª edición, ed. Fundación ICA, UNAM- Facultad de ingeniería, México, D.F. Número de ejercicio en el libro/Número de ejemplo en la tesis (página); 5.1/E. 7(pág. 62); 5.3/E. 8(pág. 63); 5.7/ E. 9(pág. 64); 5.9/ E. 10(pág. 64); 2.1/E.8(pág. 85); 2.5/E. 9(pág. 87); 2.2/ E. 10(pág. 88); 4.1/E.7(pág. 117); 4.2/ E.8(pág. 119). Humberto, Gardea Villegas, Problemas de examen de hidráulica de canales, 2013, ed. UNAM, México, D.F. Número de ejercicio en el libro/Número de ejemplo en la tesis (página); 1.6/ Ejemplo 8(pág. 41); 1.7/ E. 10(pág. 44); 5.1/ E.2 (pág. 55); 5.3/E. 3(pág. 57); 5.6/ E. 4(pág. 58); 5.10/ E.5( pág. 59); 5.15/ E. 6(pág. 60); 3.3/E 1(pág. 74); 3.4/ E.2( pág. 75); 3.8/ E.3 (pág. 76); 3.9/E. 4(pág.78); 3.10/E.5 (pág. 80); 4.1/E.3(pág. 109); 4.2/E.4 (pág. 111); 4.4/E. 5(pág. 113); 4.6/E. 6(pág. 115). Gilberto, Sotelo Ávila, Hidráulica de canales, 2002, ed. UNAM, Facultad de ingeniería, México, D.F. Martín, Mundo, Apuntes de asignatura, 2013, ed. Universidad Autónoma de Chiapas, México, Chiapas. Piaget, García, Psicogénesis e historia de la ciencia, 2004, ed. Siglo veintiuno, México, D.F. Robert, L Mott; Javier Enriq́ uez Brito; Javier León Cárdenas, Mecánica de fluidos 2006,ed.Prentice-Hall: Pearson Educación, México, D.F. Ven, Te Chow, Hidráulica de canales abiertos, 1994, ed. Mc Graw- Hill Book Company, Inc., Nueva york, USA.

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