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Matemáticas Funciones y límites

6.° Secundaria

Contenido del libro Lógica, conjuntos y probabilidad

Funciones y límites

Derivadas e integrales

Lógica Lenguaje, verdad y razonamiento Propiedades lógicas de las proposiciones Álgebra de proposiciones Razonamiento lógico

Conceptos básicos sobre funciones Desigualdades e inecuaciones Idea de una función Características de las funciones Operaciones con funciones Transformaciones de funciones

La derivada Idea de una derivada La función derivada Reglas de derivación

Teoría de conjuntos La idea de conjunto Operaciones con conjuntos Álgebra de conjuntos Cardinalidad de conjuntos Producto cartesiano Probabilidad Experimentos aleatorios y probabilidad Teoría de la probabilidad Probabilidad condicional

4

Tipos de funciones Funciones algebraicas Funciones trascendentes Funciones inversas Funciones especiales (opcional) Límites de funciones Idea del límite Propiedades de los límites Cálculo de límites e indeterminaciones Aplicaciones del cálculo de límites

Aplicaciones de la derivada Análisis de funciones Gráfica de funciones Problemas que se resuelven con las derivadas Derivadas e integrales Concepto de una integral Técnicas aplicadas a las integrales Integral definida y sus aplicaciones

©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

Índice Funciones y límites 1 Conceptos básicos sobre funciones 6 El peso de las ideas Modelos de nuestro mundo  7 • Desigualdades e inecuaciones  8 • Idea de una función  14 • Características de las funciones  19 • Operaciones con funciones  23 • Transformaciones de funciones  25 Problemas resueltos de profundización 28 Conexiones Las funciones como modelos matemáticos  32 Taller de Matemática Mínimos cuadrados: ajuste de curvas  33 Resumen y actividades finales 34

2 Tipos de funciones 38 El peso de las ideas Una función para cada tarea  39 • Funciones algebraicas  40 • Funciones trascendentes  46 • Funciones inversas  49 • Funciones especiales (opcional)  54 Problemas resueltos de profundización 56 Taller de Matemática El graficador Desmos  60 Conexiones Aproximaciones mediante funciones polinómicas  61 Resumen y actividades finales 62

3 Límites de funciones 66 El peso de las ideas Velocidad instantánea  67 • Idea del límite  68 • Propiedades de los límites  72 • Cálculo de límites e indeterminaciones  74 • Aplicaciones del cálculo de límites  83 Problemas resueltos de profundización 86 Taller de Matemática Asíntotas oblicuas y asíntotas no lineales  90 Paradojas Paradoja de la dicotomía  91 Resumen y actividades finales 92

Solucionario 96 Bibliografía 104 ©Santillana S.A. Prohibida su fotocopia. Ley 1322.

5

1 Funciones algebraicas Las funciones algebraicas son aquellas que se obtienen a través de las operaciones algebraicas que ya conoces: adición, multiplicación y potenciación.

1.1 Funciones polinómicas Las funciones polinómicas, como su nombre lo indica, están definidas por un polinomio. Ahora, la variable indeterminada juega el papel de variable independiente. Estas funciones tienen la forma f _ x i = a n x n + a n - 1 x n - 1 + f + a 1 x + a 0,

Y

donde los coeficientes a 0, f, a n son números reales. Las potencias de la variable x son siempre números naturales y la potencia más alta cuyo coeficiente no sea cero es el grado del polinomio. El dominio de toda función polinómica es el conjunto R. Las funciones polinómicas se clasifican de acuerdo al grado del polinomio.

f_ xi = a0

a0

X

Figura 1. Función constante.

Función constante

Corresponde a un polinomio de grado 0 y se escribe f _ x i = a 0. Así, el rango es R f = # a 0 y su gráfica es una recta horizontal que corta al eje Y justamente en a 0 (ver figura 1).

Y

a0

Función lineal

Corresponde a un polinomio de grado 1 y se escribe f _ x i = a 1 x + a 0. Su gráfica es una recta con pendiente igual a a 1 y corta el eje Y en a 0. El punto a 0 se denomina ordenada al origen.

La inclinación depende del valor de la pendiente a 1. La recta es decreciente si a 1 1 0 (Figura 2) y es creciente si a 1 2 0 (Figura 3). El rango es todo el conjunto R. Tiene solo un cero, donde corta el eje X: a f _ x i = 0 + a 1 x + a 0 = 0 + x =- 0 . a1 No tiene máximos, mínimos, ni puntos de inflexión. Una recta vertical tiene como ecuación x = k con k ! R y no es una función (suele decirse que tiene pendiente infinita).

X

Figura 2.La recta es decreciente si a 1 1 0. Y

a1 1 X

a0

Figura 3.La recta es creciente si a 1 2 0.

Problemas resueltos 1. Determina las características de la función f _ x i =

2x - 9 y luego traza la gráfica. 3 2x 9 2 - = x - 3. Así, es una función lineal con Reescribimos como f _ x i = 3 3 3 2 a 1 = y a 0 =- 3. 3 Es decir, tiene pendiente a 1 = 2 3 y ordenada al origen a 0 =- 3.

2x - 9 9 =0,x= . Su cero es f _ x i = 0 , 3 2 Para dibujar la gráfica, marcamos primero la ordenada al origen _ 0, - 3 i y a partir de este punto recorremos 3 unidades a la derecha y 2 unidades hacia arriba para hallar otro punto de la recta (como lo indica la pendiente) y así sucesivamente.

40

Y 4 3 2 1 1

2

3

4

5

6

7

8 X

-1 -2 -3 -4

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2. Describe la siguiente situación mediante una función. Un vendedor de tela recibe

un salario básico de Bs 2 500 más una comisión de Bs 200 por cada venta de rollo completo que realice. Su comisión es porporcional al porcentaje de tela que vendió. Si vende medio rollo recibirá Bs 100.

Tal situación corresponde a una función lineal. Sea S _ x i el ingreso mensual como función del número x de rollos vendidos en el mes. Entonces, S _ x i = 200x + 2 500 con a 1 = 200 y a 0 = 2 500.

Así, la pendiente es a 1 = 200 (por 1 rollo vendido el ingreso incrementa en Bs 200). Su ordenada en el origen es a 0 = 2 500 (no depende de las ventas).

Su cero x = -2 500 1 200 =- 25 12, carece de sentido en este caso, pues el vendedor tiene el salario básico asegurado. El dominio de la función es el conjunto de los reales positivos.

Actividades 1. Determina las características de la función y traza la

gráfica.

a) f _ x i =

c) f _ x i =

5x - 8 2 15 - x 5 b) f _ x i =- 4 - x d) f _ x i = 4 5 2. En una profunda mina, la temperatura aumenta 1c cada 33 m de profundidad (gradiente geotérmico medio). Considerando que en la superficie hay una tem1 x + 1 2

peratura media de 13cC, escribe una función lineal que represente la temperatura en función de la profundidad. Analiza sus características y traza la gráfica. 3. La relación entre las escalas de temperatura Fahren-

heit (F) y Celsius (C) está dada por F = a) Traza la gráfica de esta función.

9 C + 32. 5

b) ¿Qué representan la pendiente, la ordenada en el origen y el cero?

Y

Función cuadrática Una función cuadrática está definida por un polinomio de 2.do grado f ^ x h = a 2 x 2 + a 1 x + a 0 , usualmente escrito por f ^ x h = ax 2 + bx + c con a, b, c ! R y a ! 0 y su gráfica es una parábola. La curvatura de la parábola depende del valor del coeficiente a . Si a 2 0 (Figura 4):

Si a 1 0 (Figura 5):

• La parábola se abre hacia arriba.

• La parábola se abre hacia abajo.

• Tiene un mínimo en x v = -

• Tiene un máximo en x v = - b 2a .

b

2a

.

• El rango es el intervalo 6y v, 3 h .

La gráfica de la función es una parábola que se abre hacia arriba con un mínimo en - _ -10 i xv = 2 $ 1 = 5. Luego, elaboramos una tabla de valores en torno a x v = 5.

f_ xi

5

3 0

Y yv

xv

Figura 5. Parábola con a 1 0.

3. Grafica la función f _ x i = x 2 - 10x + 21, determina los ceros y el rango.

2

yv

Figura 4. Parábola con a 2 0.

• El rango es el intervalo ^ -3, y v @ .

Problemas resueltos

x

xv

4

5

6

-3 -4 -3

7 0

8 5

El rango es 7- 4, 3 i. Los ceros son x = 3 y x = 7, claramente reconocibles en la tabla y en la gráfica.

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Y

5

4 3 2 1

-1

xv 1

2

3

4 5

6

7

8 X

-2 -3 -4

41

PROBLEMAS RESUELTOS DE PROFUNDIZACIÓN 13. Determina los coeficientes de la función lineal f _ x i = ax + b, si f _ - 3 i = 2 y

f _ 5 i =- 4.

Geométricamente, se trata de encontrar una recta que pasa por dos puntos _ - 3, 2 i y _ 5, - 4 i.

Y

2 1

Resolvemos algebraicamente mediante un sistema de ecuaciones lineales:

*

- 4 - 3 - 2 -1 -1

1

2

3

4

5

6 X

-2

f_- 3i = 2 - 3a + b = 2 & ( 5a + b =- 4 f _ 5 i =- 4

-3 -4

Para hallar los ceros de una función y = f _ x i debemos resolver la ecuación f _ x i = 0.

Si multiplicamos la 1.ra ecuación por - 1, y sumamos las dos ecuaciones, obtenemos 8a =- 6 de 3 donde a =- . Esto lo reemplazamos en la ecua4 ción - 3a + b = 2 y despejamos b: - 3c -

3 +b = 2 & b = 24m

9 4

& b =-

1 . 4

Por tanto, la función buscada es f _ x i =-

Recuerda

Detalles

3 1 x- . 4 4

14. Determina el tipo de raíces que tiene cada ecuación calculando la ordenada y v de

su vértice y analizando el coeficiente del término cuadrático. a) x 2 - 3x - 5 = 0; b) x 2 - 6x + 9 = 0; c) - 1 + 2x - 3x 2 = 0.

En cada caso, analizamos la gráfica de la función asociada f _ x i = ax 2 + bx + c de- b 4ac - b 2 terminando las coordenadas del vértice _ x v, y v i = f , p y estudiando la 2a 4a curvatura por medio del coeficiente a del término cuadrático.

Dada una ecuación ax 2 + bx + c = 0, graficamos la función asociada f _ x i = ax 2 + bx + c, las raíces de la ecuación son los ceros de la función. Existen tres posibilidades. Dos raíces reales distintas Y

a) Si f _ x i = x 2 - 3x - 5, entonces su vértice tiene coordenadas xv =

-_ - 3 i 2$1

3 = 2

y

4 $ 1 $ _- 5i - _- 3i

yv =

4$1

2

=

- 29 . 4

• Como a 2 0, la parábola se abre hacia arriba y corta al eje X en dos puntos.

X

Dos raíces reales e iguales Y

• La ecuación tiene, entonces, dos raíces reales y distintas.

X

b) Si f _ x i = x 2 - 6x + 9, entonces su vértice tiene coordenadas xv =

-_ - 6 i

=3

y

yv =

4 $ 1 $ 9 - _- 6i

2

4$1 2$1 • La parábola toca al eje X en un solo punto.

=

0 = 0. 4

Dos raíces complejas Y

• La ecuación tiene dos raíces reales iguales.

X

c) Si f _ x i =- 1 + 2x - 3x 2, entonces su vértice tiene coordenadas xv =

-2

2 $ _- 3i

=

1 3

y

yv =

4 _ - 3 i_ - 1 i - 2 2 4_- 3i

=-

2 . 3

• La parábola se abre hacia abajo, pues a 1 0 y no corta al eje X. • La ecuación tiene dos raíces complejas.

56

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15. Determina el tipo de raíces de las siguientes ecuaciones a partir de las gráficas de

sus funciones asociadas. a) x 2 - 3x - 5 = 0; b) x 2 - 6x + 9 = 0; c) - 1 + 2x - 3x 2 = 0. Graficamos (utilizando un graficador) las funciones asociadas y observamos los ceros de la función.

a) f _ x i = x 2 - 3x - 5

b) f _ x i = x 2 - 6x + 9

Y

-5

5

c) f _ x i =- 1 + 2x - 3x 2

Y

Y

9

5

X

-5 3

Tiene dos ceros en x .- 1,193 y x . 4,193. Esto significa que la ecuación tiene dos raíces reales y distintas, justamente en x 1 .- 1,193 y x 2 . 4,193.

X

X

1

-1

No tiene ceros. Esto significa que la ecuación tiene raíces complejas 1 x 1, 2 = _ 1 ! i 2 i. 3

Tiene un cero en x = 3. Esto significa que la ecuación tiene dos raíces reales iguales, justamente en x 1 = x 2 = 3.

16. Estima las raíces de la ecuación - x 4 + 2x 3 + 21x 2 - 45x = 0 mediante la gráfica de

su función asociada f _ x i =- x 4 + 2x 3 + 21x 2 - 45x.

Y

Utilizamos un graficador como GeoGebra o Desmos. Trazamos el eje X con una escala apropiada que permita observar los puntos en los que es cortado por la curva.

200 100 -5 -4

-3 -2

x 4 . 4,4. El rango es, aproximadamente, _ - 3, 190A.

con GeoGebra

x 3 . 2,185

x 4 . 4,447

x2 = 0

x 3 . 2,1848853f

x 4 . 4,44678552

x3

. x2 - 4 Primero, escribimos la fracción en forma propia. Hacemos la división larga: x3 x2 - 4 x3 4x 3 = x+ & f_ xi = 2 . - x + 4x x 2 x -4 x -4 _ 4x i

El dominio es D f = R - # - 2, 2 -; entonces, hay asíntotas verticales en x =- 2 y x = 2. Tenemos un cero en x = 0, pues f _ x i = 0 & x 3 = 0 & x = 0.

Consideramos valores positivos (o negativos) cada vez más grandes para x y estu4x . diamos la fracción impropia 2 x -4 x 4x 2

x -4

! 10

! 20

! $ ! 0,416 ! 0, 20

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! 1 000 ! 10 000

x crece

! 0,04 ! 0,004 ! 0,0004

tiende a ser cero

! 100

4

5

X

Detalles

x2 = 0

17. Grafica la función racional f _ x i =

3

- 200

También es posible utilizar las herramientas de cada aplicación para determinar los ceros con mayor exactitud. x 1 .- 4,632

2

-100

Las raíces son, aproximadamente, x 1 .- 4,6, x 2 = 0, x 3 . 2,2,

con Desmos

1

-1

Una fracción algebraica dice propia si

P_ x i

Q_ x i

se

grado P _ x i 1 grado Q _ x i.

En el caso contrario, se dice que la fracción es impropia. Para transformar una fracción impropia

P_ x i

Q_ x i

en una fracción

propia, se hace la división larga de P_ x i Q_ x i . ` R _ x ij C _ x i Así, tenemos que P_ x i = C_ x i + : Q _ x i polinomio

R_ x i

Q_ x i